连续型随机变量

第三章连续型随机变量教学目的1．使学生掌握一、二维分布函数的定义及性质2．使学生熟练掌握一维连续型分布函数与密度函数的关系，熟悉均匀分布，指数分布，分布的密度。3．使学生熟记正态密度及其性质，牢固掌握正态分布表的查法。4．使学生掌握二维连续型随机变量联合分布（密度）与边际分布（密度）的概念及计算，了解条件分布的概念。5．使学生牢固掌握连续型随机变量独立性的概念及判别。6．使学生掌握一、二维连续型随机变量函数的分布，熟记2，t，F分布的构造性定理（了解其推导）7．使学生牢固掌握连续型随机变量期望、方差的定义、性质，熟记正态分布的期望、方差、均方差，掌握随机变量协方差（含协方差阵）相关系数，矩概念，了解条件期望的概念。8．掌握一维随机变量特征函数的定义及性质，熟记单点分布，二项分布、正态分布的特征函数，了解有关结论的推导，了解逆转公式，理解唯一性定理的含义。§3.1随机变量及分布函数定义3.1设（,F,P）是一个概率空间，对于,是一个取实值的单值函数，对任意的B1，有{:B}F，则称为（,F）上的一个（实）随机变量。上面的1表R1上的Borel域由1的构成可见{:,x}{x}是一个事件，这个事件的概率是研究的统计规律的基础，这个概率显然与x有关，是x的函数，我们称它为的分布函数。1定义3.1（,F,P）是一概率空间，为定义在（,F）上的随机变量，我们称FxPxxR1（3.1）是随机变量的概率分布函数,简称分布函数或分布用d.f简记。由概率测度的性质易推出，分布函数具有如下基本性质定理3.1变量Fx是r.v.的d.f，则有（1）对任意实数x1x2，有Fx1Fx2，（单调不减性）（2）limFx0,（3.3）limFx1FxFx（3）对一切xR1，Fx0Fx（左连续性）证：（1）由x1x2可得（2）由分布函数的定义有0Fx1，由（1）Fx又是单调函数，故有limFxlimFm，limFxlimFn（m,n为整数）xmxn由概率的可列可加性有1=PPkk1k=Pkk1knn=limPkk1limFk1Fkmkmmmnkn=limFnlimFmnm所以必有limFmlimFx0mxlimFnlimFx1mm3.2）3.3）(3.4)2（3）因Fx单调有界，所以对任一实数点x，Fx的左极限存在，且Fx0limFxnlimFxnxnxn其中x1x2xnxn又因为x1xxkxk1k1由概率的可列可加性Px1xPxkxk1k1由上述消去Fx1得FxlimFxnFx0n反过来，也能证明，满足上述（1）——（3）的函数是一个概率分布函数。由上述可知，分布函数是一种性质良好的函数，便于处理。易验，对任意B1PB可用的d.f表示出来。由x1及概率的连续性得xn1nPxlimPx1limFx1Fx0（3.5）nnnnFx1Fx0（3.6）Fx1Fx（3.7）FxFx0Fx（3.8）Fx1x2Fx2Fx10（3.9）可见分布函数Fx全面描述了随机变量的统计规律，对于离散型随机变量来说，其分布列和分布函数是一一对应可互推的，但在离散型场合，我们用分布列更方便。3例3.1将三个可辨的质点随机投入三个格子（假定每个格子装任意多质点）以表空格数，求的分布列及分布函数。并求P32。解：显然的的可能取值为0，1，2，P03!2C31C21C32233，P13339P2C311339即012P221939其分布函数为0x02FxPx90x181x29x21P32F2F3088909可见离散型分布函数是一个阶梯函数，它在r.v.的每一个可能取值点ak处有跃度PkPak例3.2若Pa1Fx0xa1xaFx正好是示性函数Ixa例3.3Poisson分布的分布函数。4§3.2连续型随机变量定义3.2若是随机变量，Fx是它的分布函数，如果存在可积函数Px，使对任意R1，有FxxPydy（3.11）则称为连续型随机变量,相应的Fx称为连续型分布函数,同时称Px为Fx的概率密度函数,简称密度。其具有如下性质：(1)Px0(3.12)(2)Pxdx1(3.13)反之，任意一个实函数Px具有以上两个性质，则Px就是一个概率密度。由（3.11）式它就定义一个连续型分布函数，由定义看出连续型分布函数是处处连续的，是一个绝对连续函数。由上定义可得，对连续型r.v.