信号与系统分析基础 非信息类专业 教学课件 ppt 作者 潘文诚 等 第3章 连续信号的拉普拉斯变换

第3章连续信号的拉普拉斯变换*第3章连续信号的拉普拉斯变换*第3章连续信号的拉普拉斯变换*从前一章我们看到，在信号与系统的研究里，傅里叶变换是一个强有力的分析工具，它有明确的物理概念，能够为抽象的数字变换式提供一个直观的感性认识，因而在各个不同的领域得到了极为广泛的应用。然而，并不是所有信号都能进行傅里叶变换，一般情况下，只有满足收敛条件的信号才能进行傅里叶变换。阶跃信号、斜坡信号、周期信号等都不满足绝对可积条件，故不能直接求得它们的傅里叶变换，虽然借助于广义函数可得它们的傅里叶变换，但变换式中往往有冲激函数出现。第3章连续信号的拉普拉斯变换*1780年，法国数学家拉普拉斯（Laplace）提出了一种新的积分变换，即拉普拉斯变换。傅里叶变换的理论基础是将信号分解为正弦指数信号，基于这一原理，也可以将一个信号分解为复指数信号，从而得到拉普拉斯变换（也可简称拉氏变换）。我们将看到，鉴于两种变换都是建立在信号分解的基础之上，而且都是分解指数信号，因此，它们在基本性质等许多方面是相似的。而且，拉氏变换的条件更宽松，有自己的特点和自己的应用领域，这主要表现在系统函数及其零极点的应用方面。在线性时不变连续系统的分析中，拉氏变换仍然是一个不可缺少的有力工具。此外，在微分方程的求解方面，拉氏变换也是傅里叶变换所不能取代的。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.1拉普拉斯变换的定义及收敛域3.1.1基本定义信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当t→±∞时，f(t)不趋于零。若用一个实指数函数乘以f(t)，只要选择适当的值，就可以解决这个问题。通常，称为收敛因子。拉普拉斯变换可以从数学上直接定义，也可以从傅里叶变换间接导出。为了说明拉氏变换与傅里叶变换的内在联系，我们用后一种方式来导出。当信号f(t)满足狄义赫利条件时，其傅里叶变换式为（3.1.1）第3章连续信号的拉普拉斯变换*3（3.1.1）按照这个定义，可求得f(t)与实指数函数乘积的傅里叶变换为（3.1.2）请注意，符号F(σ+jω)的含义，它表示信号的傅里叶变换是在原信号f(t)的傅里叶变换F(jω)中将ω置换成的结果。如果令s=σ+jω（称为复频率）为一个新变量，则式（3.1.2）可以演变成一个新的变换式（3.1.3）第3章连续信号的拉普拉斯变换*3这个新变换式就是信号f(t)的拉普拉斯定义式，它是复变量s的函数。对f(t)来讲，F(s)是它的双边拉氏变换。显然，当σ=0时，s=jω，则有也就是f(t)的傅里叶变换。这表明，傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在σ=0时，或在jω轴上的特例，拉氏变换是对傅里叶变换的推广，拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。（3.1.3）同样，利用傅里叶变换的逆变换定义，可以推出拉氏变换的逆变换式。因为，当把F(s)看作是的傅里叶变换时，根据傅里叶变换的逆变换定义可知第3章连续信号的拉普拉斯变换*3在此式两边同时乘以，则有再利用s=σ+jω以及dω=−jds的关系，则可得到拉氏变换的逆变换式为（3.1.4）将式（3.1.3）和（3.1.4）结合起来，就构成一拉氏变换的变换对，即（3.1.5）第3章连续信号的拉普拉斯变换*这里，F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。为了方便起见，变换对可表示为由于实际信号都是因果信号，即t<0时，f(t)=0，所以可将式（3.1.3）写为（3.1.6）式（3.1.6）称为单边拉氏变换式。式中取0−是考虑到f(t)中可能包含冲激函数及其各阶导数。