《振动力学》习题目集含问题解释

合用标准文案《振动力学》习集（含）1.1质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆拘束在铅锤平面内作微幅摇动，如图E1.1所示。求系统的固有频次。lxm1m图E1.1解：系统的动能为：T1mxl21Ix222此中I为杆对于铰点的转动惯量：lm1dxx2lm1x2dx12Illm1l003则有：T1ml2x21m1l2x213mm1l2x2266系统的势能为：Umgl1cosxm1gl1cosx21mglx21m1glx212mm1glx2244利用xnx和TU可得：n32mm1g23mm1l优秀文档合用标准文案1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅转动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频次。kAkaCR图E1.2解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T1IB21mR21mR223mR222224U21kRa2kRa222利用n和TU可得：4kRa2Ra4kn3mR2R3m优秀文档合用标准文案1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴拘束，如图E1.3所示。求系统的固有频次。Jk1k2k3图E1.3解：系统的动能为：1J22k2和k3相当于串联，则有：23,k22k33以上两式联立可得：2k3,3k2k3k3k2k2系统的势能为：U1k121k2221k3321k1k2k3k2k322222k2k3利用n和TU可得：k2k3k1k2k3nJk2k3优秀文档合用标准文案1.4在图E1.4所示的系统中，已知kii1,2,3,m,a和b，横杆质量不计。求固有频次。x1k1k2ax0bx2bF1bmgaabk3xmgaF2mgamb图E1.4答案图E1.4解：对m进行受力解析可得：mgmgk3x3，即x3k3如图可得：x1F1mgbx2F2mgak1,k2abk2abk1x0x1xx1ax2x1a2k1b2k2mgabab2k1k2xx0x3a2k1b2k21mg1mgab2k1k2k3k0则等效弹簧刚度为：keab2k1k2k32a2kkb2kkabkk313212则固有频次为：kek1k2k32abn2k3k1a2k2b2mmk1k2ab优秀文档合用标准文案1.7质量m1在倾角为的圆滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所示。确立系统由此产生的自由振动。m1x12m2hx2kx0x图E1.7答案图E1.7解：对m1由能量守恒可得（此中v1的方向为沿斜面向下）：m1gh1m1v12，即v12gh2对整个系统由动量守恒可得：m1v1m1m2v0，即v0m12ghm2m1令m2惹起的静变形为x2，则有：m2gsinm2gsinkx2，即x2k令m1+m2惹起的静变形为x12，同理有：m1m2gsinx12k得：m1gsinx0x12x2k则系统的自由振动可示为：xx0cosntx0sinntn此中系统的固有频次为：nkm1m2注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：xx0cosntv0sinntn优秀文档合用标准文案1.9质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c组成振动系统，如图E1.9所示。以杆偏角为广义坐标，成立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原优点马上释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？可否在过静平衡地址时？aOkckacl图E1.9答案图E1.9解：利用动量矩定理得：Ikaacll，I1ml23ml23cl23ka20，n3ka2ml23cl22n，3c12amkml22m1c3nlmglk0aa，0mgl22ka21.12面积为S、质量为m的薄板连结于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所示。作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数。优秀文档合用标准文案图E1.12解：平面在液体中上下振动时：mx2Sxkx0nk2，dn122mT0Td2S2nS，22S2mmnk12k2S2k22k2S22mTd2T02TdT0kST0Td2.1图E2.2所示系统中，已知m，c，k1，k2，F0和。求系统动力学方程和稳态响应。优秀文档合用标准文案k2c2mxk2xc2xx1x2mmkc1k112kmk1xx1c1xx1c1c2x1图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)解：等价于分别为x1和x2的响应之和。