第七章勒让德多项式

请同学们给出证明。n7．1.3勒让德多项式的微分表示形式勒让德多项式有下面的简洁表示式2nn!糸[(x2-1)n]P(x)=1n(7.1.19)这一微分表示形式称为罗德立格(Rodrigues)公式，下面给出该公式的证明。记申(x)=-[(x2—1)n]，显然申(x)是一n次多项式。为证明Rodrigues2nn!dxn公式(7.1.19),只需证明申(x)是勒让德方程当九=n(n+1)时的解，并且首項系数等于2n(n!)2(2n)!u(n).对u求导可得u'=2nx(x2—1)n-1，两边记u(x)=(x2一1)n，贝V申(x)=—2nn!乘(X2—1)并移項得(x2—1)u'—2nxu=0(7.1.20)利用高等数学中求高阶导数的莱布尼茨法则对(7.1.20)求(n+1)阶导数可得(x2—1)u(n+2)+2(n+1)xu(n+1)+n(n+1)u(n)—2nxu(n+1)—2n(n+1)u(n)=0此即(x2—1)u(n+2)+2xu(n+1)—n(n+1)u(n)=0上式两边乘以(-丄)得2nn!(1—x2)0'一2xp'+n(n+1)p=0即p(x)为勒让德方程当X=n(n+1)时的解。利用p(x)的具体表示式，直接计算便得p(x)的首項系数为-(沁，即p(x)=P(x)。问题得证。2n(n!)2nRodrigues公式在定积分计算中比较常用。设u(x)在区间[—1,1]有n阶连续导数，利用分部积分法可得J1u(x)P(x)dx=J1u(x)®-[(x2—1)n]dx—1n2nn!—1dxn1(—1)nJ1(x2—1)nU(n)(x)dx—12nn!(7.1.21)另外，在与勒让德多项式有关的定积分计算中，下面公式也常用‘(n―1)!匹,n为偶数2J2(cosx)ndx=J2(sinx)ndx=<00n!!仝型，n为奇数.n!!7.1.22)例1.4计算积分I=f1x6P(x)dx。—14解由Rodrigues公式得P(x)=1[(x2—1)4](4),由(7.1.21)得4244!I=(—1)4J1(x6)(4)(x2—1)(4)dx244!—1=(—1)46!J1x2(x2—1)(4)dx244!・2—1=口J1x2(x2—1)(4)dx,80对积分作变量代换x=sint得15215BI=2sin21cos9tdt=2[cos91—cosnt]dt8080=158!!(1—10)=16=T9!!(—11)=231.例1.5证明J1P(x)P(x)dx=0,证明(7.1.21)—1nm不妨设m0。nn(2)特征函数系IP(x)n>0》是相互正交的，且有nJ1P(x)P(x)dx=5-1nmnm2n+1(7.1.25)证明下面分三步证明。第一步特征值X>0。设y(x)是相应于特征值X的非零解，在(7.1.24)中方程两边乘y(x)并在区间［-1,1］上积分得dyXJ1y2(x)dx+J1y(x)—(1-x2)dydx=0-1-1dx利用分部积分法得XJ1y2(x)dx+(1-x2)y(x)y'(x)-1由此便得dx1-J1(1-x2)(y'(x))2dx=0-1-1J1(1-x2)(y'(x))2dxTOC\o"1-5"\h\zX=―1>0。J1y2(x)dx第二步求解定解问题(7.1.24)。由定理1.1得：仅当X=n(n+1)时，勒让德方程有有界解P(x),此即定理中(1)的结果。第三步(7.1.25)的证明。由(7.1.23)得｛p(x)In>0》的正交性，下面计算P(x)nn的平方模，利用归纳法给出证明。当k=0,1，直接计算易证(7.1.25)成立。设当k=n时(7.1.25)成立，即J1P2(x)dx=-12n+1当k=(n+1)时，由递推公式(7.1.14)得(n+1)P(x)-(2n+1)xP(x)+nP(x)=0n+1nn-1(n+2)P(x)-(2n+3)xP(x)+(n+1)P(x)=0n+2n+1n将上面两式改写为(n+1)P(x)=(2n+1)xP(x)-nP(x)n+1nn-17.1.26)(2n+3)xP(x)=(n+1)P(x)+(n+2)P(x)n+1nn+2(7.1.27)(7.1.26)两边同乘P(x)并利用(7.1.27)得n+1(n+1)P2(x)=(2n+1)xP(x)P(x)-nP(x)P(x)n+1n+1nn-1n+1=却也P(x)[(n+1)P(x)+(n+2)P(x)]-nP(x)P(x),2n+3nnn+2n-1n+1上式两边在区间[-1,1]上积分，并利用勒让德多项式正交性得J1P2(x)dx=n+1J1P2(x)dx=_1n+12n+3_1n2n+3此即要证的结果。定理得证。定理1.4［2］(勒让德多项式的完备性)设f(x)在区间［_1,1］分段光滑，则f(x)可按正交函数系｛p(x)n>o｝展成傅里叶一勒让德级数nf(x)=ScP(x),一10n2_1n(7.1.29)展开式(7.1.28)也叫f(x)的广义傅里叶级数或简称为傅里叶级数。