高中数学公式大全_数学公式
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
, .
U
x A x C A∈ ⇔ ∉
U
x C A x A∈ ⇔ ∉
2.德摩根公式
.( ) ; ( )
U U U U U U
C A B C A C B C A B C A C B= =∩ ∪ ∪ ∩
3.包含关系
A B A A B B= ⇔ =∩ ∪
U U
A B C B C A⇔ ⊆ ⇔ ⊆
U
A C B⇔ = Φ∩
U
C A B R⇔ =∪
4.容斥原理
( ) ( )card A B cardA cardB card A...
高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
, .
U
x A x C A∈ ⇔ ∉
U
x C A x A∈ ⇔ ∉
2.德摩根公式
.( ) ; ( )
U U U U U U
C A B C A C B C A B C A C B= =∩ ∪ ∪ ∩
3.包含关系
A B A A B B= ⇔ =∩ ∪
U U
A B C B C A⇔ ⊆ ⇔ ⊆
U
A C B⇔ = Φ∩
U
C A B R⇔ =∪
4.容斥原理
( ) ( )card A B cardA cardB card A B= + −∪ ∩
( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B= + + −∪ ∪ ∩
.( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C− − − +∩ ∩ ∩ ∩ ∩
5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1 个;非空子集有 –11 2{ , , , }na a a⋯ 2
n 2n 2n
个;非空的真子集有 –2个.2n
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 ;2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠
(2)顶点式 ;2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a= − + ≠
(3)零点式 .1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a= − − ≠
7.解连不等式 常有以下转化形式( )N f x M< <
( )N f x M< < ⇔ [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N− − <
⇔ | ( ) |
2 2
M N M N
f x
+ −
− < ⇔
( )
0
( )
f x N
M f x
−
>
−
.⇔
1 1
( )f x N M N
>
− −
8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后0)( =xf ),( 21 kk 0)()( 21
0 时 , 若 , 则[ ]qp
a
b
x ,
2
∈−=
;{ }min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( )2
b
f x f f x f p f q
a
= − =
, , .[ ]qp
a
b
x ,
2
∉−= { }max max( ) ( ), ( )f x f p f q= { }min min( ) ( ), ( )f x f p f q=
(2) 当 a<0 时 , 若 , 则 , 若[ ]qp
a
b
x ,
2
∈−= { }min( ) min ( ), ( )f x f p f q=
,则 , .[ ]qp
a
b
x ,
2
∉−= { }max( ) max ( ), ( )f x f p f q= { }min( ) min ( ), ( )f x f p f q=
10.一元二次方程的实根分布
依据:若 ,则方程 在区间 内至少有一个实根 .( ) ( ) 0f m f n < 0)( =xf ( , )m n
设 ,则
qpxxxf ++= 2)(
(1)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ;0)( =xf ),( +∞m 0)( =mf
2 4 0
2
p q
p
m
⎧ − ≥
⎪
⎨
− >⎪⎩
(2)方程 在区间 内有根的充要条件为 或0)( =xf ( , )m n ( ) ( ) 0f m f n < 2
( ) 0
( ) 0
4 0
2
f m
f n
p q
p
m n
>⎧
⎪ >⎪⎪
⎨ − ≥
⎪
⎪ < − <
⎪⎩
或 或 ;
( ) 0
( ) 0
f m
af n
=⎧
⎨
>⎩
( ) 0
( ) 0
f n
af m
=⎧
⎨
>⎩
(3)方程 在区间 内有根的充要条件为 或 .0)( =xf ( , )n−∞ ( ) 0f m <
2 4 0
2
p q
p
m
⎧ − ≥
⎪
⎨
− <⎪⎩
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 的子区间 (形如 , , 不同)上含参数),( +∞−∞ L [ ]βα, ( ]β,∞− [ )+∞,α
的二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 .( , ) 0f x t ≥ t min( , ) 0( )f x t x L≥ ∉
(2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立),( +∞−∞ ( , ) 0f x t ≥
t
的充要条件是 .( , ) 0( )
man
f x t x L≤ ∉
(3) 恒成立的充要条件是 或 .0)( 24 >++= cbxaxxf
0
0
0
a
b
c
≥⎧
⎪
≥⎨
⎪ >⎩
2
0
4 0
a
b ac
<⎧
⎨
− <⎩
12.真值表
13.常见结论的否定形式
p q 非p p或q p且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个
n 至多有( )个1n −
小于 不小于 至多有 个
n 至少有( )个1n +
对所有 ,
x
成立
存在某 ,
x
不成立 或
p q
且
p¬ q¬
对任何 ,
x
存在某 ,
x
14.四种命的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:若 ,则 是 充分条件.p q⇒ p q
(2)必要条件:若 ,则 是 必要条件.