~PxPx1x2Fx2Fx1x2Pydy（3.14）x1特别地：Px10（注意：（x1）不一定是不可能事件）∴Px1x2Px1x2Px1x2x2Pydy（3.15）x1由于PxxxFxxFx，（x很小时）xPydyx因此密度Px的值在一定程度上反映了r.v.在x附近取值的大小，从某种意义上说，连续型随机变量的密度函数与离散型变量的概率函数相当。在Px的连续点处，有FxPx（3.16）下面举几个常见的连续型分布。1．均匀分布51axb若r.v.的密度形如Pxba服从（a，b）上的均匀分布，记为则称0其它~Ua,b这时的d.f为xaaFxaxb（3.17）bab1x2．指数分布若r.v.的密度形如：exx0服从指数分布Px，（λ＞0，为参数）则称0x0指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如某些电子元件的寿命服从指数分布，指数分布与几何分布一样，具有“无记忆性”即有Pst|sPt统计学中常称指数分布为“永远年青”的分布。3．正态分布若,0是两个常数，则1x2e22x（3.18）Px，2是一个概率密度称（3.18）为正态密度。它对应的d.f为x1y2Fx22x（3.19）edy，2称Fx为正态分布，简记为N,2，如果一个随机变量的分布函数是正态分布，则6称为正态变量，记为~N,2特别称N（0，1）分布为正态分布，其密度记为x，相应的分布函数记为x，即1x2xx2，xeydy2（一）正态密度的性质如下（1）~N,2其密度Px描述的曲线称为正态曲线，它是以x形曲线。（2）在x处，曲线处于最高点，3.20）为对称轴的钟（3）决定曲线形状，越大，曲线越矮胖，的分布越平缓，越小，曲线越高瘦，越是集中取值于之附近。（见书P115图3.7）（二）正态分布表设~N0,1，则在u0时1x2uuuxdx2e2dx之值可在书P502表3中查出：（1）Pu1u2u2u1（2）当u10时，1u（3）若~N,2，则可以验证~N0,1，于是有Pxx2Px1x217=x2x1例3.4已知~N,2，查表求Pk,(k1,2,3)解：PP==11211=2×0.8413－1=0.6826P222120.977310.9545P333120.998710.9974上面的三个概率称为正态变量的3原理。可以看到，正态变量基本上分布在（2,2）内，在（3,3）外取值的可能性极小。4．分布（Gamma）若r.v.的分布密度形如：Pxx1exx00,0），（0x0则称服从参数为（,）的分布，记为~,，其中为积分值，即x1exdx（0）0积分具有性质：18121,1n!，(n为自然数)12§3.3多维随机向量及其分布（一）n维联合分布及边际分布定义3.3设1,n是定义在同一可测空间（,F）上的随机变量，则称这n个随机变量的整体（1,n）为（,F）上的n维随机向量或n维随机变量。由可测空间的性质及一维随机变量的定义，对任意n个实数x1,x2xn，若记Cn,xi则有Cn1x1,,nxnFi1定义3.3称n元函数，Fx1,x2,,xnP1x1,,nxn为n维随机变量（1,n）的联合分布函数，简称联合分布或分布。联合分布函数可以完全描述n维随机向量的统计规律。设（,）为二维随机向量，那么二维联合分布Fx,yPx,y，表点（,）落如下图阴形区域的概率。此外，由概率的有限可加性可推出Px1x2,y1y2Fx2,y2Fx1,y2Fx2,y1Fx1,y1二维分布函数不仅具有类似一维分布函数的性质，还有其特殊性质，即定理3.2二维分布函数Fx,y具有下述性质（1）对每一变元单调不降（2）对每一变元左连续，即有Fx,yFx0,y,Fx,yFx,y09（3）对任意x，y有F,ylimFx,y0x（3.21）Fx,limFx,y0yF,limFx,y1（3.22）xy（4）（相容性）对任意x1x2,y1y2有Fx2,y2Fx1,y2Fx2,y1Fx1,y10（3.23）上面四条，前三条不能推出第四条，反之，可以证明，满足上四条性质的二元函数可作为某个二维联合分布函数。如果二维r.v,~Fx,y，则,的d.f，可以由Fx,y求得FxPxPx,Fx,（3.24）同理FyPyF,y（3.25）我们称Fx，Fy为联合分布Fx,y的边际分布函数，简称边际分布。