先考虑x1，此时右端固结，系统等价为图（力为图（b），故：mxk1k2xc1c2xk1xc1xmxcxkxk1A1sin1c1A11cos1tcc1c2，kk1k1k2k2，nm（1）的解可参照释义（2.56），为：k1A1sin1t1c1A11cos1t1Yt2222k2k21s2s2s1s此中：s1，1tg12s1s2nc2k12c1c2221211k212sk1k2k1k212m2c1c221s222s211k1k2k1k2k1k2m22c2221c11k1k2故（2）为：k1A1sin1t1c1A11cos1t1xt2222k1k2mc1c211222A1k1c11sin1t12m22c122k1k21c21a），受1）2）优秀文档合用标准文案1tg12stg1c1k1k2tg1c1c211s2112mk1k212mk1k22tg1c11k1考虑到x2t的影响，则叠加后的xt为：Ai222cc2kicii12ixtsinittg122k1k22mi1k1k2m2c1c22iii2.1一弹簧质量系统沿圆滑斜面作自由振动，如图T2-1所示。已知，k=49N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。kmmgtg1ciiki，m=1kg，x0x图T2-1答案图T2-1解：mgsin19.81mgsinkx0，x020.1cmk49nk4910270rad/sm1xx0cosnt0.1cos70tcm优秀文档合用标准文案2.2如图T2-2所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡地址，另一重物W2从高度为h处自由着落到W1上而无弹跳。求W2降落的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。kx1x12W2x0h平衡地址xW1图T2-2答案图T2-2解：W2h1W2v22，v22gh2g动量守恒：W2v2W1W2v12，v12W22ghggW1W2平衡地址：W1kx1，x1W1kW1W2kx12，x12W1W2k故：x0x12x1W2knkkgW1W2gW1W2故：xx0cosntx0sinntnx0cosntv12sinntn优秀文档合用标准文案2.4在图E2.4所示系统中，已知m，k1，k2，F0和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。k1x1x2k1x1k2x2x1k2x2x1k2mmF0sintF0sintmx2图E2.4答案图E2.4解：取坐标轴x1和x2，对连结点A列平衡方程：k1x1k2x2x1F0sint0即：k1k2x1k2x2F0sint对m列运动微分方程：mx2k2x2x1即：mx2k2x2k2x1由（1），（2）消去x1得：mx2k1k2x2F0k2sintk1k2k1k2故：2k1k2nmk1k2由（3）得：x2tF0k22sintsinnt2mk1k2nn1）2）3）2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，F0和，且t=0时，xx0，xv0，求系优秀文档合用标准文案统响应。考证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。kF0costmc图E2.3解：xte0tCcosdtDsindtAcostAF012，tg12sk221s21s2sx0x0CAcosCx0Acosxt0e0tCcosdtDsindte0tCdsindtDdcosdtAsintx0v00CDdAsinDv00CAsindd求出C，D后，代入上边第一个方程即可得。2.7由一对带独爱质量的等速反向旋转齿轮组成的振动机械安装在弹簧和阻尼器组成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为时，独爱质量惯性力在垂直方向大小为me2sint。已知独爱重W=125.5N，独爱距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X00.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在300rmin运起色会器的垂直振幅。优秀文档合用标准文案me2sint1me21me222图E2.7解：mes2sint，tg12sxt221s2M12s2ss=1时共振，振幅为：Xme1（1）11.07cmM2远离共振点时，振幅为：Xme0.32cm（2）2Mme由（2）MX2me1me1X20.15由（1）meX22X12X1M2X1300rmin，0k，sM故：01Xmes23.8103mM1s222s22.7求图T2-7中系统的固有频次，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量忽优秀文档合用标准文案略不计。k1k1k3k2k2k3无质量k4k4mm图T2-7答案图T2-7解：k1k2k1和k2为串联，等效刚度为：k12。