q p⇒ p q
(3)充要条件:若 ,且 ,则 是 充要条件.p q⇒ q p⇒ p q
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设 那么[ ] 2121 ,, xxbaxx ≠∈⋅
上是增函数;[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − > ⇔ [ ]baxf
xx
xfxf
,)(0
)()(
21
21 在⇔>
−
−
上是减函数.[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x− − < ⇔ [ ]baxf
xx
xfxf
,)(0
)()(
21
21 在⇔<
−
−
(2)设函数 在某个区间内可导,如果 ,则 为增函数;如果)(xfy = 0)( >′ xf )(xf
,则 为减函数.0)( <′ xf )(xf
17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减)(xf )(xg )()( xgxf +
函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(ufy = )(xgu =
是增函数.)]([ xgfy =
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图
象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函
数是偶函数.
19.若函数 是偶函数,则 ;若函数 是偶函)(xfy = )()( axfaxf −−=+ )( axfy +=
数,则 .)()( axfaxf +−=+
20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴)(xfy =
Rx∈ )()( xbfaxf −=+ )(xf
是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.
2
ba
x
+
= )( axfy += )( xbfy −=
2
ba
x
+
=
21. 若 , 则函 数 的图 象 关 于 点 对称 ; 若)()( axfxf +−−= )(xfy = )0,
2
(
a
,则函数 为周期为 的周期函数.)()( axfxf +−= )(xfy =
a2
22.多项式函数 的奇偶性11 0( )
n n
n n
P x a x a x a
−
−= + + +⋯
多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.( )P x ⇔ ( )P x
多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.( )P x ⇔ ( )P x
23.函数 的图象的对称性( )y f x=
不成立 成立 且
p q
或
p¬ q¬
(1)函数 的图象关于直线 对称( )y f x= x a= ( ) ( )f a x f a x⇔ + = −
.(2 ) ( )f a x f x⇔ − =
(2)函数 的图象关于直线 对称( )y f x=
2
a b
x
+
= ( ) ( )f a mx f b mx⇔ + = −
.( ) ( )f a b mx f mx⇔ + − =
24.两个函数图象的对称性
(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.( )y f x= ( )y f x= − 0x = y
(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.( )y f mx a= − ( )y f b mx= −
2
a b
x
m
+
=
(3)函数 和 的图象关于直线 y=x对称.)(xfy = )(1 xfy −=
25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位,得到函数 的图)(xfy = a b baxfy +−= )(
象;若将曲线 的图象右移 、上移 个单位,得到曲线 的图0),( =yxf
a b
0),( =−− byaxf
象.
26.互为反函数的两个函数的关系
.abfbaf =⇔= − )()( 1
27.若函数 存在反函数 ,则其反函数为 ,并不是)( bkxfy += ])([
1 1
bxf
k
y −= −
,而函数 是 的反函数.)([ 1 bkxfy += − )([ 1 bkxfy += − ])([
1
bxf
k
y −=
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 , .( )f x cx= ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c+ = + =
(2)指数函数 , .( ) xf x a= ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a+ = = ≠
(3)对数函数 , .( ) log
a
f x x= ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a= + = > ≠
(4)幂函数 , .( )f x xα= '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f α= =
(5)余弦函数 ,正弦函数 , ,( ) cosf x x= ( ) sing x x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y− = +
.
