数学人教版九年级下册规律探索性问题

【荣昌初级中学集体备课教案编写模板】专题一规律探索型问题2017级数学备课组主备：周宗伟审核人：雷莉小组负责人：雷莉梁绍恒【教材】探索型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。【学习目标】1.根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征。2.解题时要善于从提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式.3.了解总结归纳的数学思想.【重难点及突破方法】1．重点：要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．2．难点：“特殊到一般” 的数学思想方法.3．突破方法：1）通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。2）抓在教学过程中，通过学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。【教学方法】讲授法，讨论法，练习法。【教学用具】多媒体【课时安排】一课时【教学】1、热点问题分析规律探索型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化趋势，据此得出它的规律或者其他相关结论.规律探索型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以选择或者填空等形式出现，解题时要善于从提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律.其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想.2、热点问题归类：例1．（2016绵阳）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用Ai表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1=1，A2=2，A3=1，A4=1，A5=3，A6=3，A7=1，则A2016=　　．14．观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是　　．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案．【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，∴第11个数据是：﹣=﹣．2．一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，an=（n≥2，且n为整数），则a2016=　﹣1　．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据题意求出a1，a2，a3，…的值，找出循环规律即可求解．【解答】解：a1=，a2==2，a3==﹣1，a4==…可以发现：数列以，2，﹣1循环出现，2016÷3=672，所以a2016=﹣1．故答案为﹣1．【点评】此题主要考查数列的规律探索，认真计算找出循环出现的规律是解题的关键．3．观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第　44　层．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先按图示规律计算出每一层的第一个数和最后一个数；发现第一个数分别是每一层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通过计算可知：442＜2016＜452，则2016在第44层．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44【点评】本题考查了数学变化类的规律题，这类题的解题思路是：①从第一个数起，认真观察、仔细思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等规律来表示；②利用方程来解决问题，先设一个未知数，找到符合条件的方程即可；本题以每一行的第一个数为突破口，找出其规律，得出结论．例2.将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=　16　．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由图可知：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．【解答】解：第一个图形有：5个○，第二个图形有：2×1+5=7个○，第三个图形有：3×2+5=11个○，第四个图形有：4×3+5=17个○，由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．故答案为：16．【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．4．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（　　）A．71 B．78 C．85 D．89【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．【解答】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．故选D．5．（2016重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（　　） A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是3+12，6+22，10+32，15+42，…，总结出其规律为+n2，根据规律求解． 【解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第一个图形为：+12=4， 第二个图形为：+22=6， 第三个图形为：+32=10， 第四个图形为：+42=15， …， 所以第n个图形为：+n2， 当n=7时，+72=85， 故选D． 【点评】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律．6．观察下列砌钢管的横截面图：则第8个图的钢管数是　108　（用含n的式子表示）【分析】本题可依次解出n=1，2，3，…，钢管的个数．再根据规律以此类推，可得出第n堆的钢管个数．