泛函分析第八章习题解答

泛函分析第八章习题解答1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.解设是满足收敛的数列全体组成的空间.若.定义如下:对,,则对,.由有界线性算子的定义知,是有界算子,且,,其中,所以.设,则.令,则,故不是闭集.证毕.2.求上线性泛函的范数.解由得.设则,且,,因而,故.3.设无穷阵,满足,作到中算子如下:若,,则.证明:.证设,则若,,因此.对,使得.设,其中,则,且.若,则,因此.由于是任意的,故.因而.4.设,在中定义线性算子,其中.证明:是有界线性算子,并且.证设,由于.又对,使得.设,其中,则,而.则.由的任意性,得,所以.证毕.5.设是维向量空间,在中取一组基是矩阵,.作到中的算子如下:当时,,其中.若向量的范数为.证明上述算子的范数满足.证若,则,所以.对任意的,,于是,所以,.因此.证毕.6.设赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子,若的零空间是闭集,是否一定有界?解答令P,其中P是上多项式函数全体,它是的一个子空间.是P到P的微分算子.若,则是常值函数,而常值函数全体是一个闭子集.而由第一节例9可知,是非有界的.7.作中算子如下:当时,,其中.证明:是有界算子.证若,则,所以,为有界算子,且.证毕.8.按范数成赋范空间,问的共轭空间是什么?解记按范数组成的赋范线性空间为,按范数组成的赋范线性空间为.下面证明.定义到的映射,对,其中,对,于是.反之,对,定义:对,则.因此是从到上的映射.(也就是说,是满射)若,则,故;若,令,则.因此,从而.于是是到的同构映射,在同构的意义下,.9.设表示极限为0的实数列全体,按通常的加法和数乘以及,构成Banach空间,证明:.证令,则.对,定义.则有,且.事实上:记,则且.,由于,因此,令,因而,且.另一方面,对,定义上线性泛函若,则,因此,又因为,因此,且,所以.由以上证明可知,是到上的同构映射,而在同构的意义下,=.证毕.