第4章希尔伯特空间

，，1）定义（内积空间）设U是数域K（实或复数域）上的线性空间，若，存在唯一的数，满足下列三条（内积公理）：①对第一变元的线性性：②共轭对称性：③正定性：，则称为的内积，U为内积空间。_1251489924.unknown_1251491065.unknown_1251652037.unknown_1251652069.unknown_1251491050.unknown_1251489820.unknown_1251489899.unknown_1251489312.unknown§4.1内积空间和Hilbert空间当K是实数域时，称U为实内积空间；K为复数域时，称U为复内积空间。通常U指的是复内积空间。当U为内积空间时，推得：有①②_1283179589.unknown_1283179652.unknown_1283179499.unknown2）内积空间中的范数在内积空间U中，若令，即可验证满足范数的三条公理，故U是按内积导出的赋范线性空间。进一步也可由范数导出距离，则U也是距离空间。_1251492640.unknown_1251677819.unknown_1251491447.unknown引理（柯西—许瓦兹不等式Cauchy—Schwarz）：，有_1251649742.unknown_1254390732.unknown验证满足范数的三条公理。①显然②③因为故_1251492577.unknown_1251649350.unknown_1251649642.unknown_1251649685.unknown_1251649604.unknown_1251649288.unknown_1251491447.unknown3）内积空间的性质（1）在内积空间U中，按内积导出的范数满足平行四边形公式_1251572516.unknown证明：_1251629588.unknown（2）判别定理若赋范线性空间X的范数满足平行四边形公式，则X可成为内积空间。_1251572516.unknown_1251615345.unknown证：①当X为实赋范线性空间时，定义则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；_1251573531.unknown②当X为复赋范线性空间时，定义则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。_1251573960.unknown注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。（3）内积的连续性在内积空间U中，内积是两个变元的连函数，即当（按范数）时，数列_1251574757.unknown_1251574782.unknown_1251574837.unknown_1251574740.unknown4）希尔伯特（Hilbert）空间定义完备的内积空间U称为Hilbert空间，记作H（即内积空间U按距离是完备的，亦是Banach空间）_1251575152.unknown5）举例例1在——n维（实或复数）向量空间中，，定义内积（满足三条公理）范数，则按范数是完备的内积空间，即Hilbert空间。_1251678074.unknown_1251678104.unknown_1251678266.unknown_1251677972.unknown特别的，在Rn中，内积，范数。_1251678167.unknown_1251678184.unknown例2在中，，定义内积（满足三条公理）范数，则按范数是完备的内积空间。若为复值函数，则定义内积（满足三条公理）_1251576220.unknown_1251615789.unknown_1251615884.unknown_1251615685.unknown_1249543796.unknown第3章绪论第1页共1页例3在中，，定义内积（满足三条公理）范数，则是Hilbert空间。_1251576844.unknown_1251577107.unknown_1251630460.unknown_1251577051.unknown_1251576777.unknown例4是按范数不是内积空间（因为不满足平行四边形公式）。_1249543012.unknown_1250415243.unknown1)定义（正交性）设U是内积空间，_1251577839.unknown§4.2正交分解与投影定理（2）若，称x与正交，记作；_1283102136.unknown_1283102142.unknown_1283102126.unknown（3）若，称M与N正交，记作；_1251578136.unknown_1251578176.unknown（1）若，称与正交，记作；_1251577947.unknown_1251577978.unknown_1251577984.unknown_1251577891.unknown（4）U中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补，记作，即。_1251578415.unknown_1252410082.unknown（5）设M为U的线性子空间，，使得（*）则称为x在M上的正交投影，（*）式称为x关于M的正交分解。