布里渊区

§2.3布里渊区（Brillouinzone）一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouinzone）1、布里渊散射条件（Brillouin’sdiffractioncondition）2、布里渊区（Brillouinzone）3、布里渊区的性质（propertiesofBrillouinzone）提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价（2.3.2）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表示形式。下面我们来说明它与布拉格定律是等价的：二、布里渊散射条件和布里渊区（Brillouinzone）1、布里渊散射条件（Brillouin’sdiffractioncondition）O点是倒空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波矢满足（2.3.2）式，将（2.3.2）式两边同除以4，散射条件则可写成这就是布里渊的散射条件。容易看出，任何连接原点和垂直平分面的波矢都满足散射条件。提供了一个生动而清晰的几何诠释，它包括了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢。2、布里渊区第一布里渊区根据上面的，对布里渊区的每个界面，当入射波矢的端点落在这些面上时，也必然产生反射。(2)二维正方格子的布里渊区离原点最近的的倒格点有四个:b1,-b1,b2,-b2它们的垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区,即第一布里渊区.显然,第一布里渊区是一个正方形,面积为S*=(2π)2/a2.照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数目是多少，各布区的面积是相等的。（3）简单立方格子的布里渊区简单立方格子的倒格子仍然是简立方，离原点最近的有六个倒格点，第一布里渊区就是原点和这六个近邻的格点连线的垂直平分面围成的立方体。可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构.离原点最近的倒格点有12个，它们是：这十二个倒格矢的中垂面围成的区域就是第一布里渊区，如图2.7所示是一个十二面体。（5）面心立方结构晶体点阵的布里渊区取面心立方的原胞基矢为：可见，这个截角以后的八面体是第一布里渊区，如图2.8所示。3、布里渊区的性质从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质：（1）布里渊区的形状与晶体结构有关；（2）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成；（3）对于给定的晶体结构，各布里渊区的形状不同，但体积都相同，都等于倒格子的原胞体积。其实，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳-赛茨原胞，它的体积就是倒格子原胞体积。§2.3布里渊区（Brillouinzone）一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouinzone）1、布里渊散射条件（Brillouin’sdiffractioncondition）2、布里渊区（Brillouinzone）3、布里渊区的性质（propertiesofBrillouinZone）summaryThecentralcellinthereciprocallatticeisofspecialimportanceinthetheoryofsolids.ItisthefirstBrillouinzone.ThefirstBrillouinzoneisthesmallestvolumeentirelyenclosedbytheplanesthatareperpendicularbisectorsofthereciprocallatticevectors.ThefirstBrillouinzoneistheWigner-Seitzprimitivecellinthereciprocallattice.Brillouinzone§2.4原子的形状因子和结构因子(atomicformfactorandstructurefactor)一、散射波振幅（Diffractionamplitude）二、结构基元的傅立叶分析（Scatteringfromalatticewithbasis）三、原子形状因子（atomicformfactor）本节思路：在分析散射振幅的基础上，介绍原子的结构因子和形状因子，给出几种晶体衍射消光的条件。一、散射波振幅（Diffractionamplitude）1、振幅的表示（expressofamplitude）2、电荷密度的傅立叶展开（Fourierseriesofchargedensity）在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性，也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即这里，g可以看成是以a为周期的一维晶格的倒格矢。（2.4.8）式就是三维情况下的普遍形式（2.4.4）在一维情况下的具体表现形式。将（2.4.4）式代入（2.4.2）式，有（2.4.10）二、结构基元的傅立叶分析（Scatteringfromalatticewithbasis）当晶体结构是复式格子时，原胞中包含不止一个原子，每一个原子在原胞中的位置是不等价的，这时必须考虑每一个原子的散射情况。散射布拉格峰值的强度，将取决于基元中每个原子的散射波与其它原子的散射波之间干涉的程度。1、结构因子的定义（definitionofstructurefactor）但是这有一个问题，因为我们不是每次都能给出同每个原子相联系的电荷密度。不过这个问题不太难解决。2、形状因子的定义（definitionofformfactor）3、原胞基矢表示的结构因子由上面的讨论可知，如果已知原子的形状因子fi，就可以由衍射强度推出原胞中原子的排列。反之，如果已经知道原胞中原子的排列，也可以确定衍射线加强和消失的规律。把几何结构因子能使空间点阵所允许的某些反射抵消，称为衍射消光。代入（2.4.18）式得到氯化铯结构晶体的几何结构因子为结晶学中选取晶胞为重复单元，以上结论仍然适用，只是晶胞内的原子可能有相同的原子，甚至全部是同种原子。因为同种原子的形状因子完全相同，可能出现某些晶面完全消光。采用晶胞的情况下4、晶胞基矢表示的结构因子结构因子表示为因此，对于元素体心晶体，只要衍射面指数之和为奇数时反射消失。比如，金属钠是体心立方结构，在其衍射图谱中将不出现（100），（300），（111）或（221）谱线，但存在（200），（110），（222）或（211）谱线。衍射晶面指数全部为偶数或全部为奇数时，几何结构因子都不等于零，可以出现衍射谱线的晶面有（111），（200），（222），（220），（131）等，当衍射面指数部分为偶数，部分为奇数时，衍射消光。三、原子形状因子（atomicformfactor）（2.4.16）式给出原子形状因子的定义，它既与原子中电子数目和分布相关，又与辐射的波长和散射角度有关，它是原胞中第j个原子散射本领的量度。对于单个原子产生的散射辐射，要考虑到原子内的干涉效应。即原子形状因子等于原子中电子的数目。所以，f是一个原子中实际电子分布所散射的辐射振幅与被局限在一个点上的一个电子所散射的辐射振幅之比。当X射线入射至晶体内，X射线的电磁波将与组成晶体的原子内的电子发生相互作用，而被散射(这里只考虑能量不发生相互转换的弹性放射)。因为每个原子内包含有许多电子，而这些电子在空间中又有一定分布，因此被这些电子散射的电磁波之间将发生相互干涉。另外这些原子在空间中又有一定的规则分布，因此各个原子的散射波之间的相互干涉，结果使总的散射波强度在空间中形成明暗的花纹。为了计算原子散射波之间的相互干涉，可以先计算出一个原胞内不同原子散射波之间的相互干涉，而后再计算各个原胞之间的相互干涉情况。当分析衍射的x射线强度在空间中的分布情况时，可以分成下面三个步骤：1、先计算被一个原于内的各个电子散射的电磁波的相互干涉。其结果常用原子散射因子（形状因子）表示，它定义为原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅比，它的大小由下式表示：2．然后再计算一个原胞内各原于散射波之间的相互干涉。一个原胞的总散射波的情况可用几何结构因子表示，它定义为一个原胞内所有原子散射波振幅的几何和与一个电子散射波的振幅比。常可表示为：3．最后再考虑各原胞散射波之间的相互干涉。因为晶体是由各原胞在空间中周期性排列而成，而它的排列情况完全可由布喇菲格子来表示，因此各原胞散射被之间的相互干涉加强条件即是布喇菲格中被各格点散射的散射波之间的干涉加强条件。它们由劳厄方程或布拉格反射条件决定。§2.4原子的形状因子和结构因子(atomicformfactorandstructurefactor)一、散射波振幅（Diffractionamplitude）二、结构基元的傅立叶分析（Scatteringfromalatticewithbasis）三、原子形状因子（atomicformfactor）