苏州大学高等数学考研复习题

专业课复习资料（最新版）封面高等数学题库（1）一、填空题：1．函数y=arcsin92−x定义域是:310103−≤≤−∪≤≤xx2.设y=f(x)的定义域是[0，1]，则复合函数f(sinx)的定义域是:zkkxk∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=xy的值域是0≤y≤+∝.4．函数)1,0(11≠>+−=aaaxaxy的反函数是:axaxy+−=1.5．函数12+−=xy在区间]0,(−∞内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(xxxf++=，（x>o）,则)(xf=xx211++.7．设1)(−=xxxf,则))(((xfff=1−xx,))((xff=x.8．函数+∞<<≤≤<<−∞=xxxxxyx4,241,1,2的反函数y=+∞<≤≤≤<<−∞.16,log,161,,1,2xxxxxx.二．选择题：1．在同一直角坐标系中，函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）(A)关于y轴对称;(B)关于x轴对称;(C)重合；(D)关于直线y=x对称.2.下列几对函数中，)(xf与)(xg相同的是（C）.（A）2lg)(xxf=与xxglg2)(=（B）xxf=)(与2)(xxg=（C）2)(xxg=与2)(xxg=（D）1)(=xf与xxxg=)(3．已知的定义域为则的定义域是（C）（A）[-a,3a](B)[a,3a](C){a}(D){-a}4．如果1)(−=xxxg，那么))(1(xff的表达式是（B）(A)x-1(B)1-x(C)xx1−(D)都不是三．设函数)(xfy=是线性函数，已知,3)1(,1)0(−==ff求此函数.解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1,a+b=-3,解得a=-4,b=1.四．证明函数1)(2+=xxxf在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xxxx1112+=+因为2111,21≤+≥+xxxx所以所以：函数1)(2+=xxxf在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数21121)(+−=xxf的奇偶性.解：21121)(+−=xxf21121)(+−=−−xxf211211+−=x212211+−=xx21212+−=xx2121211+−+−=xx212111+−+−=x21211−−=x)(xf−=所以21121)(+−=xxf偶函数.高等数学题库（2）数列的极限一．判断题：1．如果数列{nu}以A为极限，那么在数列｛nu｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛nu｝仍以阿A为极限．(T)2．如果0lim=∞→nnnvu，则有0lim=∞→nnu或0lim=∞→nnv(F)3．如果aann=∞→lim，且存在自然数N，当n>N时恒有na＜０，则必有a<０．(F)4．如果nna∞→lim，nnb∞→lim均不存在，则有)(limnnnba+∞→必不存在．(F)二．观察下列数列变化趋势写出它们的极限，并加以证明（—N说法）：１．11+−=nnxn解：nnx∞→lim=1.证明：111111+=−+−=−nnnxn为了使ε<−1nx，只要ε<+11n即可.所以时，当取NnNN>−=∃>∀,11,,0εε有ε<−1nx.nnx∞→lim=1２．nnxnπ2cos=解：nnx∞→lim=0证明：nnnnxn112cos0=≤=−π要使εε<<−nxn1,0只要即可.所以时，当取NnNN>=∃>∀,1,,0εε有ε<−0nxnnx∞→lim=0三．根据数列极限定义证明：nnn10110lim−∞→=1.110110−−nn=n101要使,110110ε<−−nn只要ε<n101即可.所以时，当取NnNN>=∃>∀,1lg,,0εε有,110110ε<−−nnnnn10110lim−∞→=1。四．若aunn=∞→lim，证明：aunn=∞→lim.证明：aunn=∞→lim即：时，当NnN>∃>∀,,0ε有ε<−aun而auaunn−≤−所以对时，当NnN>∃>∀,,0ε有ε<−aun即aunn=∞→lim高等数学题库（3）函数的极限，无穷大，无穷小一．选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件aann=∞→lim，bbnn=∞→lim.结论babannn+=+∞→)(lim（A）２．