近年考研数学三线性代数部分题目整合

1线性代数-考研题第一章行列式一．选择题1．（95）若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式m=|,,,|1321βααα，n=|,,,|3221αβαα，则四阶行列式|)(,,,|21321ββααα+等于（）（A）nm+．（B）)(nm+−．（C）mn−．（D）nm−．二．填空题：1．（96）五阶行列式=−−−−−−−−−=aaaaaaaaaD110001100011000110001．2．（97）设n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0111110111110111110111110LLLLLLLLLLLA，则=||A．3．（99）设随机变量)2;,,2,1,(≥=nnjiXijL独立同分布，2)(=ijXE，则行列式nnnnnnXXXXXXXXXYLLLLLLL212222111211=的数学期望=)(YE．4．（01）设行列式2235007022220403−−=D，则第四行各元素余子式之和的值为．5．（05）设321,,ααα均为三维列向量，记三阶矩阵),,(321ααα=A，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B．如果1||=A，那么=||B．6．（06）已知21,αα为2维列向量，矩阵),2(2121αααα−+=A，),(21αα=B．若行列式6||=A，则=||B．第二章矩阵2一．选择题：1．（96）设n阶矩阵A非奇异)2(≥n，*A是矩阵A的伴随矩阵，则（）（A）AAAn1||*)*(−=．（B）AAAn1||*)*(+=．（C）AAAn2||*)*(−=．（D）AAAn2||*)*(+=．2．（97）设BA,为同阶可逆矩阵，则（）（A）BAAB=．（B）存在可逆矩阵P，使BAPP=−1．（C）存在可逆矩阵C，使BACCT=．（D）存在可逆矩阵P和Q，使BPAQ=．3．（98）设)3(≥nn阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111LLLLLLLLLaaaaaaaaaaaaA，若矩阵A的秩为1−n，则a必为（）（A）1．（B）n−11．（C）1−．（D）11−n．4．（01）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=00010100001010001P，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10000010010000012P，其中A可逆，则1−B等于（）（A）211PPA−．（B）211PAP−．（C）121−APP．（D）112PAP−．5．（02）设BA,为n阶矩阵，**,BA分别为BA,对应的伴随矩阵，分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=BOOAC，则C的伴随矩阵=*C（）（A）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||BBOOAA．（B）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||AAOOBB．（C）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||ABOOBA．（D）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||BAOOAB．6．（03）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有（）（A）ba=或02=+ba．（B）ba=或02≠+ba．（C）ba≠且02=+ba．（D）ba≠且02≠+ba．7．（04）设n阶矩阵A与B等价，则必有（）（A）当)0(||≠=aaA时，aB=||．（B）当)0(||≠=aaA时，aB−=||．3（C）当0||≠A时，0||=B．（D）当0||=A时，0||=B．8．（05）设矩阵33)(×=ijaA满足TAA=*，其中*A为A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵，若131211,,aaa为三个相等的正数，则11a为（）（A）33．（B）3．（C）31．（D）3．9．（05）设CBA,,均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABEB+=，CAAC+=，则CB−为（）（A）E．（B）E−．（C）A．（D）A−．10．（06）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的−1倍加到第2列得C，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P，则（）（A）APPC1−=．（B）1−=PAPC．（C）APPCT=．（D）TPAPC=．11．（08）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若OA=3，则（）（A）AE−不可逆，AE+不可逆．（B）AE−不可逆，AE+可逆．（C）AE−可逆，AE+可逆．（D）AE−可逆，AE+不可逆．12．（09）设BA,均为2阶矩阵，**,BA分别为BA,的伴随矩阵，若3||,2||==BA，则分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛OBAO的伴随矩阵为（）（A）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛OABO*2*3．（B）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛OABO*3*2．（C）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛OBAO*2*3．（D）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛OBAO*3*2．13．（09）设PA,均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001APPT，若),,(321ααα=P，),,(3221αααα+=Q，则AQQT为（）（A）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012．（B）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011．（C）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002．（D）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020001．14．（11）设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000110011P，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0101000012P，则=A（）（A）21PP．（B）211PP−．（C）12PP．（D）112−PP．15．（12）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−2111APP，),,(321ααα=P，4),,(3221αααα+=Q，则=−AQQ1（）（A）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛121．（B）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛211．（C）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛212．（D）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛122．二．填空题：1．（95）设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为．2．（98）设矩阵BA,满足EBABAA82*−=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001A，E为单位矩阵，*A为A的伴随矩阵，则=B．3．（98）设BA,均为n阶矩阵，3||,2||−==BA，则=−|*2|1BA．4．（99）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A，而2≥n为正整数，则=−−12nnAA．5．（99）已知ABAB=−，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B，则=A．