矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题答案

习一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间（1）11{()|0}nijnniiiVAaa，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}nnTVAARAA，对矩阵加法和数乘运算；（3）33VR；对3R中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0RkRk；（4）4{()|()0}Vfxfx，通常的函数加法与数乘运算。解：（1）、（2）为R上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0有1=，而题（3）中10（4）不是，若k<0，则()0kfx，数乘不满足封闭性。2.求线性空间{|}nnTVARAA的维数和一组基。解：一组基10001010101010000000100..................0010010dimW=n(n+1)/23.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且12UU，证明：U1=U2。证明：因为dimU1=dimU2，故设12,,,r为空间U1的一组基，12,,,r为空间U2的一组基2U，有12rX而1212rrC，C为过渡矩阵，且可逆于是11212121rrrXCXYU由此，得21UU又由题设12UU，证得U1=U2。4.设111213315A，讨论向量(2,3,4)T是否在R(A)中。解：构造增广矩阵111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵A的3个列向量线性示，在列空间R(A)中。5.讨论线性空间P4[x]中向量3211Pxxx，32223Pxxx，323452Pxxx的线性相关性。解：23123102135(1)111124PPPxxx而102102135011111000124000，该矩阵秩为2所以向量组P1,P2,P3线性相关。6.设mnAR，证明dimR(A)+dimN(A)=n。证明：12(){,,,}nRALAAA，(){|0,}nNAXAXXR假定dimR(A)=r，且设12,,,rAAA为R(A)的一组基则存在12,,,(1,,)iirikkkirn，其中12,,,iirikkk不全为零使11220(1,,)iiririkAkAkAAirn显然1,11,21,2,12,22,,1,2,()100010001rrnrrnrrrrrnkkkkkkkkkNA上述n-r个向量线性无关，而121,,,,1,0,0Tskkk，s<r不为N(A)中的向量，否则与12,,,rAAA线性无关矛盾，故dimN(A)=n-r所以dimR(A)+dimN(A)=n7.设113021211152A，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形113011302121014111520000A矩阵A的秩为2，从A中选取1、2列（线性无关）作为R(A)的基，于是()121,111TTRAL由0AX，1234(,,,)TXxxxx，rank(A)=2，有12323434xxxxxx分别取341,0xx和340,1xx，求得齐次方程0AX解空间的一组基1410,1101TT所以A的零空间为()1410,1101TTNAL8.在22R中，已知两组基11000E，20100E，30010E，40001E10111G，21011G，31101G，41110G求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵0123在基{Gi}下的坐标X。解：4123412341234,iGGGGEEEECCCCCR由此，得过渡矩阵0111101111011110C再由123401011011112311110110xxxx解得0123TX9.判别下列集合是否构成子空间。（1）2221{(,,)|1,,,}WxyzxyzxyzR；（2）22{|,}nnWAAIAR；（3）3R中，231231230{(,,)|(}0}tWxxxxxxd；（4）411{()|0}mnijmnijijWAaa。解：（1）不是3R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2，(100)T，(200)Tk，而22241xyz，1kW。（2）不是子空间，因为W2中没有零元。（3）、（4）为子空间。10.设1(1,2,1,0)T，2(1,1,1,1)T，1(2,1,0,1)T，2(1,1,3,7)T，112{,}Wspan，212{,}Wspan，求12WW和12WW。解：设12WW，则1122xx且3142xx于是，有112231420xxxx即123411210211101103001170xxxx而11211121211101171103001301170000A取41x，得12341,4,3,1xxxx所以121212143WWLL由于rank(A)=3则12121,,WWL11.在矩阵空间22R中，子空间121123434{|0}xxVAxxxxxx，212{,}VLBB，其中11023B，20201B，求（1）V1的基和维数；（2）12VV和12VV的维数。