《电磁场与电磁波》ppt教案-07时变电磁场

第七章时变电磁场主要内容位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。1.位移电流位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原理，即电荷守恒原理表明对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩充前述的电流概念。不是由电子运动形成的传导电流或运流电流，而是人为定义的位移电流。真空电容器中通过的时变电流是什么？引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是电场的时间变化率。在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述的安培环路定律变为上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以及位移电流共同产生的。已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生时变磁场。电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。2.麦克斯韦方程静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立。那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为四个方程，其积分形式和微分形式分别如下：全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第1、2方程导出第3、4方程，或反之。对于不随时间变化的静态场，则那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦克斯韦方程的一段评述：“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在时间上稍为迟一些所发生的事件”。麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于人类历史的进程也起了重要作用。正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义”中写道“从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，同一个十年中发生的美国内战（1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。3.时变电磁场的边界条件适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的，那么由电磁感应定律的积分形式即可获得上面结果。第二,在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。由磁通连续性原理，即可第三，电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。在一般情况下，由高斯定律求得式中s为边界表面上自由电荷的面密度。对于两种理想介质形成的边界，由于不可能存在表面自由电荷，因此可见，两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的。第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的。在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，即时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。E(t),B(t),J(t)=0E≠0J=EH≠0E≠0J≠0H≠0例已知内截面为ab的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为其坐标如图示。试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。解①由前式求得位移电流为②在y=0的内壁上在y=b的内壁上4.标量位与矢量位设媒质是线性均匀且各向同性的，那么由Maxwell方程可得由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数将是行之有效的。式中称为标量位。由此得注意，这里的矢量位A及标量位均是时间及空间函数。当它们与时间无关时，矢量位A及标量位与场量的关系和静态场完全相同。因此矢量位A又称为矢量磁位，标量位又称为标量电位。为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，求得罗伦兹条件由上可见，按照罗伦兹条件规定A的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位A仅与电流J有关，标量位仅与电荷有关。原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，由上式可知，若令由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位A和标量位。求出A及以后，即可求出电场与磁场。原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解6个坐标分量位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。在三维空间中仅需求解4个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于求解1个标量方程。根据静态场的结果，采用类比的，推出其解。5.位函数方程的求解当时变点电荷位于坐标原点时，其场分布一定具有球对称特点，即场量仅为变量r的函数，与球坐标变量及无关。那么，在除坐标原点以外整个无源（=0）空间，位函数满足的方程式为首先求解位于坐标原点的时变点电荷产生的矢量位，然后利用叠加原理导出任意分布的时变体电荷的解。上式为函数（r）的齐次波动方程，其通解为由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为将此式同上式比较，可见函数f1为因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为式中r为体元dV至场点的距离。对于位于V中的任意体分布电荷，如图示。在r处产生的电位由上式积分求得为了求出矢量位函数A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位A的解为式中V'为电流J的分布区域。已知(r–r')为源点至场点的距离，因此v代表电磁波的传播速度。这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以c表示。值得注意的是，即使在某一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。当静止电荷或恒定电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场也随之失去，因而静态场又称为束缚场，没有辐射作用。若源随时间变化很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的变化快慢有关。位于时变源附近的时变电磁场，时差很小，场强随时间的变化基本上与源的变化同步，所以近处的时变场称为似稳场。离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处的时变场称为辐射场。为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频电流激励发射天线，而通常50Hz交流电不可能有效地辐射电磁能量。由于标量电位和矢量磁位A随着时间的变化总是落后于源，因此，位函数及A通常称为滞后位。那么，它又可理解为向负r方向传播的波，也就是来自无限远处的反射波。对于点电荷所在的无限大的自由空间，这种反射波是不可能存在的。对于面分布及线分布的电荷及电流，可以类似推出它们产生的标量位和矢量位。其结果分别如下：应注意上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性的媒质。6.能量密度与能流密度矢量静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。因此，时变电磁场的能量密度为对于各向同性的线性媒质可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量，其方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以能量流动密度矢量又称为功率流动密度矢量。能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量，在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量。能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量以S表示，单位为W/m2。能流密度矢量S与电场强度E及磁场强度H的关系如何？设无外源(J'=0,=0)的区域V中，媒质是线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为将上式两边对区域V求积，得根据能量密度的定义，上式又可表示为上式称为时变电磁场的能量定理。任何满足上述麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。能流密度矢量的瞬时值为可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。7.惟一性定理在闭合面S包围的区域V中，当t=0时刻的电场强度E及磁场强度H的初始值给定时，又在t>0的时间内，只要边界S上的电场强度切向分量Et或磁场强度的切向分量Ht给定后，那么在t>0的任一时刻，体积V中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。利用麦克斯韦方程导出的能量定理，采用反证法即可证明这个定理。E(r,0)&H(r,0)E(r,t),H(r,t)8.正弦电磁场一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即式中Em(r)仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。为角频率。e(r)为正弦函数的初始相位。由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。正弦电磁场又称为时谐电磁场。正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。虽然场的变化落后于源，但是场与源随时间的变化规律是相同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。原来的瞬时矢量和复矢量的关系为所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量的之间的关系为无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。有的书刊将正弦电磁场表示为只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。9.麦克斯韦方程的复数形式已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。因为上式对于任何时刻均成立，故虚部符号可以消去。那么上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式，式中各量均为有效值。例已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求其磁场强度的复数形式。解根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为麦克斯韦方程的复数形式瞬时形式(r,t)复数形式(r)10.位函数的复数形式对于正弦电磁场，位函数也可用复矢量表示。那么，位函数方程解的复数形式罗伦兹条件的复数形式正弦电磁场与位函数的关系11.能量密度与能流密度矢量的复数形式已知时变电磁场的电场及磁场能量密度以最大值表示的复数形式瞬时形式正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为式中E(r)及H(r)均为有效值。或者以场强的最大值表示为上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。复能流密度矢量Sc，令又可用场强最大值表示为那么，复能流密度矢量Sc的实部及虚部分别为可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。则实部为最大正值，虚部为零。则实部为最大负值，虚部仍然为零。能量定理也可用复矢量表示为此式称为复能量定理。由此可见，流进S内的复能流密度矢量通量的实部等于S内消耗的功率，这就表明，Sc的实部的确代表单向流动的能量。由此可见，复能流密度矢量的实部表示能量流动，虚部表示能量交换。正弦电磁场的惟一性定理后面各章仅研究正弦电磁场，为了书写简便起见，今后均以E(r)，H(r)或者E，H表示正弦电磁场复矢量的有效值，而略去顶标“·”号。以E(r,t)，H(r,t)或E(t)，H(t)表示正弦电磁场的瞬时值。初始条件不再需要，无源区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量惟一地确定。E(r,0)&H(r,0)E(r,t),H(r,t)E(r),H(r)Et(r)orHt(r)例已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为试求其能流密度矢量的平均值。解根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为求得复能流密度矢量为其实部就是平均值，即解题思路？？例若真空中正弦电磁场的电场复矢量为试求电场强度的瞬时值E(r,t)，磁感应强度的复矢量B(r)及复能流密度矢量Sc。解位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。主要内容位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。主要概念瞬时形式和复数形式最大值和有效值位移电流能流密度矢量