（二）二维连续型随机向量定义3.4设随机向量（,）的联合分布函数为Fx,y，若存在函数Px,y，使对任意x,y,有xyFx,yPu,vdudv(3.26)则称Fx,y为二维连续型分布函数,（,）为二维连续型随机向量。称Px,y为Fx,y（或（,））的联合概率密度函数，简称联合密度。它具有以下性质：(1)Px,y0，（2）Px,ydxdy1反过来任一具有上述两条件性质的二元函数Px,y必是某个二维随机变量的密度，此外10还有（3）若Px,y的连续点处，有2Fx,yPx,yy4）若G是一个二维可测区域，则P,GPx,ydxdyG特别地FxFx,Px,x=xPu,vdvdu由一维连续型分布的定义，Pxxydy,同理Pyxydx,分别称上面的Px，Py为边际密度。例3.5（书P122）设二维随机变量具有密度ce2xy0x,0yPx,y，其它0试求：（1）常数c（2）分布函数Fx,y（3.27）（3.28）Pu,vdudv（3.29）（3.30）。（3）边际分布函数Fx,Fy及边际密度Px,Py（4）求P,G，其中G为下图所示两种常见的二维连续型随机向量1．均匀分布设G是平面上的一个有界可测域，其面积为A，若,具有如下联合密度：111x,yGPx,yA0其它则称,服从区域G上的均匀分布，其描述的是二维平面上的几何概型。2．二维正态分布若,具有如下联合密度：Px,y11xa122xa1ya2ya222exP2222121211122其中ai,i0i1,2，1为五个常数，则称,服从二维正态分布，记为,~Na1,a2,12,22,x,y称为二维(元)正态密度，下面要求边际密度。PxPx,ydy（令uxa1，令vya2）12=12exP12u22uvv2dv211211u211u2dv=e2exP2v21212211u21xa12=e2=e2122121即~Na1,12ya221同理Pye222，即~Na2,2222由上可见，二维正态分布的边际分布是一维正态分布，且边际分布与参数无关，也就是说，12如12，则Na1,a2,12,22,1与Na1,a2,12,22,2是不同的，但它们都有相同的边际分布。这又一次说明，一般来说，边际分布不能唯一确定联合分布。（三）随机变量的独立性定义3.5设二维随机变量（,）的联合分布函数为Fx,y，边际分布函数为Fx，y，若对任意的（x，y）有Fx,yFxFy（3.31）成立，则称r.v.与相互独立。由连续型随机变量分布函数和密度函数的对应关系，可得下面用起来更方便的结论：设连续型随机变量（,）的联合密度为Px,y，边际密度为Px，Py，则,相互独立的充要条件是对任意的（x，y），有：Px,yPxPy(3.32)例3.6设(证：(,)～Na1,a2,12,22,,则,相互独立的充要条件是0。)的联合密度和边际密度分别为Px,y1exP1xa122xa1ya2xa2221222212121122xa211Pe212x21y21a2Pe222y22当0时Px,y1xa12xa22xPyexP12222P212213即（3.32）成立，故,相互独立。又若,相互独立，则有Px,yPxPy，对（x，y）R2成立。令xa1，ya2，1120，即0证毕。21221212将两个随机变量相互独立的概念平行地推广到n个变量的场合，得定义3.6设1,,n的联合d.f为Fx1,,xn，边际分布函数为Fx1,,Fxn，若对任意的x1,,xn有Fx1,,xnFx1Fxn1n1n则称1,,n相互独立。若1,,n为连续型r.v联合密度和边际密度分别为Px1,x2,,xn，P1x1,,Pnxn则1,,n相互独立的充要条件是Px1,,xnP1x1Pnxn§3.4随机变量函数的分布（一）一维连续型随机变量函数的分布若~N,2，则有~N0,1要验证这样一个问题，只需求出的上述线性变换变换的分布，根据分布函数的定义FyPyPyPy=Fy14FyFyFyyPyy2y21=e222，ye22上面的推导不但解决了我们的遗留问题，而且给出了求随机变量函数的。已知的d.f为Fx，密度为Px，求f的分布。方法1（基本方法）利用分布函数的定义求由FyPyPfyPf1,y其中f1,yx:fxyI，于是FyPxdx，PyFyI例3.7设~N0,1，求的分布密度y2解：Py2e2,y0方法2（公式法），定理3.3（书P129例3.1）若已知连续型r.v.