0
( )
(0) 1, lim 1
x
g x
f
x
→
= =
29.几个函数方程的周期(约定 a>0)
(1) ,则 的周期 T=a;)()( axfxf += )(xf
(2) ,0)()( =+= axfxf
或 ,)0)((
)(
1
)( ≠=+ xf
xf
axf
或 ,
1
( )
( )
f x a
f x
+ =− ( ( ) 0)f x ≠
或 ,则 的周期 T=2a;[ ]21 ( ) ( ) ( ), ( ( ) 0,1 )
2
f x f x f x a f x+ − = + ∈ )(xf
(3) ,则 的周期 T=3a;)0)((
)(
1
1)( ≠
+
−= xf
axf
xf )(xf
(4) 且 ,则
)()(1
)()(
)(
21
21
21
xfxf
xfxf
xxf
−
+
=+ 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a= ⋅ ≠ < − <
的周期 T=4a;)(xf
(5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a+ + + + + + +
,则 的周期 T=5a;( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a= + + + + )(xf
(6) ,则 的周期 T=6a.)()()( axfxfaxf +−=+ )(xf
30.分数指数幂
(1) ( ,且 ).
1m
n
n m
a
a
= 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n >
(2) ( ,且 ).
1m
n
m
n
a
a
−
= 0, ,a m n N ∗> ∈ 1n >
31.根式的性质
(1) .( )nn a a=
(2)当 为奇数时, ;n n na a=
当 为偶数时, .
n
, 0
| |
, 0
n n
a a
a a
a a
≥⎧
= = ⎨
− <⎩
32.有理指数幂的运算性质
(1) .( 0, , )r s r sa a a a r s Q+⋅ = > ∈
(2) .( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈
(3) .( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈
注: 若 a>0,p 是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性
质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.log b
a
N b a N= ⇔ = ( 0, 1, 0)a a N> ≠ >
34.对数的换底公式
( ,且 , ,且 , ).
log
log
log
m
a
m
N
N
a
= 0a > 1a ≠ 0m > 1m ≠ 0N >
推论 ( ,且 , ,且 , , ).log log
m
n
a
a
n
b b
m
= 0a > 1a > , 0m n > 1m ≠ 1n ≠ 0N >
35.对数的四则运算法则
若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1) ;log ( ) log log
a a a
MN M N= +
(2) ;log log log
a a a
M
M N
N
= −
(3) .log log ( )n
a a
M n M n R= ∈
36.设函数 ,记 .若 的定义域为)0)((log)( 2 ≠++= acbxaxxf
m
acb 42 −=∆ )(xf
,则 ,且 ;若 的值域为 ,则 ,且 .对于 的情形,需要R 0>a 0<∆ )(xf R 0>a 0≥∆ 0=a
单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若 , , , ,则函数0a > 0b > 0x >
1
x
a
≠ log ( )
ax
y bx=
(1)当 时,在 和 上 为增函数.
a b>
1
(0, )
a
1
( , )
a
+∞ log ( )
ax
y bx=
, (2)当 时,在 和 上 为减函数.a b<
1
(0, )
a
1
( , )
a
+∞ log ( )
ax
y bx=
推论:设 , , ,且 ,则1n m> > 0p > 0a > 1a ≠
(1) .log ( ) log
m p m
n p n+ + <
(2) .2log log log
2a a a
m n
m n
+
<
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 ,则对于时间 的总产值 ,有p
x
y
.(1 )xy N p= +
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
( 数列 的前 n 项的和为 ).1
1
, 1
, 2n
n n
s n
a
s s n−
=⎧
= ⎨
− ≥⎩
{ }
n
a 1 2n ns a a a= + + +⋯
40.等差数列的通项公式
;*1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N= + − = + − ∈
其前 n 项和公式为
1( )
2
n
n
n a a
s
+
= 1
( 1)
2
n n
na d
−
= +
.2 1
1
( )
2 2
d
n a d n= + −
41.等比数列的通项公式
;1 *11 ( )
n n
n
a
a a q q n N
q
−= = ⋅ ∈
其前 n 项的和公式为
1
1
(1 )
, 1
1
, 1
n
n
a q
q
s
q
na q
⎧ −
≠⎪
= −⎨
⎪ =⎩
或 .