6．（00）设T)1,0,1(−=α，矩阵TAαα=，n为正整数，则=−||nAaE．7．（01）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=kkkkA111111111111，且3)(=A秩，则=k．8．（02）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A，EAAB232+−=，则=−1B．9．（03）设n维向量0,),0,,0,(<=aaaTLα，TEAαα−=，TaEBαα1+=，E是n阶单位矩阵，其中A的逆矩阵为B，则=a．10．（03）设BA,均为三阶矩阵，E三阶单位矩阵，已知BAAB+=2，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=202040202B，则=−−1)(EA．11．（04）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100001010A，APPB1−=，其中P为三阶可逆矩阵，则=−220042AB．512．（06）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足EBBA2+=，则=B．13．（07）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000100001000010A，则3A的秩为．14．（10）设BA,为3阶矩阵，且2||,2||,3||1=+==−BABA，则=+−||1BA．15．（12）设A为3阶矩阵，3||=A，*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则=|*|BA．三．解答题：1．（95）已知三阶矩阵A的逆矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−3111211111A，试求伴随矩阵*A的逆矩阵．2．（97）设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=AAIPT*0α，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=bAQTαα，其中*A是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．（1）计算并化简PQ；（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是bAT≠−αα1．第三章线性方程组一．选择题：1．（96）设有任意两个n维向量组α1,…,αm和β1,…,βm，若存在两组不全为零的数λ1,…,λm和k1,…,km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1−k1)β1+…+(λm−km)βm=0，则（）（A）α1,…,αm和β1,…,βm都线性相关．（B）α1,…,αm和β1,…,βm线性无关．（C）α1+β1,…,αm+βm,α1−β1,…,αm−βm线性无关．（D）α1+β1,…,αm+βm,α1−β1,…,αm−βm线性相关．2．（97）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（）（A）α1+α2,α2+α3,α3−α1．（B）α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3．（C）α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1．（D）α1+α2+α3,2α1−3α2+22α3,3α1+5α2−5α3．3．（97）非齐次线性方程组AX=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（）（A）r=m时，方程组AX=b有解．（B）r=n时，方程组AX=b有唯一解．（C）m=n时，方程组AX=b有唯一解．（D）r<n时，方程组AX=b有无穷多解．4．（98）齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,03213213221xxxxxxxxxλλλλ的系数矩阵记为A，若存在三阶矩阵B≠O使得AB=O，则（）（A）λ=−2且|B|=0．（B）λ=−2且|B|≠0．（C）λ=1且|B|=0．（D）λ=1且|B|≠0．5．（98）若向量组α,β,γ线性无关，α,β,δ线性相关，则（）（A）α必可由β,γ,δ线性表示．（B）β必不可由α,γ,δ线性表示．6（C）δ必可由α,β,γ线性表示．（D）δ必不可由α,β,γ线性表示．6．（99）设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α1,α2,…,αm−1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1,α2,…,αm−1,β，则（）（A）αm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示．（B）αm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示．（C）αm可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示．（D）αm可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示．7．（00）设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3，α1=(1,2,3,4)T，α2+α3=(0,1,2,3)T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=（）（A）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛11114321c．（B）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛32104321c．（C）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛54324321c．（D）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛65434321c．8．（01）设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0TααA秩(A)，则线性方程组（）（A）AX=α必有无穷多解．（B）AX=α必有唯一解．（C）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛yXAαα仅有零解．（D）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛yXAαα必有非零解．9．（02）设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)X=θ（）（A）当n>m时仅有零解．（B）当n>m时必有非零解．（C）当m>n时仅有零解．（D）当m>n时必有非零解．10．（03）设α1,α2,…,αs均为n维向量，下列结论不正确的是（）（A）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠θ，则α1,α2,…,αs线性无关．（B）若α1,α2,…,αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,…,ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=θ．（C）α1,α2,…,αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．（D）α1,α2,…,αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．11．（04）设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=θ的基础解系（）（A）不存在．（B）仅含一个非零解向量．（C）含两个线性无关的解向量．（D）含三个线性无关的解向量．12．（06）设α1,α2,…,αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）（A）若α1,α2,…,αs线性相关，则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关．（B）若α1,α2,…,αs线性相关，则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关．（C）若α1,α2,…,αs线性无关，则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关．