条件)(lim0xfan−→和)(lim0xfan+→都存在.结论)(limxfan→存在（B）３．条件)(limxfan→和)(limxgan→都存在.结论)]()([limxgxfan+→存在.（A）４．条件f(x)在a的某个邻域内单调有界．结论)(limxfan→存在．（D）二．根据极限定义证明：32312lim=+∞→xxn．证明：32312−+xx=xx31323132=−+为了使,32312ε<−+xx只要ε<x31.所以=∃>∀εε31,,0XX，当x>X时，有ε<−+32312xx成立.故32312lim=+∞→xxn三．求0)(,)(→==xxxxgxxxf，当时的左右极限，并说明它们在x→0时的极限是否存在？解：xxxf=)(=1，所以1)(lim0=→xfx.><−==.0,1,0,1)(xxxxxg所以1)(lim00−=−→xgx，1)(lim00=+→xgx显然≠−→)(lim00xgx)(lim00xgx+→，故)(lim0xgx→不存在.四．根据定义证明：当x→0时，函数xxy21+=是无穷大，问x应满足什么条件，能使出410>y？证明：设M是任意给定的正数.要使2121+=+=xxxy>M,只要<x1M+2(00+→x)或<x1M-2(00−→x)即：0〈<x1M+2或2-M〈<x10所以，取21+=Mδ，则对于适合21+=<Mxδ的一切x,就有2121+=+=xxxy>M,所以有：∞=+=→→xxyxx21limlim00.取M=410,由上知x在下列条件下：0<x<21014+或41021−<x<0有：410>y.五．证明：函数xxy1cos1=在区间（０，１］上无界，但当x→＋０时，这函数不是无穷大．证明：1.取+∞→∈=kNkkx当),(21π时，xxy1cos1==+∞=πk2所以xxy1cos1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=xkNkkx时，当ππ，xxy1cos1==021⋅+ππk=0即在0的任何邻域都不可能有Mxxy>=1cos1（M>0）成立.所以当x→＋０时，这函数不是无穷大．高等数学题库（4）极限的求法一．判断题：下列运算是否正确：0)(lim.12=∞−∞=−−∞→xxxn(F).1)53(lim)32(lim5332lim.24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→xxxxxxx(F)0lim2lim1lim)21(lim.3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnnnnnnnnnnn（F）二．计算下列极限：１．xxxxxx2324lim2230++−→解：xxxxxx2324lim2230++−→=23124lim20++−→xxxx=21２．)2141211(limnn+⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(limnn+⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim−−∞→nn=2３．)1111(lim31xxx−−−→从而时，当,10,1lim.40−∞→−→→xxxarctgx从而时，当,10,21lim0+∞→+→−=−→xxxarctgxπ)(.1lim,21lim00Txarctgxarctgxx不存在所以→+→=π解：设31111)(xxxf−−−=，则311111)(1xxxf−−−=因为2313111lim11111lim)(1limxxxxxxfxxx+−=−−−=→→→=0，所以∞=→)(lim1xfx即：∞=−−−→)1111(lim31xxx４．xxx11lim0−+→解：xxx11lim0−+→=)11()11()11(lim0++⋅++⋅−+→xxxxx=)11(lim0++⋅→xxxx=111lim0++→xx=21５．xarctgxx∞→lim解：因为22ππ<<−arctgx所以arctgx为有界函数.而xx1lim∞→=0，由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.xarctgxx∞→lim=0６．)(limxxxxx−+++∞→解：)(limxxxxx−+++∞→=xxxxxxxxxxxxx++++++⋅−+++∞→)()(lim=xxxxxxxxx+++−+++∞→)(lim=xxxxxxx+++++∞→lim=xxx111111lim+++++∞→=21７．)