解：（1）1V中，1223422343434111010001001xxxxxxAxxxxxxx令123111010,,001001AAA，可验证A1，A2，A3线性无关，它们构成空间V1的一组基，空间V1的维数dimV1=3。（2）212{,}VLBB中，B1与B2线性无关，它们是V2的一组基，故dimV2=2，而V1+V2=L{A1,A2,A3}+L{B1,B2}=L{A1,A2,A3,B1,B2}在22R的标准基E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵123451111011110100020111201020001320013100001XXXXX于是dim(V1+V2)=4，由维数定理121212dim()dimdimdim()3241VVVVVV12.设1W和2W为nV的子空间，1121{(,,,)|0}nTniiWxxxx，21212{(,,,)|}TnnWxxxxxx，证明12nVWW。证明：对W1，由120nxxx，解得1121110001010010001TTTnXkkk显然W1的维数dimW1=n-1，而向量组12111000,10100,10001TTTn为W1的一组基。对W2，由12nxxx，解得211111TXkW2的基为11111T，dimW2=1于是12121121,,,,,,,nnWWLLL这里12111111001det(,,,,)001010011n所以121,,,,n为W1+W2的基，则dim(W1+W2)=n，由维数定理可知12dim()0WW，故有12nVWW13.nR中，12(,,,)Tn，12(,,,)Tn，判别下面定义的实数(,)是否为内积。（1）1(,)niii；（2）1(,)niiii；（3）(,)TA，其中A为正定矩阵。解：（1）不是nR上的内积。设112Tnaaa，212Tnaaa12Tnbbb于是12121111,()(,,)nnnniiiiiiiiiiiiiiiaababababab内积的线性性不满足。（2）与（3）是nR上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。13.设125{,,,}是V5的标准正交基，又115，2134，31232，求123{,,}WL的标准正交基。解：W的标准正交基11110001,10221,111012210TTT14.在欧氏空间R4中，求子空间{(1,1,1,1),(1,1,1,1)}TTWL的正交补子空间W⊥。解：设1234TXxxxxW令12(1111),(1111)TT由12,XX得1234123400xxxxxxxx解得1100,1001X所以1010,1001TTWL15.判断下列变换哪些是线性变换（1）R2中，21212(,)(1,)TTTxxxx；（2）R3中，12312123(,,)(,,2)TTTxxxxxxxx；（3）nnR中，A为给定n阶方阵，nnXR，()TXAXA；（4）22R中，()TAA，A为A的伴随矩阵。解：（1）不是，该变换为非线性变换设112Txx，212Tyy则2221211221122121212()()1()11()()TTTTTTxyxyxyxyxxyyTT（2）是线性变换（3）不是，因有00T（4）是线性变换1212223434,aabbABRaabb而112244224242**334433113131()()()ababababaabbTABTABTATBababababaabb124242*343131()()kakakakaaaTkATkkAkTAkakakakaaa16.设R3中，线性变换T为：iiT，i=1,2,3，其中1(1,0,1)T，2(2,1,1)T，3(1,1,1)T，1(0,1,1)T，2(1,1,0)T，3(1,2,1)T，求（1）T在基123{,,}下的矩阵；（2）T在标准正交基下的矩阵。解：（1）由123123TA及123123T得123123A于是11123123121011011011112132111101244A（2）3R中标准基正交基123100,010,001TTTeee由123123TeeeeeeA,1,2,3iiTi得112312311212312322312312333101211111TTTTTeeeeeeATTeeeeeeATTeeeeeeA因为1233eeeI故有123123A于是11123123011121252112011152101111142A17.设线性变换43RR，有123412341241234(,,,)(,2,3)TTTxxxxxxxxxxxxxxx，求N(T)和R(T)。解：由1234{|()0,(,,,)}TNTXTXXxxxx，得下述齐次方程组1234124123402030xxxxxxxxxxx解得2314TXk所以{2314}TNTX=k由1234{|(),(,,,)}TRTYYTXXxxxx，得12341241234123411112120131131xxxxYxxxxxxxxxxx故有12341111()12011131RTkkkk或123111()120113RTkkk18.在欧氏空间Rn中，设有两组基12,,,n与12,,,n，满足关系式1212(,,,)(,,,)nnP，nnPR证明：（1）若12,,,n与12,,,n都是标准正交基，则P是正交阵；（2）若12,,,n是标准正交组，P是正交阵，则12,,,n是标准正交组。证明：（1）将矩阵P按列分块，有121212(,,,)(,,,),,,nnnppp其中12,1,2,,inipin于是111,,0,TTTTijijinnjijijppppij故矩阵P为正交矩阵。（2）与（1）证明过程类似，可证明12,,,n是标准正交基。