高考数学文科一轮复习人教A版5.2等差数列及其前n项和名师精编课件

第章　数　列第二节　等差数列及其前n项和栏目导航双基自主测评型分类突破课时分层训练返回导航2019版高三一轮[考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．返回导航2019版高三一轮第2项等差中项差(对应学生用书第69页)[基础知识填充]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的____都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为____________(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是________，其中A叫做a，b的__________．an＋1－an＝dA＝eq\f(a＋b,2)返回导航2019版高三一轮(n－m)D2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝_____________，an＝am＋_________．(2)前n项和公式：Sn＝______________＝__________.na1＋eq\f(nn－1d,2)eq\f(na1＋an,2)a1＋(n－1)d返回导航2019版高三一轮(n－m)d2Dmd3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_____________.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为____．(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为____的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．ak＋al＝am＋an返回导航2019版高三一轮[知识拓展]1．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列．返回导航2019版高三一轮[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×返回导航2019版高三一轮2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)A．－1　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．－2D　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D．]返回导航2019版高三一轮3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5B．7C．9D．11A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5.]返回导航2019版高三一轮4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100B．99C．98D．97C　[法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝3，,a1＋9d＝8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝1.))∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C．返回导航2019版高三一轮法二：∵{an}是等差数列，∴S9＝eq\f(9,2)(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C．]返回导航2019版高三一轮5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数.【导学号：79170161】16　[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.由an＝6n≤100，即n≤16eq\f(4,6)＝16eq\f(2,3)，则在100以内有16个能被6整除的数．]返回导航2019版高三一轮(对应学生用书第70页)等差数列的基本运算　(1)(2018·郑州模拟)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)A．eq\f(17,2)　　　　B.eq\f(19,2)　　　　C．10　　　　D．12返回导航2019版高三一轮(2)(2018·昆明模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝(　　)【导学号：79170162】A．9B．10C．11D．15(1)B　(2)B　[(1)∵公差为1，∴S8＝8a1＋eq\f(8×8－1,2)×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝eq\f(1,2)，∴a10＝a1＋9d＝eq\f(1,2)＋9＝eq\f(19,2).返回导航2019版高三一轮(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S11＝11a1＋\f(11×11－1,2)d＝22，,a4＝a1＋3d＝－12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－33，,d＝7，))∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]返回导航2019版高三一轮[规律方法]　　1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．返回导航2019版高三一轮[变式训练1]　(1)(2018·娄底模拟)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是(　　)A．2B．3C．4D．5(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.返回导航2019版高三一轮(1)B　(2)－72　[(1)∵数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，∴an＝1＋(n－1)d，∵81是该数列中的一项，∴81＝1＋(n－1)d，∴n＝eq\f(80,d)＋1，∵d，n∈N*，∴d是80的因数，故d不可能是3.故选B.返回导航2019版高三一轮(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a12＝a1＋11d＝－8，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝－1.))∴S16＝16×3＋eq\f(16×15,2)×(－1)＝－72.]返回导航2019版高三一轮等差数列的判定与证明　已知数列{an}中，a1＝eq\f(3,5)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}中的通项公式an.返回导航2019版高三一轮[解]　(1)证明：因为an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，bn＝eq\f(1,an－1).所以n≥2时，bn－bn－1＝eq\f(1,an－1)－eq\f(1,an－1－1)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,an－1)))－1)－eq\f(1,an－1－1)＝eq\f(an－1,an－1－1)－eq\f(1,an－1－1)＝1.5分返回导航2019版高三一轮又b1＝eq\f(1,a1－1)＝－eq\f(5,2)，所以数列{bn}是以－eq\f(5,2)为首项，1为公差的等差数列.7分(2)由(1)知，bn＝n－eq\f(7,2)，9分则an＝1＋eq\f(1,bn)＝1＋eq\f(2,2n－7).12分返回导航2019版高三一轮[规律方法]　　1.等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(解答题)(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(解答题)(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(小题)(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．(小题)2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．返回导航2019版高三一轮[变式训练2]　(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列返回导航2019版高三一轮(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)A．an＝eq\f(1,n)B．an＝eq\f(2,n＋1)C．an＝eq\f(2,n＋2)D．