式（3.1.6）的逆变换的积分限并不改变。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.1.2拉氏变换的收敛域上节提到，当信号f(t)乘以收敛因子后，就有可能满足绝对可积条件，然而，是否一定满足，还要看f(t)的性质与σ的相对关系而定。换句话说，并不是对所有的σ值而言，函数f(t)都存在拉氏变换，而只是在一定的σ值范围内，是收敛的，f(t)存在拉氏变换。通常，将拉氏变换存在的s取值范围称为信号f(t)的拉氏变换的收敛域（ROC）。又由于F(s)的存在与否完全由s的实部σ来决定，与s的虚部jω无关，因此有：若因果函数f(t)与e-σt的乘积f(t)e-σt在σ>σ0时满足（3.1.7）则函数f(t)的拉普拉斯变换在s平面上Re[s]>σ0的范围内是收敛的。使极限存在的所有σ的集合称F(s)的收敛域，过σ0的垂直于σ轴线的垂直线称为收敛边界，或称收敛轴。下面根据信号f(t)的几种不同类型，进一步讨论收敛域的几种情况。第3章连续信号的拉普拉斯变换*（1）右边信号，在t<t0时f(t)为零，其收敛域在收敛轴的右边，例如单位阶跃信号u(t)，有信号与其收敛域如图3-1所示。图3-1阶跃信号的收敛域*第3章连续信号的拉普拉斯变换*（2）左边信号,在t>t0时f(t)为零，其收敛域在收敛轴的左边，例如左单边指数信号eatu(-t)，有，信号与其收敛域如图3-2所示。图3-2左单边指数信号的收敛域*第3章连续信号的拉普拉斯变换*（3）双边信号,其收敛域在σ1<σ<σ2，如图3-3所示。（4）时限信号，在时间轴上有始有终，且其能量是有限的。对任何σ值,式（3.1.7）均成立，其收敛域为整个s平面，如图3-4所示。图3-4时限信号的收敛域图3-3双边信号的收敛域*第3章连续信号的拉普拉斯变换*在求解信号的拉氏变换时，可以利用式（3.1.7）这个基本条件求得变换式的收敛域，但是在大多数情况下，比较方便的是利用变换式的零点、极点，以及信号的基本类型来确定收敛域。所谓零、极点，就是使变换式的值分别等于零和无穷大的s值。如果变换式是有理多项式，则零点是分子多项式的根，而极点是分母多项式的根。（3.1.7）第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-1】求的拉氏变换及其收敛域。【解】：等式右边是两个信号的组合，，均是右边序列。由定义得因此第3章连续信号的拉普拉斯变换*所以由此可见，拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于jω轴的直线作为边界的，在ROC内无任何极点，ROC的边界总是与F(s)的分母的根相对应的，收敛域以极点为界限。双边拉式变换的收敛问题比较复杂，收敛条件将受到很多限制。由于单边拉氏变换的收敛域问题比较简单，一般情况下，求函数的单边拉氏变换时不再加注其收敛范围。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.1.3常见信号的单边拉氏变换由于实际的信号都是有起始时间的（当t<t0时，f(t)=0）若起始时刻t0=0，则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉氏变换的积分下限为“0”，因而该变换称为单边拉氏变换。线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉氏变换。按照拉氏变换的定义式（3.1.6），可以求得一些常用信号的单边拉氏变换式。1.单位冲激信号δ(t)其收敛域为整个s平面，如果冲激信号出现在t=t0时刻(t0>0)，则有（3.1.8）（3.1.9）第3章连续信号的拉普拉斯变换*2.单位阶跃信号u(t)根据单位阶跃信号的单边特性，可得（3.1.10）3.