J-C模型非微扰约化密度矩阵主方程

第27卷第2期2005年2月武汉理工大学学报JOURNALOFWUHANIINIVERSnYOF嗍0GYVoI．27No．2Feb．2005J．C模型非微扰约化密度矩阵主方程余晓敏(暨南大学物理系，广州510632)摘要：将幺正时间演化算符推广应用到有耗散情形的二能级原子系统，将增益与耗散统一在非微扰框架内正确求解J-C模型约化密度矩阵主方程，其结果对任意激光强度都适用。关键词：J—C模型；非微扰主方程；约化密度矩阵；幺正时间演化算符中图分类号：O431文献标志码：A文章编号：1671—4431(2005)02—0093—03Non-perturbationMasterEquationfortheReducedDensityMatrixoftheJ-CModelyUXiao-min(DepartmentofPhysics，JinanUniversity，Guangzhou510632，China)Abstract：Theunitarytime-evolutionoperatormethodhasbeenusedtothetwo-levelatomsystemwiththeparticledissipa—tion．ThisapproachprovidedacompletesolutiontothemasterequationofthereduceddensitymatrixoftheJ—Cmodelinthenon-perturbationtheoryframeworkinwhichtherearethegainandthedissipation．Keywords：J-Cmodel；non-perturbationmasterequation；reduceddensitymatrix；unitarytime-evolutionoperator一直以来，J—C模型是光与物质相互作用的一个最重要可解模型。因而是光与物质相互作用全量子化理论的基础模型，由它可以建立全量子化麦克斯韦一布洛赫方程和全量子激光理论方程。由此发展，还可以研究光学混沌和若干其它问题。对于全量子激光理论，约化密度矩阵方法及其相关的主方程，由于与相干态表象的结合，一直是量子统计力学的关键主题。众所周知，量子统计中的刘维方程通常只能用微扰方法求解，由它来解答强耦合系统主方程现在还没有解决。徐躬耦曾在这方面迈出了一大步，但应该说仍是弱耦合的一个重要改进_1J。也曾有人试图采用推广拉氏变换切断近似方法改善微扰论解的结果_2J。目前，只有个别文献试图从刘维方程求解任意激光强度的约化密度矩阵主方程_3~5J，但由于这种求解方法太冗繁，通常国内外量子光学理论文著中无法论及[4-7J。作者试图提供一种新的非微扰方法，由于它的简洁，可能会对激光量子理论方法提供一个补充。J．C模型波函数的时间演化原子与光场相互作用过程波函数随时间演化可以用幺正时间演化算符描述l(t))=U(t)l(0))(1)式中，u代表双能级原子与单模量子化光场相互作用系统的幺正时间演化算符。在无耗散存在情形，系统的演化是幺正的_5J，这种近似使问题操作简单。将幺正时间演化方法推广到包含耗散系统的情形。所考虑的约化密度矩阵理论模型如下：1)问题中的增益介质是二能级原子，单位时间由泵浦源把原子激发到上能级a，粒子增加数目为rA，与此对应，下能级b粒子数增加数目为rB；2)处于粒子数反转的介质有非线性增益收稿日期：2004—09—20．作者简介：余晓敏(1971一)，女，工程师．E—mail：tyxm03@163．com维普资讯http://www.cqvip.com武汉理工大学学报20o5年2月(记G)，使光场被放大，另一方面，光场还有耗散(记D)，假定耗散机制不起重要作用；在量子理论中，处于低能级的许多二能级原子的吸收代表耗散，光场与耗散原子存在共振作用；3)假定损耗原子非常大，光场被吸收不会饱和，即热浴非常大。光的吸收对激光影响不大。由于增益介质与耗散的热浴都是二能级系统，所以可以用相同的方法计算增益和耗散。式(1)中U算符的时间演化方程为ihdU=白FAu(r)(2)̂A式中，HFA代表J—C哈密顿量HFA=hg(aa++n一)(3)g为光场与双能级原子相互作用常数。为了考虑系统的耗散作用，将U矩阵推广为U(t+r)=ell(t+r)ln)(nI+C12(t+r)e—iIn)(bl+f21(t+r)eIb)(nI+c22(t+r)Ib)(6I(4)应用式(2)～式(4)，得到方程组llIn，)+c‘21ei口Ib，)=一ig√[flllb，+1)+f21In，)](5)22Ib，)+c‘12e一ln，)=一ig√[f22In，一1)+f12Ib，)](6)对式(5)分别作用(n，和l(6，+1l，求解微分方程组，得fl(t+r)=A1(t)sin+1gr+A2(t)COS+1grf21(t+r)=i[A1(t)COS+1gr—A2(t)sin+1gr]初始条件r=0，只有ln)(nl态，不存在lb)(bl态，因而Cll(t)=1，C21(t)=0，由此得：A1=0，A2=1。因此f11(t+r)=COS~／+1gr，f21(t+r)=一isin~／+1gr。