an＝eq\f(3,n)返回导航2019版高三一轮(1)B　(2)A　[(1)an＝n＋a1－1∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1∴a2n－1＋2a2n＝4n＋2a1－3因此数列{a2n－1＋2an}是公差为4的等差数列，故选B.(2)由已知式eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)可得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,an＋2)－eq\f(1,an＋1)，知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝1，公差为eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝2－1＝1的等差数列，所以eq\f(1,an)＝n，即an＝eq\f(1,n).]返回导航2019版高三一轮等差数列的性质及应用　(1)(2017·江西红色七校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a7＝5＋a9，则S9的值为(　　)A．27B．36C．45D．54(2)(2018·洛阳统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．63B．45C．36D．27返回导航2019版高三一轮(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6，则S2017＝________.(1)C　(2)B　(3)4034　[(1)由2a7＝5＋a9得a5＋a9＝5＋a9，所以a5＝5，所以S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝9a5＝45.(2)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故选B.返回导航2019版高三一轮(3)由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列．设其公差为D．则eq\f(S2014,2014)－eq\f(S2008,2008)＝6d＝6，∴d＝1.故eq\f(S2017,2017)＝eq\f(S1,1)＋2016d＝－2014＋2016＝2，∴S2017＝2×2017＝4034.]返回导航2019版高三一轮[规律方法]　　应用等差数列的性质应注意两点(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质．(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．返回导航2019版高三一轮[变式训练3]　(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(　　)A．18B．99C．198D．297(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝(　　)A．60B．70C．90D．40(3)(2018·佛山模拟)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.【导学号：79170163】返回导航2019版高三一轮(1)B　(2)A　(3)10　[(1)由a3＋a9＝27－a6得2a6＝27－a6，所以a6＝9所以S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝99.(2)因为数列{an}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10,20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.(3)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]返回导航2019版高三一轮等差数列的前n项和及其最值　(1)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.(2)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．(1)130　[由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝S15－2S5＝130.]返回导航2019版高三一轮(2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋eq\f(3×2,2)d＝11a1＋eq\f(11×10,2)d，4分即d＝－eq\f(2,13)a1.7分从而Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝－eq\f(a1,13)(n－7)2＋eq\f(49,13)a1，因为a1>0，所以－eq\f(a1,13)<0.9分故当n＝7时，Sn最大.12分返回导航2019版高三一轮法二：由法一可知，d＝－eq\f(2,13)a1.要使Sn最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))5分即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≥0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≤0，))9分解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大.12分返回导航2019版高三一轮法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，5分故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，9分所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大.12分返回导航2019版高三一轮[规律方法]　　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法1．函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．2．邻项变号法：(1)当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的项数m使得Sn取得最大值为Sm；(2)当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的项数m使得Sn取得最小值为Sm.返回导航2019版高三一轮[变式训练4]　(1)(2018·孝义模拟)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)A．21B．20C．19D．18(2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.①求等差数列{an}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.【导学号：79170164】返回导航2019版高三一轮(1)B　[因为a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤eq\f(41,2)，所以当n＝20时Sn达到最大值，故选B.](2)①设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2D．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝－3，,a1a1＋da1＋2d＝8，))返回导航2019版高三一轮解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝－3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－4，,d＝3.))所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.②当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3n＋7，n＝1，2，,3n－7，n≥3.))返回导航2019版高三一轮记数列{3n－7}的前n项和为Sn，则Sn＝eq\f(n[－4＋3n－7],2)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n.当n≤2时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－eq\f(3,2)n2＋eq\f(11,2)n，当n≥3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝eq\f(3,2)n2－eq\f(11,2)n＋10，综上知：Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)n2＋\f(11,2)n　n≤2，,\f(3,2)n2－\f(11,2)n＋10　n≥3.))返回导航2019版高三一轮课时分层训练（二十八）点击图标进入