单边指数信号（3.1.11）4.t的正幂信号用分部积分法，得第3章连续信号的拉普拉斯变换*由此类推，可得（3.1.13）从上面推导中可以看到，斜变信号tu(t)的拉氏变换为（3.1.14）（3.1.12）第3章连续信号的拉普拉斯变换*一些常用信号的拉氏变换列于表3-1，以供查阅。第3章连续信号的拉普拉斯变换*表3-1常用信号的拉氏变换对第3章连续信号的拉普拉斯变换*拉氏变换建立了连续信号在时域和复频域之间的对应关系，从单边拉氏变换定义式（3.1.6）可以求得一些常用信号的拉氏变换，但在实际应用时，和傅里叶变换一样，借助于单边拉氏变换的基本性质，可以更方便地求出很多信号的单边拉氏变换和逆变换。单边拉氏变换的许多性质和傅里叶变换相似，方法也类同，因此，在下面的讨论中，一般不给出性质的证明过程。3.2单边拉氏变换的基本性质第3章连续信号的拉普拉斯变换*1.线性性质若有f1(t)和f2(t)的拉氏变换分别为F1(s)和F2(s)，且系数a1和a2为任意常数，则有（3.2.1）线性性质描述了变换式的比例性和可加性。【例3-2】求信号的拉氏变换F(s)。【解】：已知由常用信号的拉氏变换对有，由线性性质得第3章连续信号的拉普拉斯变换*2.时移（延时）性质若因果信号f(t)的拉氏变换为F(s)，则时移性质可表达为（3.2.2）【例3-3】求信号u(t-1)的拉氏变换F(s)。【解】：已知由时移性质得3.s域频移性质s域频移和时移是相互对称的一个性质，即若有f(t)的拉氏变换为F(s)，在时域里的一个信号乘上一个指数函数，则在s域中的变换式将产生一个频移，这个性质的数学形式为（3.2.3）式中a为复常数。第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-4】求信号的拉氏变换F(s)。【解】：由于利用频移性质，可得4.尺度变换性质若信号f(t)的拉氏变换为F(s)，a为正实常数，则（3.2.4）【例3-5】求信号的拉氏变换F(s)，其中a和b都为正实数【解】：因为，根据尺度变换性质式（3.2.4）有，再根据时移性质可得（3.2.3）第3章连续信号的拉普拉斯变换*5.时域微分性质若信号f(t)的拉氏变换为F(s)，则有（3.2.5）式中f(0-)为f(t)在t=0-点的值。由此可以推出（3.2.6）如果f(t)是一个因果信号，则有f(0-)、f’(0-)、…、f(n-1)(0-)均为零，则式（3.2.5）和式（3.2.6）可简化为（3.2.7）p.77第3章连续信号的拉普拉斯变换*时域微分性质中包含了信号的初始条件，因此在系统微分方程求解中有重要作用，不仅能求解零状态响应，而且能求解零输入响应。【例3-6】已知，试求其导数的拉氏变换F(s)。【解】：因为，所以有第3章连续信号的拉普拉斯变换*6.s域微分性质s域的微分是和时域微分相对应的一条性质，只要将拉氏变换定义式两边对s进行微分就可求得该性质。若信号f(t)的拉氏变换为F(s)，且Re[s]>σ0，则有（3.2.8）而高阶的s域微分性质为（3.2.9）第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-7】求信号f(t)=tnu(t)的拉氏变换F(s)。此题在上一节已经用定义的方法，如式（3.1.13）推出，而用s域微分性质更简单。因为单位阶跃信号的拉氏变换等于所以可直接利用式（3.2.9）求得（3.2.10）为了方便记忆，此式可改写为（3.2.11）利用这个结果和频移性质，不难求得在用部分分式展开法求逆变换时，对于重极点的情况常用到此式。（3.2.12）（3.2.9）p.78第3章连续信号的拉普拉斯变换*7.时域积分性质时域积分是时域微分的逆运算，其变换式也和微分性质互逆。即：信号f(t)的拉氏变换为F(s)，则有（3.2.13）式中为f(t)的积分函数在t=0-点的起始值。如果f(t)是因果信号，则有p.78第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-8】求图3-5中三角形脉冲f(t)的拉氏变换F(s)。