第讲直线方程考点精讲(解析)

第1讲直线方程考法一斜率与倾斜角1．直线3xy10的倾斜角为。【】60【解析】直线3xy10变形为y3x1所以k3设倾斜角为则ktan3因为0180所以60x252．已知双曲线y21的一条渐近线倾斜角为，则a。a6【答案】-31【解析】由双曲线方程可知：a0，渐近线方程为：yx，a5153一条渐近线的倾斜角为，tan，解得：a3.6a633．直线l的倾斜角,，则其斜率的取值范围为。43【答案】(1,3)【解析】直线的倾斜角为，则斜率为tan，ytanx在0,上为增函数.22由于直线l的倾斜角,，所以其斜率的取值范围为tan,tan，即(1,3).4343π3π4．过点A2,1,Bm,3的直线的倾斜角的范围是,，则实数m的取值范围是。44【答案】0m4π【解析】当m2时，直线的倾斜角为，满足题意；231π313π当m2时，直线AB的斜率为tan1，或tan1，m24m244mm所以0或0，解得2m4或0m2.m2m2综上，实数m的取值范围是0m4.5．函数yasinxbcosx的一个对称中心为,0，则直线axbyc0的倾斜角大小为。43【答案】4【解析】令yf(x)asinxbcosx因为函数yasinxbcosx的一个对称中心为,0，4所以有f(0)f()0，所以ba0，即ab，2a所以直线axbyc0的斜率k1，b3设其倾斜角为(0)，所以有ktan1，所以46．已知点A2,3，B3，2,直线l的方程为kxyk10，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为。3【答案】(,4][,)4【解析】直线l：kxyk10整理为kx-1y-10即可知道直线l过定点P1,1，作出直线和点对应的图象如图：A(2,3)，B(3,2)，P(1,1)，31213k-4，k，PA21PB3143要使直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k满足kk或kk，k4或kPBPA43即直线l的斜率的取值范围是(,4][,)，4考法二直线方程1．过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是。【答案】4x＋3y－13＝034【解析】因为两直线垂直，直线3x﹣4y+6=0的斜率为，所以所求直线的斜率k=﹣434则直线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣4），化简得4x+3y﹣13=032．过点M2,1，且与点A1,0，B3,0距离相等的直线方程是。【答案】x3y10或y1【解析】由题意得：满足条件的直线斜率存在，所以可设所求直线方程为yk(x2)1,kxy2k10因为与点A1,0，B3,0距离相等，|k2k1||3k2k1|1所以|k1||5k1|k0或kk21k213即x3y10或y13．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是。【答案】4x2y5【解析】因为线段AB的垂直平分线上的点x,y到点A，B的距离相等，所以(x1)2(y2)2(x3)2(y1)2．即：x212xy244yx296xy212y，化简得：4x2y5．考法三直线的位置关系1．直线l:ax3y10,l:2x(a1)y10，若l//l，则a的值为。1212【答案】3【解析】因为直线l:ax3y10,l:2x(a1)y10，且l//l，1212所以a(a1)23，且a2，解得a32．若a，b为正实数，直线2x(2a3)y20与直线bx2y10互相垂直，则ab的最大值为。9【答案】8【解析】由直线2x(2a3)y20与直线bx2y10互相垂直所以2b2(2a3)0即2ab3又a、b为正实数，所以2ab22ab2ab29339即2ab，当且仅当a，b时取“＝”；所以ab的最大值为．24428153．若直线xay20与3x6y10垂直，则二项式ax2的展开式中x的系数为。x5【答案】21【解析】由题意可得：36a0，则a.2x215x25k1k15k的展开式的通项TCk(1)kCkx103k，2xk152x251255令103k1，可得k3,13C2，即x的系数为.25224．已知直线l：xsiny10，直线l：x3ycos10，若ll，则sin2。12123【答案】5【解析】因为l⊥l，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，122sincos2tan3所以sin2α=2sinαcosα=.sin2cos21tan255．已知曲线fxxcosx3x在点0,f0处的切线与直线ax2y10平行，则实数a的值为。【答案】8a【解析】fxcosxxsinx3，f0134，4，解得：a8.2考法四距离问题y2x21．点P2,0到双曲线1的一条渐近线距离为。9166【答案】5y2x2【解析】双曲线1的渐近线方程为3x4y0，916326可以求得点P2,0到直线3x4y0的距离为d，552．若直线l:xay60与l:a2x3y2a0平行，则l与l间的距离为。121282【答案】3【解析】由题：直线l:xay60与l:a2x3y2a0平行，12则3aa2，即a22a30，解得a3或a1，当a3时，直线l:x3y60与l:x3y60重合；122当a1时，直线l:xy60与l:xy0平行，12326两直线之间的距离为382.233．若点P是曲线yx2lnx上任一点，则点P到直线xy40的最小距离是。【答案】22【解析】要使点P到直线xy40的最小距离，只需点P为曲线与直线xy40平行的切线切点，即点P为斜率为1的切线的切点，设P(x,y),x0，0001yx2lnx,y|2x1，xx00x01解得x1或x（舍去），002|114|点P(1,1)到直线xy40的距离为22，2所以曲线yx2lnx上任一点到直线xy40距离最小值为22.4．动点P在直线xy10上运动，Q1,1为定点，当PQ最小时，点P的坐标为________．11【答案】,22【解析】当PQ与直线xy10垂直时，PQ最小，直线xy10的斜率为1，∴其垂线的斜率为1，∴过点Q与直线xy10垂直的直线方程为y1x1,即xy0,xy101由解得xy,xy021111∴当PQ最小时，点P的坐标为,，故答案为：,.2222考点五定点问题1．已知实数a,b满足a2b1，则直线ax3yb0必过定点，这个定点的坐标为。11【答案】(,)26【解析】∵a+2b=1，∴a=1-2b.∵直线ax+3y+b=0，∴(1-2b)x+3y+b=0，即b(1-2x)+(x+3y)=0.1x12x0211,,∴直线必过点（，）.x3y0126y62．方程(a1)xy2a10(aR)所示的直线恒过定点。【答案】(2,3)【解析】方程(a1)xy2a10可化为(a1)x2a2y3即y3(a1)x2则恒过定点(2,3)考法六对称问题1．点(2,0)关于直线xy10对称的点的坐标为。【答案】(1,1)【解析】设点(2,0)关于直线xy10对称的点坐标为(m,n)，n01m2m1可得2mnn110222．已知直线l:2xy10，直线l与l关于直线l:yx对称，则直线l的方程为1212【答案】x2y10【解析】在l:2xy10上任取一点px,y，设关于直线l:yx的对称点为Qx,y，100yy01xxxy所以0，解得0，yyxxyx00022代入l:2xy10，得：x2y10，所以直线l的方程为x2y10.123.如果A(1,3)关于直线l的对称点为B(5,1)，则直线l的方程是。【答案】3xy40【解析】因为已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(5,1)，故直线l为线段AB的中垂线，131求得AB的中点坐标为(2,2)，AB的斜率为，故直线l的斜率为3，513故直线l的方程为y23(x2)，即3xy40.4．圆(x2)2(y12)24关于直线xy80对称的圆的方程为。【答案】(x4)2(y6)24【解析】圆C(x2)2(y12)24的圆心坐标为C2,12，半径为2，设C2,12关于直线xy80的对称点为C(x,y)，x2y128022x4则，解得．y12y61x2C4,6，则圆C关于直线l对称的圆的方程为(x4)2(y6)24．