1()1)(1(lim2nnxxx+⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim2nnxxx+⋅⋅⋅++∞→=xxxxxnn−+⋅⋅⋅++−∞→1)1()1)(1)(1(lim2=xxnn−−∞→11lim2=x−11三．已知axfxaxxxxfx存在，求且)(lim,3,3,3)(3→<+≥−=解：)(lim03xfx+→=3lim03−+→xx=0，)(lim03xfx−→=)(lim03axx+−→=3+a,)(lim3xfx→存在，即：)(lim03xfx+→=axfx+==−→3)(lim003所以.3−=a.高等数学题库（5）极限存在准则两个重要极限无穷小的比较一、判断题：1．因为0→x时，tgx~x,sinx~x,所以0limsinlim3030=−=−→→xxxxtgxxxx（F）2．222)21(lim)2(limexxxxxxx=+=+•∞→∞→(T)3．1sinlim)sin(limsinlim=⋅=⋅=→→→xxxtgxxxxtgxxtgxxxxπππ(F)二、计算下列极限1.xxx5sin2sinlim0→解：xxx5sin2sinlim0→=)525sin522sin(lim0⋅⋅→xxxxx=⋅→xxx22sinlim0⋅→xxx5sin5lim052=522.xctgxx0lim→解：xctgxx0lim→=)cossin(lim0xxxx⋅→=)sin(coslim0xxxx⋅→=⋅→xxcoslim0xxxsinlim0→=13.xxxxsin2cos1lim0−→解：xxxxsin2cos1lim0−→=xxxxsinsin2lim20⋅→=xxxsin2lim0→=xxxsinlim20→⋅=24.xxx1sinlim∞→解：xxx1sinlim∞→=xxx11sinlim∞→=xxx11sinlim01→=1.5.kxxx)11(lim−∞→解：kxxx)11(lim−∞→=)()()11(limkxxx−•−∞→−−+=kxxx−−∞→−−+])11[(lim=ke−6.xxxx)11(lim−+∞→解：xxxx)11(lim−+∞→=xxxx]12)1([lim−+−∞→=xxx)121(lim−+∞→=1221)2111(lim+•−∞→−+xxx=)]2111()2111[(lim221−+⋅−+•−∞→xxxx=2e.二、证明：当x→0时，下列各对无穷小量是等价的1.xarctgx~证明：设A=arctgx,则x=tgA,当0→x时，0→A.xarctgxx0lim→=tgAAA0lim→=12.1-cosx~22x证明：2cos1lim20xxx−→=2)2sin(2lim220xxx⋅→=2202)2(2)2sin(2limxxx⋅⋅→=2202)2()2sin(limxxx→=1.四、证明：0)2124321(lim=−⋅⋅⋅⋅∞→nnn用两边夹法则：（解法一）设F(n)=nn2124321−⋅⋅⋅⋅>0则2)2124321()(nnnF−⋅⋅⋅=L22222)2()12(4321nn−⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222−−⋅⋅⋅−⋅−<nn)12()12()12(75353122+⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nnn121+=n设g(n)=0,h(n)=121+n,则g(n)=0<F(n)<h(n).显然0)(lim=∞→ngn，0)(lim=∞→nhn；由极限存在准则I知：0)(lim=∞→nFn.证毕.（解法二）：设F(n)=nn2124321−⋅⋅⋅⋅>0因为nnnn112−<−−（n为自然数），所以有F(n)<12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅nnnn=n21设g(n)=0,h(n)=121+n,则g(n)=0<F(n)<h(n).显然0)(lim=∞→ngn，0)(lim=∞→nhn；由极限存在准则I知：0)(lim=∞→nFn.证毕.另解：设F(n)=nn2124321−⋅⋅⋅⋅(0<F(n)<1)，则F(n+1)=122)(+⋅nnnF，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II知F(n)有极限.设AnFn=∞→)(lim.则有)1(lim+∞→nFn=))(1(limnFnnn⋅+∞→)1(lim+∞→nFn=1+nn)(limnFn∞→⋅A=1+nnA,A=0.即0)(lim=∞→nFn.证毕.五、设2112,,2,1,10nnnxxxnx−=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{nx的极限存在，并求其极限.