电路分析基础 电阻电路分析

(2-*)第二章电阻电路2.1图与电路方程2.22b法和支路法2.3回路法和网孔法2.4节点法2.5齐次定理和叠加定理2.6替代定理2.7等效电源定理2.8特勒根定理和互易定理2.9电路的对偶性(2-*)基本概念一、拓扑图：很多个节点（点）、支路（线段）的集合。1.图G：是节点n和支路b的集合，每条支路的两端都联到相应的节点上，节点和支路各自成一个整体,任一条支路必须终止在节点，但允许独立的节点。2.子图G1：支路或节点数少于图G的图。3.连通图：图G的任意两个节点之间至少有一条路径相通。4.有向图：所有的支路都有方向的图。（每条支路都可指定一个方向，即为支路电流和支路电压的参考方向。）2.1图与电路方程(2-*)1、树的定义：包含连通图G中的所有节点，但不包含回路的连通子图，称为图G的树。二、树：(2-*)一个连通图的树，具备三要素：⑴树为连通图；⑵包含原图的所有节点；⑶树本身不构成回路。图2.1-6中画出了图G（图(a)所示）的几种树（如图(b)）。可见，同一个图有许多种树。图G中，组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。树支数=节点数–1，连支数=支路数–树支数。(2-*)KCL和KVL方程的独立性一、KCL独立方程的个数5123461234i1+i2+i3=0–i1–i5+i6=0–i3–i4–i6=0–i2+i5+i4=0∴KCL独立方程的个数=n-1二、KVL独立方程的个数一个具有n个节点和b条支路的连通图往往具有很多的回路。四个方程有且仅有任意三个独立。（令流出为正）(2-*)把两个小Δ回路组合起来构成了另一个回路时，这两个小回路的公有支路不论方向如何，均在对应的KVL方程中会抵消，而不出现在较大回路所对应的KVL方程中，所以三个回路彼此并不是独立的。要找出独立回路，对于复杂电路是件困难的事，必须引出图论中树的概念。二、KVL的独立方程数：1、回路：2、独立回路：①②③④⑤⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏(2-*)①②③④65432165432165453154213、基本回路（单连支回路）：a、单连支+一些树支可构成回路；b、单连支回路必然独立，称为基本回路。4、KVL的独立方程数：b-(n-1)=基本回路数=连支数5、平面图、非平面图、网孔：网孔就是图的自然孔即它限定的区域内没有支路。平面图的所有网孔构成一组独立回路。网孔数=独立回路数。平面图：可以画在一个平面上而不使任何两条支路交叉的电路为平面电路。(2-*)2.22b法和支路法一、2b法对一个具有b条支路和n个节点的电路，当以支路电压和支路电流为变量列写方程时，共有2b个未知变量。根据KCL可列出（n-1）个独立方程；根据KVL可列出(b-n+1)个独立方程；根据元件的伏安关系，每条支路又可列出b个支路电压和电流关系方程。于是所列出的2b个方程，足以用来求解b个支路电压和b个支路电流。这种选取未知变量列方程求解电路的方法称为2b法。1、电路变量：2、方程个数：KCLn-1个KVLb-(n-1)个VCRb个(VoltageCurrentRelation)支路电流和电压：2b个(2-*)i1+i3-i4=0-i2+i3+i5=0-i1–i3+i6=0KCL：KVL：u1-u3-u2=0u2+u5+u4=0u3+u6-u5=0u1=R1i1+ri2u2=R2i2u3=R3i3u4=R4i4-uS4u5=R5i5u6=R6(i6+iS6)=R6i6+R6is6VCR：12个未知量，恰有12个独立方程。可求得各支路电压和电流。(2-*)_+①②③④R6R5R4R3R2R1us1is5i1i2i3i4i6i5is5R5③+_iR5④u5i5①④+_us1R1+_u1i13②①③④65431221二、支路法：是以支路电流或支路电压为电路变量列写KL方程的解题方法。1、支路电流法：1）电路变量：支路电流：b个2）方程个数：KCLn-1个KVLVCRb-(n-1)个3）步骤：①作拓扑图：节点、支路、参考方向(2-*)②按KCL，列n-1个节点方程节点①③按KVL，以支路电流为变量依照VCR列b-(n-1)个回路方程：回路1：④联立求解：2、支路电压法：1、电路变量：支路电压b个2、方程个数：KVLb-(n-1)个KCLVCR(n-1)个节点②节点③回路2：回路3：对偶3②①③④65431221(2-*)例2.2-1如图2.2-2的电路，求各支路电流。