_1251578665.unknown_1251578740.unknown_1251578649.unknown2)性质（1）设U是内积空间，，则称为“商高定理”，即勾股定理。_1251579511.unknown_1251579559.unknown（2）设L是内积空间U中的一个稠密子集，，若，则x=0（零元素）。_1251579793.unknown_1251579809.unknown（3）设U是内积空间，，则为U的闭线性子空间。_1251580013.unknown_1252180272.unknown（4）设U是内积空间，为线性子空间，若x0为x在M上的投影，则（**）而且x0是M中使（**）成立的唯一点。（说明x0是M中逼近x的最好元）_1251579332.unknown_1251580089.unknown3）投影定理设M是Hilbert空间中闭（完备）线性子空间，则，必存在唯一的，使得_1251635262.unknown_1251635273.unknown_1251635242.unknown注：完备子空间一定是闭子空间，反之不成立；完备空间的闭子空间一定是完备子空间；有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。问：当U、M满足什么条件时，在M中有投影？_1251889612.unknown问题：如何求U中x在M中的投影x0？推广：当M是内积空间U的完备线性子空间时，定理仍然成立。在R3中，是三个相互正交的单位向量，则对于，有唯一分解，其中（由正交性可得），即通过正交性可得到的唯一分解达式。同样在内积空间U中，由正交性也可以将U中的元素表示为唯一分解的形式，这将十分有意义。_1251606716.unknown_1251606889.unknown_1251606951.unknown_1251606745.unknown_1251606544.unknown§4.3广义Fourier分析1)正交系及正交系（1）定义设在U空间中有一组非零的元素列（或点列），①若，则称为正交系；②若，则称为规范正交系（或正交系）。_1251607450.unknown_1251607572.unknown_1251607288.unknown注：规范正交系中任一有限组线性无关。_1251610296.unknown_1252147972.unknown例1在Rn中，元素组EMBEDEquation.DSMT4为Rn中的规范正交系。_1251607763.unknown_1251607771.unknown例2在l2中，元素列按内积为规范正交系。_1251607951.unknown_1251678960.unknown例3在中，若规定内积，则三角函数系是中的规范正交系。_1251608866.unknown_1251631409.unknown_1251608603.unknown在中，若规定内积则三角函数系是中的规范正交系。_1251609046.unknown_1251609076.unknown_1251631436.unknown_1251608979.unknown（2）规范正交化定理（Gram—Schmidt）格拉姆-施密特设是U中的任一线性无关元素组，则通过Schmidt正交化可以构造一组规范正交系。构造方法如下：_1251611827.unknown_1251804970.unknown_1251805051.unknown……………………………….……………………………….由此得到为U中的一个规范正交系。_1251805172.unknown_1251890970.unknown_1251805115.unknown例（勒让德Legendre多项式）在[-1,1]上连续实值函数的全体C[-1,1]按内积构成一实内积空间U。U的完备化空间为实Hilbert空间L2[-1,1]。_1283102613.unknown在C[-1,1]中构造一个正交系如下：令，则是线性无关的。_1251612301.unknown_1251612452.unknown取，取，类似的，其中称为n阶的Legendre多项式。而是L2[-1,1]中的规范正交系。_1251612957.unknown_1251613012.unknown_1252234052.unknown_1252265745.unknown_1252149263.unknown_1251612970.unknown_1251612636.unknown的前六项为_1251699448.unknown_1251699493.unknown_1251699648.unknown_1252326418.unknown_1251699545.unknown_1251699479.unknown_1251613145.unknown（3）性质①设是U中的规范正交系，则对于，x在M上的投影，并且_1251613440.unknown_1252234240.unknown_1252234272.unknown_1251697173.unknown_1251609298.unknown通常称为Bessel不等式。即x在M上的投影x0的长度。