证明：212nnnxxx−=+2211nnxx−+−=2)1(1nx−−=]))1(1(1[1221−−−−−=nx221)1(1−−−=nx322)1(1−−−=nx=......121)1(1−−−=kx因为,101<<x所以,10<<nx因为212nnnxxx−=+所以)1(1nnnnxxxx−=−+>0即：nnxx>+1所以}{nx为单调有界数列，由极限存在准则II知}{nx有极限.Axnn=∞→lim，则有)2(limlim21nnnnnxxx−=∞→+∞→，A=2A--2A，解得：A=1或A=0（舍去，因为}{nx为递增数列且01>x.）所以1lim=∞→nnx高等数学题库（6）函数的连续性一．判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim=+−+++∞→nnn（T）2.设)(xf在0x点连续，则)lim()(lim00xfxfxxxx→→=（T）3．如果函数)(xf在],[ba上有定义，在],[ba上连续，且<)(*)(bfaf0，则在),(ba内至少存在一点ξ，使得)(ξf=0（T）4．若)(xf连续，则)(xf必连续.（T）5．若函数)(xf在],[ba上连续且恒为正，则)(1xf在],[ba上必连续.（T）6．若axfxx=→)(lim0,且0>a，则在0x的某一邻域内恒有0)(>xf.（F）7．0=x是函数xxxf1sin)(=的振荡间断点.（F）二．填空题：1．=−→ππxxxsinlim(1−)2.=∞→xxxsinlim(0)3.=+−−+−→123lim2312xxxxxx(∞)4.0=x是xexf1)(=的第（二）类间断点.三．求xxxxsin10sin1tan1lim++→解：xxxxsin10sin1tan1lim++→=()()1sin1tan1limsin1seccot0==++→eexxxxxx四．求函数4tan()1()(π−+=xxxxf在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(xf在()π2,0内的间断点有：4π=x，43π=x，45π=x，47π=x因为),(lim4xfxπ→)(lim45xfxπ→不存在，,1)(lim43=→xfxπ1)(lim47=→xfxπ所以43π=x，47π=x是)(xf的第一类（可去）间断点;4π=x，45π=x是)(xf的第二类间断点.五．设1lim)(2212+++=−∞→nnnxbxaxxxf，（1）求)(xf；（2）当)(xf连续时，求ba,的值.解：(1)Qnnnnxxbxaxxf2122231lim)(−−−∞→+++=∴<+−=−+−=++>=112112111)(2xbxaxxbaxbaxxxf(2)Q)(xf连续21)1(11lim)(lim0101bafxxfxx++====+→+→1=+⇒ba21)1(11lim)(lim)01()01(bafxxfxx−+−====−−→−−→1−=−⇒ba∴==10ba.高等数学题库（7）连续函数的性质一．计算下列极限：1．2321lim4−−+→xxx解：原式=)321)(4()2)(921(lim4++−+−+→xxxxx=321)2(2lim4+++→xxx=342．22011limxxx+−→解：原式=2220)11(limxxxx++→=)11(lim20xx++→=23．xxxsinlnlim0→解：原式=)sinlimln(0xxx→=01ln=4．ctgxxtgx)31(lim0+→解：原式=tgxxtgx330)31(lim+→=3310])31(lim[tgxxtgx+→=3e5．145lim1−−−→xxxx解：原式=)45)(1()1(4lim1xxxxx+−−−→=xxx+−→454lim1=26．xexx1lim0−→解：令tex=−1，得)1ln(+=tx，当0,0→→tx时原式=)1ln(lim0ttt+→=ttt10)1ln(1lim+→=])1(limln[110ttt+→=1ln1=e二．证明方程bxax+=sin至少有一个不超过ba+的正根（其中0,0>>ba）.证明：设xbxaxf−+=sin)(，则)(xf在],0[ba+上连续.又0)0(>=bf，0]1)[sin()(≤−+=+baabaf.若0)(=+baf，则结论成立.若0)(<+baf，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξfba使得.三．设)(xf在]1,0[上连续，且1)(0≤≤xf，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f.