中职数学拓展模块全册教案精编【配套高教版教材】

高教版中职数学拓展模块全册目录 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一） 1 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二） 8 1.2　正弦型函数（一） 15 1.2　正弦型函数（二） 20 1.2　正弦型函数（三） 29 1.3　正弦定理与余弦定理（一） 35 1.3　正弦定理与余弦定理（二） 41 1.3　正弦定理与余弦定理（三） 46 2．1椭圆（一） 51 2．1椭圆（二） 58 2．2双曲线（一） 66 2．2双曲线（二） 73 2．3抛物线（一） 81 2．3抛物线（二） 89 3．1排列与组合（一） 95 3．1　排列与组合（二） 102 3．1排列与组合（三） 108 3．2　二项式定理 113 3．3　离散型随机变量及其分布（一） 119 3．3　离散型随机变量及其分布（二） 126 3．4二项分布（一） 132 3．4二项分布（二） 137 3．5正态分布 1441．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到，然后提出如何计算的问题．利用矢量论证的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式的推导过程是，首先反向应用例3中的结论，然后再利用公式，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将看做整体，这样才能应用公式．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式和公式相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角和角以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用求解，还可以利用求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识，这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式．*创设情境兴趣导入问题我们知道，显然由此可知介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果05*动脑思考探索新知在单位圆（如图）中，设向量、与x轴正半轴的夹角分别为和，则点A（），点B（）．因此向量，向量，且,．于是，又，所以．（1）又（2）利用诱导公式可以证明，(1)、(2)两式对任意角都成立（证明略）．由此得到两角和与差的余弦公式（1.1）　　（1.2）公式（１.１）反映了的余弦函数与，的三角函数值之间的关系；公式（１.2）反映了的余弦函数与，的三角函数值之间的关系．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆启发引导学生发现解决问题的方法15*巩固知识典型例题例1　求的值．分析可利用公式（1.1），将75°角看作45°角与30°角之和．解　例2　设并且和都是锐角，求的值．分析可以利用公式（1.1），但是需要首先求出与的值．解　因为，，并且和都是锐角，所以，，因此，.例3　分别用或，示与.解=故．令,则,代入上式得即.引领讲解说明引领分析说明启发引导启发分析观察思考主动求解观察思考理解口答注意观察学生是否理解知识点学生自我发现归纳25*运用知识强化练习1．求的值.2．求的值．提问巡视指导动手求解及时了解知识掌握情况35*动脑思考探索新知由于=．对于任意角都成立，所以..由此得到，两角和与差的正弦公式(1.3)(1.4)总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆启发引导学生发现解决问题的方法40*巩固知识典型例题例4求的值.分析可以利用公式（1.1），将15°角可以看作是60°角与45°角之差．解．例5求的值．分析所给的式子恰好是公式右边的形式，可以考虑逆向使用公式．解=．例6求证．证1右边= = ==左边．故原式成立．证2左边====右边．故原式成立．引领讲解说明引领分析说明观察思考主动求解观察思考理解注意观察学生是否理解知识点学生自我发现归纳55*运用知识强化练习1．求的值．2．求的值．3．求的值.提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况65*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：两角和与差的余弦公式及正弦公式内容分别是什么？结论：两角和与差的余弦公式（1.1）（1.2）两角和与差的正弦公式(1.3)(1.4)质疑归纳强调小组讨论回答理解强化师生共同归纳强调重点突破难点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知，且＜＜，求的值．提问巡视指导反思动手求解培养学生总结反思学习过程的能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）(3)实践调查：用两角和与差的余弦公式或正弦公式印证一组诱导公式说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正切公式，了解二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】考虑到学生继续学习的需求，介绍两角和与差的正切公式。例7是应用两角和正切公式的基本题目．例8的两道题目，对学生来说是比较困难的，但是这两道题目是非常关键的．要以他们为载体，提升学生的数学思维能力．对例8（2），要引导学生思考，将两个地方的1用替换，就可以利用两角和正切公式了．本例题所使用的方法，在三角式变形中经常使用．明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用和利用的三类公式可供选择．选用公式的主要原因是考虑到是已知量．例10中，讨论角的范围是因为利用同角三角函数关系求时需要开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求时，利用了升幂公式，由讨论角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式．