（D）若α1,α2,…,αs线性无关，则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关．13．（07）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）α1−α2,α2−α3,α3−α1．（B）α1+α2,α2+α3,α3+α1．（C）α1−2α2,α2−2α3,α3−2α1．（D）α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1．14．（10）设向量组I：rααα,,,21L可由向量组II：sβββ,,,21L线性表示，下列命题正确的是（）（A）若向量组I线性无关，则sr≤．（B）若向量组I线性无关，则sr>．7（C）若向量组II线性无关，则sr≤．（D）若向量组II线性无关，则sr<．15．（11）设A为34×矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax的3个线性无关的解，21,kk为任意常数，则β=Ax的通解为（）（A）)(212132ηηηη−++k．（B）)(212232ηηηη−+−k．（C）)()(212213132ηηηηηη−+−++kk．（D）)()(213312232ηηηηηη−+−+−kk．16．（12）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=4433221111,11,10,00ccccαααα，其中4321,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）321,,ααα．（B）421,,ααα．（C）431,,ααα．（D）432,,ααα．二．填空题：1．（02）设向量组α1=(a,0,c),α2=(b,c,0),α3=(0,a,b)线性无关，则a,b,c必满足关系式．2．（02）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=403212221A，三维列向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11aα．已知Aα与α线性相关，则a=．3．（05）设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关，且a≠1，则a=．三．解答题：1．（95）设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E是n阶单位矩阵（m>n），已知BA=E，试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？2．（95）k为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−=++42,,43212321321xxxkxkxxkxxx有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．3．（96）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=+++−=+−+=+−+,6,1723,1462,0324321432143214321txxxxxpxxxxxxxxxxx讨论参数p,t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．4．（98）设已知下列非齐次线性方程组（I），（II），（I）⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−−−=−+,33,14,623214321421xxxxxxxxxx（II）⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−−=−−+.12,112,434324321txxxxnxsxxmxx（1）求解方程组（I），用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组（II）中的参数m,n,s,t为何值时，方程组（I）与（II）同解．5．（99）已知线性方程组8⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0,0322212321321xcxbxacxbxaxxxx（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．6．（00）设向量组α1=(a,2,10)T,α2=(−2,1,5)T,α3=(−1,1,4)T,β=(1,b,c)T．试问：满足什么条件时，（1）β可由α1,α2,α3线性表出，且表示唯一？（2）β不能由α1,α2,α3线性表出？（3）β可由α1,α2,α3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式．7．（02）设四元齐次线性方程组（I）为⎩⎨⎧=−++=−+,02,0324321321xxxxxxx且已知另一四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为α1=(2,−1,a+2,1)T,α2=(−1,2,4,a+8)T，（1）求方程组（I）的一个基础解系；（2）当a为何值时，方程组（I）与（II）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解．8．（02）设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++,0,0,0321321321nnnaxbxbxbxbxbxaxbxbxbxbxaxLLLLLLLLLL其中a≠0,b≠0,n≥2．试讨论a,b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．9．（03）设向量组（I）：α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,−1,a+2)T和向量组（II）：β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T．问：a为何值时，向量组（I）与向量组（II）等价；a为何值时，向量组（I）与向量组（II）不等价．10．（03）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nnnnnnnnxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL其中01≠∑=niia，试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．11．（04）设α1=(1,2,0)T，α2=(1,a+2,−3a)T，α3=(−1,−b−2,a+2b)T，β=(1,3,−3)T，试讨论a,b为何值时，（1）β不能由α1,α2,α3线性表示；（2）β可由α1,α2,α3唯一地线性表示，并求出表达式；（3）β可由α1,α2,α3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式．912．（04）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++.14)4()2(3,022,0432143214321xxxxxxxxxxxxµλµλ已知(1,−1,1,−1)T是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（2）该方程组满足x2=x3的全部解．13．（05）已知齐次线性方程组（i）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0532,032321321321axxxxxxxxx和（ii）⎩⎨⎧=+++=++0)1(2,03221321xcxbxcxbxx同解，求a,b,c的值．14．（06）设4维向量组α1=(1+a,1,1,1)T,α2=(2,2+a,2,2)T,α3=(3,3,3+a,3)T,α4=(4,4,4,4+a)T，问a为何值时α1,α2,α3,α4线性相关？当α1,α2,α3,α4线性相关时，求一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．15．（07）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xaxxaxxxxxx①与方程x1+2x2+x3=a−1②有公共解，求a的值及所有公共解．16．（08）设n元线性方程组AX=b，其中nnaaaaaA×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2121222OOO，X=(x1,…,xn)T，b=(1,0,…,0)T，（1）证明行列式|A|=(n+1)an；（2）a为何值，方程组有唯一解，求x1；（3）a为何值，方程组有无穷多解，求通解．