解：选节点a为独立节点，可列出KCL方程为：－i1+i2+i3=0选网孔为独立回路，如图所示。可列出KVL方程为：３i1+i2=9－i2+2i3=－2.5i1联立三个方程可解得i1=2A,i2=3A,i3=－1A。(2-*)2.3回路法、网孔法和节点法该方法以所谓回路电流作为电路的独立变量，它不仅适用于平面电路，而且适用于非平面电路。一、回路电流：1、定义：沿电路回路流动的假想电流。2、完备性：各连支电流：各树支电流：这些回路为一组独立回路，通常选择基本（单连支）回路作为独立回路，这样，回路电流就是相应的连支电流。123456④①②③回路法可见，当选用独立回路电流作电路变量时，KCL就自动满足。(2-*)二、回路电流方程：1、自电阻Rkk：2、互电阻Rkj（kj）：3、电压源项：因为回路电流自动满足KCL，故只需列出b-(n-1)个KVL方程，其一般形式为：恒取正号；回路k中所有电阻之和。绕向一致取正号；与绕向不一致的取正号；(2-*)例1用回路法求各支路电流。解(1)设独立回路电流(顺时针)(2)列KVL方程(R1+R2)Ia-R2Ib=US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic=US2-R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4(3)求解回路电流方程，得Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：I1=IaIaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_US4R4I4(5)校核选一新回路U==E?,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic(2-*)例3-3列回路电流方程；方法一：设定无伴电流源的电压为U的方法。方法二：将无伴电流源支路选为连支的方法。增加回路电流和电流源电流的关系方程:_U+1231234、无伴电流源的处理方法。__++Us3Us130Ω40Ω20Ω15Ω10ΩIs21A50V20V(2-*)例1列回路电流方程。I1=15-I1-I2+3I3=10加：Uψ=2I3I2=Uψ/4用回路电流示控制量。123_+_Uψ+Uψ/41Ω10V2Ω3Ω15A5、受控源：将控制量用回路电流来表示；小结回路法步骤：(1)选定一组独立回路，并指定各回路电流的参考方向；(2)列出回路方程(注意互电阻和电压源的符号)；(3)由回路方程解出各回路电流，根据需要，求出其它待求量。(2-*)①将看VCVS作独立源建立方程；②找出控制量和回路电流关系。4Ia-3Ib=2-3Ia+6Ib-Ic=-3U2-Ib+3Ic=3U2①4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10Ib+3Ic=0③U2=3(Ib-Ia)②Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A例2用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V3U2++3U2–1212I1I2I3I4I5IaIbIc将②代入①，得各支路电流为：I1=Ia=1.19A解得,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92AI4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=-0.52A(2-*)例3列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。方法1(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2-R4I2+(R3+R4)I3=-UiIS=I1-I3I1I2I3_+Ui_+_US1US2R1R2R5R3R4IS+*引入电流源的端电压变量**增加回路电流和电流源电流的关系方程(2-*)方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即IS。