证明：设xxfxF−=)()(，则)(xF在]1,0[上连续.又0)0(0)0()0(≥=−=ffF,01)1()1(≤−=fF若0)1(0)0(==FF或，则结论成立.若0)1(0)0(<>FF或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf使得.四．设)(xf在),(ba上连续，且Bxfxfbxax==−+→→)(lim)(lim00，又存在),(1bax∈使Bxf>)(1.证明)(xf在),(ba上有最大值.证明：取),(1Bxf−=ε1δ∃,当10δ<−<ax时,BxfBxf−<−)()(1.即当),(1δ+∈aax时，)()(1xfxf<.2δ∃,当02<−<−bxδ时,BxfBxf−<−)()(1.即当),(2bbxδ−∈时，)()(1xfxf<.若21δδ−>+ba,)(1xf为最大值),(1bax∈.若21δδ−≤+ba,)(xf在],[21δδ−+ba上连续,必有最大值.)()(10xfxf≥,],[210δδ−+∈bax.∴在),(ba上)(xf取得最大值)(0xf.高等数学题库（8）导数的概念一．选择题：1．设f′(x)存在，a为常数，则hahxfahxfh)()(lim0−−+→等于（C）.(A)f′(x);(B)0;(C))('2xfa;(D))('2xf.2.在抛物线23xy=上，与抛物线上横坐标11=x和22−=x的两点连线平行的切线方程是（B）.(A)12x-4y+3=0;(B)12x+4y+3=0;(C)4x+12x+3=0;(D)12x+4y+1=0.3.将一个物体铅直上抛，设经过时间t秒后，物体上升的高度为22140gtts−=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B）.(A)g2340−;(B)40-3g;(C)0;(D)g29120−.4.若函数=≠=0,00,1sin)(xxxxxf在x=0处(B).(A)连续且可导；（B）连续，不可导；（C）不连续；（D）都不是.二．设函数>+≤=1,1,)(2xbaxxxxf在处x=1可导，求a和b.解：)(xfQ在x=1处可导∴)(xf在x=1处连续，可得)(lim)(lim0101xfxfxx−→+→=即1=+ba(1)又)(xfQ在x=1处可导,可得1)1()(lim1)1()(lim0101−−=−−−→+→xfxfxfxfxx即211lim11lim20101=−−=−−+−→+→xxxbaxxx(2)由(1),(2)得2=a,1−=b.三．设5323)(xxxxf=，求)('xf.解:67)(xxf=,由幂函数的导数公式可得6167)('xxf=.四．已知≥<=0,0,sin)(xxxxxf，求)('xf.（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解:当x=0时,令0−=xh,1sinhlim)0()0(lim00==−+−−→→hhfhfhh;1lim)()0(lim00==−+++→→hhhxfhfhh.所以1)0('=f∴≥<=0,10,cos)('xxxxf五．设f(x)在),(+∞−∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('xf为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明:对于∀),(0+∞−∞∈x则有),(0+∞−∞∈−x依题意令0xxh−=有hxfhxfxfh)()(lim)('0000−+=→;hxfhxfxfh)()(lim)('0000−−+−=−→;)(xfQ为偶函数).(')()(lim)('00000xfhxfhxfxfh−=−−=−∴→高等数学题库（9）求导法与复合函数求导一．填空题：1．曲线xxy1−=与x轴交点的切线方程是)1(2±=xy.2．曲线2sin2xxy+=在横坐标x=0点处的切线方程是xy2=,法线方程是xy21−=.3．设xxyln1ln1+−=，则2)ln1(2'xxy+−=.4．设xxy2sin=，则22sin2cos2'xxxxy−=.5．设)(cos)(sin22xfxfy+=，则xxfxxfy2sin)(cos'2sin)(sin''22−=.二．求下列函数的导数.1.52322+−=xxy.解:3222246)'2()'3()'523('xxxxxxy+=−=+−=.2.xxycos2=.解:)'(coscos)()'cos('222xxxxxxy+==xxxxsincos22−=.3.xxycossin⋅=.解:xxxxy2cos)'2sin21()'cos(sin'==⋅=.4.)13(2+−=xxeyx.