*创设情境兴趣导入问题两角和的余弦公式内容是什么？两角和的余弦公式内容是什么？介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果05*动脑思考探索新知由同角三角函数关系，知，当时，得到（1.5） 利用诱导公式可以得到（1.6）注意在两角和与差的正切公式中，的取值应使式子的左右两端都有意义．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆启发引导学生发现解决问题的方法15*巩固知识典型例题例7求的值，分析可以将75°角看作30°角与45°角的和．解．例8求下列各式的值（1）；（2）．分析（1）题可以逆用公式（1.3）；（2）题可以利用进行转换．解（1）；（2）．【小提示】例4（2）中，将1写成，从而使得三角式可以应用公式．要注意应用这种变形方法来解决问题．引领讲解说明引领分析说明启发引导启发分析观察思考主动求解观察思考理解口答注意观察学生是否理解知识点学生自我发现归纳25*运用知识强化练习1．求的值．2．求的值．3．求的值．提问巡视指导动手求解及时了解知识掌握情况35*动脑思考探索新知在公式（1.3）中，令，可以得到二倍角的正弦公式．即　　　　　　　　　　　(1.7)同理，公式（1.1）中，令，可以得到二倍角的余弦公式　　　　　　　　　(1.8)因为，所以公式(1.8)又可以变形为，　　或　　.还可以变形为，或.在公式（1.5）中，令，可以得到二倍角的正切公式（1.9）公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的应用．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆启发引导学生发现解决问题的方法40*巩固知识典型例题例9　已知，且为第二象限的角，求、的值．解　因为α为第二象限的角，所以，故　　　　　，　　　　．例10已知，且，求、的值．分析与，与之间都是具有二倍关系的角．解由知，所以，故． 由于，且．所以．【注意】 使用公式（1.8）的变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围． 例11求证． 证明右边==右边．引领讲解说明引领分析说明引领讲解说明观察思考主动求解观察思考理解思考主动求解注意观察学生是否理解知识点学生自我发现归纳55*运用知识强化练习1．已知且为第一象限的角，求、．2．已知，且求．3．求下列各式的值（1）；（2）．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况65*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：两角和与差的正切公式内容是什么？二倍角公式内容分别是什么？结论：两角和与差的正切公式（1.5）（1.6）二倍角的正弦公式　　　　　　　　　(1.7)二倍角的余弦公式　　　　　　　(1.8)二倍角的正切公式（1.9）质疑归纳强调小组讨论回答理解强化师生共同归纳强调重点突破难点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？求的值．提问巡视指导反思动手求解培养学生总结反思学习过程的能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）(3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1.2　正弦型函数（一）【教学目标】知识目标：掌握正弦型函数的性质．能力目标：（1）通过三角计算的学习，培养学生的计算技能与计算工具使用技能．（2）通过应用举例的学习与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期．【教学难点】利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期．【教学设计】本节课的教学重点是正弦型函数的性质的理解与应用，教材主要研究的正弦型函数的周期性．研究正弦型函数的周期性时，教材利用具体的正弦型函数进行研究，令，则．函数的周期为，即Z的值每隔，函数值重复出现，也就是的值每隔，函数值重复出现。由此看到x的值每隔，函数值重复出现。由此得到函数的周期为．恰好具有关系．然后进行拓展，指出正弦型函数的周期．这种处理方法，降低了难度，方便教学．讲解这部分内容时，注意“变量替换”的运用，讲清利用“变量替换”的手段进行化归的思想，以利于通过各个部分内容的教学，使得学生切实掌握这个重要的数学思维方法．例1介绍了求正弦型函数的最值及相应的角的取值的方法．解题过程中设出了新变量的目的是突出、强化“变量替换”，熟练之后，可以省略设新变量的过程，将看做一个整体，直接写出取得最大（小）值时的角．例1是求正弦型函数周期的训练题．一般地，研究周期函数的和与积的周期比较复杂，不过多介绍．由运算结果可以看出，函数的周期，既不与函数的周期相同，又有不与函数的周期相同．例题给学生一个解题思路：这类问题，都要利用三角公式转化为正弦型函数来进行研究．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1.2正弦型函数．*创设情境兴趣导入我们已经学习了正弦函数和余弦函数．在物理、电工和工程技术中，经常遇到形如的函数，这类函数叫做正弦型函数．介绍播放课件质疑了解观看课件思考学生自然的走向知识点015*动脑思考探索新知我们首先讨论正弦型函数的周期．观察正弦型函数．令，则，．由于函数（）的周期是，故 所以，正弦型函数的周期为．恰好具有关系．在正弦型函数中，令,则,一般地，可以证明，正弦型函数的定义域为R，周期为.总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生总结30*巩固知识典型例题例1求函数的周期．解由于， 故函数的周期为．【小提示】利用公式（1.3）将函数化成正弦型函数的形式，是确定函数周期的关键．引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会50*运用知识强化练习指出下列各函数的周期（1）；（2）；（3）； （4）.提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握得情况60*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：填空：正弦型函数的定义域为，周期为.