图3-5三角形脉冲的波形第3章连续信号的拉普拉斯变换*【解】：对f(t)求两次导数，可得对此式等号两边求拉氏变换并利用时域微分性质和时移性质，可得所以有图3-6给出了相应三角波的一次和二次微分信号的波形。图3-6三角形脉冲对应的求导波形第3章连续信号的拉普拉斯变换*8.s域积分性质（3.2.14）9.初值定理若信号f(t)的拉氏变换为F(s)，且在t=0点不含有冲激信号δ(t)及其各阶导数，则s域积分是s域微分的逆运算，其变换式也和微分性质互逆。即若信号f(t)的拉氏变换为F(s)，则有（3.2.15）初值定理表明，sF(s)当s→∞时的极限值等于信号f(t)在t=0+点的初值。第3章连续信号的拉普拉斯变换*10.终值定理终值定理的形式类似于初值定理，它是通过变换式在s→0时的极限值来求得信号的终值，即（3.2.16）终值定理表明，信号f(t)在时域中的终值，可以通过在s域中s乘以F(s)后，再取s趋向于零的极限而得到。但在使用终值定理时，必须保证存在，这个条件就意味着F(s)的极点必定是在s平面的左半平面。第3章连续信号的拉普拉斯变换*11.时域卷积性质若有f1(t)和f2(t)的拉氏变换分别为F1(s)和F2(s)，当这两个信号的卷积存在时，则有（3.2.17）与傅里叶变换相比，拉氏变换的卷积性质在求解线性时不变系统的响应中起着非常重要的作用，使求解更为方便。其具体应用在后边章节讨论。至此，我们讨论了单边拉氏变换的主要性质，并求得了一些常见信号的拉氏变换式。表3-2是列出拉氏变换的主要性质，以供查阅。第3章连续信号的拉普拉斯变换*表3-2拉氏变换的主要性质第3章连续信号的拉普拉斯变换*第3章连续信号的拉普拉斯变换*此外，由于实际应用中的大部分信号的变换式是有理式，而有理式的逆变换可以不通过围线积分的方法求解。单边拉氏逆的求解方法主要有查表法、部分分式展开法及留数法等3种，其中部分分式法是最常用的方法，是本节讨论的重点。3.3单边拉氏逆变换在线性连续系统的复频域分析方法中，是先求出系统响应的单边拉普拉斯变换，然后再求出其逆变换而得到系统时域响应。因此，求单边拉氏逆变换的讨论就显得尤为重要。尽管利用拉氏逆变换的定义式（3.1.4）可以求得逆变换，但是，这种方法涉及到s平面的围线积分，比较繁琐。第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-9】已知拉氏变换，求其原信号【解】：由变换表可知,所以3.3.1查表法如果F(s)是一些比较简单的函数，可以利用常用信号的拉氏变换表3-1，查出对应的原函数，或者借助拉氏变换的若干性质，配合查表，求出原信号。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.3.2部分分式展开法对线性系统而言，响应的象函数F(s)常具有有理分式的形式，求解拉氏逆变换最常用的方法就是部分分式展开法。这种方法的基本思路是将有理分式展开成许多简单的分式之和，然后再利用已知的拉氏变换对，来求得逆变换。一个有理分式可以表示为（3.3.1）式中，an,an-1,…,a1,a0和bm,bm-1,…b1,b0均为实系数，n和m为正整数，因此，N(s)和D(s)都是有理多项式。分母多项式D(s)称为系统的特征多项式，方程D(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根。第3章连续信号的拉普拉斯变换*部分分式展开法建立在极点展开的基础之上，根据极点的不同，将F(s)展开成不同的分式之和。所谓极点，就是分母多项式D(s)的根，它有三种类型，即单根极点、共轭复根极点和重根极点。按照这三种极点类型，下面我们分别来讨论取F(s)的逆变换。1．