3、数量关系讲义

数字推理第01讲数列概述一、考区范围数字推理是数量关系当中非常重要的传统题型，然而国考、联考和大部分地方考试已经多年没有涉及，所以对于大部分考生来说，数字推理的课程可以简单轻松地看一看即可。但是，数字推理仍会出现在部分省级考试中，譬如浙江和江苏每年都有比重不小的数字推理试题，所以这两个地区的考生一定要非常认真的复习本篇课程。除此之外，陕西、天津、河北、新疆、吉林、广东、深圳等省市的考试，也有很大的概率要考到数字推理，所以这些地区的考生也不能轻视数字推理的复习。二、基础数列数字推理的主体内容可以归纳为五大题型，而这些题型是建立在“基础数列”之上的。“基础数列”包括等差数列、等比数列、质数型数列、周期数列和直接递推数列五种形态：等差数列：相邻两项之差（后项减去前项）等于定值的数列。【例1】（河北2013-38）1，5，9，（），17，21A.12B.13C.14D.15［答案］B等比数列：相邻两项之比（后项除以前项）等于定值的数列。【例2】（广东2013C-1）160，80，40，20，()A.4B.6C.8D.10［答案］D质数型数列质数数列：由质数构成的数列叫做质数数列。譬如：2、3、5、7、11、13…合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。譬如：4、6、8、9、10、12…周期数列：自某一项开始，重复出现前面相同（相似）项的数列。譬如：①2、5、4、2、5、4…②2、4、2、4、2、4…直接递推数列：数列当中每一项直接等于其前两项的和、差、积或者商。譬如：①0、1、1、2、3、5…②-1、3、2、5、7…三、五大题型数字推理的主体内容主要包括以下五大题型：1.多级数列：数列中相邻项通过四则运算，得到的结果形成某种特定的规律。2.多重数列：数列中数字通过交叉或者分组，从而形成某种特定的规律。3.分式数列：数列中的数通过自然分隔，形成某种特定的规律。4.幂次数列：数列中有基于平方、立方或其它乘方的规律。5.递推数列：数列中前面的项通过某种特定的运算，得出后一项从而形成规律。2015????????2?http://t.cn/RheexjL四、思维图示解答一道数字推理题，简单来说分成两步：1、判断类型；2、按类型使用具体方法。后者很重要：掌握具体题型的具体解题方法是数字推理解题的基本能力，本课程后面将分门别类的介绍五大基本题型各自的典型解题方法和经典例题。前者更重要：这是解题的前提和关键。拿到一道数字推理题，我们如何迅速而准确的判定应该选用什么样的题型方法来解答这道题，或者说我们应该用什么样的思维步骤来处理一个尚未确定类型的普通题目，这是数字当中非常重要的内容。五、补充要领特别补充说明六个要领：1.数字推理思维过程，简单来说就是六个字：特征做差递推；2.数字推理的破题关键是“尝试”；3.五/十道题目一起验证，一起寻找特征，用以节约时间。4.思维过程一定要“熟练”；5.基本计算能力一定要过关；6.课程的最后，我们再回头来重新讲解这个思维过程。第02讲做差多级数列一、要点评析多级数列是数字推理五大题型之首，也是最重要的两大题型（多级数列和递推数列，各占约1/4）之一。多级数列不仅自身考察比重很高，而且也是其它诸多题型的基础，掌握好这一部分的内2015????????2?http://t.cn/RheexjL容，是攻克数字推理的前提。多级数列包括做差数列（约80%，包括二级数列56%与三级数列24%）、做商数列（约12%）、做和数列（约7%）和做积数列（几乎不考）四种形态。多级数列中，做商数列有比较明显的倍数关系，做差数列和做和数列一般没有明显数字特征。本讲主要讲述“做差多级数列”，下一讲我们讲述“做商多级数列”和“做和多级数列”。二、例题精析●题型一：二级等差数列【例1】（江苏2013B-83，江苏2013C-19）-2，-2，0，4，10，（）A.12B.15C.16D.18【例2】（江苏2013C-16）3，7，13，21，31，（）A.38B.41C.43D.49核心提示“二级数列”所使用的“逐差法”简单、通俗、易行，但一般考生非常容易犯下面两个错误：①做差计算错误；②做差时，“左减右”和“右减左”混乱。这两类错误在整个“多级数列”中都是最为常见的，希望大家对此重视，并且多加练习，避免这类可惜的错误。