的密度为Px，在Px的非零取值区间（a，b）内函数yfx严格单调，其反函数x=h（y）有连续的导函数hy，则f也是一个连续型随机变量，其密度为PPhyhyyy0，。其它其中inffx，supfxaxbaxb证明：不妨设yfx严增，这时它的反函数hy也严增，于是FyPfyPhyhyPxdxafayfb15PyFyPhyhy，yPy0其它同理可得，yfx严减时有PyPhyhyfbyfa0，其它综上，结论得证。注：若yfx在Px的非零取值区间（a，b）的划分I1,I2上逐渐单调，各自的反函数分别为h1y,h2y,都有连续的导函数，则亦是连续型随机变量，其密度为PyPkyk其中PyPhkyhkyyk,k，k0其它kinffx，ksupfx。xIkxIk例3.8对圆的直径作近似度量，设其均匀分布于[a，b]内（ba0），试求圆面积S的分布密度。解：S12，具有密度。4Px1xbaa的取值x非负；∴y1x2在[a，b]内有唯一反函数x4y且x14y16111a2y1b2由例3.3PSybay，4其它403.9(书P130)设~N0,1,求2的密度。1x2解：由题设Pxe2，x2而yx2分别在I1,0，I20,上严格单调，其反函数分别为h1yy，h2yy。21y1故P1ye2，y022yy00y211y0P2ye222y（3.33），00y可见~1,1，1,1分布又称自由度为1的2—分布，一般地n,1分布222222称为自由度为n的2—分布。其密度为1n1xx2e2x0Pxnn22（3.34），20其它（二）二维连续型随机向量函数的分布这类问题可叙述如下1．已知,~Px,y，求f,的分布，仿一维的作法，由分布函数的定义FzPf,z17Px,ydxdyfx,yzPzFz但在许多时候，上面的积分区域x,y:fx,yz，并不易解出，这需要zfx,y的形式较简单才行，下面我们对两类较简单的情形加以讨论。（1）和的分布设,~Px,y，求的分布，按上述方法有：FzPzPzPx,ydxdyyz可得的密度由对称性亦有PzPu,zuduPzPzu,udu(3.35)特别地,当,相互独立时有PzPuPzudu=PzuPudu(3.36)PzPz(3.36)右边的积分称作P与P的卷积(褶积)，即PyPzPz例3.10设,相互独立的N（0，1）变量，求的密度。解：由(3.36)PyPxPyxdx1y2=e22，y2218可见~N0,2可以证明若1,,n为相互独立的正态变量，且nnni~Ni,2，则i~Ni,2iii1i1i1此称为正态分布的可加性，许多重要的分布，如二项分布，Poisson分布也具有类似的性质。例3.11设,为相互独立的r.v分别服从1,，2,分布，求的分布。解：,的密度为Pxx1exx0，00xy1211xyx∴PyPyPyx1yx2edx01212yy11=ex1yx2dx012令xt,dtdxyy1221eyB1,2Pyy11212y121ey，y0=12即~12,，说明分布对于其第一个参数具有可加性，因2n即,1分布，故2分布也具有可加性，前面我们已知，一个标准正态变量的平方的分布2219为21分布，于是可得：定理3.4（x2分布构造性定理）n个相互独立的N（0，1）变量的平方和服从2n分布。（2）商的分布已知,~Px,y，求的分布密度。（其中P01），由FzPzPzPx,ydxdyzy=Px,ydxdyPx,ydxdyxzxzyyy0y0=yzPx,ydx0Px,ydxdydy0yz∴PzFzyPyz,ydy0yPyz,ydy0=yPyz,ydy(3.37)当,相互独立时,有PzyPyzPydy(3.37)上面推导中，用到了含参积分导法。例3.12设,相互独立，~2n，~2m，求n的分布密度。m求的密度只需先用定理3.3求出的分子，分母的密度，再用(3.37)即可得的密度如书P138（3.59）式所示。我们称例3.15中的分布是第一自由度为n，第二自由度为m的F分布，记为20Fn,m，综上有：定理3.5（F分布的构造性定理）若~2n，~2m，且与相互独立，则~Fn,mm在例3.15的求解中用到下面结论引理3.1若r.v.与相互独立，f、g为连续或分段连续函数，则f与g也相互独立。例3.13设~N0,1，~2n，且，相互独立，求。n解：的密度如书P139的（3.60）所示，我们称它为自由度n的T分布，或简记为t(n)。