（由于总变形为乞降）k1k2k12和k3为并联（由于k12的变形等于k3的变形），则：k123k12k1k2k3k1k2k1k3k2k3k3k2k1k2k1k123和k4为串联（由于总变形为乞降），故：k123k4k1k2k4k1k3k4k2k3k4kek4k1k2k1k3k2k3k1k4k2k4k123故：kenm2.9如图T2-9所示，一质量m连结在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求以下状况系统作垂直振动的固有频次：（1）振动过程中杆被拘束保持水平地址；优秀文档合用标准文案2）杆能够在铅锤平面内微幅转动；3）比较上述两种状况中哪一种的固有频次较高，并说明原由。x1xl1l2x2lxk1k2F12mgl1l2ml1l2mgl1F2mgl1l2图T2-9答案图T2-9解：1）保持水平地址：2）微幅转动：k1k2nmxx1xF1x2x1l1k1l1l2l2mgl1l1l2mgl1l2k1l1l2l1l2k2l1l2k1l1l2mgl1l1l1k1l2k2mgl2k1l2l1l2k1k2l2k2l1l2l12k1l1l2k2mgl1l22k1k2l12k1l22k2mgl1l22k1k2故：kel1l22k1k2l12k1l22k2kenm2.10求图T2-10所示系统的固有频次，刚性杆的质量忽略不计。优秀文档合用标准文案F1k1amgk2lx1xAm图T2-10答案图T2-10解：m的地址：xx2mgxAxAk2mglF1a，F1mgl，x1mglaak1x1a，xAax1mgl2xAlla2k1xx2mgmgl21l2xAa2k1k2mgk2a2k1a2k1l2k2mga2k1k2kea2k1k2，nkea2k1l2k2m2.11图T2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为k。2（1）求倒摆作微幅振动时的固有频次；（2）摆球质量m为0.9kg时，测得频次fn为1.5Hz，m为1.8kg时，测得频次为0.75Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不牢固平衡状态？优秀文档合用标准文案m零平衡地址k/2k/2lalcos零平衡地址图T2-1答案图T2-11(1)答案图T2-11(2)解：（1）T1I21ml2222U211ka2mgl1cos221ka221mgl21ka2mgl2222利用TmaxUmax，maxnmaxka2mglka2ggka2nml2ml2ll1mgl----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2）若取下边为平衡地址，求解以下：T1I21ml2222U211ka2mglcos1ka22mgl12sin222221ka22mgl1mgl21ka2mgl2mgl222d，22220dtTU0mlkamglml2ka2mgl0ka2mglml22.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：（1）若将支承迟缓撤去，质量块将着落多少距离？优秀文档合用标准文案（2）若将支承忽然撤去，质量块又将着落多少距离？k1k2k3mk4图T2-17解：k23k2k32kk123k1k232kk1k233k1234k123k41kk123k42（1）mgk1234x02mg，x0k4mg（2）xtx0cosnt，xmax2x0k2.19如图T2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的转动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳索的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频次。IxR2R1rk2m1m2k1图T2-19解：系统动能为：优秀文档合用标准文案1m1x21I21m2x211m2r22Txx22R2222r1I322m1R222m2xmex2系统动能为：2V1k2x21k1R1x22R221k2k1R12x22R2kex2依据：TmaxVmax，xmaxnxmaxR122k2k1R22nI3m2m1R2222.20如图T2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频次。m2k2k3lbam1k1图T2-20解：系统动能为：优秀文档合用标准文案T1I021m1a1m2l222221I0m1a2m2l22系统动能为：2V1k1a21k2l21k3b22221k1a2k2l2k3b222依据：TmaxVmax，maxnmax2k1a2k2l2k3b2nI0m1a2m2l22.24一长度为l、质量为m的平均刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频次的表达式。