金融工程理论实务 (3)

金融工程理论实务案例第二章远期(jrgc15-1-2-2-03)第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期其中，远期合约的价值是价值；远期价格是标的物到期时刻的理论价值，这一公式给出了现货价格与远期价格二者之间的关系。3、无收益远期定价举例【例题2-2-2】某只不支付红利股票现价为30美元，无风险年利率为5%，远期期限为2年，试问：1)当交割价为32美元时，一份股票远期合约多头、空头上次课讲了无收益资产远期价值及远期价格公式第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期解：当K1=32美元时由公式(2-2-1)，远期合约多头价值：f=S－Ke-r(T-t)=30－32e-0.05*2=1.05(美元)与多头相对应地，该远期合约空头的价值是－1.05美元。1)计算远期价值2)股票的远期价格是多少？3)当交割价分别为32美元、34.5美元时，是否存在套利的机会？如果存在，试给出的套利策略并进行分析。解：已知：S=30，K1=32，K2=34.5，r=5%，T-t=2。求解分4步完成。价值各是多少?第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期3)远期套利也就是说，该股票2年后到期时的理论价格为33.16美元，交割价大于或小于该值，均存在套利机会。套利是指交易者利用市场上暂时不合理的价格关系，通由公式(2-2-2)该股票远期价格为F=Ser(T－t)=30e0.05×2=33.16(美元)2)远期价格(1)套利复习第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期这里的买低卖高，是相对于交割时刻而言的。*(2)交割价大于远期价格的套利策略操作策略：用到期时刻的交割价格K与理论价格F进行比较，遵循在到期时刻低买高卖的原则；因而在初始时刻执行的操作，与到期时刻的操作应恰好相反。若交割价K1=34.5>33.16=F元远期价格，表明该股票的远期价格被高估，根据交割时刻的低买高卖原则，现在采用买空套利策略：过同时买进卖出(两种操作)相同或相关资产，从中赚取价差的交易行为。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期这里的买低卖高，是相对于交割时刻而言的。*现在借入资金购买标的物，到期时将标的物以高价卖出。(2)交割价小于远期价格的套利策略 ①以5%的无风险年利率借入30万美元，期限为2年。这样，到期偿还银行本息为：30e0.05×2=33.16(万美元)②买入股票10000股，每只30美元。③签订远期合约，约定2年后以每股34.5美元的交割价卖出10000股，故到期时每只股票卖得34.5美元。盈亏分析：交割价与借贷本息之差为每股盈利：K－Ser(T-t)=34.5－33.16=1.34(美元)。总收益为：1.34×10000=13400(美元)，见图2-2-2。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-2-2买入一股远期合约套利现金流量图时间：02年每股利润：34.5－33.16=1.34(美元)签订卖出股票远期合约第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期故采用现在卖空股票的套利策略：即现在借得标的物卖出，将资金进行无风险投资，到期时以低价买入标的物偿还.①卖空该股票10000股；②将得到的30万美元以无风险利率5%进行投资，期限两年，卖空一只股票到期本利和为：30e0.05×2=33.16(美元)。③签订远期合约，约定2年后以每股32元的交割价买入10000股平仓。投资所得本息与交割价之差，每股盈利为：Ser(T-t)－K=33.16－32=1.16(美元)。若交割价K2=32<33.16=F的远期价格，表明该股票远期价格被低估，到期时刻应买入股票，数据流见2-2-3。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-2-3卖出一股远期合约套利现金流量图时间：02年每股利润：33.16－32=1.16(美元)签订买入股票远期合约第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期期限不同、利率不同，两个远期价格自然不同，二者之间存在对应关系吗？如果存在，确定了二者之间的对应关系，在已知一个远期价格时，可确定另一个，见下页图2-2-4。命题2-2-3：设F、F*、r、r*分别为T、T*(T<T*)时刻交4、不同期限远期价格的关系结论：通过本例可以看出，远期价格，无论高于远期价格、还是低于远期价格，都存在套利的机会。总收益为：1.16×10000=11600(美元)。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期tTT*图2-2-4不同期限远期价格的关系割的远期价格和无风险利率，则T、T*时刻远期价格F、F*之间存在如下关系：第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期【例2-2-2】3个月与6个月期的无风险年利率分别为4.0％与4.2％。某只不付红利的股票3个月期的远期价格为22美元，该股票6个月期的远期价格应为多少？解：已知：F=22，r=4.0%，r*=4.2%，T－t=0.25，T*－t=0.5。F*=Ser*(T*-t)，F=Ser(T-t)证明：由无收益资产远期价格的(2-2-2)有：第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期三、已知收益资产远期合约的定价前边介绍了无收益资产远期合约的价值、价格，如果标的资产具有收益，该如何计算f和F？