(完整版)行列式的计算方法(课堂讲解版)

计算n阶行列式的若干举例n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1．利用行列式定义直接计算0L0100L200例计算行列式DnMMMMn1L0000L00n解Dn中不为零的项用一般形式表示为a1n1a2n2Lan11annn!.(n1)(n2)该项列标排列的逆序数t（n－1n－2⋯1n）等于，2(n1)(n2)2故Dn(1)n!.2．利用行列式的性质计算例：一个n阶行列式Dnaij的元素满足aijaji,i,j1,2,L,n,则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由aijaji知aiiaii，即aii0,i1,2,L,n0a12a13La1na120a23La2n故行列式Dn可表示为Dna13a230La3n，由行列式的性质AA，LLLLLa1na2na3nL00aaLa12131n0a12a13La1na0aLa12232na120a23La2nnnDna13a230La3n(1)a13a230La3n(1)DnLLLLLLLLLLa1na2na3nL0a1na2na3nL0当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.13．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。1123133795例1计算行列式D20421．3571464410102解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．23132111231112311-12-3143100102020410204-15412342D020410010200-10-20215302153001-1200222002220022-2112311123143030410204152352400102001021211612.000100001000026000061a1a2a3Lana11a2a3Lan例2计算n阶行列式Da1a21a3Lan．LLLLLa1a2a3L1an解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，⋯，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．21a1a2Lana2a3Lan1a2a3Lan1a1a2Lan1a2a3Lan11a2a3Lan1inD1a1a2Lana21a3Lan1ai1a21a3Lani2,L,ni1LLLLLLLLLL1a1a2Lana2a3L1an1a2a3L1an1a2a3Lan010L0i1nnn1ai001L01aig11ai.i2,L,ni1i1i1LLLLL000L1abbLbbabLb例3计算n阶行列式DbbaLbLLLLLbbbLa解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，⋯，n列都加到第1列上，行列式不变，得a(n1)bbbLb1bbLba(n1)babLb1abLbDa(n1)bbaLb[a(n1)b]1baLbLLLLLLLLLLa(n1)bbbLa1bbLa1bbLb0ab0L0n1[a(n1)b]00abL0[a(n1)b](ab)LLLLL000Lab例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：123Ln1n234Ln1Dn345L12MMMMMn12Ln2n1[]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到3从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：111L11111L11211L11n100L0n(i2,L,n)Dn311L1n1200Ln0rir1MMMMMMMMMMn1n1L11n1n0L001Ln0L0000L0n10L0n(i2,L,n)00Ln0120Ln01n(n1)1MMMMr1rinMMMMn2n0nL00n20L00n0L00n1nL00(n1)(n2)1n(n1)n1(n)(1)2n2n(n1)(n1)n1n1224．降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。123L181920212L171819例1、计算20阶行列式D20321L161718MMMMMM201918L321[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：4111L111123L181920211L111212L171819ci1ci311L111D20321L161718(i1,L19)MMMMMMMMMMMM1911L111201918L3212011L111111L111302L222(i2,L,20)400L22221(1)20121821218rir1MMMMMM2000L0022100L000a00L010a0L0000aL00例2计算n阶行列式DnMMMMM000La0100L0aa00L00a0L00a0L000aL0n1Dna00aL0(1)MMMM解将Dn按第1行展开MMMM000La000La100L0nn1nn2nn2a(1)(1)aaa.a00L010a0L00D00aL00例3计算n（n≥2）阶行列式．LLLLLL100L0a50a0L0a0L0000aL00aL001nDa1LLLLL解按第一行展开，得LLLLL．000La00L0a100L0再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到n1nn11n2nn2n22Da11aaaaa1．5．递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。有时也可以找到与，的递推关系，最后利用，得到的值。［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。0001000100例1计算行列式Dn.0000001解：将行列式按第n列展开,有Dn()Dn1Dn2,DnDn1(Dn1Dn2),DnDn1(Dn1Dn2),2n2n得DnDn1(Dn2Dn3)(D2D1)。n(n1),;nn1n1同理得DD,Dnnn1,.axxxyaxx例2计算Dnyyaxyyya解6ayxxxyxxx0axxyaxxDn0yaxyyax0yyayyya10001ax00(ay)Dn1y1yxax01yxyxaxn1(ay)Dn1y(ax)n1同理Dn(ax)Dn1x(ay)nnx(ay）y(ax)联立解得Dn,(xy)xy当xy时,n12n1Dn(ax)Dn1x(ax)(ax)Dn22x(ax)n2n1n1LLLL(ax)D2(n2)x(ax)(ax)a(n1)xx10L000x1L0000xL00例3计算n阶行列式D．