定理3.6（T分布构造性定理）~N0,1，~2n，且与相互独立，则~tn。n2．（补充）求二维连续型随机变量函数的分布密度的公式法。下面的定理是前述定理3.3在二维情形的推广。定理3.3设（,）的已知密度Px,y在x,yG时有非零表达式（即G为Px,yz1f1x,y的支撑集），函数f2满足下列条件:z2x,y(1)zifix,yi1,2在G上有唯一反函数xh1z1,z2yh2z1,z2h1h1hii,j1,2均存在且连续,并记Jz1z2(2)h2h2zjz1hz221则ifi,i1,2为连续型随机变量，且（1,2）有如下的联合密度gz1,z2Ph1z1,z2,h2z1,z2J当z1,z2B(3.38)0，其它其中B是当（x，y）z1f1x,yG时，f2的值域。z2x,y注1：若zifix,yi1,2在G上反映函数不唯一，则将G分成若干两两不交的部分G1,G2，使在每一部分有唯一反函数，xykh1kz1,z2则（kk1,2）的联合密度形如：h2z1,z2gz1,z2kgkz1,z2其中gkz1,z2Ph1kz1,z2,h2kz1,z2Jkz1,z2B0，其它这里Bkz1,z2z1f1x,yGi，Jkh1k,h2k:,x,yz1,z2z2f2x,y注2：若只求1f1,的分布，可再设2，（或令2为其它形式变量）按上述定理求出（1,2）的联合密度，gz1,z2后，再求边际密度：P1z1gz1,z2dz2补充例设,相互独立,分别服从1,，2,分布，试证1与2相互独立。解：由题设（,）具有联合密度：1211xyx0Px,yx1y2e，y0。120其它22z1xyxz1z21z2由xx0,y0解得反函数z10,z20z2yz1y1z2z2z1而Jx,y1z21z22z1z1,z21z11z2221z21z2得(1,2)具有如下密度:0z1,z20,0,1gz1,z212z1z21z1，z1e0,z20121z21z22z1=12z11ezz211,z10,z201211z21122可见，(1,2)的联合密度的非零表达式是矩形区域上可分离变量的函数，由习题3.37知，1,2相互独立。§3.5随机变量的数字特征（一）数学期望定义3.7设连续型随机变量~Px，当xPxdx时称的数学期望存在，且xPxdx（3.39）显然它只与的分布密度有关下面来看看一些常见分布的期望。23例3.14~Ua,b，ab21例3.15设服从参数为的指数分布，。例3.17设~Nu,2，。例3.20~Px1（称服从柯西分布），是否存在。1x2解：∵x2dx2xdx1x01x2故不存在。2．随机变量函数的分布及期望的性质。定理3.7设连续型r.v.~Px，又fx为实可测函数，且fxPxdx则称f存在，且ffxPxdx（3.40）定理3.8设,为二元可测连续型随机变量，密度函数为Px,y又zfx,y为二元可测函数，当fx,yPx,ydxdy时称f,存在，且f,fx,yPx,ydxdy（3.41）与离散型情形一样，连续型随机变量的期望也具有如下性质：n（1）线性性若1,n的期望都存在，ai(i0,1,,n)为常数，则a0akk的期k1望存在，且nna0akka0akk，特别地a0a0k1k1242）若,相互独立，则（二）方差定义3.8设连续型随机变量~Px，又22的方存在，则称为差，记为D或Var，由期望的性质还可得D[222]22(3.42)称为的根方差或均方差或标准差ba例3.18~Ua,b，D122设~Pxexx01例3.190x，D20例3.20~Nu,2，求D解：已知2x2x2xDe2dx，令y2y2y2y2y2=2e2dy220e2dy22令y2t，则dtydy，y12t221D222t2etdt2=221P3222，D22与离散型的情形一样，方差具有如下性质25性质1设a，c为常数，则Daca2D特别有Dc0在理论研究和实践应用中，为了简化证明或方便计算，往往对随机变量进行所谓标准化，即如r.v.，存在和D，则令*D称*为的标准化随机变量，由期望和方差的性质易验*0，D*1定理3.9切比雪夫不等式设r.v.存在有限的方差，则对任意0，有DP（3.43）2或PD12证：仅以连续型情形给出证明，设~Pxx2则PPxdx2Pxdxxxx2DPxdx22此式将积分号换成求和式，即得离散型场合的证明由切比雪夫不等式看出，D越小，事件发生的概率越小，越是集中在的附近取值。