17．（09）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=240111111A，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=2111ξ，（1）求满足12ξξ=A，132ξξ=A的所有向量32,ξξ；（2）对（1）中任一向量32,ξξ，证明321,,ξξξ线性无关．18．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=λλλ1101011A，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11ab．已知线性方程组bAx=存在两个不同的解，（1）求a,λ；（2）求方程组bAx=的通解．19．（11）TTT)5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由10TTTa)5,3,1(,)3,2,1(,)1,,1(321===βββ线性表出．（1）求a；（2）将321,,βββ由321,,ααα线性表出．20．（12）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100100010001aaaaA，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0011b，（1）求||A；（2）已知线性方程组bAx=有无穷多解，求a，并求bAx=的通解．第四章向量空间一．选择题：1．（00）设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：AX=O和（Ⅱ）：ATAX=O，必有（）（A）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解．（B）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解．（C）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解．（D）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．二．填空题：1．（04）设A=(aij)3×3是实正交矩阵，且aii=1,b=(1,0,0)T，则线性方程组AX=b的解是．三．解答题：1．（01）设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量，且α1,α2,…,αr线性无关．已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111nrnrrnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLLLLL的非零解向量．试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性．第五章特征值与特征向量一．选择题：1．（95）n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（）（A）充分必要条件．（B）充分而非必要条件．（C）必要而非充分条件．（D）既非充分也非必要条件．2．（95）设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵1231−⎟⎠⎞⎜⎝⎛A有一特征值等于（）（A）34．（B）43．（C）31．（D）41．3．（99）设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（）（A）λE−A=λE−B．（B）A与B有相同的特征值和特征向量．（C）A与B都相似于同一个对角矩阵．（D）对任意常数t，tE−A与tE−B相似．4．（02）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P−1AP)T属于特征值λ的特征向量是（）11（A）P−1α．（B）PTα．（C）Pα．（D）(P−1)Tα．5．（03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B，已知矩阵A相似于B，则秩（A−2E）与秩（A−E）之和等于（）（A）2．（B）3．（C）4．（D）5．6．（05）设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1,α2，则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是（）（A）λ1=0．（B）λ2=0．（C）λ1≠0．（D）λ2≠0．7．（10）设A为4阶实对称矩阵，且OAA=+2，若A的秩为3，则A相似于（）（A）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛0111．（B）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−0111．（C）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−0111．（D）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−0111．二．填空题：1．（00）若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为51,41,31,21，则行列式|B−1−E|=．2．（00）四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2,3,4,5．E为四阶单位矩阵，则|B−E|=．3．（08）设3阶矩阵A的特征值1,2,2，则|4A−1−E|=．4．（08）设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式|A|=0，则A的秩为．5．（09）设TTk),0,1(,)1,1,1(==βα，若矩阵Tαβ相似于⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000003，则=k．三．解答题：1．（96）设有4阶方阵A满足条件|3I+A|=0,AAT=2B,|A|<0,|B|=1，其中I是4阶单位阵，求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．2．（97）设三阶实对称矩阵A特征值是1,2,3；矩阵A属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(−1,−1,1)T,α2=(1,−2,−1)T，（1）求A的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A．3．（97）设矩阵A与B相似，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=aA33242111，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=bB00020002，（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵P，使P−1AP=B．4．（98）设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T是非零向量且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=12αβT，求：（1）A2；（2）矩阵A的特征值和特征向量．5．（99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223kkA．问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P−1AP=B为对角阵？并求出P和相应的对角矩阵．6．（99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=acbcaA01351，且|A|=−1，又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=(−1,−1,1)T，求a,b,c及λ0的值．7．（00）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=5334111yxA，已知A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P−1AP为对角形矩阵．8．（01）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111aaaA，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211β．