简支梁固有频率及振型函数

简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t)(1)除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：(2)其中，E是弹性模量，I是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。在这些规定下，有：(3)于是，对方程（2）求偏导，可得：(4)考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有：(5)方程（5）就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为(6)其中代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：(7)其中。为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t)(8)将式（8）代入（7），得：(9)上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x，因此要使对于任何x,t上式均成立，必须二者均等于一个常数。将这一常数记为-p2.于是有：(10)(11)方程（10）的通解为：Y（t）=Asinpt+Bcospt(12)其中，A,B为积分常数。方程（11）的通解为：(13)二．简支梁的固有振型和固有频率简支梁的边界条件为：X（0）=0，X’’(0)=0.X（l）=0，X’’(l)=0所以有：特征方程为:由此得特征值为：与此相应的固有频率为而对应的振型函数为王舒雅，25_1461773579.unknown_1461773580.unknown_1461773581.unknown_1461773582.unknown_1461773583.unknown_1461773584.unknown_1461773585.unknown_1461773586.unknown_1461773587.unknown_1461773588.unknown_1461773589.unknown_1461773590.unknown_1461773591.unknown_1461773592.unknown_1461773593.unknown_1461773594.unknown_1461773595.unknown