D(s)=0的所有根均为单实根若D(s)=0的单实根分别是s1,s2,…,sn，则F(s)可以分解为以下形式（3.3.2）第3章连续信号的拉普拉斯变换*（3.3.2）式中的K1，K2，…，Kn为待定系数，这些系数可以按照下述方法确定：将上式两边乘以（s-si）,再令s=si(i=1,2,…,n)，于是可求得第i项的待定系数，即（3.3.3）将Ki代入式（3.3.2），查表可求其逆变换（时域信号）为（3.3.4）第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-10】求的原信号f(t)。【解】：由式（3.3.3）可求得系数为（3.3.3）第3章连续信号的拉普拉斯变换*代入原式，得所以第3章连续信号的拉普拉斯变换*2．D(s)=0具有共轭复根且无重复根若式中D1(s)=an(s-s1)(s-s2)…(s-sn-2)，其中s1,s2,...sn-2为D1(s)=0的互不相等的实根。二次多项式(s2+bs+c)中，若b2<4c，则构成一对共轭复根。因为F(s)可写成（3.3.5）第3章连续信号的拉普拉斯变换*上式右边展开为部分分式的方法，如前所述；对于，一旦求得后就可应用对应系数相等的方法求得系数A和B，而的逆变换则可用配方法或用部分分式展开法。假设其共轭复根为：s1=a+jω,s1=a-jω，则其展开式将含有如下两项（3.3.6）由式（3.3.3）知（3.3.7）第3章连续信号的拉普拉斯变换*不难看出，和呈共轭关系，假定则所以，共轭极点对应的信号部分为（3.3.8）第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-11】求的原信号f(t)。【解】：将F(s)展开成部分分式由式（3.3.3）得，将此值代入上式，整理得第3章连续信号的拉普拉斯变换*用比较系数法可以确定，因此逐项进行逆变换，得显然，从上式可以看出，单根极点分式对应的逆变换是一个指数信号，共轭复根极点分式对应的逆变换是一个正弦衰减信号。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3．D(s)=0仅含有重根（3.3.9）式中，在s=p1处，D(s)有k重根，即p1为F(s)的k阶极点。将F(s)写成展开式（3.3.10）这里表示展开式中与极点p1无关的其余部分，其部分分式展开式采用前述所用方法。为求出k11，可将式（3.3.9）两边同乘以(s-p1)k，再s=p1以值代入，可得第3章连续信号的拉普拉斯变换*（3.3.11）然而，出其他k12,k13,…,k1k等系数，就不能采用以上的方法，因为这样会导致分母中出现0值。为此引入函数（3.3.12）于是（3.3.13）对于式（3.3.13）微分，得（3.3.14）第3章连续信号的拉普拉斯变换*于是，可以得出（3.3.15）（3.3.16）……（3.3.17）第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-12】求的原信号f(t)。【解】：将F(s)展开成部分分式第3章连续信号的拉普拉斯变换*所以因此其原信号为第3章连续信号的拉普拉斯变换*①用部分分式法将F(s)展开成低阶项，其具体方法是将F(s)的分母多项式D(s)为零的根（极点）分为实根、重根和共轭复根；②确定各低阶变换式的收敛域，主要依据是，该式的极点在收敛域的边界上，且该收敛域必定包含F(s)的收敛域；③根据各低阶项及其收敛域，确定它的反变换，一般收敛域左边极点的对应项为右边信号，右边极点对应项则都为左边信号。将各项反变换式相叠加，即得到F(s)的逆变换f(t)。综上所述，由拉氏变换式F(s)及其收敛域求其反变换f(t)的步骤如下：第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.4连续时间系统的s域(复频域)分析拉氏变换法是连续时间系统分析的一个重要工具，与傅里叶变换法相比较，可涉及的信号和系统更广泛，尤其在分析非零起始状态的系统时，可自动计入非零起始状态，从而一次可解得零输入响应、零状态响应和全响应。由于拉氏变换建立了时间变量f(t)与s域（复频域）变量F(s)之间的对应关系，因此把用拉氏变换法对系统的分析称为系统的s域（复频域）分析。