nLLLLLL000Lx1anan1an2La2a1x解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：x10L00100L000x1L00x10L0000xL00n1n1n1Dnx1an0x1L00xDn11an1xDn1an，LLLLLLLLLLLL000Lx1000Lx1an1an2an3La2a1x这里Dn1与Dn有相同的结构，但阶数是n1的行列式．现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：22n1n22DnxxDn2an1anxDn2an1xanxxDn3an2an1xanLLxD1a2xLan2xan1xan，nn1因D1xa1xa1，故Dnxa1xLan1xan．7最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．当n1时，显然成立．设对n1阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由n1n2nn1DnxDn1anxxa1xLan2xan1anxa1xLan1xan，、可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．210L000121L000例4证明n阶行列式．DnLLLLLLLn1000L121000L012210L000100L000121L000121L000证明按第一列展开，得Dn2LLLLLLLLLLLLLL．000L121000L121000L012000L012其中，等号右边的第一个行列式是与Dn有相同结构但阶数为n1的行列式，记作Dn1；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与Dn有相同结构但阶数为n2的行列式，记作Dn2．这样，就有递推关系式：Dn2Dn1Dn2．因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．21当n1时，D12，结论正确．当n2时，D3，结论正确．212设对k≤n1的情形结论正确，往证kn时结论也正确．由Dn2Dn1Dn22nn1n1可知，对n阶行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：0L001L00Dn01L00MMMMM000L1n1n1证明　：Dn,其中（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，[1]这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：8Dn（＋）Dn－1－Dn－2这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（Dn－1－Dn－2）或Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（Dn－1－Dn－2）现可反复用低阶代替高阶，有：23Dn－Dn－1＝（Dn－1－Dn－2）＝（Dn－2－Dn－3）＝（Dn－3－Dn－4）n2n－22n＝L＝（D2－D1）=[()()]LL(1)同样有：23Dn－Dn－1＝（Dn－1－Dn－2）＝（Dn－2－Dn－3）＝（Dn－3－Dn－4）n2n－22n＝L＝（D2－D1）=[()()]LL(2)因此当时n1n1由（1）（2）式可解得：Dn，证毕。6．利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；...)把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。11L1x11x21Lxn11222例计算行列式Dx1x1x2x2LxnxnMMMn1n2n1n2n1n2x1x1x2x2Lxnxn解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11L1x1x2Lxn222Dx1x2Lxn(xixj)nij1MMMn1n1n1x1x2Lxn9nn1n22n1na1a1b1a1b1La1b1b1nn1n22n1na2a2b2a2b2La2b2b2例2计算阶行列式D．其中aaLa0n1LLLLLL12n1．nn1n22n1nan1an1bn1an1bn1Lan1bn1bn1nkk解这个行列式的每一行元素的形状都是aibi，k0，1，2，⋯，n．即ai按降幂排列，bin按升幂排列，且次数之和都是n，又因ai0，若在第i行（i1，2，⋯，n）提出公因子ai，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即2nbbb111L1a1a1a12nb2b2b2n1nnn1LnbibjDa1a2Lan1a2a2a2aibiajaibj.i11≤ji≤n1aiaj1≤ji≤n1LLLLL2nbn1bn1bn11Lan1an1an1xyz222例3计算行列式Dxyz.yzxzxy解：xyz(3)(yz)(1)Dx2y2z2xyxzyzy2yzxzyzz2xyxyz(3)x(1)x2y2z2x2xyyzxzy2xyyzxzz2xyyzxz(xyyzxz)(yx)(zx)(zy)111x1x2xn2224x1x2xn例计算行列式Dnn2n2n2x1x2xnnnnx1x2xn解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式101111x1x2xny2222x1x2xnynP(y)=(yxi)(xixj)i11jinn2n2n2n2x1x2xnyn1n1n1n1x1x2xnynnnnx1x2xnyn1n1易知Dn等于P(y)中y的系数的相反数,而P(y)中y的系数为nnxk(xixj),因此,Dnxk(xixj)k11jink11jin例5、计算n阶行列式(an1)n1(an2)n1L(a1)n1an1(an1)n2(an2)n2L(a1)n2an2DnMMMMan1an2La1a11L11解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，⋯,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，⋯,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+⋯+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到11L11n(n1)an1an2La1a2Dn(1)MMMM(an1)n2(an2)n2L(a1)n2an2(an1)n1(an2)n1L(a1)n1an1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：n(n1)n(n1)22Dn(1)[(ani)(anj)](1)(ij)1jin1jin7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求：1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。