数字信号处理(方勇)第二章习题答案

数字信号处理学习拓展2－1试求如下序列的傅里叶变换：（1）x(n)(nn)1011（2）x(n)(n1)(n)(n1)222（3）x(n)anu(n2),0a13（4）x(n)u(n3)u(n4)41n（5）x(n)(n3k)54k0cosn3,1n4（6）x(n)60,其他jjnjn解：（1）X(e)(nn)ee010n11（2）X(ej)x(n)ejnej1ej1jsin2222na2e2j（3）X(ej)anu(n2)ejnanejn，0a131aejnn2333（4）X(ej)u(n3)u(n4)ejnejnejnejn4nn3n0n17sin1ej41ej31ej72ej=ej31ej1ej1ej1sin21n13k（5）X(ej)(n3k)ejnej3k544nk0k013k1ej413k01ej4441jj（6）X(ej)cosnejne3e3ejn632n4n42－1数字信号处理学习拓展1j4()9j()n1j4()9j()ne3e3e3e322n0n0j()9j()91j4()1e31j4()1e3e3e32j()2j()1e31e32－2设信号x(n){1,2,3,2,1}，它的傅里叶变换为X(ej)，试计算2(1)X(ej0)（２）X(ej)d（３）X(ej)d。n解：（１）X(ej0)x(n)1n1（２）x(0)X(ej)d3，X(ej)d622n2（３）X(ej)d2x(n)238n22－3已知1,||X(ej)00,||0求X(ej)的逆傅里叶变换x(n)。1sinn解：x(n)0ejnd02n02－4设X(ej)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。（1）x(nn)（2）x*(n)0（3）x(n)（4）nx(n)解：(1)DTFT[x(nn)]x(nn)ejn，令n'nn,nn'n,则：0000nj(nn)jnjDTFT[x(nn)]x(n)e0e0X(e)0n(2)DTFTx*(n)x*(n)ejnx(n)ejnX(ej)nn2－2数字信号处理学习拓展(3)DTFTx(n)x(n)ejn，令n'n，则：nDTFT(x)n(x')njn'e(Xje)n'X(ej)(4)由X(ej)x(n)ejn，得jnx(n)ejnjFTnx(n)nnX(ej)所以DTFTnx(n)j2－5已知序列x(n)2nu(n)，求其傅里叶变换DTFT。011解：X(ej)2nu(n)ejn2nejn(ej)n21nnn01ej22－6设x(n)R(n)，试求x(n)的共轭对称序列x(n)和共轭反对称序列x(n)；并分别4eo用图表示。1解：xnRnRn,e2441xnRnRn0244图形如下题2-6图所示：题2-6图x(n)与x(n)序列图eo2－7设系统的单位脉冲响应h(n)2anu(n)，0a1，输入序列为x(n)2(n)(n1)完成下面各题：2－3数字信号处理学习拓展（1）求出系统输出序列y(n)；（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：（1）y(n)h(n)x(n)2anu(n)2(n)(n1)2anu(n)2an1u(n1)（2）X(ej)2(n)(n1)ejn2ejn2H(ej)2anu(n)ejn2anejn1aejnn02(2ej)Y(ej)H(ej)X(ej)1aej2－8若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：H(ej)1cosR求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。11解：H(ej)1cos1ejejR22DTFTh(n)h(n)ejneen1,n12h(n)1,n0e1,n120,n00,n0,n1h(n)h(n),n01,n0e2h(n),n01,n1eH(ej)h(n)ejn1ej2ej/2cos2n2－9试用定义计算周期为5，且一个周期内x(n){2,1,3,0,4}的序列x(n)的DFS。4j2knj2kj4kj8k解：X(k)x(n)e5＝2e53e54e5n02－4数字信号处理学习拓展2－10求出周期序列x(n){0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,}的DFS。解：由题知x(n)周期为433j2knjknjkjkj3kX(k)x(n)e4x(n)e2e22e3e2n0n0kj3kjkjkjk2(1)2e2e(e2e2)2－11已知周期为N的信号x(n)，其DFS为X(k)，DFS的调制特性DFS[Wnlx(n)]NX(kl)。N1nlnlj2kn证明：DFS[Wx(n)]Wx(n)eNNNn0N1j2knj2nlx(n)eNeNn0N1j2(kl)nx(n)eNn0X(kl)命题得证。