结论：正弦型函数的定义域为R，周期为.质疑归纳强调小组讨论回答理解强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？求函数的周期.提问巡视指导反思动手求解检验学习效果80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习指导1．2（选做）说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1.2　正弦型函数（二）【教学目标】知识目标：了解正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系，会利用“五点法”作出正弦型函数的图像．能力目标：通过正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系，学生数形结合的能力得到强化．【教学重点】利用“五点法”作出正弦型函数的图像．【教学难点】正弦型函数与正弦函数的图像之间的关系．【教学设计】正弦型函数的图像叫做正弦型曲线．作图的基本方法是“描点法”.例2是由作正弦曲线出发，每次增加一个系数，利用“描点法”作出各函数的图像．列表的过程中蕴含着变量替换的思想．将这四条曲线放到同一个坐标系中，可以看到它们之间的相互关联，从而，推广得到结论。这种变换的介绍，对提高学生的数学思维能力和培养数形结合的习惯是大有帮助的．熟练之后，如果要求做出一个周期内的正弦曲线，可以直接描出五个点：，，，，．用光滑的曲线连接得到曲线．例3的作图就采用了这样的方法．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1.2正弦型函数．*创设情境兴趣导入正弦型函数的图像叫做正弦曲线，下面我们用“五点法”作图来研究正弦型曲线．先来看一道例题．介绍播放课件质疑了解观看课件思考学生自然的走向知识点05*巩固知识典型例题例2利用“五点法”作出下列各函数一个周期内的图像．（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）函数的周期为．列表0010-10以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在一个周期内的图像（如图1－2）．图1－2（2）函数的周期为．列表020010－10以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在一个周期内的图像（如图1－3）．图1－3（3）函数的周期为．列表0010－10以表中每组对应的x,y值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在一个周期内的图像（如图1－4）．图1－4（4）函数的周期为．列表0010－10020－20以表中每组对应的x，y值为坐标，描出点，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在一个周期内的图像（如图1－5）．图1－5将例2中的四条曲线，放到同一个坐标系中（如图1－6），可以看到将正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可以得到正弦型曲线y=sin2x；将正弦型曲线y=sin2x向左平移个单位，可以得到正弦型曲线；将正弦型曲线的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，可以得到正弦型曲线图1－6引领讲解说明引领引领讲解说明引领讲解说明讲解说明观察思考主动求解观察观察思考主动求解观察通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点通过例题进一步领会35*动脑思考探索新知一般地，函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0）可以看作由下面的方法得到： 首先将正弦曲线上的所有点的坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）；然后把所得的曲线向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动个单位；最后把所得曲线上的所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）．这个过程用框图表示（如图1－7）为图1－7一般地，我们做一个周期的正弦型曲线简图时，由于时，．故将点作为起点，终点坐标为（T为周期）．这样一个周期内正弦型曲线的五个关键点依次为，，，，．这个结论可以通过列表得到．熟练以后，可以直接写出五个关键点的坐标，利用“描点法”作图．总结归纳思考理解记忆带领学生总结45*巩固知识典型例题例3　利用“五点法”作出正弦型曲线，并指出曲线经过怎样的步骤可以由正弦曲线得到． 解正弦型函数的周期为，，．故五个关键点的坐标为，，，，． 用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数在一个周期内的图像（如图1－8）．图1－8 函数可以看作由下面的方法得到： 首先将正弦曲线y=sinx上的所有点的坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；然后把所得的曲线向右平行移动个单位；最后把所得曲线上的所有点的纵坐标伸长到原来的1.5倍（横坐标不变）．引领讲解说明引领观察思考主动求解观察通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点55*运用知识强化练习作出正弦型曲线．提问巡视指导动手求解了解学生知识掌握情况65*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：一个周期内正弦型曲线的五个关键点依次为什么？结论：一个周期内正弦型曲线的五个关键点依次为，，，，．质疑归纳强调小组讨论回答理解强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？指出由正弦曲线y=sinx经过怎样的步骤可以得到正弦型曲线．提问巡视指导反思动手求解检验学习效果80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习指导1．