【例3】（广东2013C-4）300，290，281，273，()，260A.270B.266C.264D.262【例4】（江苏2013C-20）0.5，2，4.5，8，（）A.10.5B.11C.12.5D.14●题型二：二级等比数列【例5】（江苏2013B-76）2，3，5，9，（），33A.15B.17C.18D.19核心提示“二级等比数列”全部可以看成“递推倍数数列”，其修正项为一常数数列。【例6】（江苏2013C-18）5，6，9，18，45，（）A.96B.106C.116D.126【例7】（河北2013-40）-1，1，7，25，79，（）A.121B.241C.243D.254●题型三：二级其它数列【例8】（新疆2013-33）4，8，13，19，23，（），34A.25B.27C.28D.312015????????2?http://t.cn/RheexjL【例9】（吉林2010-4）10，12，15，20，27，（）A.30B.36C.38D.48【例10】（浙江2010-75）12，16，22，30，39，49，（）A.61B.62C.64D.65●题型四：三级等差数列【例11】（2010年425联考-86）0，0，6，24，60，120，（）A.180B.196C.210D.216核心提示“二级数列”只需要做一次差，题目过于简单，而建立于其基础之上的“三级数列”因为难度适中，从而逐渐取代“二级数列”，成为近年来试题主要基础题型之一。“三级数列”比“二级数列”更加强调减法运算的速度和精度，也更加容易因为做差方向的混乱而出错。【例12】（江苏2013B-82，江苏2013C-17）2，4，0，-16，-50，（）A.-104B.-108C.-125D.-128●题型五：三级等比数列【例13】（深圳2013-45）11，11，13，21，47，()A.125B.126C.127D.128【例14】（新疆兵团2013-46）1，6，12，16，24，24，（）A.24B.32C.40D.48●题型六：三级其它数列【例15】（江苏2010A-17）8，11，18，34，66，（）A.89B.97C.123D.154【例16】（新疆兵团2013-49）2，5，8，12，17，24，（）A.30B.32C.34D.36第03讲商和多级数列一、要点评析“多级数列”当中，最经典的方式就是“两两做差”。除此之外，“两两做商”和“两两做和”的数列也渐渐成为了考试常见的基本题型。相对“两两做差”的数列而言：“两两做商”的数列，数字之间有比较明显的倍数关系；而“两两做和”数列，从数字上看，并没有特别的特征，但一旦经过简单的加和便能得出相对简单的规律（一般算出前两个数字就能大致猜出整个数列）。2015????????2?http://t.cn/RheexjL二、例题精析●题型一：做商多级数列【例1】（江苏2013B-81，C-23）1，3，12，60，360，()A.1080B.2160C.2165D.2520核心提示“两两做商”的数列，数字之间有比较明显的倍数关系。【例2】（江苏2013A-16）2，4，12，48，240，（）A.1645B.1440C.1240D.360【例3】（吉林2012乙-3）0.5，1.5，7.5，52.5，（）A.415.5B.472.5C.387.5D.315.5【例4】（浙江2013-40）1，2，6，30，210，（）A.1890B.2310C.2520D.2730【例5】（江西2012-37）2，2，6，30，()，1890A.180B.210C.360D.240【例6】（山东2012-61）1/6，1/3，1，4，20，（）A.100B.108C.120D.128【例7】（四川2012-4）4，4，4，8，24，120，（）A.240B.360C.560D.960【例8】（浙江2013-42）1，-3，3，3，9，（）A.28B.36C.45D.52【例9】（江苏B类2013-77）1/3，1，9，243，()A.19683B.19785C.19827D.19869【例10】（吉林乙级2013-4）1，4，64，4096，（）A.65536B.262144C.131072D.1048