2－12设1,n0,1x(n)0,其他将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列~x(n)，画出x(n)和~x(n)的波形，求~出~x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。23jk1jknjk解：x(k)DFSx(n)x(n)e4e21e2n0n0jkjkjkjke4e4e42coske44x(k)以4为周期。22X(ej)DTFTx(n)x(k)(k)x(k)(k)4422kk2－5数字信号处理学习拓展jkcos(k)e4(k)42k~x(n)和x(n)波形图如下题2-12图所示：~题2-12图x(n)和x(n)波形图2－13如果x(n)是一个周期为N的周期序列，其DFS为X(k)，将x(n)看作周期为2N的1周期序列，其DFS为X(k)。试利用X(k)确定X(k)。212解：按照题意，可以写出：2N1~N1~jknX(k)=x(n)Wkn=x(n)eN1Nn0n0N1X(k)x(n)Wkn22Nn02k2N12kN1~jn~jnx(n)eN2+x(n)eN2n0nN令nnN，则2kN12kN1jn~j(n'N)X(k)x(n)eN2+x(n'N)eN22n0n'02kN1~jn(1ejkn)x(n)eN2n0k(1ejkn)X12所以2－6数字信号处理学习拓展k2X,kevenX(k)1220，kodd2－14根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号x(n)。ej（1）X(ej)111eje2j66k（2）X(ej)(1)k()2kej6ej解：（1）X(ej)11(ej3)(ej2)1eje2j666655111ej1ej32611因此x(n)[()n()n]u(n)532（2）因为X(ej)含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为x(n)，其周期为N，DFS为X(k)a，则有：kN121jknx(n)IDFS[X(k)]X(k)eNNk0x(n)的DTFTX(ej)，有22X(ej)X(k)(k)NNk即21N1jk()n22aeNa(k)NkNkNk0k2N1jk()n2aeN2a(k)kkNk0k而已知kX(ej)(1)k()2k2－7数字信号处理学习拓展可见N4,2a(1)kk(1)k即ak2k13jkn13(1)jkn所以x(n)ae2e24k42k0k031jnjn[1e2ejne2]，n0，1，2，381得x(n)是以{0,0,,0}为周期的周期函数。22－15计算以下诸序列的N点DFT，在变换区间0nN1内，序列定义为（1）x(n)1（2）x(n)R(n)，0mNm2jmn（3）x(n)eN,0mN（4）x(n)(nn),其中0nN00（5）x(n)u(n)u(nn)，其中0nN0022jkNN1N1jkn1eNN,k0解：（1）X(k)1WkneNN2jk0,k1,2,N1n0n01eNsinmkkmm11Wjkm1N（2）X(k)WknNeNN1Wkn0NsinkN2jmkN22N1jmnN1jmkn1eN（3）X(k)eNWkneNN2jmkn0n01eNN,km，0kN10,kmn（4）由DFT的定义直接计算序列的DFT，对Z变换采样。由于X(z)z0，对X(z)在zWk，k0,1,2N1上采样，求得:NnkX(k)W0k0,1,2,,N1N2－8数字信号处理学习拓展n1knkn2kn201W0W0W0nkNkn12NN（5）X(k)WW0N1WkNWk2Wk2n0NNN2kn10jsinnkN=eN20,k0,1,2,,N1sinkN2jmn2－16已知x(n)eN,0mN，0nN，求其N点DFT。22N1jmnN1j(mk)nN,km解:X(k)eNWkneN，0kN1N0,kmn0n02－17设X(k)12(k),0k9，求其原序列x(n)=IDFT[X(k)]。N1解：DFT[(n)]=1,DFT[1]=1WknN(k)Nn01x(n)(n)52－18已知下列X(k)，0kN1，求x(n)IDFT[X(k)]，其中Nej,km2NX(k)ej,kNm20,其他0mN。221N11NjmnNjNmn解：x(n)IDFTX(k)X(k)Wknx(n)ejeNejeNNNN22k0221jmnjmn2eNeNcosmn2N2－19已知序列x(n)的4点离散傅里叶变换为X(k){2j,3,2j,1}，求其复共轭序列x*(n)的离散傅里叶变换X(k)。