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.4.1系统函数H(s)及微分方程的变换解线性时不变（LTI）系统输入信号x(t)与输出信号y(t)之间的关系，可由阶常系数线性微分方程来描述，即(3.4.1)设输入x(t)为在t=0时刻加入的因果信号，且系统为零状态，即和第3章连续信号的拉普拉斯变换*对式(3.4.1)两边进行拉氏变换，根据微分性质，可得系统的零状态响应yzs(t)的象函数为(3.4.2)式中X(s)是输入信号x(t)的象函数，为来自微分方程的有理多项式(3.4.3)第3章连续信号的拉普拉斯变换*定义系统函数H(s)为系统的零状态响应的象函数Yzs(s)与输入信号的象函数X(s)之比，即(3.4.4)可见，系统函数H(s)与系统的输入和响应无关，只取决于系统本身，它决定了系统特性，一旦系统的拓扑结构已定，H(s)也就确定了。线性时不变系统的零状态响应为借助卷积定理可得而系统函数H(s)与单位冲激响应h(t)构成一对单边拉氏变换对，即(3.4.5)h(t)和H(s)分别从时域和s域表征了系统的特性。第3章连续信号的拉普拉斯变换*由式(3.4.3)(3.4.4)可知，系统函数的分母由微分方程中各个响应项的系数ai所确定，而分子则由微分方程中各个激励项的系数bj所确定。由于这种对应关系，在系统函数和系统微分方程之间就可以相互转换，也就是说，如果知道了系统函数则可求得系统的微分方程；反之，如果知道了系统的微分方程，也同样可以求得系统函数。显然，由于多项式的代数属性，在求解系统响应时，利用系统函数表征要比微分方程方便的多。(3.4.3)(3.4.4)第3章连续信号的拉普拉斯变换*需要强调的是，式(3.4.4)的成立是有条件的。它要求系统的起始状态为0，同时也要求系统的激励信号是因果信号。这说明，系统函数表述的是系统零状态响应和因果激励信号之间的关系。如果系统的起始状态不为0，则不能用系统函数，而只能用系统微分方程来求解系统的响应。之所以将系统函数定义在零状态下，原因之一是，只有在零状态下，一个微分方程所描述的系统才具有线性、时不变性和因果性；原因之二是，只有在零状态下，系统响应和激励之间的关系才能完全由系统本身的物理参数所决定。而正是这两条零状态下的系统特性，才使得系统的分析过程得以简化。第3章连续信号的拉普拉斯变换*下面，以具体例子来说明用拉氏变换解微分方程的过程。【例3-13】描述某线性时不变系统的微分方程为：y”(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t),已知输入x(t)=e-3t，y(0-)=1，y’(0-)=1，求系统的全响应。【解】：对原微分方程两边逐项取拉氏变换，得将代入上式，则得第3章连续信号的拉普拉斯变换*即解得所以再取拉氏逆变换，得第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.4.2线性系统的稳定性当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统响应在干扰消失后会最终消失，即系统仍能回到干扰作用前的原状态，则系统是稳定的。稳定性是系统本身的特性，与输入信号无关。但任何系统要能正常工作，都必须以系统稳定为先决条件，所以，设法判定系统是否稳定是非常重要的。由于冲激信号δ(t)是在瞬时作用又立即消失的信号，若把它视为“干扰”，则冲激响应h(t)的变化模式完全可以说明系统的稳定性。这是因为冲激响应h(t)及其对应的系统函数H(s)都反映系统本身的属性，见式(3.4.5)。对于一般系统，稳定的充要条件是冲激响应h(t)绝对可积，即满足(3.4.5)(3.4.6)第3章连续信号的拉普拉斯变换*(3.4.6)可由H(s)的零点和极点分布来确定系统的冲激响应的模式，为了说明这一点，我们将式(3.4.4)的分子分母多项式因式分解，写为(3.4.7)式中，zj是零点，pi是极点，K是一个常数，对系统函数没有本质的影响，可以用一个附加条件来确定。