I1=IS-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I3(2-*)+++___R3R2R1us3us2us1i1i2i3①im1im2im1im2im1im2①①132三、网孔法：一、网孔电流：1、网孔电流：沿平面电路的网孔流动的假想的电流。2、作为电路变量的完备性：每一条支路的电流均是有关网孔电流的代数和；3、网孔电流自动满足KCL。二、网孔电流方程：网孔电流方程是以网孔电流为变量，按KVL和VCR列写的一组独立的方程组。个数：b-(n-1).(2-*)网孔1：将i1=im1，i2=im1-im2，i3=im2代入上式整理得1、自电阻：总是正的；2、互电阻：两个网孔电流流过互电阻的方向一致的取正号；3、电压源项：与绕向不一致的电压源取正号。+++___R3R2R1us3us2us1网孔2：im1im2i1i2i3网孔法：回路法应用于平面电路时，选网孔电流作电路变量，此时称网孔法。观察规律性：直接列写网孔电流方程(2-*)行列式解法化简求I1例2－1，列网孔电流方程,求I1。___+++60Ω40Ω40Ω20Ω50V10V40VI3I2I1IcIdIbIa列：(2-*)节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。2.4节点法一、节点电压：1、定义：o--+R1R2R3R4R5R6①②③iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i2设定某一个节点为参考节点后，其它节点与参考节点之间的电压称之节点电压。2、完备性：如果节点电压已经求出，则电路中各支路电压可以为某一个节点电压，或者为两个节点电压之差。所以，节点电压是分析电路的一组完备解。3、列写方程的个数：全部支路电压均可以通过节点电压求得这是KVL的体现，我们说节点电压自动满足KVL，所以只须列出n-1个KCL方程联立求解。(2-*)二、节点电压方程：按KCL，对上图列三个独立方程：节点1、节点2、节点3、行了吗？不行！要以节点电压为未知量。代入KCL方程，并整理得：这就是该电路的一组节点电压方程。o--+R1R2R3R4R5R6①②③iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i2(2-*)三、用观察法直接列写节点电压方程：寻找规律性：1、自电导：总为正；2、互电导：独立节点之间的电导，均为负；以上正负号的原因：我们假定节点电压是由独立节点指向参考节点，且一律为正和支路电流流出节点为正而得到的结果。3、电流源项：注入为正（移项的结果），有电源之间的变换也是注入为正。o--+R1R2R3R4R5R6①②③iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i2(2-*)列节点电压方程。解：1、选参考节点，对独立节点进行编号；2、观察法列方程：例R1=R2=R5=R6=1Ω，R3=R4=R7=R8=0.5ΩR4R1R2R5R8R6uS7R3R7+–uS3iS13iS4+–o①②③④(2-*)解：1、选参考节点：2、列方程：整理：系数不对称了！②①例试列节点电压方程。用节点电压表示控制量。u2=un1R2iS1R1R3+u2-ic(2-*)例试列出此电路的节点电压方程：解：分析：无伴电压源处理；方法一、将无伴电压源的电流作为一个附加变量的混合法。补充一个约束关系：方法二、设法将一个无伴电压源的电压作为一个节点电压的方法。节点1、两种方法均要掌握！iu节点2、G2iS2G1G3uS1②①0+-G2iS2G1G3uS1②①0+-(2-*)例1，列节点方程。+_++__isuSR4R3R2R1iR32iR3u12u1un1un2补充方程(2-*)例2，列节点方程。un1un2_+++__isuSR4R3R1iR32iR3u12u1isiuiRu++=111n24312n4322)11(RiiuuRRR+--=+方法一：将无伴电压源的电流作为一个附加变量的混合法。在电压源中设电流i(2-*)_+++__isuSR4R3R1iR32iR3u12u1例3,列节点方程。un1un2方法二、设法将一个无伴电压源的电压作为一个节点电压的方法。suu=1n432n4311n12)111(1RiiuRRRuRRs--=+++-(2-*)用节点法求各支路电流。