kcOalkacl图T2-24答案图T2-24解：利用动量矩方程，有：Jkaacll，J1ml23ml23cl23ka203ka2nml23cl22n，1ml2c2mn2m3ka22amk33ml2l3优秀文档合用标准文案2.25图T2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频次。cmacaakblbkbmll图T2-25答案图T2-25解：mllcaakbb0ml2ca2kb20nkb2bkml2lmca22n，ca2ca2mml222mlbk2mlnn12bkc2a4m1222a4dlm12b2k2ml24kmlbc4m2l由1c2blmka22.26图T2-26所示的系统中，m=1kg，k=144N/m，c=48N?s/m，l1=l=0.49m，优秀文档合用标准文案l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频次n及阻尼。mmml1l1l2Ol3kkl2cl3c图T2-26答案图T2-25解：受力如答案图T2-26。对O点取力矩平衡，有：ml1l1cl3l3kl2l202220ml1cl3kl2m110ck16421k36n4mn6rad/s1c2m116m2n0.25n4.7两质量均为m的质点系于拥有张力F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，成立频次方程。求系统的固有频次和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确立主坐标和简正坐标。FFFFF2y2mm1y13lll图E4.7答案图E4.7(1)优秀文档合用标准文案解：sin11y1，sin22y2y1，sin33y2lll依据m1和m2的自由体动力平衡关系，有：m1y1Fsin1m2y2Fsin2故：sinFsin23Fy1Fy2y1Fy22y1lllFy2y1Fy2Fy12y2lllm10y1F21y100m2y2l12y2当m1=m2时，令：y1Y1sint，y2Y22mlsint，F代入矩阵方程，有：21Y1012Y22122121,211301,32FF，21ml1ml2依据2Y1Y20得：3Fml2mlY111，Y111Y2121Y2222-1.01.01.01.0第一振型第二振型答案图E4.7(2)优秀文档合用标准文案4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对于模态xi和xj及自然数n证明：xTiMK1Mxj0，xiTKM1Kxj0解：Kxj2jMxj，等号两边左乘KM1KM1Kxj2jKM1Mxj2jKxj，等号两边左乘xTixTiKM1Kxj2jxiTKxj0，当ij时重复两次：KM1Kxjj2Kxj，等号两边再左乘KM1KM1KM1Kxjj2KM1Kxj，等号两边左乘xiTTKM122TKM1Kxj0，当ij时xiKxjjxi重复n次获得：xiTKM1nKxj0Kxj2jMxj，等号两边左乘MK1MK1Kxj2jMK1Mxj故：Mxjj2MK1Mxj，等号两边左乘xiTxiTMxj2jxiTMK1Mxj0，当ij时即xiTMxj0，当ij时重复运算：MK1Mxjj2MK12MxjTMK12TMK120，当ij时xiMxjjxiMxj重复n次。2.10图T4-11所示的平均刚性杆质量为m1，求系统的频次方程。优秀文档合用标准文案k1m1bk2am2图T4-11解：先求刚度矩阵。k1b令1，x0，得：m1k11k1bbk2aak1b2k2a2k2ak11k21k2ak21m2x答案图T4-11(1)令0，x1，得：m1k12k2ak21k12k22k2m2k22答案图T4-11(2)答则刚度矩阵为：Kk1b2k2a2k2ak2ak2再求质量矩阵。令1，x0，得：m1m111m1a2，m210m113令0，x1，得：m2答案图T4-11(3)m21m120，m22m21m1a20则质量矩阵为：M30m2故频次方程为：K2M05.1质量m、长l、抗弯刚度EI的平均悬臂梁基频为31/2，在梁自由端放置3.515(EI/ml)优秀文档合用标准文案会集质量m1。用邓克利法计算横向振动的基频。解：~EI3，~3EI13.5152m1l3ml111l3mm12~2~2EI12.355311216.088EIl3m12.355m1l5.2不计质量的梁上有三个会集质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基频。mm3ml/4l/4l/4l/4图E5.2解：当系统中三个会集质量分别独自存在时：9l/4316l/439l/43f11，f22，f3312EI12EI12EI1111mf11mf223mf3313ml32~2~2~2192EI112313.843EIll5.3在图E5.3所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。优秀文档合用标准文案k2kkm2mm图E5.3解：近似采用假定模态为：11.52.5T系统的质量阵和刚度阵分别为：3k2k0Mdiagm2mm，K2k3kk0kk由瑞利商公式：RTK2.5kTM11.75m210.461km5.9在图E5.9所示系统中，已知k和J。