576●题型二：做和多级数列核心提示“两两做和”数列，从数字上看，并没有特别的特征，但一旦经过简单的加和便能得出相对简单的规律（一般算出前两个数字就能大致猜出整个数列）【例11】（山东2012-63）-1，2，0，4，4，12，（）A.4B.8C.12D.202015????????2?http://t.cn/RheexjL【例12】（2010年918联考-33）5，6，16，28，60，（）A.74B.82C.92D.116【例13】（浙江2013-41）2，2，7，9，16，20，（）A.28B.29C.30D.31第04讲多重数列一、要点评析多重数列是数字推理题型中难度较低、特征相对明显的题型，主要包括“交叉数列”和“分组数列”两种题型。多重数列的特征一般都非常明显：一般都比较长，有时候会出现两个未知项。出现整个数列（包括未知项）一共有8项或者10项，交叉和分组都是可能的，但如果总共是9项，一般就是交叉数列。二、例题精析●题型一：交叉数列核心提示“交叉数列”是多重数列的基本题型，其奇数项和偶数项分别是两个较简单的数列。【例1】（吉林2011甲级-4）21，26，23，24，25，22，27，（）A.28B.29C.20D.30【例2】（陕西2013-74）2，2，3，4，5，6，7，8，（）A.9B.10C.11D.12【例3】（深圳2012-4）11，14，12，20，13，30，（），44，15，（）A.15，55B.14，60C.14，62D.15，60【例4】（山东2012-62）1，5，5，25，25，45，125，（）A.45B.65C.125D.150【例5】（浙江2012-45）1、6、5、7、2、8、6、9、（）A.1B.2C.3D.4●题型二：分组数列核心提示分组数列中，我们将组内两个数进行简单的“+、-、、”运算，得到一个简单数列。【例6】（吉林2010-5）5，8，9，12，10，13，12，（）A.15B.14C.13D.252015????????2?http://t.cn/RheexjL【例7】（深圳市2011-5）11，22，20，40，12，24，34，（）A.50B.64C.56D.68【例8】（新疆2013-34）2，13，5，9，8，5，11，（）A.13B.15C.3D.1【例9】（新疆2013-40）1，3，8，24，11，33，14，（）A.42B.39C.46D.51【例10】（天津2013-1）3，5，6，10，11，17，18，（）A.25B.26C.27D.28第05讲分数数列一、要点评析分数数列是数字推理当中，最具有直接外部特征的数列形式，能够从直观上与其它数列进行简单区分。分数数列主要包括以下四种题型：1.分组规律型：分子、分母互不影响，各自独立为一个简单数列；2.交叉影响型：分子、分母互相影响，整体考虑有一个直观的规律；3.广义通分型：当分数的分母或分子很容易化为一致时，将其化为相同数；4.反向约分型：现在分数数列中的主导题型。除此之外，分数数列还可以向小数、根数拓展。当数列中大部分是分数，而少量个别数字是整数的时候，我们可以将整数化为分母为1的分数。此外，含有部分分数的数列，还可能是“负幂次数列”、“积商多级数列”或者“积商递推数列”这样三种形态。二、例题精析●题型一：分组规律型【例1】（安徽2010-4）1，（），17，113，121A.0B.1C.1/2D.1/3核心提示当数列中大部分是分数，而少量个别数字是整数的时候，我们可以将整数化为分母为1的分数。●题型二：交叉影响型【例2】（吉林甲级2012-4）65，116，1711，1728，()2015????????2?http://t.cn/RheexjLA.4528B.4328C.4428D.4228●题型三：广义通分型【例3】（浙江2013-45）32、12、14、320、110、()A.1/14B.1/15C.1/16D.1/17●题型四：反向约分型核心提示将一个分数的分子、分母同时除以一个数，我们称之为“约分”，而将一个分数的分子、分母同时乘以一个数，我们称之为“反约分”。在数列中，如果某一个分数的分子和分母的大小明显都低于整个数列的趋势，我们常常应当利用“反约分”来同时扩大这个分数的分子和分母，从而得到较明显的规律。