定义2-2-2持有期间会产生完全可以预知现金流的资产，称为有已知收益资产；以已知收益资产为标的的远期合约，称为已知收益资产远期合约。根据公式(2-2-3)，该股票6个月期的远期价格应为：第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期标的资产的现金流为正值，如附息债券、支付已知红利的股票等。以这些资产为标的的远期合约，在合约有效期内，将为合约持有者提供完全可以预知的现金收益。2)收益为负黄金、白银等贵金属作为标的资产，其本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可以看成是合约1、收益的类型1)收益为正第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期2、远期合约的价值命题2-2-4：支付已知现金收益资产的远期合约多头的价值，等于标的资产现货价格扣除收益现值后的余额与交割价格现值之差，即：证明：远期合约到期前，标的资产S在时刻tk可以得到ik共m次固定收益，各个时刻无风险利率为rk，总收益的现值为f=S－I－Ke-r(T-t)(2-2-4)有效期内负收益，这时的收益为负值。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期2)组合分析组合C：一个单位有收益标的资产S，及数值为I的负债：S－I。类似于无收益资产远期合约的定价，首先构建投资组合:组合A：一份有收益资产远期合约多头f加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金，即：f+Ke-r(T-t)；1)构建组合第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-2-4固定收益资产远期合约定价示意图时间：tt1…tmT……f+Ke-r(T-t)=S－I第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期*.组合C分析：由于标的资产S在tk时刻可取得已知收益ik，故投资者可以在持有标的资产S的同时，持有在时刻tk偿还ik的负债I。组合C在时刻T一样可以得到价值为ST的标的资产。这样，组合A、B的终值都是ST，数据流见图2-2-4。根据无套利均衡分析，两个组合的终值相等，其初值也应相等，即：移项后有组合A分析：由前边无收益资产的分析可知，组合A在T时刻的价值正好等于一个单位的标的资产ST。f+Ke-r(T-t)=S－I第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期3、远期价格类似于无收益远期价格的讨论，可以得到有固定收益远期的现货－平价公式。命题2-2-5：支付已知现金收益资产的远期价格F，等于标的资产现货价格S与已知现金收益现值I差额的终值，即：证毕。f=S－I－Ke-r(T-t) F=(S－I)er(T－t)(2-2-5)第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期4、应用举例【例2-2-3】一份5年期附息票债券，价格为900元，每年的6个月和12个月分别支付债券利息30元，6个月期和1年期无风险年利率各为7％和8％。0=S－I－Fe－r(T－t)S－I=Fe－r(T－t)F=(S－I)er(T－t)证毕。 证明：远期价格F在f=0时等于K，由式(2-2--4)可得第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期1)确定远期价值、远期价格解：已知S=900，K=915，r1=0.07，r2=0.08，t1=0.5，t2=1，T－t=1。(1)可以预知现金收益数据流见图2-2-5，数值为：试问：1)远期价值和远期价格分别是多少？2)若交割价格分别为925元和905元，是否存在套利机会？若存在，如何套利？该债券一年期远期合约的交割价格为915元。I=30(e-0.07×0.05+e-0.08×1.0)=56.66第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-2-5已知收益数据流时间：00.51I= f=S－I－Ke-r(T-t)第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期*2)套利(2)由公式(2-2-5)可知，远期价格为： ①判断：由于标的资产远期价格F=913.58元，而交割价为925元，表明标的资产到期时刻的价格被高估，故存在套利的机会。 F=(S－I)er(T－t)=(900－56.66)e0.08×1.0=913.58(元)(1)交割价为925元 f=S－I－Ke-r(T-t)=900－56.66－915e-0.08×1.0=15.41(元)由式(2-2-4)，该远期合约多头的价值f为：第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期 以无风险利率借入资金900元购买债券，签订远期空头合约，即在1年后以925元卖出债券平仓。 ③融资：对于购买的900元的附息债券，在6个月、12个月分别获得利息30元，相应的利率分别是7%和8%。 第一次付息的现值为：i1=30e－0.07×0.5=28.97元 因此，在借入的900元中有28.97元可以7％的年利率借入，期限为6个月，在第一个付息日偿还。 剩下的871.03元以8％的年利率从银行借入，期限为1年. ②套利策略：根据低买高卖的原则，交割时须卖出标的物，故初始时可采用买空的策略套利。