习题二1.设A、B为n阶方阵，12,,,n是A的特征值，证明（1）tr(AB)=tr(BA)；（2）1()nkkiitrA；（3）若1PAPB，则1()()niitrAtrB。证明：（1）设ijnnAa，ijnnBb，则1111()nnnnijjijiijijjitrABabbatrBA（2）因为iiiAXX，22iiiiiiAXAAXAXX，……，kkiiiAXX故12,,,kkkn为kA的特征值，于是1()nkkiitrA（3）由结论（1），得111()()()trBtrPAPtrPAPtrAPPtrA2.设n阶方阵()ijnnAa，且11nijja，i=1,2,…,n，证明A的每一个特征值的绝对值1。证明：设有AXX，12TnXxxx，并设12maxknxxxx对AXX中第k个方程1nkkjjjxax于是11nnkkjjkjjjjxaxax即有111nnjkjkjjjkxaax3.设三阶方阵1114335Axy的二重特征值2对应有两个线性无关特征向量，（1）求x与y；（2）求P，使1PAP。解：（1）因齐次方程20IAX的解空间维数为2，则矩阵2IA的秩为1而1111112202333000IAxyxxy因21rankIA故有2,2xy。（2）111242335AA的特征多项式226IA特征值122，36由20IAX，求得特征向量12110,101TT由60IAX，求得特征向量3123T于是111102013P且有1200020006PAP4.设1a与2a是nnA的两个不同特征值，且有12()()raIAraIAn证明矩阵A可对角化。证明：设12(),()rankaIArrankaIAnr对于1()0aIAX有n-r个线性无关特征向量对于2()0aIAX有r个线性无关特征向量于是矩阵A有n个线性无关特征向量，所以矩阵A可对角化。5.设3R中，3123(,,)TxxxR，线性变换T123123123123(,,)(22,22,22)TTTxxxxxxxxxxxx求一组基，使T在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。解：取3R中的一组标准基123,,，则有11123112321232123233123322122()2221222221xxxxxxTTxAxxxxxxxxxxx得线性变换T在基123,,下的矩阵122212221AA的特征多项式215IA特征值121，35由0IAX，解得特征向量12110,101TT由50IAX，解得特征向量3111T于是123111101011P，1115PAP矩阵P为从基123,,到所求基123,,的过渡矩阵，于是123123111101011P线性变换T在基123,,下的矩阵为115。6.求可逆矩阵P及J，使1PAPJ，其中211212112A解：A的特征多项式3(1)IA特征值为1231再由123111022201110xIAXxx解得特征子空间1V的一组基12110,011TT特征向量11221122Tkkkkkk由2123kIAkkk得增广矩阵121221212111111222000111000kkkkkkkkk若方程组IA有解（相容，()|rankIArankIA），则有k1=k2。取k1=k2=1，得121T由121TIA解得广义特征向量100T取1111120010P则有11111PAPJ7.设22{,,,}xxxxWLexexee为函数向量22,,,xxxxexexee生成的4维空间，T为导数变换，（1）求T在基22,,,xxxxexexee下的矩阵；（2）找一组基，使T在此基下为Jordan标准形。解：（1）dTdx，于是222222110001202200100002xxxxxxxxxxxxxxTexexeeeexexexeeexexeeT在基22,,,xxxxexexee下的矩阵1100012000100002A（2）11100011000100002PAP，10000100100020001P222123412xxxxxxxxxexexeePexexee线性变换T在基1234,,,下的矩阵为11000110001000028.在多项式空间[]nPx中，T为是[]nPx的一个导数变换，证明T在任一基下的矩阵不可对角化。证明：dTdx，于是21212210100211012(1)100100nnnndTxxxxxxxnxxxxdxn0100200100An矩阵A的特征值为120n而()1rankAn，故A仅有一个特征向量，所以A不可对角化。9.设211212112A，求100A。解：由题（6），有11111PAP，111120010P，1012001111P于是11111APP，10010011001111APP取100g1001111(1)(1)110011(1)1gggg于是100101100100200199200100100101A10.设A为n阶方阵，证明：（1）若20AAI，则A可对角化；（2）若kAI，k为大于1的整整数，则A可对角化。证明：（1）因为20AAI，则A的化零多项式2()221无重根，A的最小化零多项式可整除任意A的化零多项式，故A的最小多项式无重根，于是A可对角化。（2）因为kAI，得A的化零多项式()1k即12()1(1)(1)kkk而()0无重根，于是A的最小多项式无重根，所以矩阵A可对角化。习题三1.设212446678A（1）求A的LDV分解；（2）设(102)Tb，用LDV分解求解方程组AX=b。