1解：X(k)X*(Nk){(2j)*,1,(2j)*,3}{2j,1,2j,3}12－20证明DFT的对称定理，即假设X(k)DFT[x(n)]2－9数字信号处理学习拓展证明：DFT[X(n)]Nx(Nk)N1证明：X(k)xnWknNn0N1N1N1DFTX(n)X(n)Wknx(m)WmnWknNNNn0n0m0N1N1x(m)WnmkNm0n0N1N,mNkWnmkN0,mNk,0mN1n0DFTX(n)Nx(Nk),k0,1,2...N12－21如果X(k)DFT[x(n)]，证明DFT的初值定理1N1x(0)X(k)Nk0证明：由IDFT定义式1N1x(n)X(k)Wkn,n0,1,2..N1NNk01N1知x(0)X(k)Nk02－22证明离散帕斯维尔定理。若X(k)DFT[x(n)]，则N11N1x(n)2X(k)2Nn0k01N11N1证明：X(k)2X(k)X(k)NNk0k01N1N1X(k)x(n)WknNNk0n0N11N1x(n)X(k)WknNNn0k02－10数字信号处理学习拓展N1N1x(n)x(n)x(n)2n0n02－23令X(k)表示N点序列x(n)的N点离散傅里叶变换。X(k)本身也是个N点序列。如果计算X(k)的离散傅里叶变换得一序列x(n)，试用x(n)求x(n)。11解：按照题意，可以写成N1N1N1x(n)X(k)Wknx(n')Wkn'Wkn1NNNk0k0n'0N1N1x(n')Wknn'Nn'0k0因为N1N,nn'NWknn'N0,其他k0所以N1x(n)Nx(nNl)NxnRn1NNn'02－24一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换X(k)，如题2-24图所示。X(k)nx,n为偶数令y(n)2k0，n为奇数01234567题2-24图求y(n)的16点DFT，并画出其图形。解：按照题意，当n为奇数时y(n)为零，故可写出1514nY(k)y(n)WnkxWnk16216m0m0,2,7x(l)Wlk,0k158l02－11数字信号处理学习拓展7x(l)Wlk,0k7而X(k)8l00，其他77x(l)Wlk,0k7x(l)Wlk,0k158所以Y(k)8l0l070，其他x(l)Wlk,8k158l0X(k),0k7X(k),0k77x(l)Wl(k8),8k15X(k8),8k158l0X(k),0k7即Y(k)X(k8)，8k150，其他所以Y(k)的图形如题2-26（a）图所示：k0123456789101112131415题2-26（a）图2－25已知序列x(n)4(n)3(n1)2(n2)(n3)X(k)是x(n)的6点DFT。（1）若有限长序列y(n)的6点DFT是Y(k)W4kX(k),求y(n)。6（2）若有限长序列q(n)的3点DFT满足，Q(k)X(2k)，k0,1,2，求q(n)。解：（1）序列y(n)的DFT由x(n)的DFT与复指数W4k相乘组成，这相当于是将x(n)圆6周移位了4点：y(n)x((n4))，所以：6y(n)4(n4)3(n5)2(n)(n1)（2）序列q(n)长度为3，DFT变换为Q(k)X(2k)，k0，1，2，其中X(k)是x(n)的6点DFT。由于系数X(k)是对X(z)在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以2－12数字信号处理学习拓展Q(k)X(2k)，k0，1，2，相当于是对X(z)在单位圆上等间隔采样3点，所以q(n)x(n3r)R(n)3r在0n3区间外x(n)0,因而q(0)x(0)x(3)5;q(1)x(1)3;q(2)x(2)2就得到q(n)5(n)3(n1)2(n2)。2－26在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数w(n)相乘。设x(n)是一个N点的序列，w(n)是汉明窗：112Nw(n)cosn22N2试用x(n)的DFT求加窗序列x(n)w(n)的DFT。解：首先用复指数表示汉明窗2N2N11jn1jnw(n)eN2eN22442211jn1jnejeNejeN2442211jn1jneNeN244因此2211jn1jnx(n)w(n)x(n)eNx(n)eNx(n)244如果DFT[x(n)]X(k)则DFT[ej2nNx(n)]X((k1))NDFT[ej2nNx(n)]X((k1))N所以加窗序列x(n)w(n)的DFT为111DFT[x(n)w(n)]X(k)X((k1))X((k1))24N4N2－27已知x(n){0,1,1,2},x(n){0,1},求y(n)x(n)*x(n)和y(n)x(n)121121x(n)；欲使两卷积相同，则循环卷积的长度L的最小值应为多少？22－13数字信号处理学习拓展解：y(n){0,0,1,1,2},y(n){2,0,1,1}，L=4+2-1=512－28已知序列x(n)(n)2(n2)+(n3)，若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷积，求y(n)及其4点的DFTY(k)。