类似上面方法对式(6)分别作用(6，l和(n，一1l，并应用初始条件r=0，C12(t)=1，C22(t)=0最后解得：C2(t+r)=一isin~／ngr，c12(t+r)=cos~／ngr。考虑上述结果，l(t))在增益过程的时间演化，利用式(4)，得I(￡+r))‘G)=u(t+r)I(￡))‘G)=u(t+r)∑f(￡)In，)=∑[f(t)cos丽grln，)一ic(t)sin丽Ib，+1)]n=0由此f。．(t+r)=(n，nI(t+r))=f(t)COS~／n+1gr(7)f6．+1(t+r)=(b，+1l(t+r))=一ic(t)sin~／+1gr(8)与此对应，l(t))在耗散过程的时间演化l(￡+r))‘D)=U(t+r)l(￡))(D)=U(t+r)f(t)Ib，)I(￡+r))‘D)=∑[f(t)cosf-ngrln，一1)一ic(t)sinf-ngrIb，)]n=0因此fⅡ．(t+r)=c+1(t)COS~／+1gr(9)Cb．(t+r)=一ic(t)sin√ngr(10)2非微扰约化密度矩阵主方程用F表示光场，A表示原子，则光场的约化密度矩阵IDF表示为IDF=Tr(AIDF_A，式中，Tr(A)代表对原子求矩阵迹。由于原子在快弛豫时间内，光场振幅来不及变化，IDF(to)≈IDF(t)=ID(t)。根据约化密度矩阵元定义(t)=P(t)Cm(t)(11)式中，代表投影算符，而(￡)由增益(G)和耗散(D)两部分贡献构成，(￡)=(￡)+(￡)。首先考虑增益成分，在t～(t+r)时间间隔内，一个原子对光场贡献印(t)=，(t+r)+，(t+r)一Prim(￡)。由于原子存在自发辐射衰减，若T=t—to=1／v，则rAAt个原子在此间隔内对光场的增益贡献为(￡)=rAve一[，(￡+r)+，6，l(￡+r)一P捌(￡)]dr(12)维普资讯http://www.cqvip.com第27卷第2期余晓敏：J-C模型非微扰约化密度矩阵主方程95应用式(7)、式(8)和式(11)，得[(t+r)+，(t+r)]G)=P(t)COS~／+1grcos+1gr+一1，一1(t)sin~／ngrsinmgr(13)式(13)代入式(12)，完成积分得’(￡)=一jlD(￡)+j：：~n-l,m-1(￡)式中A=2rA(g／v)B=8rA(g／v)，．A=2A／B=吉(+1++1)+N二=1(+1++1)+吉再考虑耗散成分。用相同程序处理，令，．B代表由于损耗单位时间原子损耗数目，则t～t+r间隔内，rBAt个原子引起光场耗散贡献为△lD’(t)=一7)e一印(t)rBAt。因此，’(t)=，．BI7)e一[(￡)一(￡+r)一，(￡+r)](dr。应用式(9)、式(10)，最后求得(￡)：式中C—一～1+1(t)一—_L—————一十，m+—————————一1+N(D／C)1+N一1。一1(D／C)2rB(g／v)D=8rB(g／v)B=2C／D=吉(+++1)+最后，光场约化密度矩阵主方程表示成3讨论塑at1+N一1．一1(t)=吉(+++1)+吉将幺正算符方法推广应用到有耗散情形的二能级原子系统，将增益与耗散统一在非微扰处理框架内正确求解J—C模型约化密度矩阵主方程，在增益情形，某一瞬时fb，)损失一个光子变成fb，一1)，从而fa)态获得一个光子变成fn，)，相应，(t)一_l'一1(t+r)，而(t)一lD(t+r)，显然’(t)中正确表示上述增益过程。而在损耗情形，某一瞬时la，)由于损失一个光子变成fa，一1)，从而fb)态获得一个光子变成{b，>，相应，(t)一(t+r)，而⋯(t)一+1，+1(t+r)，可见’(t)中正确表示上述过程。若(+1)<<1，m=，方程退化成=一(+1)A[1一(+1)]+nA(1一)_1'一1一Pn+(+1)+1'+1此处／Q=C，这即是通常四阶微扰理论近似的结果。若=m，Nn=N栅=+1，方程式(14)变成a(+1)A．一丽n十这正是强激光场的结果。丛1+(B／A)参考文献p．-一一苦n+苦(+1)m+1，n1fD十十fDI，1[1]徐躬耦．耦合系统主方程[J]．兰州大学学报(自然科学版)，1978，1(1)：1～8．[2]余超凡．开放系统量子统计主方程的推广拉氏变换切断近似解法途径[J]．数学物理学报，1990，10(3)：241～248．[3]BelesuR．EquilibriumandNon—equilibriumStatisticalMechanics[M]．NewYork：JohnWiley&Sons，1978．523-526[4]HakenH．L,aserTheory[M]．Berlin：Springer-verlay，1984．272-290．[5]WalsDF，MilbumGJ．QuantumOptics[M]．Berlin：Springer-verlag，1998．91-97．[6]SculyMO，ZubariryMS．QuantumOptics[M]．London-CambridgeUniversity，1997．327～336．[7]李福利．高等激光物理学[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，1992．353-368．维普资讯http://www.cqvip.com