用高斯展开法数值求解薛定谔方程

第３４卷第１期　　　　　　　　　西南大学学报（自然科学版）　　　　　　　　　　　２０１２年１月Ｖｏｌ．３４　Ｎｏ．１Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｊａｎ．　２０１２文章编号：１６７３－９８６８（２０１２）０１－００４９－０５用高斯展开法数值求解薛定谔方程的Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ实现及算法分析①曹　璐，　陈　洪西南大学物理科学与技术学院，重庆４００７１５摘要：基于两体束缚问题的数值求解，给出了在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　５．０中求解广义矩阵本征值方法的两种程序方案与高斯基个数及形状的关联．以氢原子和Ｃｏｒｎｅｌ势场下粲偶素为例，讨论了高斯基空间的选择，并得到符合能谱及波函数的数值计算结果．关　键　词：薛定谔方程；高斯展开法；广义特征值中图分类号：Ｏ２４５文献标志码：Ａ由于仅有几种简单势场下的薛定谔方程可以得到解析的本征解，在实际处理相互作用机制复杂的物理问题时，找到一种有效可靠的数值求解方法就显得极为重要．数值求解薛定谔方程通常采用的是节点法［１］、Ｎｕｍｅｒｏｖ方法［２］等．这些解法只能对有限的势场进行求解，势场的其余部分只能处理为微扰项，因而在实际运用中有很大的局限性，并且难以在已有的两体算法的基础上拓展到多体问题．１９８８年，ＫＡ－ＭＩＭＵＲＡ［３］提出高斯展开法（Ｇａｕｓｓｉａｎ　Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ，ＧＥＭ），此后发展为研究多体系统的有效方法［４－９］．这种方法是选择一系列高斯函数作为基矢，在有限的基空间内对真实的物理态进行模拟近似；其优点在于可以通过对角化哈密顿矩阵，自动得到基态以及具有相同自旋和宇称的激发态能级［１０］．实际上，在量子化学中将高斯型函数作为基函数，对原子轨道和分子轨道进行计算从而得到不同状态下分子的共振谱方法已经较为成熟，且与实验所观测到的值吻合得较好并具备较高精度．对于两体问题，ＧＥＭ在一个足够大的有限空间内能够得到非常理想的结果［１０］．本文通过在世界著名数学软件Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ上的程序实现，讨论采用两种不同编程方案得到的数值结果与高斯基个数、形状及相互作用势场形式的关联性，为合理选定基参数、得到符合标准能谱及波函数的数值计算结果提供依据．１　理论方法及相关程序１．１　两体薛定谔方程的高斯展开解法文献［１０］系统阐述了ＧＥＭ的基本思路．对于两体束缚问题的薛定谔方程可示为－２２　Ｍ２＋Ｖ（ｒ）－［］Ｅψｌｍ（ｒ）＝０（１）其中：Ｍ为约化质量，Ｖ（ｒ）为有心势场．将ψｌｍ（ｒ）用Ｎ个高斯基进行展开，得到ψｌｍ（ｒ）＝∑Ｎｎ＝１ｃｎｌＧｎｌｍ（ｒ）（２）①收稿日期：２０１１－０３－１１基金项目：重庆市自然科学基金资助项目（２０１１ＢＡ６００４）．作者简介：曹　璐（１９８７－），女，贵州贵阳人，硕士研究生，主要从事强子物理研究．通信作者：陈　洪，教授，博士生导师．Ｇｎｌｍ（ｒ）＝Ｇｎｌ（ｒ）Ｙｌｍ（ｒ∧）（３）Ｇｎｌ（ｒ）＝Ｎｎｌｒｌｅ－ｖｎｒ２（４）Ｎｎｌ＝２ｌ＋２（２ｖｎ）ｌ＋３２槡π（２ｌ＋１）（）！！１２（５）ｒｎ＝ｒ１ａｎ－１，ｖｎ＝１ｒ２ｎ　　　ｎ＝１→Ｎ（６）其中：球谐函数Ｙｌｍ（ｒ∧）和径向高斯函数Ｇｎｌ（ｒ）共同构成了基失空间，Ｎｎｌ为归一化因子．但需注意高斯基｛Ｇｎｌｍ；ｎ＝１→Ｎ｝并非完全正交，这是对角化过程中需要解决的主要问题．本文选取｛Ｎ，ｒ１，ｒＮ｝作为描述一个确定基空间的参数组进行讨论：Ｎ是基函数的个数，ｒ１和ｒＮ分别与第１个和第Ｎ个高斯基函数的形状相关．非正交基函数Ｇｎｌ（ｒ）满足紧邻重叠条件，使得〈Ｇｎｌ｜Ｇｎｌ〉独立于ｎ．能量本征方程在本征态以高斯函数为基失展开后可化为∑Ｎｎ′＝１［（Ｔｎｎ′＋Ｖｎｎ′）－ＥＮｎｎ′］ｃｎ′ｌ＝０（７）其中：束缚能Ｅ和展开系数｛ｃｎｌ｝由Ｒａｙｌｅｉｇｈ－Ｒｉｔｚ变分原理决定，也即是待求解的哈密顿矩阵对Ｎｎｎ′的广义特征值及相应的特征向量．理想的ＧＥＭ是通过用无限个高斯基叠加，最大限度地逼近真实的物理本征态．然而，实际的计算不可能实现无限维的矩阵操作，并且求解的物理问题在根本上不应依赖于特定的展开系数．所以，在有限维度的基空间下，数值求解上述矩阵特征值问题时需要对算法本身的稳定性，即存在不明显依赖于参数的数值结果．这就是数值求解程序所需要满足的平台条件．ＧＥＭ在各种实际物理问题的应用中，最为重要的是如何选取合适的基参数｛Ｎ，ｒ１，ｒＮ｝，而这正是本文着力研究的重点．１．２　广义特征值问题的数值算法在、物理和化学中，通常运用雅可比方法求解方阵的广义特征值［１１－１２］．