例420k10k40k20k40k+120V-240VUAUBI4I2I1I3I5I1=(120-UA)/20k=4.91mAI2=(UA-UB)/10k=4.36mAI3=(UB+240)/40k=5.46mAI4=UB/40=0.546mA各支路电流：解：UA=21.8VUB=-21.82VI5=UB/20=-1.09mA(2-*)支路法、回路法和节点法的比较：(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。(3)回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。支路法回路法节点法KCL方程KVL方程n-1b-n+100n-1方程总数b-n+1n-1b-n+1b(1)方程数的比较(2-*)1、齐次定理（homogeneityproperty)齐次定理描述了线性电路的齐次性或比例性。其为：对于具有惟一解的线性电路，当只有一个激励源（独立电压源或独立电流源）作用时，其响应（电路任一处的电压或电流）与激励成正比。RusrRkuskr2.5齐次定理和叠加定理(2-*)例2.5-1如图2.5-1的电路，求i1、i2与激励源uS的关系式。解：如图所示，电路共有3个网孔，选受控源的电流为网孔电流之一，其余网孔电流为i1和i2，如图2.5-1所示。按图可列出回路方程为由上式可解得1=||R1+R2–R2–(R2+R3)R2+R3+R4根据线性代数理论，当△≠0时，上式有惟一解。这就是齐次定理表述中“具有惟一解的”线性电路的含义。(2-*)已知：如图求：电压ULR1R3R5R2RL+–usR4+–UL设IL=1AILU+-UK=Us/UUL=KILRL线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。(2-*)例1如图2.5-2的电路，若uS=13V，求i5和ubd。解：根据齐次定理，电流i5、电压ubd均与us成正比。设：i5=auSubd=buS设i’5=1A。则得u’ce=(R5+R6)i’5=4Vi’4=u’ce/R4=2Ai’3=i’4+i’5=3Au’be=R3i’3+u’ce=10Vi’2=u’be/R2=5Ai’1=i’2+i’3=8Au’s=R1i’1+u’be=26Vbi5=auS=0.5V，ubd=buS=4V(2-*)2、叠加定理在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。是线性电路的根本属性。不作用的电压源（us=0)短路电流源(is=0)开路(2-*)图2.5-3(a)是含有两个独立电源的电路。用回路法分析，选网孔为独立回路，其回路方程为(R1+R2)I1+R2I2=USR2I1+(R2+R3+R4)I2=US-R4IS(2.5-4)图2.5-3(b)是电压源US单独作用而电流源IS置为零（即开路）时的电路。其回路方程为)(1121)(IRR+SUIR=+)1(22SUIRRRIR=+++)1(2432)1(12)((2.5-5)(2-*)同理可列出图2.5-3(c)所示由电流源IS单独作用而电压源US置为零（即短路）时电路的回路方程)(2121)(IRR+0IR=+)2(22-R4ISIRRRIR=+++)2(2432)2(12)((2.5-6)将(2.5-5)与(2.5-6)两式相加，得))(()2(1)1(121IIRR++SUIIR=++)()2(2)1(22SSIRUIIRRRIIR4)2(2)1(2432)2(1)1(12))(()(-=++++++(2.5-7)(2-*)比较(2.5-4)与(2.5-7)两式可见，它们左边各项系数相同，右边各项也都相同。如果图2.5-3(a)、(b)、(c)三个电路都具有惟一解，即0则有(R1+R2)I1+R2I2=USR2I1+(R2+R3+R4)I2=US-R4IS(2.5-4)))(()2(1)1(121IIRR++SUIIR=++)()2(2)1(22SSIRUIIRRRIIR4)2(2)1(2432)2(1)1(12))(()(-=++++++(2.5-7)US、IS共同作用时产生的响应等于US、IS单独作用时所产生的响应之和。上述验证过程可推广到包含多个激励源的一般电路。(2-*)使用叠加定理时应注意以下几点：(1)当一个或一组独立源作用时，其它独立源均置为零(电压源短路，电流源开路)，而电路的结构及所有电阻和受控源均不得更动。(2)叠加定理仅适用于线性电路（包括线性时变电路），而不适用于非线性电路。