“反约分型数列”是分数数列中最具技巧的题型，已经成为现在分数数列出题的主要方向。传统试题里，“反约分”一般会使得分数的分子、分母分别成为等差数列，但近年来，分子、分母被化为“二级（等差或等比）数列”成为题型的主流。【例4】（河北2013-37）1，87，1611，21，3211，（）A.12829B.6427C.3215D.327【例5】（江苏2013C-22）1，1，43，2，165，（）A.327B.167C.323D.163【例6】（江苏2013A-16，B-79）12，1，97，1611，2516，（）A.1811B.2111C.2311D.3623【例7】（吉林2013甲级-5，乙级-3）53，43æèçöø÷2，119æèçöø÷3，76æèçöø÷4，（）A.1715æèçöø÷5B.87æèçöø÷5C.1513æèçöø÷5D.116æèçöø÷5【例8】（天津2013-5）3，15-4，145，45-28，（）2015????????2?http://t.cn/RheexjLA.2536B.3341C.2148D.3564●题型五：小数数列核心提示分数号将分数分成了分子、分母两个部分，这是分数数列的形式本质。除此之外，我们还可能遇到“小数数列”、“根式数列”等等形式，这些数列的每一项都被天然的分成了多个部分，因此我们可以认为，这些数列是分数数列的拓展形式。【例9】（吉林2013甲级-4）1.1，3.4，6.9，10.16，（）A.12.49B.15.25C.13.36D.14.49●题型六：根式数列【例10】（吉林甲级2013-1）√3，√15，√35，√63，（）A.√77B.√99C.√103D.√143【例11】（江苏C类2013-21）√2，√2，2，2√3，4√3，（）A.6√5B.4√15C.6√3D.7√15【例12】（吉林乙级2013-5）√2，3/2，2√7/3，√65/4，（）A.√343/5B.4√6/5C.7√5/5D.√126/5第06讲幂次数列一、要点评析幂次数列要求各位考生对数字当中的“幂次数”（又称为“乘方数”）有非常熟练的了解，建立在这个基础之上以后，幂次数列可以算数字推理当中难度中等甚至偏简单的题型。幂次数列主要包括“基础幂次数列”和“幂次修正数列”，后者是现在考试的主体题型。要学好幂次数列，必须对常用的幂次数（包括平方数、立方数、多次方数）了如指掌，夯实这一部分功底是复习本章的主要任务。在这个过程中，了解一些幂次变换的常用法则、熟悉幂次数附近的数字，是掌握幂次数的两个重点。常用幂次数平方数底数12345678910平方149162536496481100底数11121314151617181920平方121144169196225256289324361400立方数底数12345678910立方1827641252163435127291000多次方次方123456789102015????????2?http://t.cn/RheexjL数224816326412825651210243392781243729441664256102455251256256636216二、例题精析●题型一：恒定指数【例1】（新疆2013-37）-1，27，8，125，（）A.512B.428C.256D.343●题型二：恒定底数【例2】（河北2012-39）1，2，8，（），1024，……A.64B.176C.682D.988【例3】（吉林2013甲级-3）1，e，e，e，（）A.eB.eC.eD.e●题型三：变化指数【例4】（河北2010-27）6，25，64，（），32，1A.81B.72C.63D.54●题型四：常数修正核心提示1.普通平方数列，以常数（或等差数列）进行修正，结果是“二级等差数列”；2.普通立方数列，以常数（或等差数列）进行修正，结果是“三级等差数列”。【例5】（江苏2013B-84）3，8，15，24，35，（）A.39B.43C.48D.63“幂次修正数列”解题关键对题目已知数字进行幂次数的“相邻数发散”，以迅速找到原参照数列。