例1・6将f(x)=x4在区间［_1,1］展成广义傅里叶级数。解由定理1.4得x4=ScP(x).nnn=0由傅里叶系数计算公式(7.1.29)及勒让德多项式的正交性可得c=0,n>5.c=c13x4=cP(x)+cP(x)+cP(x)002244n又由于P(x),P(x)是奇函数，故有c—c—0。故有(7.1.30)利用(7.1.29)13直接计算得c—J1x4P(x)dx—J1x4dx—.02_102_15c—J1x4P(x)dx—-J1x4空-(x2一1)2dx22_122222!一1dx2sin21cos5tdt=7—15J1x2(x2一1)2dx—15J2c4=35。最后将上面所得系2020在(7.1.30)中取x—1得1—c+c+c，由此得024数代入到(7.1.30)中便得148x4=P(x)+P(x)+P(x).5072354§7.2球面调和函数和球形贝塞尔函数7.2.1拉普拉斯算子的其它表示形式当n=2时，在第二章已经知道拉普拉斯算子在极坐标下形式为11.△u—u+u+u.PPPPP299(7.2.1)当n=3时，直接计算可得在球面坐标系下△u-u+2urrr11+(u+cotcp+u),r2ppsin2p99（7.2.2）其中球面坐标变换为x=rsin申cos00,考虑球形域B(0)uR3上拉普拉斯特征值问题af-Au=卩u,(x,y,x)eB(0)/a[u=0,(x,y,x)e0B(0).a(7.2.6)其中卩为待定常数。若对某个卩定解问题（7.2.6）有非零有界解，则卩称为（726）特征值，相应的非零有界解称为（7.2.6）的特征函数。求解（7.2.6）就是确定出所有特征值和相应的特征函数。对（7.2.6）利用球面坐标变换得(urrAu=—|L1su,(r,9,0)eB(0)a[u=0,(r,9,0)e0B(0).a7.2.7)利用分离变量法求解(7.2.7)。令u=R(r)f(9,0)=Rf,并将其代入到(7.2.7)中的方程得2R(R''+_R')f+—Af=—卩Rf,rr2s整理可得r2R''+2rR'+pr2RAf.=———s——=九,故有-Af=Xf,sr2R''+2rR'+(pr2一九)R=0.结合（7.2.10）中边界条件可得如下定解问题J-Af=Xf,0<9<2兀,00.nn且有特征函数系IP(cosp)|n>0〕关于权sin申是相互正交的,n2LP(cosp)P(cosp)sinpdp=5,n,l>00nlnl2n+1（7.2.11）（3）特征函数系（cosp）|n>0〕是完备的，即对任意在区间[0,兀]上分段光n滑的函数f（p），可展成如下的傅里叶级数f(p)=£cP(cosp)nnn=0(7.2.12)其中n>0c=2n+1Lf(p)P(cosp)sinpdpn20n(7.2.13)下面给出定理2.1的证明。对(7.2.10)作变量代换x=cosp,y(x)=O(p)=O(arccosx)直接计算可得dOdydxdy==-sinpdpdxdpdx或写成.d①.小dysm申=-sm2申d申dx将上式代入（7.2.10）中得sin2申—（sin2申—y）+九sin2申y=0dxdx方程两边同时除sin2申，并利用sin2申=1-x2得—［（1-x2）—y］+九y=0,-10}。例2.1将函数f（申）=sin申在区间［0,“］按特征函数系{P（cos申）In>0}展成n傅里叶级数。解根据定理2.1可得f(9)=cP(cos9)，其中nnn=0c=2n+1J兀sin9P(cos9)sin9d9.n20n对积分作变量代换x=cos9，并利用P(x)的奇偶性得c=°k+彳J1V'1-x2P(x)dx=0,2k+1而当n为偶数时有7.2.15)c=（4k+1）J\-'1-x2P（x）dx.2k02k上面积分总是可以求出的，譬如当k=2时，P(x)=35x448153x2+48故有c=9J-x2(35x4-30x2+3)dx,x=sint4809fx=—J2(35sin41-30sin21+3)cos2tdt809fx=一J2(3-33sin21+65sin41-35sin61)dt802349=—x.从而有展开式sin9=^cP(cos9),其中系数由（7.2.15）给出。2n2nn=0例2.2将函数f仰)二cos4甲在区间[0,兀]按特征函数系(P(cos申)n>o｝展成n傅里叶级数。解作变量代换x二COS申即得f(申)二x4,xG[-1,1].利用例1.6的结果得TOC\o"1-5"\h\z148x4=5仆x)+7px)+35P4(x)，从而有展开式148COS4申=_P(cos申)+P(cos申)+P(cos申).5072354例2.3设有一球心在原点半径为a的球形导热体，内部无热源，球面温度为1+cos2申，求经过充分长时间后导体内的温度分布。