一阶线性非齐次微分方程

§12.4 一阶线性非齐次微分方程 一、线性方程 方程 ( 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 ，则方程称为齐次的； 如果 不恒等于零，则方程称为非齐次的。 首先，我们讨论(式所对应的齐次方程 ( 的通解问题。 分离变量得 两边积分得 或 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(的通解。 将(的通解中的常数 换成的未知函数 ，即作变换 两边乘以得 两边求导得 代入方程(得 ， 于是得到非齐次线性方程(的通解 将它写成两项之和 不难发现： 第一项是对应的齐次线性方程(的通解； 第二项是非齐次线性方程(的一个特解。 由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。 【例1】求方程 的通解。 解： 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。 二、贝努利方程 方程 叫做贝努利方程。 当 时，它是一阶线性非齐次微分方程 当 时，它是一阶线性齐次微分方程 当 时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。 具体解法如下： 令 ，方程化为关于 的一阶线性非齐次微分方程 【例2】求贝努利 的通解。 解 ： ， _957491000.unknown _957491902.unknown _957674817.unknown _957674864.unknown _1011689017.unknown _1011689051.unknown _957674893.unknown _1011688945.unknown _957674840.unknown _957492855.unknown _957492973.unknown _957493039.unknown _957493127.unknown _957492904.unknown _957492089.unknown _957492753.unknown _957491940.unknown _957491131.unknown _957491614.unknown _957491808.unknown _957491722.unknown _957491587.unknown _957491061.unknown _957491101.unknown _957491023.unknown _957487102.unknown _957489183.unknown _957490225.unknown _957490783.unknown _957490145.unknown _957487592.unknown _957487616.unknown _957487196.unknown _957487282.unknown _957487154.unknown _957486463.unknown _957486613.unknown _957486662.unknown _957486537.unknown _957486209.unknown _957486254.unknown _957485917.unknown