3解：x(n)的4点DFT：X(k)=x(n)Wnk12W2kW3k444n=0y(n)x(n)x(n)Y(k)X2(k)=(12W2kWk3)214W2k2W3k4W4k45Wk6Wk444444454Wk5W2k2W3k444y(n)5(n)4n(+1)5n(2)n2(2－29x(n)和h(n)都是长度为6点的有限长序列，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的8点DFT。若组成乘积Y(k)X(k)H(k)，对Y(k)作8点IDFT得到序列y(n)，问y(n)在哪些点上等于以下线性卷积：z(n)x(k)h(nk)k解：x(n)和h(n)都是长度为6点，则z(n)x(n)h(n)的长度为11点，而y(n)为x(n)与h(n)的8点循环卷积。根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。2－30序列x(n)(n)2(n2)(n3)（1）求x(n)的4点DFT；（2）若y(n)是x(n)与它本身的4点循环卷积，求y(n)及其4点DFTY(k)；（3）h(n)(n)(n1)2(n3)，求x(n)与h(n)的4点循环卷积。解：由题可知：x(n){1,0,2,1}2－14数字信号处理学习拓展3j2kn（1）X(k)x(n)e4n0jkj3k12ee2kj3k12(1)e2k3(1)2当k0,2,4,k11(1)2j当k1,3,5,1(1)k1j当k1,3,5,2（2）y(n)x(n)x(n)10211120得到y(0)51040取和10210112y(1)40022取和10212011y(2)52021取和10211201y(3)21001取和即y(n){5,4,5,2}3j2knY(k)y(n)e4n0jkjkj3k54e25e2e2k55(1)k2ejk4(1)kcos()22106(1)k当k0,2,4,22j(1)k1当k1,3,5,2k1当2j(1)2k1,3,5,（3）由题知h(n){1,1,0,2}2－15数字信号处理学习拓展z(n)x(n)h(n)10211201z(0)21001取和10211120z(1)51040取和10210112z(2)40022取和10212011z(3)52021取和得z(n){2,5,4,5}2－31序列x(n)为x(n)2(n)(n1)(n3)计算x(n)的5点DFT，然后对得到的序列求平方：Y(k)X2(k)求Y(k)的5点DFT反变换y(n)。解：序列y(n)的5点DFT等于乘积Y(k)X(k)X(k)，所以y(n)是x(n)与本身5点圆周卷积的结果：4y(n)x(k)x((nk))R(n)5k05一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积y(n)x(n)x(n)，然后将结果叠加：y(n)y(n5k)R(n)k5x(n)与本身的线性卷积的结果为2－16数字信号处理学习拓展y(n)4,4,1,4,2,0,1用表格法计算圆周卷积，就会得到题2-31表n01234567y(n)44142010y(n4)01000000z(n)45142———所以y(n)4(n)5(n1)(n2)4(n3)2(n4)2－32考虑两个序列：x(n)4(n)3(n1)3(n2)2(n3)h(n)(n)(n1)(n2)(n3)若组成Y(k)X(k)H(k)，其中X(k)、H(k)分别是x(n)和h(n)的5点DFT，对Y(k)作DFT反变换得到序列y(n)，求序列y(n)。解：因为Y(k)是两个5点DFTX(k)和H(k)的乘积，所以y(n)是x(n)和h(n)的5点圆周卷积。可以用图解法计算圆周卷积y(n)，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将DFT相乘再对乘积作DFT反变换的方法。本题中，h(n)是一个简单序列，我们可以用分析法。x(n)和h(n)的5点圆周卷积是：4y(n)x(n)h(n)h(k)x((nk))，n0,1,2,3,45k0因为h(n)1，n0,1,2,3，且h(4)0，5点圆周卷积是：3y(n)x(n)h(n)x((nk))，n0,1,2,3,45k0圆周卷积等于圆周移位序列x((nk))的值从k0到k3求和的结果，因为x(n)5是2－17数字信号处理学习拓展x(n)1,3,3,2,0（x(n)可以看作是长度为5的序列）x((nk))可以通过反向读取序列得到，从5n0开始：x((n))1,0,2,3,35y(0)是x((n))的前5个值相加的结果，得到y(0)6。将此序列圆周右移1后，5就有x((1n))3,1,0,2,35前4个值相加后得到y(1)6。继续求解，求得：y(2)7,y(3)9,y(4)8。2－33两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)0,n0,n8;y(n)0,n0,n20。对每个序列作20点DFT，得X(k)和Y(k)，如果F(k)X(k)Y(k)，k0，1，，19。