1
1
, 1
1
, 1
n
n
a a q
q
q
s
na q
−⎧ ≠⎪ −= ⎨
⎪ =⎩
42.等比差数列 : 的通项公式为{ }
n
a 1 1, ( 0)n na qa d a b q+ = + = ≠
;1
( 1) , 1
( )
, 1
1
n n
n
b n d q
a
bq d b q d
q
q
−
+ − =⎧
⎪
= + − −⎨
≠⎪ −⎩
其前 n 项和公式为
.
( 1) , ( 1)
1
( ) , ( 1)
1 1 1
n
n
nb n n d q
s
d q d
b n q
q q q
+ − =⎧
⎪
= −⎨
− + ≠⎪ − − −⎩
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).
(1 )
(1 ) 1
n
n
ab b
x
b
+
=
+ −
a n b
44.常见三角不等式
(1)若 ,则 .(0, )
2
x
π
∈ sin tanx x x< <
(2) 若 ,则 .(0, )
2
x
π
∈ 1 sin cos 2x x< + ≤
(3) .| sin | | cos | 1x x+ ≥
45.同角三角函数的基本关系式
, = , .2 2sin cos 1θ θ+ = tanθ
θ
θ
cos
sin
tan 1cotθ θ⋅ =
46.正弦、余弦的诱导公式
2
1
2
( 1) sin ,
sin( )
2
( 1) s ,
n
n
n
co
α
π
α
α
−
⎧
−⎪
+ = ⎨
⎪ −⎩
2
1
2
( 1) s ,
s( )
2
( 1) sin ,
n
n
co
n
co
α
π
α
α
+
⎧
−⎪
+ = ⎨
⎪ −⎩
47.和角与差角公式
;sin( ) sin cos cos sinα β α β α β± = ±
;cos( ) cos cos sin sinα β α β α β± = ∓
.
tan tan
tan( )
1 tan tan
α β
α β
α β
±
± =
∓
(平方正弦公式);2 2sin( ) sin( ) sin sinα β α β α β+ − = −
.2 2cos( ) cos( ) cos sinα β α β α β+ − = −
= (辅助角 所在象限由点 的象限决sin cosa bα α+ 2 2 sin( )a b α ϕ+ + ϕ ( , )a b
定, ).tan
b
a
ϕ =
48.二倍角公式
.sin 2 sin cosα α α=
.2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinα α α α α= − = − = −
.
2
2 tan
tan 2
1 tan
α
α
α
=
−
49. 三倍角公式
.3sin 3 3sin 4sin 4sin sin( ) sin( )
3 3
π π
θ θ θ θ θ θ= − = − +
.3cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( )
3 3
π π
θ θ θ θ θ θ= − = − +
.
3
2
3tan tan
tan 3 tan tan( ) tan( )
1 3tan 3 3
θ θ π π
θ θ θ θ
θ
−
= = − +
−
50.三角函数的周期公式
函数 ,x∈R 及函数 ,x∈R(A,ω, 为常数,且A≠0,sin( )y xω ϕ= + cos( )y xω ϕ= + ϕ
ω>0)的周期 ;函数 , (A,ω, 为常数,且 A
2
T
π
ω
= tan( )y xω ϕ= + ,
2
x k k Z
π
π≠ + ∈ ϕ
(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)
(n为奇数)
≠0,ω>0)的周期 .T
π
ω
=
51.正弦
.2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
52.余弦定理
;2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
;2 2 2 2 cosb c a ca B= + −
.2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
53.面积定理
(1) ( 分别表示 a、b、c边上的高).
1 1 1
2 2 2a b c
S ah bh ch= = =
a b c
h h h、 、
(2) .
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B= = =
(3) .2 2
1
(| | | |) ( )
2OAB
S OA OB OA OB∆ = ⋅ − ⋅
���� ���� ���� ����
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有 ( )A B C C A Bπ π+ + = ⇔ = − +
.