解:)'13()13('22+−++−=xxexxeyxx)3213(2−++−=xxxex)2(2−−=xxex.5.110110+−=xxy.解:2)110()110(10ln10)110(10ln10'+−−+=xxxxxy2)110(10ln102+⋅=xx.三.求导数:1.xy2ln1+=,求'y.解:xxxxxy222ln1211ln2ln121)'ln1('+⋅⋅=+⋅+=xxx2ln1ln+=.2.2lnxtgy=,求dxdy.解:xxxxxxtgycscsin12cos2sin212sec2121'2==⋅=⋅⋅=.3.ttycos1sin1−+=,求dtdy.解:2)cos1()'cos1()sin1()cos1()'sin1('ttttty−−⋅+−−⋅+=222)cos1(sincossincosttttt−−−−=2)cos1(1sincosttt−−−=.四.已知)2523(+−=xxfy,2arctan)('xxf=,求0=xdxdy.解:令2523+−=xxu,则22)2523()25()23(5)25(3)('''+−⋅+−−+=⋅=xxarctgxxxufuy===140arctgdxdyxπ.高等数学题库(10)复合函数求导(二)高阶导数一.求下列函数的导数:1.)21arcsin(2xy−=.解：2222124)21(11)'21('xxxxxy−−=−−⋅−=.<<−−<<−−=01,1210,1222xxxx2．xeyarcsin=.解：xxexxexyarcsinarcsin1121)'(arcsin'⋅−⋅=⋅=2arcsin2xxex−=.3．3212ttarctgy+=.解：1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+−=++⋅+=tttttttttty1444822363+++−=tttt.4．242arcsinxxxy−+=.解：22422)2(11212arcsin'xxxxxy−−−⋅⋅+=)4242(22arcsin22xxxx−−−+=2arcsinx=.5．xey1sin2−=.解：xxexxxexy1sin21sin222)1cos1sin2(1)'1sin('−−⋅⋅−⋅−=⋅−=xexx1sin222sin−⋅=.二.求下列函数的二阶导数:1.)1ln(2xy−=.解：212'xxy−−=,222222)1()1(2)1(22)1(2''xxxxxxy−+−=−⋅−−−=.2.arctgxxy)1(2+=.解：1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgxxxxarctgxy,2122''xxarctgxy++=.3.xxey=.解：xxxeey+=',xxxxxxeexeeey+=++=2''.三.求函数xxyln=的n阶导数.解：1ln'+=xy，xy1''=，21'''xy−=，3)4(2xy=，一般地，可得≥−−=+=−2,)!2()1(1,1ln1)(nxnnxynnn.四.设)()()(2xaxxfϕ−=,其中)('xϕ在点a的邻域内连续,求)(''af.解：)(')()()22()('2xaxxaxxfϕϕ−+−=.axxaxxaxaxafxfafaxax−−+−=−−=→→)(')()()22(lim)(')('lim)(''2ϕϕQ)('xϕ在点a的邻域内连续∴)(')('limaxaxϕϕ=→∴0)(lim)(')(')(lim2=−=−−→→axaaxxaxaxaxϕϕ.)(20)(2lim)(''axafaxϕϕ=+=→.高等数学题库(11)隐函数求导法一.求由下列方程所确定的隐函数y的导数dxdy.1.yxey−=1.解：)'('yyexyey+−=,即yyxeey+−=1'其中y是由方程yxey−=1所确定的隐函数.2.)(yxtgy+=.解：)(sec)'1('2yxyy+⋅+=,即221'yyy+−=.其中y是由方程)(yxtgy+=所确定的隐函数.3.0922=+−xyy.解：0'22'2=−−xyyyy,即xyyy−='.其中y是由方程0922=+−xyy所确定的隐函数.二.用对数函数求导法求下列函数的导数'y:1.22xctgxtgy=.解：先两边取对数(假定422πππkxk+<<.L,2,1,0±±=k)得xtgxctgy2ln2ln⋅=.则)2ln2csc21222sec2('122xtgxxctgxctgxyy−⋅⋅=.)2ln2csc21222sec2(2'222xtgxxctgxctgxxtgyxctg−⋅⋅=.当2)1(42πππ+<<+kxk时,用同样的方法可得与上面相同的结果.2.55225+−=xxy.