解：（1）212100212100212100|446010022210022210678001042301002121AI令，100210121P，则212022002PA这里矩阵P为行初等变换矩阵12PPIP，12PPAPA令212022002UPA，11100100210210121321LP于是1111002121002221002221020113210023212001ALULDV（2）由AXb得LDVXb令DVXZ，则有LZb令VXY，则有DYZ由LZb即123100121003212zzz解得123123TTzzz由DYZ即123200102020023yyy解得12313122TTyyy再由VXY即123111122011100132xxx解得123713422TTxxx2.求下列矩阵的满秩分解001(1)211,120iii1230(2)02111021解：（1）11000100100121122112112110010012000000000000iii矩阵第1列和第3列线性无关，于是满秩分解为001011102112120012020iii（2）10211230123012301102110211021101221021021100000000于是满秩分解为12301210210211021101102110223.设mnAC，A的分块为XYAZW，其中rrXC，()()rankArankXr，1WZXY，证明A有如下形式的满秩分解1()rXAIXYZ，1()rIAXYZX证明：因为()()rankArankXr，矩阵A的前r个列XZ是A的极大无关列，A的后n-r个列YW可由XZ线性表示，即YXHWZ，YXHWZH故有11|rXYXYXYXAIXYZWZZHZZXYZ1111|||rrrrXIIAIXYXIXYXYZZXZX4.阵133353664A的谱分解。解：矩阵A的特征多项式2()(2)(4)f对应特征值122的特征向量，由下述方程求得20AIX，即23333033306660xxxx解得特征向量12110,101TT对应特征值34的特征向量，由下述方程求得40AIX，即23333039306600xxxx解得特征向量3112T于是111101012P，1131222110111222P故有矩阵A的谱分解111220220404APPPPPP5.明反对称矩阵()nnTARAA和反Hermite矩阵()nnHBCBB的特征值为0和纯虚数。证明：设TAA，为矩阵A的特征值，即有AXXTTTXAXTTXAXXXTTXXXX得，所以0设HBB，为矩阵B的特征值，即有BXXHHHXBXHHXBXXXHHXXXX得，令aib则有aibaib，得0a所以为纯虚数。6.A与B为正规矩阵，证明A与B酉相似的充分必要条件是A与B的特征值相同。证明：（1）充分性设A与B为正规矩阵，且特征值相同，则对A与B分别存在酉矩阵U1和U2，使1112(,,,)HnUAUdiag2212(,,,)HnUBUdiag故有2211HHUBUUAU即21121212HHHHHHBUUAUUUUAUUUAU所以A与B相似（2）必要性设A与B相似，则有HBUAU于是HHHHIBIUAUUUUAUUIAUIA故A与B的特征值相同。7.设mnAC（1）证明HAA与HAA的非零特征值相同；（2）设HAA的非零特征值12,,,r对应的正交特征向量为12,,,r，则HAA的特征值12,,,r对应的特征向量为12,,,rAAA且它们也是正交向量组。证明：（1）取0HnmIAI，有100HHnnmmIAIAII因为1000000HHHnnHmmIAIAAAAAAIIA于是0000HHAAAAAA故有0000HmnmnHAAIIAAAA即mHnHnmIAAIAA若0，则有00HHnmIAAIAA所以HAA与HAA的非零特征值相同。（2）设,1,2,,HiiiAAir于是()()HiiiAAAA所以(1,2,,)iAir为HAA的特征向量。)()()()0,()HHHHHijijijjjijAAAAij故特征向量组为12,,,rAAA正交向量组。8.求下列矩阵的奇异值分解10(1)0111000000(2)100001解：（1）10101210101112112211312I特征值123,1，奇异值为123,1由122103120xIx解得特征向量111T122101120xIx解得特征向量211T由此得正交矩阵11221122V于是1111610112011611226u221121011201121102u设123Txxx由1u和2u，得12312200xxxxx解得111T标准化后，得3111333Tu奇异值分解为1111162310301112201011162311002122063（2）000001000010000001000000001001001231000001001I特征值121,0，奇异值为121,0由1231000000000010xIxx解得特征向量1010T1231000100000010xIxx解得特征向量23100,001TT由此得正交矩阵100001010V于是1100000001011000100100u，2100000000011000000111u设1234Txxxx由1u，2u，得3400xx解得341000,0100TTuu奇异值分解为00000101000001000001010100001100000000101001000009.证明一个正规矩阵若是三角阵，则一定是对角阵。证明：设矩阵nnAF为上三角阵，则有11121222nnnnaaaaaAa由因矩阵A为正规矩阵，则有HHAAAA即11111211112111122222222212221212nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa矩阵,HHAAAA第i行第i列元素为2121()iHiiiijijAAaa221()nHiiiiijjiAAaa得0()ijaij所以A为对角阵。