2 2 2
C A Bπ +
⇔ = − 2 2 2( )C A Bπ⇔ = − +
55. 简单的三角方程的通解
.sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z aπ= ⇔ = + − ∈ ≤
.s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z aπ= ⇔ = ± ∈ ≤
.tan arctan ( , )x a x k a k Z a Rπ= ⇒ = + ∈ ∈
特别地,有
.sin sin ( 1) ( )kk k Zα β α π β= ⇔ = + − ∈
.s cos 2 ( )co k k Zα β α π β= ⇔ = ± ∈
.tan tan ( )k k Zα β α π β= ⇒ = + ∈
56.最简单的三角不等式及其解集
.sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π> ≤ ⇔ ∈ + + − ∈
.sin (| | 1) (2 arcsin , 2 arcsin ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ − − + ∈
.cos (| | 1) (2 arccos , 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π> ≤ ⇔ ∈ − + ∈
.cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Zπ π π< ≤ ⇔ ∈ + + − ∈
.tan ( ) ( arctan , ),
2
x a a R x k a k k Z
π
π π> ∈ ⇒ ∈ + + ∈
.tan ( ) ( , arctan ),
2
x a a R x k k a k Z
π
π π< ∈ ⇒ ∈ − + ∈
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1) a·b= b·a (交换律);
(2)( a)·b= (a·b)= a·b= a·( b);λ λ λ λ
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且
只有一对实数λ1、λ2,使得 a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设 a= ,b= ,且 b 0,则 a b(b 0) .1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠ � ≠ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − =
53. a 与 b 的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
61. aaaa·bbbb 的几何意义
数量积 aaaa·bbbb等于 aaaa 的长度|aaaa|与 bbbb 在 aaaa 的方向上的投影|bbbb|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设 a= ,b= ,则 a+b= .1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y+ +
(2)设 a= ,b= ,则 a-b= .1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( , )x x y y− −
(3)设 A ,B ,则 .1 1( , )x y 2 2( , )x y 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y= − = − −
���� ���� ����
(4)设 a= ,则 a= .( , ),x y Rλ∈ λ ( , )x yλ λ
(5)设 a= ,b= ,则 a·b= .1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2( )x x y y+
63.两向量的夹角公式
(a= ,b= ).1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
x x y y
x y x y
θ
+
=
+ ⋅ +
1 1( , )x y 2 2( , )x y
64.平面两点间的距离公式
=,A Bd | |AB AB AB= ⋅
���� ���� ����
(A ,B ).2 22 1 2 1( ) ( )x x y y= − + − 1 1( , )x y 2 2( , )x y
65.向量的平行与垂直
设 a= ,b= ,且 b 0,则1 1( , )x y 2 2( , )x y ≠
A||b b=λa .⇔ 1 2 2 1 0x y x y⇔ − =
a b(a 0) a·b=0 .⊥ ≠ ⇔ 1 2 1 2 0x x y y⇔ + =
66.线段的定比分公式
设 , , 是线段 的分点, 是实数,且 ,则1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( , )P x y 1 2PP λ 1 2PP PPλ=
���� ����
1 2
1 2
1
1
x x
x
y y
y
λ
λ
λ
λ
+⎧
=⎪⎪ +
⎨
+⎪ =
⎪ +⎩
⇔ 1 2
1
OP OP
OP
λ
λ
+
=
+
���� ��������
( ).⇔ 1 2(1 )OP tOP t OP= + −
���� ���� ���� 1
1
t
λ
=
+
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐1 1A(x ,y ) 2 2B(x ,y ) 3 3C(x ,y )
标是 .1 2 3 1 2 3( , )
3 3
x x x y y y
G
+ + + +
68.点的平移公式
.