用传达矩阵法计算系统的固有频次和模态。JJ/212kk(2)(1)图E5.9解：两头界线条件为：固定端：X0RRT00R，自由端：X2R1T21。0优秀文档合用标准文案1101RRkkX1S1X02J12J112Jkk11122JRRkkkk2X2S2X12J12J2J2J12J12J21k2k2kk2k由自由端界线条件得频次方程：2J2J2J1102k2kk10.765k，21.848kJJ代入各单元状态变量的第一元素，即：12获得模态：1k22Jkk2(1)11.414T(2)11.414T，5.10在图E5.10所示系统中，已知GIpi(i=1,2)，li(i=1,2)和Ji(i=1,2)。用传达矩阵法计算系统的固有频次和模态。J1J2GIp1GIp2l1l2图E5.10解：L1R两自由端的界线条件为：X1L，X2RT10T21。0优秀文档合用标准文案X1RS1PX1L10112J1102J1X1.5RX1.5LS1FX1R11112J1k1k12J1012J11112J112J12J1RRk2k1k1k2X2S2X1.52J212J24J1J24J1J22J12J22J1k2k1k2此中：k1GIp1，k2GIp2。l1l2由自由端界线条件得频次方程：4J1J24J1J22J12J2GIp1Ip2J1J200，21J1J2Ip1l2Ip2l1k1k2代入各单元状态变量的第一元素，即：1211J12J12k1k2获得模态：T(1)11T，(2)1J1J25.11在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计，m、l和EI已知。用传达矩阵法计算系统的固有频次。(0)EI(1)ml图E5.11解：引入无量纲量：yyMlFSl2ml32，M，FSEI，lEIEI优秀文档合用标准文案定义无量纲的状态变量：XyMFST界线条件：左端固结：X0R00MFSTy00T，右端自由：X1R依据传达矩阵法，有：X1RS1PS1FX0R此中点传达矩阵和场传达矩阵分别为：10001111260100S1P，S1F01110010200100110001得：MFS01M11FS026利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：11111110326313EIlml5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计，m、l和EI已知，支承弹簧刚度系数k=6EI/l3。用传达矩阵法计算系统的固有频次。(0)(1)(0.5)mEIkll图E5.12解：优秀文档合用标准文案引入无量纲量：yMlFSl2ml32y，MEI，FSEI，EIl定义无量纲的状态变量：XyMTFS界线条件：左端铰支：X0R00T，右端自由：X1Ry00TFS依据传达矩阵法，有：1111126FS6X0L.5S1FX0R0111X0R1FS220011FS0001FS11T在支承弹簧处：RX0.56FS2FSFSFS111126RR0111R2X1S1X0.5001X0.51111262FSFS0FSFS2注意到上式中为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：FSl3yl6EI所以有：2FSkyl6EIFSFS6EIl3l2FSl2FS6EIFS3FS24优秀文档合用标准文案13EI2lml6.3图E6.3所示阶梯杆系统中已知m，ρ，S，E和k。求纵向振动的频次方程。mρkES图E6.3解：模态函数的一般形式为：xC1sinxC2cosxaa题设界线条件为：u0,t0，ESul,tm2ul,tkul,txt2界线条件可化作：00，ESlm2lkl导出C2=0及频次方程：tanlES，此中aEaam2k6.4长为l、密度为ρ、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连结抗扭刚度为k的弹簧，如图E6.4所示。求系统扭振的频次方程。G,Ipkl图E6.4解：模态函数的一般形式为：xC1sinxC2cosxaa优秀文档合用标准文案题设界线条件为：GIp0,tJ20,t，GIpl,tkl,txt2x界线条件可化作：GIp0J20，GIplkl以上两式联立消去C1和C2得频次方程：lGIpakJ2GtanG2Ip2a2kJ，此中aa6.5长为l、单位长度质量为ρl的弦左端固定，右端连结在一质量弹簧系统的物块上，如图E6.5所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k，静平衡地址在y=0处。弦线微幅振动，弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频次方程。yl,ρlmxk图E6.5解：模态函数的一般形式为：xC1sinxC2cosxaa题设界线条件为：y0,t0，Fyl,tm2yl,tkyl,txt2界线条件可化作：00，Flm2lkl导出C2=0及频次方程：tanlFk，此中aFaam2l优秀文档合用标准文案优秀文档