【例6】（河北2013-39）1，10，37，82，145，（）A.170B.197C.224D.226【例7】（江苏2013A-16）9，10，65，26，217，（）A.289B.89C.64D.502015????????2?http://t.cn/RheexjL●题型五：等差修正【例8】（2010年425联考-86）0，0，6，24，60，120，（）A.180B.196C.210D.216●题型六：正负修正【例9】（天津2013-4）3，2，11，14，27，（）A.32B.34C.36D.40【例10】（陕西2013-71）0，5，8，17，24，（）A.37B.45C.51D.62【例11】（新疆2013-32）2，7，28，63，126，（）A.215B.150C.119D.178【例12】（陕西2013-75）2，6，30，60，130，210，（）A.340B.350C.360D.370第07讲递推数列整体趋势法一、要点评析递推数列是最重要的两大题型之一，与多级数列各占1/4左右的比重，也是数字推理中技巧性最强、对数字敏感要求最高的题型。递推数列主要包含和、差、积、商、倍、方六种运算形态，既包括基本型，也包括修正型。近年来的试题主要集中在“修正型”的递推数列，占比大约为80%左右。递推数列最重要的任务，就是判断数列递推的形式，主要有“整体趋势法”和“递推联系法”两种基本方法，两种方法的“分别学习”和“联合使用”是最有效果的。本节讲述前一种方法，下一节讲述后一种方法。“整体趋势法”是指以数列的整体变化趋势为主要依据，从而判断数列的递推类型的一种方法。由于不同类型的递推方式有不同的“数列大小变化趋势”，所以绝大部分的递推数列可以通过“整体趋势法”进行有效判断。“整体趋势法”主要操作包括“看趋势”和“做试探”两个过程：1.看趋势：根据数列当中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式；2.作试探：根据初步判断的趋势作合理的试探，并分析其误差，即“修正项”。“看趋势”的大致思维流程，可以具体用下图显示：2015????????2?http://t.cn/RheexjL二、例题精析【例1】34、21、14、8、7、2、（）A.3B.4C.5D.6【例2】（新疆2013-35）252，21，12，（），48/7A.9B.7C.7/4D.13/7【例3】-3，3，0，（），3，6A.3B.4C.5D.6【例4】（四川2010-1）4，6，9，14，22，35，（）A.47B.49C.53D.56【例5】（江苏B类2013-80）1，2，5，26，677，（）A.458329B.458330C.458331D.458332【例6】（2010年425联考-87）2，3，7，45，2017，（）A.4068271B.4068273C.4068275D.4068277【例7】（北京2010-73）2，2，4，8，32，256，（）A.2048B.4096C.6942D.8192【例8】（浙江2012-41）2、4、3、7、16、107、()A.1594B.1684C.1707D.1856【例9】（江苏2010B-77，C-21）3，5，16，82，1315，（）A.107834B.12849C.12847D.108847【例10】（天津2013-3）3，10，31，94，（），850A.250B.270C.282D.283【例11】（河北2012-36）4，11，27，61，（）A.106B.117C.131D.1632015????????2?http://t.cn/RheexjL【例12】（浙江2012-44）3、-2、1、3、8、61、（）A.3692B.3713C.3764D.3816【例13】（新疆2013-38）1，1，4，13，43，142，（）A.469B.369C.234D.198【例14】（江苏2013B-78）2，1，6，14，40，108，()A.288B.296C.304D.312核心提示学到这里，我们大致可以理清楚“整体趋势法”的基本思路和做题步骤，下面我们通过一个简单的图示来帮助大家好好掌握这种方法：递推数列“整体趋势法”尝试“差商和方积倍”规律完全吻合相差很远相差不大规律找到，答题完成规律错误，继续尝试得到“修正项”简单数列前项相关第08讲递推数列递推联系法一、要点评析“递推联系法”是指，研究递推数列当中相邻两个或者三个数字之间的“递推联系”，从而找到解题关键的方法。