已知线性方程组AX=β有解但不唯一，试求：（1）a的值，（2）正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．9．（02）设实对称阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=aaaA111111，求可逆矩阵P，使P−1AP为对角形矩阵，并计算行列式|A−E|的值．10．（03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=aA11121112可逆，向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11bα是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中A*是矩阵A的伴随矩阵．试求a,b和λ的值．11．（04）设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(−1,2,−3)T都是A的属于特征值6的特征向量．（1）求A的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A．12．（04）设n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111LLLLLLLbbbbbbA．（1）求A的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P，使得P−1AP为对角矩阵．1313．（05）设A为三阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα2=2α2+3α3，（1）求矩阵B，使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B；（2）求矩阵A的特征值；（3）求可逆矩阵P，使得P−1AP为对角矩阵．14．（06）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(−1,2,−1)T,α2=(0,−1,1)T是线性方程组AX=θ的两个解．（1）求A的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；（3）求A及6)23(EA−，其中E为3阶单位矩阵．15．（07）设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=−2，α1=(1,−1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5−4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵B．16．（08）设A为3阶矩阵，α1,α2为A的分别属于特征值−1,1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3，（1）证明α1,α2,α3线性无关；（2）令P=(α1,α2,α3)，求P−1AP．17．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0431410aaA，正交矩阵Q使得AQQT为对角矩阵，若Q的第1列为T)1,2,1(61，求Qa,．18．（11）A为三阶实对称矩阵，2)(=AR，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−110011110011A．（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A．第六章二次型一．选择题：1．（07）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=211121112A，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000010001B，则A与B（）（A），且相似．（B）合同，但不相似．（C）不合同，但相似．（D）既不合同，也不相似．2．（08）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1221A，则在实数域上与A合同的矩阵为（）（A）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（B）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（C）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2112．（D）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1221．二．填空题：1．（97）若二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是．2．（04）二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2−x3)2+(x3+x1)2的秩为．143．（11）设二次型AxxxxxfT=),,(321的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换Qyx=下的型为．三．解答题：1．（95）设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3，经正交变换X=PY化成f=y22+2y32，其中X=(x1,x2,x3)T和Y=(y1,y2,y3)T是三维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α,β．2．（98）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A，矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵，求对角矩阵Λ，使B与Λ相似，并求k为何值时，B为正定矩阵．3．（99）设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ>0时，B为正定矩阵．4．（00）设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn−1+an−1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1,2,…,n)为实数．试问：当a1,a2,…,an满足何种条件时，二次型f(x1,x2,…,xn)为正定二次型．5．（01）设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,…,n），二次型jininjijnxxAAxxxf∑∑===1121),,,(L．（1）记X=(x1,x2,…,xn)T，把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A−1；（2）二次型g(X)=XTAX与f(X)的形是否相同？说明理由．6．（02）设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O，已知A的秩r(A)=2．（1）求A的全部特征值；（2）当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．7．（03）设二次型)0(222),,(312322211321>+−+==bxbxxxxaAXXxxxfT中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为12−．（1）求ba,的值；（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换和对应的正交矩阵．8．（05）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=BCCADT为正定矩阵，其中BA,分别为m阶、n阶对称矩阵，C为nm×矩阵，（1）计算DPPT，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−nmEOCAEP1；（2）利用（1）的结果判断矩阵CACBT1−−是否为正定矩阵，并证明你的结论．9．（09）设二次型323123222132122)1(),,(xxxxxaaxaxxxxf−+−++=，（1）求二次型f的矩阵的所有特征值；（2）若二次型),,(321xxxf的规范型为2221yy+，求a的值．10．（12）已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1001110101aaA，TA为矩阵A的转置，二次型xAAxxxxfTT)(),,(321=的秩为2．15（1）求实数a的值；（2）求正交变换Qyx=将二次型f化为标准型．