为了简单起见，这里假设了零、极点都是多项式的单根。第3章连续信号的拉普拉斯变换*下面就极点的不同形式分析其与原函数波形的对应关系，及其对系统稳定性的影响。1．单阶极点（1）若H(s)的极点位于s平面的原点处，此时pi=0，则H(s)的形式为，其对应的h(t)=u(t),即冲激响应的模式为阶跃信号。（2）若H(s)的极点位于s平面的实轴上，此时pi=a（a为实数），则H(s)的形式为，其对应的。当a<0时，极点位于s平面的正实轴上，冲激响应的模式为发散指数信号；当a>0时，极点位于s平面的负实轴上，冲激响应的模式为衰减指数信号。第3章连续信号的拉普拉斯变换*（3）若H(s)的极点位于s平面的虚轴（极点必以共轭形式出现）上，如，它的两个极点位于+jω0和-jω0，则,冲激响应的模式为等幅振荡信号。（4）若H(s)的极点位于s平面的共轭复数处，且H(s)共轭极点位于s右半平面，如，则，冲激响应的模式为发散振荡信号。（5）若H(s)的极点位于s平面的共轭复数处，且H(s)共轭极点位于s左半平面，如，则，冲激响应的模式为衰减振荡信号；第3章连续信号的拉普拉斯变换*以上分析结果如图3-7，都是单极点的情况。图3-7单极点在S平面分布与时域信号关系h(t)=u(t),第3章连续信号的拉普拉斯变换*2．多重极点若H(s)具有多重极点，那么部分分式展开式各项所对应的时间函数可能具有t,t2,t3…与指数函数相乘的形式，t的幂次由极点阶次决定。几种典型情况如下：（1）若极点位于坐标原点处：当极点是二重极点时，则；当极点是三重极点时则（2）位于实轴上的二重极点，则h(t)是t与指数信号的乘积，如，则当a>0时，响应最终趋于按指数衰减。第3章连续信号的拉普拉斯变换*（3）位于虚轴上的二重共轭极点给出了幅度线性发散的振荡，如则这是幅度按线性增长的正弦振荡。若H(s)的全部极点位于s域的左半平面，则系统是稳定的；若H(s)在虚轴上有p=0的单极点或一对共轭单极点，其余极点全在s域的左半平面，则系统是临界稳定的；H(s)只要有一个极点位于s域的右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。综上所述，由的极点分布可以给出系统稳定性的如下结论：第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-14】已知系统，试判断该系统是否为稳定系统。【解】：由拉氏逆变换得：显然，极点都在s平面的左半边，且ROC在最右边极点的右边，故该系统是稳定系统。上面判断系统稳定性的条件，需要求出系统函数的全部极点，然后才能判断系统稳定与否。这对于二价以下系统是可行的，但对于三阶以上的高阶系统，人工求解极点一般是较困难的。于是人们试图寻找一种不需要求解高阶代数方程就能判断系统稳定与否的间接方法。劳斯-赫尔维茨提供了一种简便的代数判别法，读者可参考有关文献。第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.4.3拉氏变换与傅里叶变换的关系若f(t)是因果信号，则f(t)的傅里叶变换和单边拉氏变换分别为：由于s=σ+jω，因此，如能使σ=Re[s]=0，则F(s)=F(jω)。但是，能否使σ=0，要取决于F(s)的收敛域是否包含了jω轴。我们在引出拉氏变换时，是针对信号f(t)不满足绝对可积条件，对其乘以衰减因子e-σt而将傅里叶变换演变为拉氏变换。(3.4.8)第3章连续信号的拉普拉斯变换*（1）当时，收敛边界落于s右半平面（收敛域不包含jω轴），例如如果要从已知的单边拉氏变换求傅里叶变换，首先应判明f(t)为因果信号，然后根据收敛区间不同（收敛边界σ0不同），按以下情况分别对待：f(t)是发散函数，其拉氏变换为F(jω)不存在。