' '
' '
x x h x x h
y y k y y k
⎧ ⎧= + = −⎪ ⎪
⇔⎨ ⎨
= + = −⎪ ⎪⎩ ⎩
' '
OP OP PP⇔ = +
���� ��������
注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 上的对应点为 ,且 的'F ' ' '( , )P x y 'PP
����
坐标为 .( , )h k
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点 按向量 a= 平移后得到点 .( , )P x y ( , )h k ' ( , )P x h y k+ +
(2) 函数 的图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的函数解析式( )y f x= C ( , )h k 'C 'C
为 .( )y f x h k= − +
(3) 图象 按向量 a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数'
C ( , )h k C C ( )y f x= 'C
解析式为 .( )y f x h k= + −
(4)曲线 : 按向量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为
C
( , ) 0f x y = ( , )h k '
C
'
C
.( , ) 0f x h y k− − =
(5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= .( , )x y ( , )h k ( , )x y
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设 为 所在平面上一点,角 所对边长分别为 ,则O ABC∆ , ,A B C , ,a b c
(1) 为 的外心 .
O ABC∆
2 2 2
OA OB OC⇔ = =
���� ���� ����
(2) 为 的重心 .O ABC∆ 0OA OB OC⇔ + + =
���� ���� ���� �
(3) 为 的垂心 .
O ABC∆ OA OB OB OC OC OA⇔ ⋅ = ⋅ = ⋅
���� ���� ���� ���� ���� ����
(4) 为 的内心 .O ABC∆ 0aOA bOB cOC⇔ + + =
���� ���� ���� �
(5) 为 的 的旁心 .
O ABC∆ A∠ aOA bOB cOC⇔ = +
���� ���� ����
71.常用不等式:
(1) (当且仅当 a=b 时取“=”号).,a b R∈ ⇒ 2 2 2a b ab+ ≥
(2) (当且仅当 a=b 时取“=”号).,a b R+∈ ⇒
2
a b
ab
+
≥
(3) 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c+ + ≥ > > >
(4)柯西不等式
2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R+ + ≥ + ∈
(5) .bababa +≤+≤−
72.极值定理
已知 都是正数,则有
yx,
(1)若积 是定值 ,则当 时和 有最小值 ;xy p yx = yx +
p2
(2)若和 是定值 ,则当 时积 有最大值 .yx +
s
yx = xy 2
4
1
s
推广 已知 ,则有
Ryx ∈, xyyxyx 2)()( 22 +−=+
(1)若积 是定值,则当 最大时, 最大;xy || yx − || yx +
当 最小时, 最小.|| yx − || yx +
(2)若和 是定值,则当 最大时, 最小;|| yx + || yx − || xy
当 最小时, 最大.|| yx − || xy
73.一元二次不等式 ,如果 与2 0( 0)ax bx c+ + > <或 2( 0, 4 0)a b ac≠ ∆ = − >
a
同号,则其解集在两根之外;如果 与 异号,则其解集在两根之2
ax bx c+ + a 2ax bx c+ +
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
;1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x< < ⇔ − − < <
.1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x< > ⇔ − − > <或
74.含有绝对值的不等式
当 a> 0 时,有
.22
x a x a a x a< ⇔ < ⇔ − < <
或 .2 2x a x a x a> ⇔ > ⇔ >
x a< −
75.无理不等式
(1) .
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
g x
f x g x
≥⎧
⎪
> ⇔ ≥⎨
⎪ >⎩
(2) .
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) [ ( )]
f x
f x
f x g x
g x
g x
f x g x
≥⎧
≥⎧⎪
> ⇔ ≥⎨ ⎨
<⎩⎪ >⎩
或
(3) .
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
f x
f x g x
g x
f x g x
≥⎧
⎪
< ⇔ >⎨
⎪ <⎩
76.指数不等式与对数不等式
(1)当 时,1a >
;( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ >
.