(3)叠加定理只适用于计算电流和电压，而不能用于计算功率，因为功率不是电流或电压的一次函数。证明如下：(2-*)例1.求图中电压u。+–10V4A6+–4u解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路4A6+–4u''u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u"=-42.4=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6+–4u'(2-*)例2求电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:+–10V6I14A+–Us+–10I1410V+–6I1'+–10I1'4+–Us'6I1''4A+–Us''+–10I1''4+–U1'+–U1"Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1”(2-*)Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=-101+41=-6VUs"=-10I1"+U1”=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V10V+–6I1'+–10I1'4+–Us'+–U1'6I1''4A+–Us''+–10I1''4+–U1"(2-*)例３NusuisN的内部结构不知，但只含线性电阻，在激励us和is作用下，其实验数据为：解：设根据实验数据得：联立求解：H1+H2=010H1=1(2-*)例4：+–10V6I14A+–Us+–10I14求4Ω的功率。10V+–6I1'+–10I1'4+–Us'6I1''4A+–Us''+–10I1''4+–U1即功率不能用叠加定理。(2-*)设网络N由两个单口网络N1和N2连接组成，若端口电压、端口电流已知为α、β，那么就N1（或N2）可以用一个电压等于α的理想电压源（电流等于β的独立电流源）来替代，替代后N2（或N1）内各处电压和电流均保持不变。N1i+–uN2N1+–αββN1+–α注意方向！2.6替代定理(SubstitutionTheorem)（又称“置换定理”）(2-*)证明:ααN1β+–αN2+–+–ACBN1i+–uN2ABAC等电位+–αN1i+–uAB(2-*)说明1.替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。2)被替代的网络和电路其它部分应无耦合关系。1)原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.替代定理的应用必须满足两个前提:3.替代定理一般用在求未被替代的网络的内部支路电压和电流。4.替代定理同样适应于某一条支路。(2-*)例1求u2和i解：N1的VCRN1N2R2R1uSR310Ω12u+-5Ω0.5i6Ω+-1Ai+-u25Ω20Ω+-10Vi1is(2-*)N2的VCRN1的VCR联立求解：以12V电压源替代N1，可得：以-1A电流源转换N2，可得：Vu122=N1N2R2R1uSR310Ω12u+-5Ω0.5i6Ω+-1Ai+-u25Ω20Ω+-10Vi1is(2-*)1、戴维南定理(Thevenin-NortonTheorem)内容：任何一个线性一端口电路N，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ro的串联组合来等效替代；其中电压Uo等于端口开路电压，电阻Ro等于一端口电路中所有独立源置零后从端口处看进去的等效电阻。2.7等效电源定理（戴维南定理和诺顿定理）abRoUo+-Nab外电路外电路N(2-*)证明:电流源i为零abN+–u'+电路N中独立源全部置零abPi+–u''Rou'=Uoc(外电路开路时a、b间开路电压)u"=-Roi得u=u'+u"=Uoc-Roi证明abNi+–u替代abNi+–u外iUoc+–u外ab+–Ro=叠加(2-*)内容：任何一个线性一端口电路N，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口电路在端口处的短路电流，而电导等于把该一端口电路的全部独立源置零后的输入电导。