解：先两边取对数(假定5>x)得)]2ln(51)5[ln(51ln2+−−=xxy.对上式两边对x求导，得)2125151(51'12+⋅⋅−−=xxxyy.即])2(5251[2551'2552+−−+−=xxxxxy.当5<x时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三.求下列函数的二阶导数22dxyd.1.==tbytaxsincos.解：tabtatbdtdxdtdydxdycotsincos−=−==,tabtatabdtdxtabdtddxyd32222sinsin1csc1)cot(−=−⋅=⋅−=.2.已知−==)()(')('tfttfytfx这里)(''tf存在且不为零.解：Q)(''tf存在且不为零∴ttftfttftfdxdy=−+=)('')(')('')(',)(''122tfdxyd=.四.设+=+=tttyttx4522,证明y=y(x)在t=0时dxdy存在,并求其值.证明：原方程可化为02=−xy.当0=t时0=x,.0)0()(limlim)0()(lim0200=−==−−+→→→hfhfhhhfhfhhh高等数学题库(12)微分一.选择题:1.已知xy2tan=,则dy等于(C).(A)2tgxdx;(B)tgxdxx212+;(C)xdxtgx2sec2;(D)xtgx2sec2.2．一元函数连续是可导的（A）；一元函数可导是可微的（C）.（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分条件又非必要条件.2.函数xxxxxf−−−=32)2()(不可微点的个数是（B）.（A）3;(B)2;(C)1;(D)0.二．填空题：1．已知函数2)(xxf=在点x处的自变量的增量2.0=∆x，对应的函数增量y∆的线性主部是8.0−=dy，那末自变量的始值为2−.2．)](lnln[ln32xy=，则dxxxdylnlnln2−=.3.xdxcxd3cos)sin31(=+;dxecedxx22)2(−−=+−;dxxcxd1)2(=+;dxxcxd11))1(ln(−=+−.三．利用微分求近似值：ο59cos.解：180359ππο−=.这里x∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin3cos)1803cos(59cosπππππο⋅+≈+=5151.01802321=⋅+=π.四．已知测量球的直径D时有1%的相对误差，问用公式36DVπ=计算球的体积时，相对误差有多少？解：我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量D∆，那么，利用公式36DVπ=来计算V时所产生的误差就是函数V的对应增量V∆.当V∆很小时，可以利用微分dV近似地代替增量V∆，即DDDVdVV∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差%3)(3=∆=∆=DVVVsv.五．求由方程ttsst=−+)ln()sin(所确定的隐函数s在t=0处的微分ds.解：对方程两边关于t求导，得11')cos()'(=−−++tssststs.当t=0时,得1'2++−=sss.又对原方程,当t=0时,得0ln=s即s=1.1111=++−=∴dtds高等数学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B）.(A)()[];1,1,132−∈−=xxxf(B)()()[];8,0,42∈−=xxxf(C)()];3,1[,3−∈=xxxf(D)()[].1,10,00,1sin2−∈=≠=xxxxxxf2.对于函数()332xxf−=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21;(B)31±;(C)31;(D)1.二.应用导数证明恒等式：()112arccosarcsin≤≤−=+xxxπ.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()xxxfarccosarcsin+=当()1,1−∈x时，()()()01111'arccos'arcsin'22=−−−=+=xxxxxf()Cxf=∴（C为常数）.特别地，取0=x,则求得()20π==fC当1−=x时，()221πππ=+−=−f当1=x时，()2021ππ=+=f∴当[]1,1−∈x时，2arccosarcsinπ=+xx三.设0>>ba，证明：bbabaaba−<<−ln.证：设()xxfln=，在],[ab上利用拉格朗日中值定理，有：()()abbaba<<==−−&x