2（选做）(3)实践调查：“五点法”做一个正弦交流电在一个周期内的图像．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1.2　正弦型函数（三）【教学目标】知识目标：理解正弦型函数的性质，理解正弦型函数的系数、、的意义，会求正弦型函数的最值及相应的角的取值，了解正弦型函数的应用．能力目标：通过正弦型函数的性质的理解与应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】正弦型函数的性质的理解与应用．【教学难点】由已知的正弦型曲线写出对应的正弦型函数解析式．【教学设计】在物理中常用正弦型函数（其中，）表示振动量，A表示这个量振动时离开平衡位置的做大距离，所以通常把A叫做振动的振幅，函数的最大值，最小值；往复振动一次所需要的时间叫做这个振动的周期．单位时间内往复振动的次数叫做振动的频率．叫做相位，时的相位叫做初相．要正确认识正弦型函数的系数、、对函数图像（包括形状和位置）的影响．例题4是将三角式化成正弦型函数，然后求其周期与最值问题．例4中各项的系数是特殊数，提出数2后它们恰好分别为与，可以方便地利用两角和的正弦公式将其化成正弦型函数．一般地，将函数化为的形式时，利用和的值可以构造一个角，使其可以使用两角和与差的正弦公式．为了简单起见，设，则点是第一象限的点．设则．于是．如果不满足，那么角的值可以由确定（角所在的象限与点所在的象限相同）．例5是已知一个周期内的正弦型曲线，写出正弦型函数的解析式．其实质是求出系数、、，关键是理解周期的意义及函数图像起点坐标的特征．数形结合地讲清楚，一个周期内的正弦型曲线，其终点的横坐标与起点的横坐标之差就是函数的周期．常用的解题顺序一般为：求A→求→求．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1.2正弦型函数．*动脑思考探索新知 在物理中常用正弦型函数（其中）表示震动量，A表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，所以通常把A叫做振动的振幅，函数的最大值，最小值；往复振动一次所需要的时间叫做这个振动的周期．单位时间内往复振动的次数叫做振动的频率．叫做相位，时的相位叫做初相．介绍播放课件质疑了解观看课件思考学生自然的走向知识点015*巩固知识典型例题 例4　指出函数的周期,振幅及频率，并指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值.解由于．故，函数的周期为π，振幅为2，频率为．当，即时，函数有最大值，最大值为2；当，即时，有最小值，最小值为－2.【小提示】 一般地,研究函数（）时,首先要把函数转化为的形式．考察以为坐标的点(如图)，设以为终边的角为，则图1－8于是即．角θ的值可以由确定（角θ所在的象限与点P所在的象限相同）．引领讲解说明引领总结归纳观察思考主动求解观察思考理解记忆通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点带领学生总结45*巩固知识典型例题例5　一个周期的正弦曲线如图1－9所示，求函数的解析式．图1－9解观察曲线知A=2．由于，所以函数的周期为4π．故．由于起点为，故，解得．所以函数解析式为．引领讲解说明引领观察思考主动求解观察通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点60*运用知识强化练习指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况70*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：简述正弦型函数在物理学中的应用．结论：在物理中常用正弦型函数（其中）表示震动量，A表示这个量振动时离开平衡位置的做大距离，所以通常把A叫做振动的振幅，函数的最大值，最小值；往复振动一次所需要的时间叫做这个振动的周期．单位时间内往复振动的次数叫做振动的频率．叫做相位，时的相位叫做初相．质疑归纳强调小组讨论回答理解强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？指出当角x取何值时函数取得最大值和最小值．提问巡视指导反思动手求解检验学习效果80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．2（必做）；学习指导1．2（选做）(3)实践调查：正弦型函数在物理学中的应用．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1.3　正弦定理与余弦定理（一）【教学目标】知识目标：理解正弦定理．能力目标：通过应用举例的学习与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】正弦定理及其应用．【教学难点】已知两边和其中一边的对角解斜三角形．．【教学设计】采用从研究直角三角形出发得到量之间的关系，再利用平面几何的知识将这种关系推广到斜三角形中．这样的知识处理难度低，学生容易接受．正弦定理可以解决下面两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两个角和一边，求三角形其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求三角形其他的边和角．教材安排了3道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，涉及了需要进行讨论地方，介绍了讨论的方法和讨论两种结果．理解在三角形中，“大边对大角，小边对小角”是讨论的基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1.3正弦定理与余弦定理．*创设情境兴趣导入我们知道，在直角三角形ABC（如图1-11）,即由于C=90°,所以sinC=1，于是.所以.介绍播放课件质疑了解观看课件思考学生自然的走向知识点010*动脑思考探索新知在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？