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>⎧
⎪
> ⇔ >⎨
⎪ >⎩
(2)当 时,0 1a< <
;( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x> ⇔ <
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
>⎧
⎪
> ⇔ >⎨
⎪ <⎩
77.斜率公式
( 、 ).2 1
2 1
y y
k
x x
−
=
− 1 1 1
( , )P x y 2 2 2( , )P x y
78.直线的五种方程
(1)点斜式 (直线 过点 ,且斜率为 ).1 1( )y y k x x− = − l 1 1 1( , )P x y k
(2)斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).y kx b= + l
(3)两点式 ( )( 、 ( )).1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −
=
− − 1 2
y y≠ 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 1 2x x≠
(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距, )1
x y
a b
+ = a b、 0a b ≠、
(5)一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0Ax By C+ + =
79.两条直线的平行和垂直
(1)若 ,1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= +
① ;1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b⇔ = ≠
② .1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ = −
(2)若 , ,且 A1、A2、B1、B2都不为零,1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + =
① ;1 1 11 2
2 2 2
||
A B C
l l
A B C
⇔ = ≠
② ;1 2 1 2 1 2 0l l A A B B⊥ ⇔ + =
80.夹角公式
(1) .2 1
2 1
tan | |
1
k k
k k
α
−
=
+
( , , )1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1k k ≠ −
(2) .1 2 2 1
1 2 1 2
tan | |
AB A B
A A B B
α
−
=
+
( , , ).1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ ≠
直线 时,直线 l1与 l2的夹角是 ....1 2l l⊥ 2
π
81. 到 的角公式1l 2l
(1) .2 1
2 1
tan
1
k k
k k
α
−
=
+
( , , )1 1 1:l y k x b= + 2 2 2:l y k x b= + 1 2 1k k ≠ −
(2) .1 2 2 1
1 2 1 2
tan
AB A B
A A B B
α
−
=
+
( , , ).1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = 1 2 1 2 0A A B B+ ≠
直线 时,直线 l1到 l2的角是 ....1 2l l⊥ 2
π
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点 的直线系方程为 (除直线0 0 0( , )P x y 0 0( )y y k x x− = −
), 其 中 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 的 直 线 系 方 程 为0x x= k 0 0 0( , )P x y
,其中 是待定的系数.0 0( ) ( ) 0A x x B y y− + − = ,A B
(2)共点直线系方程:经过两直线 , 的交点1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + =
的直线系方程为 (除 ),其中λ是待定的系数.1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y Cλ+ + + + + = 2l
(3)平行直线系方程:直线 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线y kx b= +
系方程.与直线 平行的直线系方程是 ( ),λ是0Ax By C+ + = 0Ax By λ+ + = 0λ ≠
参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是0Ax By C+ + =
,λ是参变量.0Bx Ay λ− + =
83.点到直线的距离
(点 ,直线 : ).0 0
2 2
| |Ax By C
d
A B
+ +
=
+
0 0( , )P x y l 0Ax By C+ + =
84. 或 所表示的平面区域0Ax By C+ + > 0<
设直线 ,则 或 所表示的平面区域是:: 0l Ax By C+ + = 0Ax By C+ + > 0<
若 ,当 与 同号时,表示 直线 的上方的 区域;当 与0B ≠ B Ax By C+ + l B
异号时,表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
Ax By C+ + l
若 ,当 与 同号时,表示 直线 的右方的 区域;当 与0B = A Ax By C+ + l A
异号时,表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.Ax By C+ + l
85. 或 所表示的平面区域1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0<
设曲线 ( ),则1 1 1 2 2 2: ( )( ) 0C A x B y C A x B y C+ + + + = 1 2 1 2 0A A B B ≠
或 所表示的平面区域是:1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + > 0<
所表示的平面区域上下两部分;1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + >
所表示的平面区域上下两部分.1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C+ + + + <
86. 圆的四种方程
(1)圆的方程 .2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
(2)圆的一般方程 ( >0).2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 2 4D E F+ −
(3)圆的参数方程 .
cos
sin
x a r
y b r
θ
θ
= +⎧
⎨
= +⎩
(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y− − + − − =
、 ).1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
87. 圆系方程
(1)过点 , 的圆系方程是1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x xλ− − + − − + − − − − − =
, 其中 是直 线1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by cλ⇔ − − + − − + + + = 0ax by c+ + =
的方程,λ是待定的系数.AB
(2)过直线 : 与圆 : 的交点的圆系方程l 0Ax By C+ + = C 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
是 ,λ是待定的系数.2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By Cλ+ + + + + + + =
(3) 过圆 : 与圆 : 的交1C
2 2
1 1 1 0x y D x E y F+ + + + = 2C
2 2
2 2 2 0x y D x E y F+ + + + =
点的圆系方程是 ,λ是待定的2 2 2 21 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y Fλ+ + + + + + + + + =
系数.