具体而言，ＡＸ＝λＢＸ型的广义特征值是通过对正定实对称矩阵Ｂ进行Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解，将广义特征值问题化为标准形式的特征值问题．对此，有关数值分析和矩阵运算等书籍［１１，１３－１４］已给出详细过程，这里就不再赘述．用Ｈ表示势能项与动能项之和：∑Ｎｎ′＝１（Ｔｎｎ′＋Ｖｎｎ′）＝∑Ｎｎ′＝１Ｈｎｎ′＝Ｈ（８）则（７）式中的各项矩阵元的可记为Ｈｃ＝ＥＮｃ．对Ｎ作Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解得到Ｎ＝ＵＴＵ，利用上三角矩阵Ｕ可以得到（Ｕ－１　ＨＵ－Ｔ）（Ｕｃ）＝Ｅ（Ｕｃ）．这就将广义特征值转化为求解矩阵ｏｂｊ＝Ｕ－１　Ｈ（Ｕ－１）Ｔ这一标准形式的特征值问题．若Ｖ为ｏｂｊ的特征向量，则（７）式中的特征向量ｃ＝（ＵＴ）－１　Ｖ；ｏｂｊ的特征值即为Ｅ．相应的Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ语句为Ｕ＝Ｃｈｏｌｅｓｋｙ　Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ［Ｎ］；　　　　　　　　　　（＊将矩阵Ｎ进行Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解＊）Ｕ１＝Ｉｎｖｅｒｓｅ［Ｕ］；（＊求解上三角矩阵Ｕ的逆矩阵＊）ｏｂｊ＝Ｕ　１．Ｈ．Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［Ｕ１］；（＊建立目标矩阵ｏｂｊ＝Ｕ－１　ＨＵ－Ｔ＊）Ｕｔ＝Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［Ｕ］；ｃｃ＝Ｉｎｖｅｒｓｅ［Ｕｔ］．Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［Ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ［ｏｂｊ］］（＊求解特征值和特征向量＊）ＥＥ＝Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ［ｏｂｊ］１．３　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ中求解广义特征值的内部函数数学计算软件Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ提供内部函数Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ［］计算标准的矩阵特征值，在上面最后两行语句里就运用了这个内部函数．Ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ的输出结果为所有特征向量，Ｅｉｇｅｎｓｙｓｔｅｍ给出所有特征值以及特征向量组．Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ［｛，｝］用以处理广义问题，用其求解（７）式的语句如下：ＥＥ＝Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ［｛Ｈ，Ｎ｝］（＊求解Ｈ矩阵对Ｎ矩阵的广义特征值和特征向量＊）ｃｃ＝Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［Ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ［｛Ｈ，Ｎ｝］］在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　５．０中，广义特征向量解组Ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ［｛Ｈ，Ｎ｝］满足程序运算式“Ｈ．Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ０５西南大学学报（自然科学版）　　　　　ｈｔｔｐ：／／ｘｂｂｊｂ．ｓｗｕ．ｃｎ　　　　　第３４卷［ｖｅｃｔｏｒｓ］＝＝Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［ｖｅｃｔｏｒｓ］．ＤｉａｇｏｎａｌＭａｔｒｉｘ［ｖａｌｕｅｓ］”；标准矩阵特征问题的解向量Ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ［Ｈ］满足“Ｈ．Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［ｖｅｃｔｏｒｓ］＝Ｎ．Ｔｒａｎｓｐｏｓｅ［ｖｅｃｔｏｒｓ］．ＤｉａｇｏｎａｌＭａｔｒｉｘ［ｖａｌｕｅｓ］”．因此，由内部函数得到的特征向量除了需归一化外，还应进行转置操作才能对应于本征态的展开系数．