在锐角三角形ABC(图1－12（1）)中，作CD⊥AB于D，则CD=bsinA，CD=asinB，于是bsinA=asinB，即同理有故在钝角三角形ABC中，不妨设C为钝角(图1－12（2）)，作BD⊥AC于D，则BD=csinA，BD=asin（180°－C）=asinC．同样可以得到．图1－12于是得到正弦定理：在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.即(1.10)利用正弦定理可以解决下列解三角形的问题：（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边.详细分析讲解总结归纳详细分析讲解思考理解记忆理解记忆带领学生总结30*巩固知识典型例题例1在△ABC中，已知B=30°，C=135°，c=6，求b.分析这是已知三角形的两个角和一边，求其它边的问题，可以直接应用正弦定理．解由于，所以．例2　已知在△ABC中，求B．分析这是已知三角形的两边和一边的对角，求其它角边的问题，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角．解由于，所以．由b＞a，知B＞A，故30°＜B＜180°，所以B=45°或B=135°．例3已知在△ABC中，求B．解．由于，所以，即，所以．【注意】已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误.引领讲解说明引领讲解说明引领讲解说明观察思考主动求解观察观察思考主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点45*运用知识强化练习1．已知△ABC中，c=5，B=30°，C=135°，求b.2.已知△ABC中，a=10，B=30°，C=120°，.求c．提问巡视指导动手求解了解学生知识掌握情况55*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：正弦定理的内容：结论：正弦定理：质疑归纳强调小组讨论回答理解强化强调重点突破难点60*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆70*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知△ABC中，，求B．提问巡视指导反思动手求解检验学习效果85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．3（必做）；学习指导1．3（选做）(3)实践调查：编写一道有关正弦定理的习题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1.3　正弦定理与余弦定理（二）【教学目标】知识目标：理解余弦定理．能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力．【教学重点】余弦定理及其应用．【教学难点】余弦定理及其应用．【教学设计】余弦定理是勾股定理的推广．在余弦定理的每个等式中，各包含了四个不同的量，它们分别是三角形的三条边和一个角．这样，已知其中三个量，就可以求出第四个量．因此，利用余弦定理可以解决两类解三角形的问题：（1）已知两边及夹角，求第三边；（2）已知三边，求各角．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边求角的示例．由于余弦函数在区间内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1.3正弦定理与余弦定理．*创设情境兴趣导入问题：如果知道三角形的两条边及它们的夹角，如何求第三条边呢？介绍质疑了解思考学生自然的走向知识点05*动脑思考探索新知在三角形ABC中（如图1－13），作CD⊥AB于D，则 即．同理可得可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍.即（1.11）显然，当C=90°时，有．这就是说，勾股定理是余弦定理的特例．公式（1.11）经变形后可以写成（1．12）利用余弦定理可以解决下列解三角形的问题：（1）已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.（2）已知三角形的三边，求三个角.详细分析讲解总结归纳详细分析讲解思考理解记忆理解记忆带领学生总结25*巩固知识典型例题例4　在△ABC中，A=60°，b=8，c=3，求a．分析这是已知三角形的两条边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．解　=49所以a=7.例5在△ABC中，a=6，b=7，c=10，求△ABC中的最大角和最小角（精确到1°）.分析三角形中大边对大角，小边对小角．解由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有所以C≈100°，所以A≈36°. 引领讲解说明引领观察思考主动求解观察通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点50*运用知识强化练习1．在△ABC中，A为钝角，且求a.2.在△ABC中，，求C．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况70*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：余弦定理的内容：结论：余弦定理：质疑归纳强调小组讨论回答理解强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点75*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆80*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？在△ABC中，.求a与C．提问巡视指导反思动手求解检验学习效果85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．3（必做）；学习指导1．3（选做）(3)实践调查：编写一道有关余弦定理的习题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；1.3　正弦定理与余弦定理（三）【教学目标】知识目标：掌握解斜三角形的常用方法，会解决相关的实际应用问题．