10.设nnAC的奇异值是12,,,n，证明1det()niiA。证明：矩阵A的奇异值分解为12HnAUV这里,UV为n阶酉矩阵det()1U，det()1HV于是11det()det()det((,,)det()nHniiAUdiagV习题四1.1023510224iAiii，120ix，1i计算：112,,,,AAAAAxxx。解：1max3106425310Amax4102591025A2726TAiix125040Ax294Ax50Ax2.设12,,,naaa均为正实数，向量12TnnxxxRx=，证明由1221niiiaxx定义的非负实数是Rn空间的一个向量范数。证明：（1）正定性：0x，若0x，则有0x（2）齐次性：112222211nniiiiiikkaxkaxkxx（3）三角不等式：2222221111()(2)()2nnnniiiiiiiiiiiiiiiiiiaxyaxxyyaxyaxyxy2212nixiiaxyxy由Cauchy不等式，得2222221111()()()()nnnniiiiiiiiiiiiiiiaxyaxayaxayxy所以22222xyxyxyxy故有xyxy3.判别下列定义的实函数是否为mnC的矩阵范数。（1）设mnijAaC，定义实函数值,maxijijAa；（2）设mnijAaC，定义实函数值,maxijijAmna。解：（1）取110000000000ALLMMMLML，100010000000B200000000000AB1A，1B，2AB不满足相容性条件ABAB（2）正定性，齐次性，三角不等式显然满足,,,,11maxmaxmaxmaxnnikkjikkjijijijijijijkkABmsabmsabmnansbAB相容性条件满足。4.设pA是由向量px诱导的矩阵范数，A可逆，证明（1）11ppAA（2）101minpxppAxxA证明：（1）由矩阵范数相容定义，有11pppIAAAA由矩阵的诱导范数，有00maxmax1pxxIIxxxx所以11ppAA（2）111000011maxmaxmaxminyAxpppxxyppppyppAxAAAxAyyyyyy所以101minxppAAxx5.证明（1）酉矩阵U的谱范数等于1；（2）设nnAC，U，V为n阶酉矩阵，则2222UAAVUAVA。证明：（1）因HUUI，于是HUU的特征值为1所以酉矩阵的谱范数为max2()1HUUU（2）maxmax22HHHUAAUUAAAAmaxmax22HHHAVVAAVAAA2222()UAVUAVAVA6.设111210131005A，求limkkA。解：因为111235IA故1111()max12352A故有lim0kkA7.已知100210131003A（1）求证11kkkA收敛；（2）求11kkkA的收敛和。解：（1）幂级数11kkkx的收敛半径等于1，矩阵A的谱半径1()12A，故矩阵幂级数11kkkA收敛（2）由10(1)kkxx得121011,11(1)kkkkkxxxxx所以2114009270449004kkkAIA8.126103114A，求Ae，Ate，sinA。解：由31IAA的特征值1231由此得1121011110,001010113PP111111AAPJPPP对()AfAe，111111326123112AeePeePee对()AtfAe，121261313tAtttttetttePetePetttettt对()sinfAA，1sin(1)2cos1sin12cos16cos1sin(1)cos(1)cos1cos1sin13cos1sin(1)cos1cos1sin13cos1tSinAPPe9.已知A2=A，求sinA。解：设为A的特征值，0X为特征向量由22()XAXAXAAXAXX得121,0因A2=A，故有()0AAI于是()(1)g为矩阵A的化零多项式（最小多项式），且为一次银子乘积，所以A可对角化即有1rIAPP0这里()rankAr11sin1sin1sinsin00rIAPPPP011sin1sin1(sin1)rrIIPPPPA0010.求解微分方程组23110()201()0112(0)111tTXtXteX&解：232323121(9)1622159()(9)8622138ttttttteeXtteeee习题五1.设120001122A，求A解：120120001001122000AF取矩阵A的第1、3列构成列满秩矩阵B，取矩阵F第1、2行构成行满秩矩阵C101200100112ABC115211()()104230101010TTTTACCCBBB2.证明非齐次线性方程组AXb有解的充分必要条件是AAbb。证明：必要性设AXb有解，由AAAA得，()AAAXb，即有()AAbb充分性设AAbb，则有()AAbb，令0xAb，于是0Axb，故方程组Axb有解0xAb3.设mnAR，且A的n个列是标准正交的，证明TAA。证明：因为矩阵A的n个列向量是标准正交的，则矩阵A为列满秩的矩阵，且有TAAI于是()TTTAAAAA4.A是幂等且为Hermite矩阵，证明AA。证明：因为2AA，且HAA，矩阵A是正规阵，可酉相似对角阵，即rHIUAU000，U为酉矩阵，并设()rankAr于是1HHrrIIAUUUUA0000005.求线性方程组123020110210101xxx的最佳的最小二乘解。解：01012015020A最佳最小二乘解为151315125A