２　数值结果与讨论在Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　５．０中，运用上述两种方法分别计算库仑势下氢原子能级和Ｃｏｒｎｅｌ势场［１５］的粲偶素能谱．表１列举出了选取不同基空间得到的前十阶氢原子能量本征值．表１　在４０维和１０维基空间下得到的氢原子能级ｎＮ＝４０调用求解广义特征值内部函数方法雅克比方法Ｎ＝１０调用求解广义特征值内部函数方法雅克比方法１－１３．６０５　５－１１２．３１９－１０．４５７　３－１０．４５７　４２－３．４０１　３６－１３．５６６－１．９４０　４９－１．９４０　７２３－１．５１１　７１－３．３４２　３３－０．４３４　６３８－０．４６７　６９７４－０．８５０　２９８－１．４４９　２８　１３．４７５　３　１３．４７５　５５－０．５４４　１２３－０．８０２　０６１　１　１５８．２４　１　１５８．２４６－０．３７７　６１８－０．５３１　７８１　２９　８３６　２９　８３６７－０．２７５　２９１－０．３８６　８６６　６８０　６０５　６８０　６０４８－０．２００　４４２－０．２７９　９７７　１．５１６　９４×１０７　１．５１６　８６×１０７９　０．００７　７０２　８３　０．００７　８５４　０７　３．３６４　７４×１０８　３．３５８　１４×１０８　　注：ｒ１＝０．０１５；ｒＮ＝１７　０００．从表１中可以看出，当高斯基的个数较多时，雅克比方法与调用求解广义特征值内部函数方法能够得到基本一致的计算结果，也就是说明在足够大的基空间内两种方案是等效的．具体在各自的基空间下，两种方案决定高斯函数形状的基参数对数值计算结果的影响在图１和图２中得以体现．图１　Ｃｏｒｎｅｌ势场下粲偶素１Ｓ态的质量图２　氢原子基态能级　　从图１－２可以看出，调用广义特征值内部函数的方法（Ａｕｔｏ），不明显依赖高斯基的形状，在两类势场下都能给出非常平稳的本征值；而雅克比方法（Ｃｈｌｏｅｓｋｙ）对基函数形状的要求较高，在ｒＮ足够大时逐渐稳定．当ｒＮ足够大即是高斯基形状较宽、平，两种方案得到的本征值趋于一致．在高斯基较为窄、尖时，１／ｒ形式的库仑势比含有线性项的Ｃｏｒｎｅｌ势，更容易得到稳定的、不明显依赖于基参数的本征值．值得注意的是，由ＧＥＭ计算得到的最低本征值不一定都对应物理基态，可能是具有相同量子数的激发态，也可能是物理上不存在的赝态．为了判断本征值的计算结果是否对应于物理本征态，有必要观察相应的本征波函数图像（图３－４）．１５第１期　　　曹　璐，等：用高斯展开法数值求解薛定谔方程的Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ实现及算法分析图３　氢原子１Ｓ（实线）、２Ｓ（虚线）、３Ｓ（虚点线）态本征波函数图４　非相对论粲偶素１Ｓ（实线）、２Ｓ（虚点线）态本征波函数　　从本征波函数分析，Ａｕｔｏ方案对于库仑势非常稳定．对于雅可比算法而言，不宜选取太大的基空间去迎合平台条件．因为，基空间越大，夹杂的非物理干扰项就越多，对本征矢量的影响越明显．所以采用雅克比方案时，应考虑调整基参数（ｒ１和ｒＮ）以及势场参数来实现相对稳定的本征值和本征向量的数值计算．值得注意的是不同形式的势场，对基参数的要求可能不同．两种方案的平台可以处于不同的参数区间，而且对于不同形式的势场也有差异．经过大范围的计算证明两种方案在各自适合的参数范围内，能够得到最终一致的计算结果并符合变分原理．３　小　结两种计算方案的数值差异，可能来自Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件对于内部函数的优化程度．文献［１２］对比了调用Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ与利用ＱＲ分解自行编写程序计算标准特征值的数值结果，证明经过优化的内部函数Ｅｉ－ｇｅｎｖａｌｕｅｓ在本征值计算过程中收敛很迅速．因此，在各自适合的基参数设定下，两种计算方案得到的计算结果是一致的．本文通过分析库仑势和康奈尔势的计算结果，不难看出在能量本征值上直接调用Ｍａｔｈ－ｅｍａｔｉｃａ内部函数求解广义矩阵特征值具有稳定、不明显依赖参数的特点．而对于线性势下有显著拖尾行为的势场，这种方法得到的本征向量很容易受到赝态的干扰，在长程区域出现由于基函数过于尖锐导致的波函数振荡．这种行为在高斯基形状取得非常平坦时可以消除．进行Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解的雅可比算法更适合用于拖尾行为显著的势场，在避免过多非物理本征矢量对波函数造成影响的同时对高斯基形状的要求不高．基于两种方案的等效性，根据不同形式势场的收敛特征选用合适的计算方案，是保证得到合理物理解并提高计算效率的有效方法．参考文献：［１］ＫＥＮ　Ｐ　Ｆ，ＧＲＯＳＳＥ　Ｈ，ＳＣＨ　Ｆ．Ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｂｏｕｎｄ　Ｓｔａｔｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐ　Ｐｈｙｓ　Ｃｏｍｍｕｎ，１９８５，３４：２８７－２９３．［２］　ＫＯＯＮＩＮ　Ｓ　Ｅ，ＭＥＲＥＤＩＴＨ　Ｄ　Ｃ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｐｈｙｓｉｃｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ，１９９０．［３］　ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ．Ｎｏｎａｄｉａｂａｔｉｃ　Ｃｏｕｐｌｅｄ－Ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ－Ｃｈａｎｎｅｌ　Ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　Ｍｏｕｎｉｃ　Ｍｏｌｅｃｕｌｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ａ，１９８８，３８：６２１－６２４．［４］　ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ，ＭＯＴＯＢＡ　Ｔ，ｅｔ　ａｌ．Ｔｈｒｅｅ－Ｂｏｄｙ　Ｍｏｄｅｌ　Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　Ａ＝６－７Ｈｙｐｅｒｎｕｃｌｅｉ：Ｈａｌｏ　ａｎｄ　ＳｋｉｎＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｃ，１９９６，５３：２０７５－２０８５．［５］　ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ，ＭＯＴＯＢＡ　Ｔ，ｅｔ　ａｌ．Ｔｈｒｅｅ　ａｎｄ　Ｆｏｕｒ－Ｂｏｄｙ　Ｃｌｕｓｔｅｒ　Ｍｏｄｅｌｓ　ｏｆ　Ｈｙｐｅｒｎｕｃｌｅｉ　Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｇ－ＭａｔｒｉｘΛＮ　Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ—９ΛＢｅ，１３ΛＣ，６ΛΛＨｅ　ａｎｄ　１０ΛΛＢｅ—［Ｊ］．Ｐｒｏｇ　Ｔｈｅｏｒ　Ｐｈｙｓ，１９９７，９７：８８１－８９９．［６］　ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ，Ｍｉｙａｚａｋｉ　Ｋ，ｅｔ　ａｌ．γＴｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ　ｉｎ　Ａ＝７Ｈｙｐｅｒｎｕｃｌｅｉ　ａｎｄ　ａ　Ｐｏｓｓｉｂｌｅ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈｙ－ｐｅｒｎｕｃｌｅａｒ　Ｓｉｚｅ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｃ，１９９９，５９：２３５１－２３６０．［７］　ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ，ＭＯＴＯＢＡ　Ｔ，ｅｔ　ａｌ．ΛＮＳｐｉｎ－Ｏｒｂｉｔ　Ｓｐｌｉｔｔｉｎｇｓ　ｉｎ　９ΛＢｅ　ａｎｄ　１３ΛＣ　Ｓｔｕｄｉｓｄ　ｗｉｔｎ　Ｏｎｅ－Ｂｏｓｏｎ－ＥｘｃｈａｎｇΛＮ　Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，２０００，８５：２７０－２７３．［８］　ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ，ＭＯＴＯＢＡ　Ｔ，ｅｔ　ａｌ．Λ－ΣＣｏｎｖｅｒｓｉｏｎ　ｉｎ　４ΛＨｅ　ａｎｄ　４ΛＨ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａ　Ｆｏｕｒ－Ｂｏｄｙ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ２５西南大学学报（自然科学版）　　　　　ｈｔｔｐ：／／ｘｂｂｊｂ．ｓｗｕ．ｃｎ　　　　　第３４卷［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｃ，２００１，６５：０１１３０１－０１１３０５．［９］　ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ，ＭＯＴＯＢＡ　Ｔ，ｅｔ　ａｌ．Ｆｏｕｒ－Ｂｏｄｙ　Ｃｌｕｓｔｅｒ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　Ａ＝７－１０Ｄｏｕｂｌｅ－ΛＨｙｐｅｒｎｕｃｌｅｉ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｃ，２００２，６６：０２４００７－２０４０１９．