能力目标：通过应用举例的学习与数学知识的应用，锻炼分析问题和解决问题的能力．【教学重点】正弦定理与余弦定理的应用．【教学难点】正弦定理与余弦定理的应用．【教学设计】生活与生产中有大量的应用正弦定理与余弦定理解三角形的实例．教材选择了两道比较简单的例题，分别体现正弦定理与余弦定理的应用．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题1.3正弦定理与余弦定理．*创设情境兴趣导入在实际问题中，经常需要计算高度、长度、距离和角的大小，这类问题中有许多与三角形有关，可以归结为解三角形问题，经常需要应用正弦定理或余弦定理．介绍播放课件了解观看课件学生自然的走向知识点05*巩固知识典型例题例6　一艘船以每小时36海里的速度向正北方向航行（如图1－14）.在A处观察灯塔C在船的北偏东30°，0.5小时后船行驶到B处，再观察灯塔C在船的北偏东45°，求B处和灯塔C的距离（精确到0.1海里）.解因为∠NBC=45°，A=30°，所以C=15°，AB=36×0.5=18(海里).由正弦定理得答：B处离灯塔约为34.8海里.例7修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B(图1－15），在平地上选择适合测量的点C，如果C=60°，AB=350m，BC=450m，试计算隧道AB的长度（精确到1m）．解在△ABC中，由余弦定理知=167500．所以AB≈409m.答：隧道AB的长度约为409m.图1－15引领讲解说明引领观察思考主动求解观察通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点40*运用知识强化练习有一个塔CD（如图），在点A处看塔顶C的仰角为45°，在点B处看塔顶C的仰角为60°，若塔底D与A、B在同一条水平线上，且A、B的距离为120m．求塔高（精确到0.01m）．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况50*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：正弦定理、余弦定理的内容：结论：正弦定理：余弦定理：质疑归纳强调小组讨论回答理解强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点60*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆70*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？如图所示，某机械传动的三个齿轮啮合传动．若A轮的直径为180mm，B、C两轮的直径都是120mm，且∠ABC=40°，求A、C两齿轮的中心距离（精确到1mm）.提问巡视指导反思动手求解检验学习效果80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题1．3（必做）；学习指导1．3（选做）(3)实践调查：运用本课知识，解决实际问题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；2．1椭圆（一）【教学目标】知识目标：理解椭圆的定义，理解焦点在x轴与焦点在y轴的两种椭圆的标准方程．能力目标：通过椭圆的标准方程的推导，理解“解析法”的应用，从而学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】椭圆两种形式的标准方程．【教学难点】标准方程的推导．【教学设计】通过师生的共同操作实验，引入知识.椭圆的定义中要强调“常数”大于，否则画不出图形．标准方程的推导是本节教学难点之一．直接给出焦点在y轴上的椭圆的图形，图中显示出椭圆与坐标系之间的种位置关系．然后看图说话，类比介绍焦点在y轴上的椭圆的标准方程．例1是求椭圆的标准方程的训练题．求椭圆的标准方程，关键是确定焦点的位置和求出和．例1给出了焦点的位置并给出了2和2，方便地求出和，利用关系式求出．例2是已知椭圆的标准方程，求焦距和焦点坐标的训练题．经过例1和例2的训练，从两个不同的角度强化学生对两类椭圆的标准方程特征的认识，及关系式的掌握．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题2．1　椭圆．*创设情境兴趣导入我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程为直线的方程，二元二次方程为圆的方程．下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线．介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果05*动脑思考探索新知先来做一个实验：准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的和两点，并使绳长大于和的距离．（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与两个定点和的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）．我们将平面内与两个定点的距离之和为常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．设M(x，y)是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），椭圆上的点与两个定点的距离之和为2a（a＞0），则的坐标分别为（－c，0），（c，0），由条件得移项得两边平方得整理得两边平方后，整理得由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以，设，则【小提示】设，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义．等式两边同时除以得（2.1）方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点是并且如图2－3所示，如果取过焦点的直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为（2.2）图2－3 方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．