【解答】解：第一个图中钢管数为1+2=3；第二个图中钢管数为2+3+4=9；第三个图中钢管数为3+4+5+6=18；第四个图中钢管数为4+5+6+7+8=30，依此类推，第n个图中钢管数为n+（n+1）+（n+2）+…+2n=+=n2+n，故答案为：108．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．　7．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为　226　．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出规律，即可得出a的值．【解答】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案为：226．【点评】本题考查了数字的变化美；根据题意得出规律是解决问题的关键．8．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（　　）A．43 B．45 C．51 D．53【考点】规律型：图形的变化类．【分析】设图形n中星星的颗数是an（n为自然是），列出部分图形中星星的个数，根据数据的变化找出变化规律“an=2+”，结合该规律即可得出结论．【解答】解：设图形n中星星的颗数是an（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴an=2+．令n=8，则a8=2+=51．故选C．课堂练习1．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（　　）A．671B．672C．673D．674【分析】将已知三个图案中白色纸片数拆分，得出规律：每增加一个黑色纸片时，相应增加3个白色纸片；据此可得第n个图案中白色纸片数，从而可得关于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3张；第2个图案中白色纸片有7=1+2×3张；第3个图案中白色纸片有10=1+3×3张；…∴第n个图案中白色纸片有1+n×3=3n+1（张），根据题意得：3n+1=2017，解得：n=672，故选：B．【点评】本题考查了图形的变化问题，观察出后一个图形比前一个图形的白色纸片的块数多3块，从而总结出第n个图形的白色纸片的块数是解题的关键．[来源:学科网ZXXK]2.观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（　B　）A．0B．3C．4D．83.（2015•重庆A）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，其中第②个图形中一共有9个小圆圈，其中第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）①②③A.21B.24C.27D.30考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=7求解即可．解答：解：观察图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，…第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，当n=7时，3×（7+1）=24，故选B．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公式，难度不大．4.11．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是（　　）A．56B．58C．63D．72【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：第一个图形有2+1×2=4个小圆，第二个图形有2+2×3=8个小圆，第三个图形有2+3×4=14个小圆，第四个图形有2+4×5=22个小圆…由此得出，第7个图形的小圆个数为2+7×8=58，由此得出答案即可．【解答】解：∵第一个图形有2+1×2=4个小圆，第二个图形有2+2×3=8个小圆，第三个图形有2+3×4=14个小圆，第四个图形有2+4×5=22个小圆，…∴第七个图形的小圆个数为2+7×8=58，故选B．5.如图所示，某公园节日鲜花摆放，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛，顶层一个，以下各层堆成六边形，逐层每边增加一个花盆，则第七层的花盆的个数是（　　）A．124 B．125 C．126 D．127【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由图形可知：第一层有1个花盆，第二层有1+6=7个花盆，第三层有1+6+12=19个花盆，第四层有1+6+12+18=37个花盆，…第n层有1+6×（1+2+3+4+…+n﹣1）=1+3n（n﹣1）个花盆，要求第7层个数，由此代入求得答案即可．【解答】解：∵第一层有1个花盆，第二层有1+6=7个花盆，第三层有1+6+12=19个花盆，第四层有1+6+12+18=37个花盆，…∴第n层有1+6×（1+2+3+4+…+n﹣1）=1+3n（n﹣1）个花盆，∴当n=7时，∴花盆的个数是1+3×7×（7﹣1）=127．故选：D．【点评】此题考查图形的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．　课堂小测试1．将1、、、按如图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左往右第n个数，则（7，5）表示的数是（　　）A．1 B． C． D．【考点】算术平方根．【专题】规律型．【分析】所给一系列数是4个数一循环，看（7，5）是第几个数，除以4，根据余数得到相应循环的数即可．【解答】解：∵第6排最后一个数为1+2+3+4+5+6==21，∴（7，5）表示21+5=26个数，∵26÷4=6…2，∴（7，5）表示的数为，故选B．【点评】此题考查数字的变化规律；判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．　2．观察下列一组图形，其中图1中共有6个小黑点，图2中共有16个小黑点，图3中共有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是（　　）A．46 B．51 C．61 D．76【考点】规律型：图形的变化类．