2、诺顿定理NababGoIsc外电路外电路N(2-*)证明:i′=Isc(外电路短路时端口短路电流)i"=-Gou得i=i'+i"=Isc-Gou替代=叠加证明abNi+–u外iIsc+–u外abGoabNi+–u电压源u为零abNi'+电路N中独立源全部置零abPu+–i''Go(2-*)例1IA2A1+-uo1Ro1+-uo2Ro2I例2外电路含有非线性元件J-100V40V200V30K10K60K+-UI5KAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-解：求开路电压UAB当电流I>2mA时继电器的控制触点闭合（继电器线圈电阻是5K）。问现在继电器触点是否闭合。(2-*)60K+-UI5K+-uABRABAB1004020030K10K60K+++---ABUAB+-UAB=26.7VRAB=10//30//60=6.67K二极管导通I=26.7/(5+6.67)=2.3mA>2mA结论:继电器触点闭合。(2-*)对含有受控源的单口电路，戴维南定理分析时应注意：1、在求等效电阻时，所有的受控源必须保留。一般用外加电流源（或电压源）法，或求短路电流和短路电压的方法。2、单口电路中不能含有控制量在外电路部分的受控源，但可以是端口电流或电压。(2-*)Uo+–Ro3UR-+解：(1)求开路电压UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V36I1+–9V+–Uo+–6I1已知如图，求UR。例336I1+–9V+–UR+–6I13(2-*)(2)求等效电阻Ro方法1Ro=开路电压短路电流36I1+–9VIsc+–6I1Uo=9V3I1=-6I1I1=0Isc=1.5A6+–9VIscRo=Uo/Isc=9/1.5=6(2-*)方法2：外加电压求电流（独立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I6/(6+3)=(2/3)IRo=U/I=636I1+–6I1U+–IU=9(2/3)I=6I(3)等效电路Uo+–Ro3UR-+KVL分流公式(2-*)例4求RL为何值时，其上获最大功率，并求此最大功率。uocRLRoUI解：时，RL获最大功率得RL=Ro电路的最大功率传输定理(2-*)为能从给定的电源（uoc和R0已知）获得最大功率，应使负载电阻RL等于电源内阻R0(即负载与电源间匹配)。这常称为最大功率匹配条件，也称为最大功率传输定理。3、最大功率传输定理求解最大功率传输问题的关键是求一个一端口电路的戴维南等效电路。？(2-*)例5R多大时能从电路中获得最大功率，并求此最大功率。解：15V5V2A+20+--20105+-85VR105V+-2015V2A20+-105+-85VR1010V2A10+-105+-85VR10(2-*)R=4.29获最大功率。50V30+-5+-85VRU0R0+-R10V2A10+-105+-85VR10叠加定理(2-*)求电流I。Us45VIs15A346246.4I+-例5(2-*)Us45VIs15A346246.4I+-回路法解：I2I3I1(2-*)Us45VIs15A346246.4I+-节点法解：U1U4U3U2节点1：节点2：节点3：节点4：(2-*)用戴维南定理：Us45VIs15A346246.4I+-abUocUs45VIs15A34624+-+-解：abUocRo+-(2-*)求开路电压UocabU1Us45V34624+-+-Uoc=U1+U2U1=456/9-452/10=30-9=21U2=154/102=12Uoc=U1+U2=30+3=33VabU234624+-15A(2-*)求内阻Ro：Ro=3//6+(4+4)//2=2+1.6=3.6I=33/(3.6+6.4)=3.3Aab346246.4IRoab33V3.6+(2-*)1、特勒根定理一：对于任意一个具有b条支路和n个节点的集中参数电路，设各支路电压、支路电流分别为uk、ik(k=1，2，…，b)，且各支路电压和电流取关联参考方向，则对任何时间t，有特勒根定理一：是功率守恒的具体体现支路吸收的功率（又称功率定理）：一、特勒根定理2.8特勒根定理和互易定理(2-*)证明：-_+____+++++u1u2u3u4u5u7+_u6i4i1i2i3i6i5i7…KVL和KCL可知：(2-*)2、特勒根定理二：对任意两个拓扑结构完全相同（即图完全相同，各支路组成元件性质任意）的集中参数电路N和。