［１０］ＨＩＹＡＭＡ　Ｅ，ＫＩＮＯ　Ｙ，ＫＡＭＩＭＵＲＡ　Ｍ．Ｇａｕｓｓｉａｎ　Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｆｅｗ－Ｂｏｄｙ　Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｇｒｅｓｓ　ｉｎ　Ｐａｒｔｉｃｌｅａｎｄ　Ｎｕｃｌｅａｒ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００３，５１：２２３－３０７．［１１］任玉杰．数值分析及其ＭＡＴＬＡＢ实现［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：３４６－３５１．［１２］鲍四元．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ有限元分析与工程应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１０：２１７．［１３］曹志浩．矩阵特征值问题［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８０．［１４］豪斯霍尔德．数值分析中的矩阵论［Ｍ］．孙继广，译．北京：科学出版社，１９８６：３８４－５３０．［１５］ＥＩＣＨＴＥＮ　Ｅ，ＧＯＴＴＦＲＩＤ　Ｋ，ＫＩＮＯＳＨＩＴＡ　Ｔ．Ｃｈａｒｍｏｎｉｕｍ：Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｄ，１９８０，２１：２０３－２３３．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆＳｏｌｖｉｎｇ　Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ＭｅｔｈｏｄＣＡＯ　Ｌｕ，　ＣＨＥＮ　ＨｏｎｇＳｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　４００７１５，ＣｈｉｎａＡｂｓｔｒａｃｔ：Ｇａｕｓｓｉａｎｓ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｒｅｇａｒｄｅｄ　ａｓ　ａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｎｏｎ－ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｆｏｒｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｅｎｅｒｇｙ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｂａｓｉｓｓｐａｃｅｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ａｖａｉｌａｂｌｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｉｎ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｔｗｏ－ｂｏｄｙ　ｂｏｕｎｄｉｎｇ　ｓｔａｔｅ．Ｔｈｅｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｂａｓｉｓ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｆｏｒ　ｈｙｄｒｏｇｅｎ　ａｔｏｍ　ａｎｄ　ｃｈａｒｍｏｎｉｕｍ　ｂｏｕｎｄｅｄ　ｂｙ　Ｃｏｒｎｅｌ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ａｓｅｘａｍｐｌｅｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｅｎｅｒｇｙ　ｓｐｅｃｔｒａ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｗａｖｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｇａｕｓｓｉａｎｓ　ｅｘｐａｎｄｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ；Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ责任编辑　潘春燕　　　　３５第１期　　　曹　璐，等：用高斯展开法数值求解薛定谔方程的Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ实现及算法分析