【分析】第1个图形小黑点的个数：5×1+1=6；第2个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1=16；第3个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1=31；找出规律即可得到图5中小黑点的个数．【解答】解：由图形1、2、3可以看出，第1个图形小黑点的个数：5×1+1=6；第2个图形小黑点的个数：5×（1+2）+1=16；第3个图形小黑点的个数：5×（1+2+3）+1=31；所以第5个图形小黑点的个数：5×（1+2+3+4+5）+1=76．故选：D．【点评】本题考查了探索图形规律问题，解决此类问题的关键是由图形到算式，采用特殊到一般的数学思想方法，归纳出一般规律．　3、观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有3个点，第2个图形中共有8个点，第3个图形中共有15个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是（）A、42B、48C、56D、724．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（　　）A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角 D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵2016÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．5.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，…，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数为（　　）A．30B．25C．28D．31【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由于图①有矩形有6个=5×1+1，图②矩形有11个=5×2+1，图③矩形有16=5×3+1，第n个图形矩形的个数是5n+1把n=6代入求出即可．【解答】解：∵图①有矩形有6个=5×1+1，图②矩形有11个=5×2+1，图③矩形有16=5×3+1，…∴第n个图形矩形的个数是5n+1当n=6时，5×6+1=31个，故选：D．【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．　6．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是（　　）　A．780B．800C．820D．840考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；…由此规律得到第n个图形有2n2个小菱形，然后代入n=20即可求得答案．解答：解：第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；…第n个图形有2n2个小菱形；第20个图形有2×202=800个小菱形；故选：B．点评：此题考查了图形的变化类规律，解题的关键是仔细观察图形的变化，并找到图形的变化规律，利用规律解决问题．7．如图，下列图案均是长度相同的火柴并按一定的规律拼接而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，第3个图案需21根火柴，…，依此规律，第8个图案需火柴（　　）A．90根 B．91根 C．92根 D．93根【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把8代入即可求出答案．【解答】解：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，…第n个图案需n（n+3）+3根火柴，则第8个图案需：8×（8+3）+3=91（根）；故选：B．【点评】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．8．如图，每个图形都是由同样大小的正方形按照一定的规律组成，其中第①个图形面积为2，第②个图形的面积为6，第③个图形的面积为12，…，那么第⑧个图形面积为（   ）A．42 B．56 C．72 D．90考点：数与形结合的规律试题解析：第（1）个图形有1×2=2个小正方形，面积为1×2=2，第（2）个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3=6，第（3）个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4=12，第（4）个图形有4×5=20个小正方形，面积为4×5=20，…，第（8）个图形有8×9=72个小正方形，面积为8×9=72．故选C．9．下列图形都是同样大小的棋子按一定规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，...，则第⑥个图形中棋子的颗数为（   ）A．51 B．70 C．76 D．81考点：数与形结合的规律试题解析：通过观察图形第①个图形中棋子个数为1=1+5×0；第②个图形中棋子个数为6=1+5×1；第③个图形中棋子个数为16=1+5×3；……所以第n个图形中棋子个数为1+5×（1+2+…+n-1）= ；所以第⑥个图形中棋子的颗数为=76答案：C10．观察下列个图中小圆点的摆放规律，按这样的规律急促摆放下去，则第⑦个图形的小圆点的个数为（   ）A．62 B．64 C．66 D．68【考点】数与形结合的规律【解析】当n=1时，小圆点的个数；当n=2时，小圆点的个数；当n=3时，小圆点的个数；当n=4时，小圆点的个数；当n=5时，小圆点的个数；…∴根据观察可得当n=奇数时，小圆点的个数=；当n=偶数时，小圆点的个数=∴第⑦个图案，铜币个数=故选C。二、课堂小结：探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多.三、课后作业:配套练习四、板书设计：规律探索型问题（1）考点分析（2）课堂小结（3）课后作业五、教学反思：怎样找规律呢？也许，我们更多地关注找怎样的规律，其实，我们更需要在“找”上做文章。找规律的教学价值与重点是在“找”的过程中。课前导学的问题正体现了这一点。例1设计的问题，是用探索2016在第几行是关键，学生能自主的小组探索，教学目标能提前完成。而对于规律的发现学生还是对“等差数列”公式不熟，我又写出公式才解决。例2解决方法多种，有的同学直接画出图形；有的从特殊找到一般规律，完成得不错。探索规律”的过程是学生利用已有的知识和生活经验进行创造性学习的过程。在这个过程中充满了许多富有情趣的细节，有助于帮助学生锻炼克服困难的意志.