性质2D0Pc1（c为某常数）（）由性质1得（）对任意自然数，因D=0，均有261D0P20n1n又01nn1故P0P10n1n即P1，取c即可性质3（最小性）对任意c，有Dc22（学生自验，令fcc，找fc最小值）性质4若1,2,n，两两独立，则D1nD1Dn（三）协方差、相关系数1．协方差对于二维随机变量,来说，了解各分量的数学期望和方差固然重要，但它们不能反映各分量之间的相互关系，为解决这样一个问题，我们引入协方差这个量。定义3.9若,是一个二维随机变量，又||则称为,的协方差，记作cov,Pijxiyj离散型ij即cov,（3.44）xyPx,ydxdy连续型由期望的线性性可推出27cov,由协方差的定义，易验，协方差具有如下性质（1）cov,cov,（2）若a,b,c,d为常数，则covac,bdabcov,（3）cov12,cov1,cov2,n（4）D1nDk2covi,j（自验）k11ijn（5）若,相互独立，则cov,0（6）cov,2DD仅证（6），对任意tR，由积分的性质0t222tt2=D2tcov,t2D上面关于t的二次三项式≥0的充要条件是4cov24DD0判别式,即cov,2DD我们称矩阵BDcov,cov,D为二维r.v,的协方差矩阵，由协方差的性质知B为对称的非负定矩阵例3.21设,~Na1,a2,12,22,，求其协方差阵2解得协方差阵为1122122从上面的讨论看，协方差在一定程度上反映了两随机变量之间的关系，但因它要受,本28身数值大小的影响。比如，若令,各自增大k倍，它们之间的相互关系应该不变，但其协方差却增大k2倍，为此，实际中常用的是标准化协方差——相关系数。定义3.10设r.v.,的方差均存在且大于0，记,cov,（3.45）DD称,为,的相关系数，在不混淆时也记为。易验,的相关系数就是它们各自的标准化随机变量的协方差。即cov*,*例3.21（续）,~Na1,a2,12,22,，求相关系数,（,）。由相关系数的定义和协方差的性质易验，相关系数有如下性质：（1）,1(由协方差性质(6)可推得)（2）,相互独立，则,0，（由cov,0立得）（逆之不真）（3）若1ac，2bd，则1,2abab,（4）,0的充要条件是，与以概率1线性相关，即存在常数a,b（a0）Pab1证（4）：由DDDcov,DDD221DDD故当1时，有DDD0之一成立。29故存在常数c，使PDDc1或PDc1D取aDD），bcD（或cD）即可（或DD由上面的讨论可知，相关系数描述了随机变量线性相关的程度，越大，其线性相关程度越高，当=1时，,依概率1存在线性关系，=1时为正线性相关，=－1时为负线性相关（见书P153图），若=0，则,间没有线性关系。这时就称,是不相关的或零相关的。不相关和相互独立这两个概念有一定联系（比如后者可推出前者），但在一般情况下，并不等价，不相关的两随机变量不一定相互独立，从前面的讨论看出，二维正态变量的独立和不相关性是一致的，但大量的例子却有两随机变量不相关又不独立。例3.22设~U,，sin,cos，求,的相关系数。显然有221，说明,虽无线性关系，却有别的函数关系，从而是不独立的。（四）矩矩是随机变量最广泛的数字特征。均值、方差、协方差实际上都是某种矩，现向大家介绍最常用的两种矩——原点矩和中心矩。定义3.11设为随机变量，若k，记mkk，称mk为的k阶原点矩。k，记ckk又若，称ck为的k阶中心矩。显然，，m1，C2D，此外m01c0，c10,原点矩和中心矩可以互相换算：kmkr0kkm1rCkr，Ckrr0km1krmrr定理3.10若kk0存在，则对任意0rk，r也存在。证：仅以连续型证，且设~Px30rrrr因xPxdxxPxdxxPxdxx1x1kPxdxkxPxdxxPxdx1x1x1此定理说明，随机变量的高阶矩存在，则低阶矩一定存在。关于矩，有更一般地，若a为某常数，P是任一正数，如aP存在，则称它为关于点a的P阶矩。定义3.11设（,）为二维随机变量，若存在kl，则称它为,的kl阶混合原点矩，若kl,的kl阶混合中心矩。存在，则称之为对于n维r.v，1,,n最常用的也是一阶原点矩（1,,n）和二阶中心矩：bijiijj，i1n，j1nb11b12b1n称Bb21b2nbn1bnn为的协方差矩阵，它是一个对称的非负定矩阵。