解由于导热体内部无热源，球面温度与时间无关，所以经过充分长的时间后导体内的温度将趋于稳态，即温度不随时间变化。设导体内温度为u(x,y,z)，则u满足如下定解问题f-Au=u+u+u=0,(x,y,z)gB(0)Jxxyyzza\u=1+cos2申,(x,y,z)GdB(0).a由于边界温度与9无关且有界，可推知导体内温度有界且u(x,y,z)与0也无关，即球体内任一圆：r=r,x2+y2=r2cos29,00.nn下面求解R(r)，将X=n(n+1)代入到(7.2.17)中得nr2R”+2rR'-n（n+1）R=0该方程为欧拉方程作变量代换r=es将该方程转化为常系数微分方程后易得其通解为R—crn+dr-(n+1)nnn利用u的有界性可得d—0，即nR—crn.nn利用叠加原理就得到(7.2.16)的解为u(r,9)—crnP(cos9)nnn—0其中系数c由(7.2.16)中的边界条件来确定。在上式中令r—a得n1+cos29—艺canP(cos9)nn易得n—042c—,c—,c—0,n丰0,2.0323a2n最后就得到(7.2.16)的解为42r41ru(r,9)—+三(一)2P(cos9)—+才(一)2(3cos29-1).33a233a注2如果在例7.2.3的问题中，导热体内部有热源且热源密度是r和9的函数，就要用特征函数法求解。7・2・3*球面调和函数(与0有关)对于球面拉普拉斯算子的特征值问题(7.2.8)，若f与0有关时，还是利用分离变量法求解，令f(9,0)-①(9)0(0)-①0，并将其带入到(7.2.8)中方程得—-—（sin申①'）◎+—-①®”=一九①®sin申d申sin2申整理可得sin申（sin申①'）+九sin2申①d申_0”_——'V①0结合(7.2.8)中的边界条件可得j0"+v0-0,0<0<2兀10（0）—0（0+2兀）.7.2.19）dsin申——（sin申①'）+（九sin2申一v）0=0,0<申<兀0m(7.2.19)为n二1时拉普拉斯算子带有周期边界条件得特征值问题，由第二章定理1.3可知其特征值和特征函数分别为v=m2，m(7.2.21)将V二m2代入到(7.2.20)中便得m00n0nn(7.2.23)当m>1时，对(7.2.22)作变量代换x=cos申,y(x)=①®)，直接计算可得rd…、dy^rm2_—[(1一x2)—]+[九一]y=0,一10(7.2.25)nn对于特征值问题(7.2.22)有如下结果。定理2.2[2][3]对特征值问题(7.2.22)，如下结果成立。①仰)=(sin*)mP(m)(cos9),mnnn>m特征值和特征函数分别为X=n(n+1),mn7.2.26)(2)特征函数系｛①(*)|n>m｝是相互正交的，且有mnJ①(*)0(*)cos*d*=6mnmknk22n+107.2.27)(n+m)!(n一m)!n,k>m(3)特征函数系｛①(*)|n>m｝是完备的，即对任意在区间[0,兀]上分段光mn滑的函数f(9)，可展成如下的傅里叶级数f(*)=£c①(*)nmnn=0(7.2.28)其中系数可根据(7.2.27)求出。由(7225)可得到(7.2.26)。(7.2.27)的证明可通过直接计算而得，作为练习放在习题中。特征函数系｛①®)n>m｝的完备性，即(7.2.28)的证明可查mn阅参考文献[2]和[3]。注3由(7.2.21)和定理7.2.2可知，当f与9有关时，所有球面调和函数为｛①(*)cosm9,①(*)sinm9｝,m>0,n>m。mnmn特别当n给定时，即当Xn=n(n+1)时，所有的球面调和函数为｛sinm9P(m)(cos9)cosm9,sinm9P(m)(cos9)sin｝,00,n>0m>0,n>m（7.2.31）mnY仰,9)=｛(sin甲)mP(m)(cosQ)cosm9,(sinq)mP(m)(cosQ)sinm9｝,mnnn（2）特征函数系｛Y（p,0）Im>0,n>m｝是相互正交的，且有mnJ2Kd9jKY（申,9）Y（申,9）sin申d申00mnkl匚cosm9cosk9小f=J2K（.八）（.n）d9JKP（m）（cos申）P（k）（申）（sin申）m+k+1d申0sinm9sink90nl0,k丰m,或n丰lm=k>1,n=l>0（2.32）2兀（n+m）!=0.〔2n+1(3)特征函数系｛Y(Q,9)|m>0,n>m｝是完备的，由于此完备性结果要涉及mn到二重级数展开问题，这里就省略了。7.2.4*球形贝塞尔函数求解球形域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题时，有时还需求解(729)。将九=n(n+1)代入到(729)中可得n将九=n(n+1)代入到(729)中可得nr2R"+2rR'+[卩r2一n(n+1)]R=0,0方法

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