_1251611630.unknown_1251697402.unknown推广：设是U中的规范正交系，则，有_1251782370.unknown_1252265784.unknown_1251782347.unknown②最佳逼近定理设是U中的规范正交系,，则对于任意一组数，恒有（***）_1251613314.unknown_1251613342.unknown_1251892886.unknown_1251609298.unknown证：设，则x在M上的投影为又由投影性质知_1251613423.unknown_1251613521.unknown_1251609577.unknown该定理说明：U中的任意元x，当用作有限维线性组合去逼近时，以为最好逼近元，其中线性组合系数称为Fourier系数。可见在有限维线性子空间M中求U中x的最佳逼近元等同于求投影。称为x关于的广义Fourier级数_1251609577.unknown_1251792304.unknown_1252233342.unknown_1251789841.unknown_1251609298.unknown问题：如何在无限维空间中求U中x的最佳逼近元？_1251892942.unknown2)规范正交系的完全性及完备性（1）定义设是内积空间U中的规范正交系①若对于,当且仅当时，（即），则称是完全的；②若对于,都有则称是完备的。此式称为巴塞弗（Parseval）等式，也称为广义“商高定理”_1251834630.unknown_1252149781.unknown_1252218332.unknown_1252218363.unknown_1252218440.unknown_1252149792.unknown_1251834874.unknown_1251804039.unknown_1251804116.unknown_1251783699.unknown（2）性质定理1设是H空间中的规范正交系，则下列四个命题等价①是完全规范正交系②设③对,Parseval公式成立（即在H中规范正交性的完全性与完备性等价，但在U中不成立）④对于，有_1251783699.unknown_1251804825.unknown_1252410233.unknown_1283778611.unknown_1251785075.unknown_1251783188.unknown定理2H空间中任意两个完全规范正交系和具有相同的基（即之间存在一一对应的关系）。_1252150295.unknown_1252150303.unknown_1251786146.unknown定理3无穷维H空间可分的H中存在完全规范正交系。证明：由于H可分，则在H中存在稠密的可列子集，在L中选出线性无关的子列，再经过规范正交化方法得到规范正交系。见参考，李老师，77页_1251787013.unknown_1251787212.unknown_1251787258.unknown_1252233008.unknown_1251787055.unknown_1251786724.unknown定理4无穷维可分的H空间必与l2空间线性及内积同构。即：存在H到l2的一一映射，使其保持线性运算及内积相等。_1251787963.unknown_1252151491.unknown例如：可取，则是由H到l2的一一映射，并且H与l2线性及内积同构。_1251787963.unknown_1251893319.unknown特别的，当H中的完全规范正交系为有限集时，则H与Rn同构，可取映射_1251788590.unknown_1252266035.unknown由此可知，欧氏空间Rn可看作有限维H空间的模型，平方可和空间l2可以看作无限维H空间的模型。从而把对可分的H空间的研究转化为对Rn或l2的研究。例如：是是可分的H空间，要研究中的函数，只要研究该函数的傅立叶系数就够了。_1251608603.unknown3)H空间的傅立叶Fourier分析（1）H空间的Fourier级数——最佳逼近定理的推广设是H空间中的完全规范正交系，则对于，有_1251785108.unknown_1251835401.unknown_1251785075.unknown该式称为x关于的广义Fourier级数。称为x关于的Fourier系数。其几何意义：x等于它的各分量的向量之和。_1251789874.unknown_1251790462.unknown_1251789841.unknown注：等同于级数收敛于x。即部分和序列：当，即得_1251894441.unknown_1251894622.unknown_1251894668.unknown_1251785108.unknown（2）例1在中，取元素列则对于，有就是中的一个广义Fourier级数，其中广义Fourier系数EMBEDEquation.DSMT4是x的第i个分量坐标。_1251832183.unknown_1251832515.unknown_1251894784.unknown_1252266289.unknown_1251832508.unknown_1251823522.unknown例2在中，若规定内积则三角函数系是中的规范正交系，并且是完全的规范正交系。因而，对于，_1251609046.unknown_1251632057.unknown_1251833687.unknown_1252266137.unknown_1251832880.unknown_1251609076.unknown_1251608979.unknown其中_1251833572.unknown_1251833607.unknown精品课件！精品课件！