第3章连续信号的拉普拉斯变换*（2）当时，收敛边界落于s左半平面（收敛域包含jω轴），例如f(t)是衰减函数，其拉氏变换为F(jω)存在，为所以第3章连续信号的拉普拉斯变换*（3）当σ0=0时，F(s)的收敛域为Re[s]>0，F(s)的收敛域不包含jω轴，故F(s)在jω轴上不收敛。若令s=jω，则F(s)不等于F(jω)。这时，由F(s)求傅里叶变换，结果将包含两部分，一部分是将F(s)中的s以jω代入；另一部分为一系列冲激函数之和。例如，对于单位阶跃函数有：第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.5本章内容Matlab仿真3.5.1用MATLAB求解信号的拉氏变换域语法格式：Xs=laplace(xt，t，s)式中，xt为被求拉氏变换的信号函数x(t)的符号表达式；t为积分变量；s为复频率；Xs为x(t)的拉氏变换X(s)。如果xt中t为MATLAB规定的积分变量，而且用s表示复频率，上面的指令也可简写为Xs=laplace(xt)第3章连续信号的拉普拉斯变换*【例3-15】求和的拉氏变换。【解】：m文件如下：symsta;%指定t和a为符号变量x1t=cos(2*t);x2t=exp(-a*t);X1s=laplace(x1t)X2s=laplace(x2t)输出结果：X1s=s/(s^2+4)X2s=1/(s+a)第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.5.2用MATILAB求解信号的拉氏逆变换语法格式：xt=ilaplace(Xs,s,t)式中Xs为拉氏变换式的符号表达式，xt为Xs对应的拉氏逆变换，如果s是Xs的隐含自变量，t是时间变量，则s、t可省略，上面的指令也可简写为xt=ilaplace(Xs)【例3-16】求下列复频域函数的拉氏逆变换。(1).(2).第3章连续信号的拉普拉斯变换*【解】：m文件如下：symss;X1s=atan(1/s);%atan为反正切函数X2s=s^2/(s^2+3*s+2);x1t=ilaplace(X1s)x2t=ilaplace(X2s)程序执行结果为x1t=1/t*sin(t)x2t=Dirac(t)-4*exp(-2*t)+exp(-t)即第3章连续信号的拉普拉斯变换*3.6小结拉氏变换解决了傅里叶变换在实际应用中面临的一些问题，它的引入是从一些发散信号因不满足傅里叶变换存在的条件而不能进行傅里叶的分析开始的。拉氏变换是傅里叶变换的推广，在线性时不变系统分析中特别有用，它可以将微分方程变为代数方程，这对分析系统互联、系统结构、用系统函数表征系统、分析系统特性等都具有重要意义。系统函数H(s)是系统零状态响应的象函数Y(s)和因果输入的象函数X(s)(之比。系统函数的分母由系统微分方程中各个响应项的系数确定，分子由各个激励项的系数确定，一旦系统的拓扑结构已定，H(s)也就确定了。系统函数H(s)与单位冲激响应h(t)构成一对单边拉氏变换对，分别从s域和时域表征了系统的特性。第3章连续信号的拉普拉斯变换*系统函数表述的是系统零状态响应和因果激励信号之间的关系。如果系统的起始状态不为0，则不能用系统函数，而只能用系统微分方程来求解系统的响应。在线性连续系统的s域分析方法中，是先求出系统响应的单边拉式变换，然后再求出其逆变换而得到系统时域响应。因此，求单边拉氏逆变换的讨论就显得尤为重要。单边拉氏逆变换的求解方法主要有查表法、部分分式展开法及留数法等3种，其中部分分式法是最常用的方法。作为拉氏变换的几何表示，零极点图对分析系统的频率特性有重要意义。从本质上讲，系统特性完全是由系统函数的零极点分布决定的。若H(s)的全部极点位于s域的左半平面，则系统是稳定的；若H(s)在虚轴上有单极点或一对共轭单极点，其余极点全在s域的左半平面，则系统是临界稳定的；只要有一个极点位于s域的右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。*