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-2-6协议价大于远期价格套利现金流 收益=30+925－943.58=11.42(元)=28.97+871.03第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期 ①判断：由于标的资产远期价格F=913.58元，交割价为905元，标的资产的价格被低估，存在套利的机会。 ②套利策略：根据低买高卖的原则，交割时须买入标的物，故初始时可采用卖空的策略套利。 i2=871.03e0.08×1.0=943.58元 到期末，套利者收到第二笔利息30元，将债券以远期合约的价格925卖出。 总收益=30+925－943.58=11.42(元)(2)交割价为905元 到期需向银行还款支付本利和：第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期 借入债券卖出，以无风险利率存入银行，签订远期合约多头，即在1年后以905元买入债券平仓。 ③投资方案：在卖空债券所得的900元当中，有28.97元用于6个月期的投资，年利率7%，以便半年到期时支付借入债券需偿还第一期的利息： i1=28.97e0.07×0.5=30元 剩下的871.03元存入银行一年，年利率8%，1年后可从银行获得本利和为： i2=871.03e0.08×1.0=943.58元 其中的30元被用来支付第二期借入债券的利息，905元被用来购买一支债券平仓。.第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-1-6协议价小于远期价格套利现金流 总收益=943.58－30－905=8.58(元)+871.03=28.97第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期定义2-2-3：持有期间会产生与现货价格成一定比例收益的资产，称为已知收益率资产；由已知收益率资产为标的的远期合约，称为已知收益率资产的远期合约。已知收益与已知收益率是有区别的，因为前者虽然收益是已知的，但与现货价格未必成比例。 1)显然，货币具有已知收益率的特点，因此，和货币相四、已知收益率资产远期合约的定价1、支付已知收益率资产的种类 总收益=943.58－30－905=8.58(元)第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期 2)股票价格指数。股票价格指数根据各种有代表性的股票收益编制而成。虽然各种股票的红利率是可变的，但是作为反映市场整体水平的股票价格指数，反映了所有股票的平均变化，其红利率认为是可以预知的。因此，股票指数近似的看做已知收益率的资产。命题2-2-6：支付已知收益率q的标的资产的远期合约多2、远期合约的价格 关的汇率、利率的远期合约都是具有已知收益率的远期合约第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期组合A：一份已知收益率资产远期合约多头f加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金，即：f+Ke-r(T-t)。组合D：一个单位已知收益率资产的折现：Se-q(T-t)。头的价值f，等于标的资产市场价S的折现值Se-q(T-t)与交割价现值Ke-r(T-t)之差构成，即：2)组合分析1)构建组合f=Se-q(T-t)－Ke-r(T-t)(2-2-6)第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期图2-2-7固定收益率远期合约定价图示时间：tT收益率为q的连续复利Se-q(T-t)eq(T-t)=S第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期一楼盘为期房。两个同学都买房子，为了避免风险，甲和开发商确定了交割价，将房价的折现存在银行，并签订了远期合约，待到毕业付款得到价值ST的房子。乙和开发商约好，只需预付款Se－q(T－t)，到期即可得到该套住房，开发商将这笔款投资建房。到期末这两个人都有一套住房。终值相等现值也该相等。*.组合D分析：由于标的物具有收益率，买方于初始时刻若持有一个单位的标的物S，到期时刻具有的价值将大于ST。若买方并不急于获得标的资产，初始时刻只需预付款(首付)Se-q(T-t)给卖方。卖方可将标的物用于收益率为q的投资，期末时刻价值为：Se-q(T-t)eq(T-t)=S，届时同样付给买方一个单位标的资产ST根据无套利均衡分析，组合A与组合D终值相等，两个组合初值也该相等，故有：组合A分析：类似于前边讨论，组合A在T时刻可以得到市场价等于ST的标的资产。第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期命题2-2-7(已知收益率资产的现货-远期平价公式)：支付已知收益率资产的远期价格F，等于按无风险利率r与已知收益率q之差作为收益率的现货价格S在T时刻的终值，即F=Se(r-q)(T-t)(2-2-7)证明：由于远期价格F是合约价值f=0时的交割价格K，整理后有：3、远期价格f=Se-q(T-t)－Ke-r(T-t)f+Ke-r(T-t)=Se-q(T-t)第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期.F=Se(r–q)(T–t)下次课举例整理后得0=Se-q(T-t)－Fe-r(T-t)由(2-2-6)式有：第二章远期Jrgc15-1-2-2-03-*第二章远期这里的买低卖高，是相对于交割时刻而言的。*这里的买低卖高，是相对于交割时刻而言的。***一楼盘为期房。两个同学都买房子，为了避免风险，甲和开发商确定了交割价，将房价的折现存在银行，并签订了远期合约，待到毕业付款得到价值ST的房子。乙和开发商约好，只需预付款Se－q(T－t)，到期即可得到该套住房，开发商将这笔款投资建房。到期末这两个人都有一套住房。终值相等现值也该相等。*