11xa1a2Lana1xa2Lan例1计算n阶行列式Dna1a2LanLLLLa1a2Lxan1aaLa1a1Lan12n0第i行减第1行1x0L0解：Dni2,L,n110xL0MDnLLLLL0100Lxnaj1aaLa12nnj1xnaj0x0L0x1j1x00xL0000Lx1a111L111a21L1例2计算n（n≥2）阶行列式Dn111a3L1，其中a1a2Lan0．LLLLL111L1an解先将Dn添上一行一列，变成下面的n1阶行列式：111L101a11L1显然，Dn1011a2L1．Dn1Dn．LLLLL011L1an111L11a10L0D101aL0将Dn1的第一行乘以1后加到其余各行，得n12．LLLLL100Lan1因ai0，将上面这个行列式第一列加第i（i2，⋯，n1）列的倍，得：ai112n1111L1111L1i1ai1a10L00a10L0DnDn110a2L000a2L0LLLLLLLLLL100Lan000Lana10L0nn10a2L011a1a2Lan1ni1aiLLLLi1ai00Lan8．数学归纳法当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）x10L000x1L00例1计算n阶行列式DnLLLLLL000Lx1anan1an2La2a1xx12解：用数学归纳法.当n=2时，D2x(xa1)a2xa1xa2a2xa1kk1k2假设n=k时，有Dkxa1xa2xLak1xak则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得kk1k1k2Dk1xDkak1x(xa1xLak1xak)ak1xa1xLak1xakxak1nn12由此，对任意的正整数n，有Dnxa1xLan2xan1xancos100012cos100例2计算行列式012cos00.Dn0002cos100012cos13解：D1cos,D2cos2,于是猜想Dncosn.证明：对级数用第二数学归纳法证明.n1时,结论成立.假设对级数小于n时，结论成立.将n级行列式按第n行展开，有cos100012cos1002n1012cos00Dn2cosDn1(1)0002cos000011n12n12cosDn1(1)Dn22coscos(n1)(1)2n1cos(n2).2coscos(n1)cos(n1)cossin(n1)sincos[(n1)]cosn例3计算行列式解：猜测：证明（1）n=1,2,3时，命题成立。假设n≤k–1时命题成立,考察n=k的情形：14故命题对一切自然数n成立。9．拆开法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。a11a2Lana1a22Lan例1计算行列式DnMMMMa1a2Lann1a2Lana1a2Lana1a2Lan0aLa02Lana1a22Lan22n解：Dn1Dn1MMLMMMLMMMLMa1a2Lann00Lann00Lnnaia12Ln1Dn1=⋯⋯12Ln1i1i．1x1y12x1y2Lnx1yn1x2y12x2y2Lnx2yn例2计算n（n≥2）阶行列式Dn．LLLL1xny12xny2Lnxnyn解将Dn按第一列拆成两个行列式的和，即12x1y2Lnx1ynx1y12x1y2Lnx1yn12x2y2Lnx2ynx2y12x2y2Lnx2ynDn．LLLLLLLL12xny2Lnxnynxny12xny2Lnxnyn再将上式等号右端的第一个行列式第i列（i2，3，⋯，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子y1，则可得到1x1y2Lx1ynx12x1y2Lnx1yn1x1Lx1x12Ln1x2y2Lx2ynx22x2y2Lnx2yn1x2Lx2x22LnDny1y2Lyny1.LLLLLLLLLLLLLLLL1xny2Lxnynxn2xny2Lnxnyn1xnLxnxn2Ln15当n≥3时，Dn0．当n2时，D2x2x1y22y1．xaaLaaxaLa3na0例计算阶行列式DnaaxLa，（）．LLLLLaaaLx解将第一行的元素都表成两项的和，使Dn变成两个行列式的和，即xaa0a0aL0axa00L0aaaLaaxaLaaxaLaaxaLaDnaaxLaaaxLaaaxLa.LLLLLLLLLLLLLLLaaaLxaaaLxaaaLxxa00L0axaLa将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：．aaxLaxaDn1LLLLLaaaLx这里Dn1是一个与Dn有相同结构的n1阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：aaaLaaaaLaaxaLa0xa2aL2an1aaxLa00xaL2aaxa.LLLLLLLLLLaaaLx000Lxan1于是有DnxaDn1axa（1）另一方面，如果将Dn的第一行元素用另一方式表成两项之和：n1xaa0a0aL0a仿上可得：DnxaDn1axa（2）nnxaxa将（1）式两边乘以xa，（2）式两边乘以xa，然后相减以消去Dn1，得：Dn．2．计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。16总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。5.消去法求三对角线型行列式的值例6求n阶三对角线型行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n–1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为17（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。注3一般的三对角线型行列式（4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。9.因式分解法如果行列式D是某个变数x的多项式f(x)，可对行列式施行某些变换，求出f(x)的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为g(x)，则Df(x)cg(x)，再比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出c值.18123n1x13n例8计算行列式Dn12x3n.123x1解:注意x1时，Dn0,所以，x1|Dn.同理x2,,x(n1)均为Dn的因式又xi与xj(ij)各不相同所以(x1)(x2)(xn1)|Dnn1但Dn的展开式中最高次项x的系数为1，所以Dn(x1)(x2)(xn1)注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.三、行列式的计算方法19