设它们的图有b条支路和n个节点，其相对应的各支路和各节点的编号相同。它们的支路电压分别为uk和支路电流分别为ik和k(k=1，2，…，b)且各支路电压和电流取关联参考方向，则对任意时刻t，有N^（又称为拟功率定理）：具有功率的量纲，但不表示任何支路的功率，称为拟功率具有功率的量纲，但不表示任何支路的功率，称为拟功率。特勒根定理一是当特勒根定理二中电路N与为同一电路的特例。N^(2-*)证明：选节点d为参考节点，对独立节点a、b、c列出电路的KCL方程为对电路N，将其支路电压用其节点电压ua、ub、uc表示为u1=-uau2=ucu3=ua-ucu4=ua-ubu5=ubu6=ub-uc则：()()()6^5^4^3^2^1^k^61iiiiiiicbbbacacakkuuuuuuuuuu-++-+-++-=å=cbauuuiiiiiiiii)+()()(6^3^2^6^5^4^4^3^1^--++--++-==0同理可证得：(2-*)例已知如图,求电流ix。R+-10V1ANR+-5Vix解i1i2设电流i1和i2，方向如图所示。由特勒根定理，得(2-*)互易定理表明：对于一个仅含线性电阻的二端口电路NR，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。互易定理有三种形式：二、互易定理^形式一：若uS1=uS2，则i2=i1(2-*)证明^形式一：若uS1=uS2，则i2=i1NN^由特勒根定理二有+u2u1+ukik=0^k=3b+u2u1+ukik=0^k=3bÙ1iÙ2i对于线性电阻：uk=Rkik和=Rk(k=3，4，…，b)，则2^21^1+iiuu2^21^1+uuii=221iuius1s=Ù若uS1=uS2，则有i2=i1^(2-*)互易定理形式二：若iS1=iS2，则u2=Ù1u互易定理形式三：若uS1=iS2，则i2=Ù1u(2-*)求电流I。解利用互易定理I2=0.5I1=0.5AI=I1-I3=0.75A例2I2428+–10V3I2428+–10V3I1I2I3I3=0.5I2=0.25A(2-*)例3R+_2V20.25A已知如图,求：I1R+_10V2I1解R+_2V20.25A互易齐次性注意方向(2-*)(1)只适用于线性电阻网络只有一个独立激励电源时，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。(2)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。(4)互易时要注意电压、电流的方向。同端口的电压、电流互易前后保持相同的关联或非关联关系不变。(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：（3）两个电路的（b-2)条支路应满足(2-*)2.9电路的对偶性在以上的研究中，我们可以发现，电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特性就称为电路的对偶性。譬如，对电阻元件，其元件约束关系是欧姆定律，即u=Ri或i=Gu。如果将一个表达式中的u与i对换，R与G对换，就得到另一个表达式。电路中结构约束是基尔霍夫定律，在平面电路中，对于每个节点可列一个KCL方程ik=0而对每个网孔可列一个KVL方程uk=0(2-*)对偶元素：具有象节点与网孔，KCL与KVL，电压与电流这样一一对应性质的一对元素（电路变量、元件参数、结构、定律等），可称为对偶元素。电路中的一切公式和定理都是从电路的结构约束和元件约束推导出来的。既然这两种约束都具有对偶的特性，那么由它们推导出的关系显然也会有对偶特性。如果电路中某一定理、公式或方程的表述是成立的，则将其中的元素用其相应对偶元素置换所得到的对偶表述也成立。(2-*)电压电流磁链电荷电阻电导电感电容电压源电流源开路短路电路的对偶特性是电路的一个普遍性质，电路中存在大量对偶元素。以下是一些常用的互为对偶的元素：CCVSVCCSVCVSCCCS串联并联网孔节点回路割集树支连支KVLKCL(2-*)比较这两组方程，可看出，它们的形式相同，对应变量为对偶元素，所以通常把这两组方程称为对偶方程组。电路中把像这样一个电路的节点方程与另一个电路的网孔方程对偶的两电路称为对偶电路。对偶电路122121)(usiRiRR=-+2223)(usiRR-=+++2232)(s-iuGG=+