字母a、b的意义同上，并且【想一想】已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？总结归纳分析关键词语思考理解记忆引导学生发现解决问题方法25*巩固知识典型例题例1　已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．解由于2c=8，2a=10，即c=4，a=5，所以由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为即【想一想】将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？例2求下列椭圆的焦点和焦距．（1）；（2）．分析　解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上．方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．解（1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且故因此c=4，2c=2．所以，椭圆的焦点为焦距为2．（2）将方程化成标准方程，为．因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且故．因此，所以，椭圆的焦点为焦距为引领讲解说明观察思考主动求解注意观察学生是否理解知识点45*运用知识强化练习1．已知椭圆的焦点为椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程．2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．（1）；（2）．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握情况60*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：分别写出焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆的标准方程．结论：焦点在x轴上的椭圆的标准方程是焦点在y轴上的椭圆的标准方程是质疑归纳强调回答理解强化师生共同归纳强调重点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．提问巡视指导反思动手求解培养反思学习过程的能力85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习指导2．1（选做）(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；2．1椭圆（二）【教学目标】知识目标：理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．能力目标：学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】椭圆的性质．【教学难点】椭圆离心率概念．【教学设计】本课利用研究代数问题的方法研究椭圆的范围、对称性和顶点．a和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，即．教材从代数的角度，介绍了离心率的大小与椭圆的扁平程度之间的关系．例3是椭圆的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4是求椭圆方程的训练题．例5是实际应用问题．这些题目都属于基础性训练题．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题2．1　椭圆．*创设情境兴趣导入前面我们根据椭圆的定义，选取适当的坐标系，得到了椭圆的标准方程．下面将通过对方程的研究，来认识椭圆的性质．介绍播放课件质疑了解观看课件思考引导启发学生得出结果05*动脑思考探索新知 1．范围 从方程中可以看到： 即－a≤x≤a，－b≤y≤b． 这说明椭圆位于四条直线所围成的矩形内（如图2－4）．图2－42．对称性在椭圆的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称（如图2－5）．同理，将x换成－x，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点也在椭圆上（如图2－5）；将x换成－x，y换成－y，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点也在椭圆上（如图2－5）．由此可知，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫做椭圆的对称中心（简称中心）．图2－5 3.顶点 在方程中，令y=0，得x=±a，说明椭圆与x轴有两个交点和；同样，令x=0，得y=±b，说明椭圆与x轴有两个交点和（如图2－4）． 椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点．因此四个点是椭圆的四个顶点．线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长． 4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作e．即． 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．当e增大逐渐接近1的时候，c逐渐接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，当e减小逐渐接近0的时候，c逐渐接近0，从而逐渐接近a，此时椭圆逐渐接近于圆．【说明】 有些书中将圆看成椭圆的特殊情况：当e=0的时候，b=a，此时椭圆就成为圆．本套教材中，将原与椭圆最为不同的曲线来进行研究，所以椭圆的离心率e≠0，即椭圆的离心率满足0＜e＜1．总结归纳分析关键词语思考理解记忆引导学生发现解决问题方法25*巩固知识典型例题例3　求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用“描点法”画出它的图形． 解将所给的方程化为标准方程，得． 这是焦点在x轴上的椭圆的