88.点与圆的位置关系
点 与圆 的位置关系有三种0 0( , )P x y
222 )()( rbyax =−+−
若 ,则2 20 0( ) ( )d a x b y= − + −
点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内.
d r> ⇔ P d r= ⇔ P d r< ⇔ P
89.直线与圆的位置关系
直线 与圆 的位置关系有三种:0=++ CByAx 222 )()( rbyax =−+−
;0<∆⇔⇔> 相离rd
;0=∆⇔⇔= 相切rd
.0>∆⇔⇔< 相交rd
其中 .
22
BA
CBbAa
d
+
++
=
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, dOO =21
;条公切线外离 421 ⇔⇔+> rrd
;条公切线外切 321 ⇔⇔+= rrd
;条公切线相交 22121 ⇔⇔+<<− rrdrr
;条公切线内切 121 ⇔⇔−= rrd
.无公切线内含⇔⇔−<< 210 rrd
91.圆的切线方程
(1)已知圆 .2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
①若已知切点 在圆上,则切线只有一条,其方程是0 0( , )x y
.0 00 0
( ) ( )
0
2 2
D x x E y y
x x y y F
+ +
+ + + + =
当 圆外时, 表示过两个切点0 0( , )x y
0 0
0 0
( ) ( )
0
2 2
D x x E y y
x x y y F
+ +
+ + + + =
的切点弦方程.
②过圆外一点的切线方程可设为 ,再利用相切条件求 k,这时必0 0( )y y k x x− = −
有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线.
③斜率为 k 的切线方程可设为 ,再利用相切条件求 b,必有两条切线.y kx b= +
(2)已知圆 .2 2 2
x y r+ =
①过圆上的 点的切线方程为 ;0 0 0( , )P x y
2
0 0x x y y r+ =
②斜率为 的圆的切线方程为 .k 21y kx r k= ± +
92.椭圆 的参数方程是 .
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
cos
sin
x a
y b
θ
θ
=⎧
⎨
=⎩
93.椭圆 焦半径公式
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
, .)(
2
1
c
a
xePF += )(
2
2 x
c
a
ePF −=
94.椭圆的的内外部
(1)点 在椭圆 的内部 .0 0( , )P x y
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
⇔ + <
(2)点 在椭圆 的外部 .0 0( , )P x y
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > >
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
⇔ + >
95. 椭圆的切线方程
(1)椭圆 上一点 处的切线方程是 .
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > > 0 0( , )P x y
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
(2)过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > > 0 0( , )P x y
.0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
( 3 ) 椭 圆 与 直 线 相 切 的 条 件 是
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > > 0Ax By C+ + =
.2 2 2 2 2
A a B b c+ =
96.双曲线 的焦半径公式
2 2
2 2
1( 0, 0)
x y
a b
a b
− = > >
, .
2
1 | ( ) |
a
PF e x
c
= +
2
2 | ( ) |
a
PF e x
c
= −
97.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .0 0( , )P x y
2 2
2 2
1( 0, 0)
x y
a b
a b
− = > >
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
⇔ − >
(2)点 在双曲线 的外部 .0 0( , )P x y
2 2
2 2
1( 0, 0)
x y
a b
a b
− = > >
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
⇔ − <
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为 渐近线方程: .12
2
2
2
=−
b
y
a
x
⇒
2 2
2 2
0
x y
a b
− = ⇔
x
a
b
y ±=
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
x
a
b
y ±= ⇔ 0=±
b
y
a
x
⇒ λ=− 2
2
2
2
b
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