“递推联系法”与“整体趋势法”是解答递推数列两种相对独立的方法。相对而言，“递推联系法”求解更为迅速，覆盖面更广；而“整体趋势法”解题操作更加简便、机械。因此，对于较难、较新的题型而言，“递推联系法”更容易帮助考生找到答案，但要求考生有较高的“数字敏感”度（即多数字递推联系）。考生可以在实践中熟练掌握两种方法，在具体练习当中对照使用，这两种方法完全可以有“相辅相成”的作用。“递推联系法”分成两种情形：①两项递推（研究相邻三个数字递推联系）②单项递推（研究相邻两个数字递推联系）二、例题精析●题型一：两项递推联系法使用法则圈定数列当中三个相邻数字（要求这三个数字较大以不失代表性，但不要过大以增加计算复杂性），研究这三个数字当中，前两个数字运算得到第三个数字的所有简单递推形2015????????2?http://t.cn/RheexjL式，将得到的递推形式代入到其它数字之间进行验算，全部吻合者为最终规律。【例1】（浙江2011-43）2，1，3，10，103，（）A．8927B．9109C．9247D．10619【例2】（江苏2012B-79）1、1、3、5、17、87、（）A.1359B.1479C.1481D.1563【例3】（浙江2011-44）1，2，7，19，138，（）A．2146B．2627C．3092D．3865【例4】（深圳2012-1）-2，-1，2，-2，（），8A.1B.-1C.4D.-4【例5】（江苏2013C-24）1，2，3，7，22，（）A.100B.133C.155D.165【例6】（山东2012-64）2.5，2，3，4，10，38，（）A.92B.134C.256D.378【例7】（浙江2013-43）2，5，9，19，37，75，（）A.140B.142C.146D.149【例8】（新疆兵团2013-48）-2，3，-1，5，3，13，（）A.7B.11C.15D.19【例9】（浙江2013-39）3，7，12，15，9，-18，（）A.-27B.-45C.-81D.-102【例10】（江苏2013B-78）2，1，6，14，40，108，()A.288B.296C.304D.312●题型二：单项递推联系法使用法则圈定数列当中两个相邻数字（要求这两个数字较大以不失代表性，但不要过大以增加计算复杂性），研究这两个数字当中，前一个数字运算得到第二个数字的所有简单递推形式，将得到的递推形式代入到其它数字之间进行验算，全部吻合者为最终规律。【例11】（江苏2012B-76）2、5、14、41、122、（）A.243B.323C.365D.382【例12】（安徽2010-3）56，114，230，462，（）A.916B.918C.924D.9262015????????2?http://t.cn/RheexjL【例13】（江苏2013A-16）3，8，23，68，（），608A.183B.188C.203D.208【例14】（江苏2010A-16）-13，1，5，17，53，（）A.157B.153C.164D.161【例15】（江苏2010C-20）2，1，5，7，17，31，（）A.59B.61C.65D.69【例16】（北京2010-72）16，8，24，12，36，18，（）A.16B.42C.54D.72第09讲数列一、思维图示二、补充要领特别补充说明六个要领：1.数字推理思维过程，简单来说就是六个字：特征做差递推；2.数字推理的破题关键是“尝试”；3.五/十道题目一起验证，一起寻找特征，用以节约时间。4.思维过程一定要“熟练”；5.基本计算能力一定要过关；2015????????2?http://t.cn/RheexjL6.课程的最后，我们真的回头重新讲解了这个思维过程。例题答案第02讲第03讲第04讲第05讲第06讲第07讲第08讲例01DDCDDDD例02CBCAACC例03BBCABAB例04CBBAADD例05BBCDCBC例06DCAADBD例07BDDADDD例08CCDBCCD例09CAABBAC例10ADBBADB例11CDBACC例12BDDBBD例13CBAC例14CBD例15CC例16CC2015????????2?http://t.cn/RheexjL