记xx1,x2,xn，A1,2,n，若的联合密度形如：11xAB1xAPx1,x2,,xne2（3.46）n22BxRn则称为n维（元）正态变量，简记其分布为N（A，B），称之为n维正态分布（这里的协方差阵是正定阵）。31§3.6条件分布与条件期望简介若连续型随机变量（,）的联合密度及边际密度Px,y，Px，Py均为连续函数，则在{y}的条件下，的条件分布为连续型，条件密度为P|x|yPx,y。Py同样，在{x}的条件下，的条件分布也为连续型，其条件密度为P|y|xPx,y（3.47）Px例3.23若（,）～Na1,a2,12,22,，求条件密度P|x|y及P|y|x。上例说明，正态变量的条件分布正态性不变。条件分布P|x|y描述了在y的条件下，的统计规律，有了条件分布密度，我们就可以定义条件期望。定义3.11设在{y}的条件下，的条件密度为P|x|y，若xP|x|ydx则记|yxP|x|ydx（3.48）并称它为在（y）的条件下，的条件数学期望，简称条件期望。同样可定义|xyP|y|xdy（3.49）例3.24若（,）～Na1,a2,12,22,，求|y。解：|y~Na11ya2,22122得|ya11ya2（3.50）2上例的条件期望|y是y的线性函数。32一般来说，|y只是y的函数（即与y有关），现以|记的如下函数：当y时，|取值|y，这样定义的函数|是r.v.的函数，因而也是一个随机变量，对它求期望有|（3.51）此称为全期望公式，以连续型为例证明如下||yPydyxP|x|ydxPydy=xPx,ydxdy=xPx,ydydxxPxdx条件期望也具有类似一般期望的性质§3.7特征函数通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度的卷积），要解决复杂得多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常重要而有效的工具，把付氏变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个的新的台阶。一、定义本节中i1定义3.12设是一个随机变量，称33teit，t（3.52）为的特征函数。记为c.feitakPkξa1a2当P1P2由定义tk1P（3.53）eitxPxdx当ξ～（）Px由eitx1，故（3.53）的级数或积分是绝对收敛，即r,v,的特征函数总存在。由（3.53）看出，r.v.的c.f是其概率函数或密度函数的付氏变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。作积分时有时会用到复变函数中的残数理论，但有时也可由欧拉公式得teitcostisint即把求t变成求两个实随机变量函数的期望。例3.25求下列随机变量的特征函数（1）~Pa1（2）~PknPkqnk0knkk（3）~P,Pke，k=0，1，k!解：（1）teiat2）3）tqPeitnittee1例3.26求下列随机变量的特征函数。（1）~U0,1；（2）~；（3）~N0,1341it解：（1）te1eitxdx0it（2）t0eitxexdx0eitxdxeitxdx0为了易求出上面的积分，我们用如下结论：对复数zaib，只要a0，就有xr1zxdxr，（r0ezr）01it故t1it1121t2xit2txe2edx（3）eitxe2222xit2z2积分e2dx是复变函数e2，在复平面上，沿平行于实轴的直线yt（或x2zit）的积分，由闭路积分理论知，此积分等于同一函数沿实轴的积分e2dx22故te2,t二、特征函数的性质性质1t在t,上一致连续，且t01，tt，t表示t的共轭。性质2特征函数t具有非负定性。到此我们已看到特征函数较分布函数具有更加优良的分析性质：一致连续，非负定性及有界性。可以证明：若实变元复值函数t非负定，且01，则t是某随机变量的特征函数。性质3ab的c.f，teibtat证：35例3.27~N,2，求tt2t2it2t2记e2，故tite2e2e性质4设1,2的c.f，分别为1t,2t，又1,2相互独立，则12的c.f为t1t2t