f(n)IDFT[F(k)]，n0，1，，19。试问在哪些点上f(n)x(n)*y(n)？为什么？解：设f(n)x(n)y(n)，而f(n)IDFTFk()x(n)y(n)，f(n)的长度为27，llf(n)的长度为20，且f(n)f(n20m）R(n)l20m当上述周期延拓序列中无混叠的点上有：f(n)f(l)x(n)y(n)，7n19l2－34两个有限长序列x(n)和x(n)，在区间0,99以外的值为0，两个序列圆周卷积后12得到的新序列y(n)为y(n)x(n)x(n)12其中N100。若x(n)仅在10n39时有非零值，确定n为哪些值时，y(n)一1定等于x(n)和x(n)的线性卷积？122－18数字信号处理学习拓展99解：由于y(n)x(k)x((nk))，y(n)等于x(n)和x(n)的线性卷积的点n是在2110012k0区间0,99内，圆周移位x((nk))等于线性移位x(nk)的那些点。由于x(n)110011仅仅在区间10,39内有非零值，我们可以看到杂区间39,99内x((nk))1100x(nk)。所以当39n99时线性卷积与圆周卷积相等。12－35求证循环卷积定理。设有限长序列x(n)和x(n)的长度分别为N和N，取N1212max[N,N]，且X(k)和X(k)分别是两个序列的N点DFT。1212（1）若X(k)X(k)X(k)，求证x(n)IDFT[X(K)]x(n)x(n)；12121（2）若x(n)x(n)x(n)，求证：X(k)DFT[x(n)]X(k)X(k)。12N12证明：（1）N点DFT等于X(k)X(k)X(k)的序列为:121N1x(n)X(k)X(k)Wnk,n0,1,,N1N12Nk0N1需要用x(n)和x(n)来表示x(n)，由于X(k)x(l)Wlk，将X(k)代入到1211N1l0x(n)的表达式中，有：1N1N1x(n)X(k)x(n)WlkWnk，n0,1,,N1N21NNk0l0交换求和顺序，则N11N1x(n)x(n)[X(k)Wk(nl)]，n0,1,,N11N2Nl0k0括号内的项等于x((nl))，有：2NN1x(n)x(n)x((nl))，n0,1,,N112Nl0N1~~=[x(k)x(nk)]R(n)=x(n)x(n)12N12k02－19数字信号处理学习拓展N1（2）由定义X(k)x(n)x(n)Wnk，k0,1,,N1。若想用X(k)和X(k)12N12n01N1来表示X(k)，将下面x(n)X(l)Wnl的表达式代入上式得：2N2Nl01N1N1X(k)x(n)WnkX(l)Wnl，k0,1,,N1N1N2Nn0l0交换求和顺序，上式变成：1N1N1X(k)X(l)x(n)WnklN21Nl0n0第二个求和就是X((kl))，有：1N1N1X(k)X(l)X((kl))R(k)N21NNl0所以，X(k)是X(k)和X(k)圆周卷积的1N倍：121X(k)X(k)X(k)N12问题得证。2－36若x(n)和x(n)都是长为N点的序列，X(k)和X(k)分别是两个序列的N点1212N11N1DFT。证明：x(n)x(n)X(k)X(k)12N12n0k0证明：令X(k)和X(k)分别是x(n)和x(n)的N点DFT，X(k)是x(n)x(n)x(n)的121212N点DFT，则x(n)的DFT是X(Nk)，k0,1,,N1，22N1N1X(0)x(n)x(n)x(n)12n0n0由性质有1N1X(k)X(l)X*((N(kl)))，k0,1,,N1N12Nl0让k0计算X(k)，就可以得到结论：2－20数字信号处理学习拓展N11N11N1x(n)x(n)X(l)X(l)X(k)X(k)12N12N12n0l0k02－37已知实序列x(n)的８点DFT前５个值为0.25,0.125j0.3,0,0.125j0.05,0．求X(k)其余三点的值。解：x(n)为实序列，满足共轭对称性，X*(NK)X(k)得其余三点：0.125j0.05,00.125j0.32－38已知x(n)、y(n)是长度为4的实序列，f(n)x(n)jy(n)，F(k)DFTf(n)1,14j,14j,1，求序列x(n)，y(n)。解：由F(k)1,14j,14j,1，得：F(Nk)1,1,14j,14j，F(Nk)1,1,14j,14j1所以X(k)DFTx(n)F(k)F(k)F(Nk)1,12j,1,12jep21jY(k)DFTjy(n)F(k)F(k)F(Nk)0,2j,4j,2jop21Y(k)F(k)0,2,4,2jop由上知X(k)1,12j,1,12j222213jkn1jnj2nj3nx(n)X(k)e4ej012je4e412je444k01x(0)11j211j2141x(1)1(12j)j1(12j)(j)141x(2)1(12j)(1)1(12j)(1)041x(3)1(12j)(j)(1)(12j)j14Y(k)0,2,4,22221jnj2nj3ny(n)2e44e42e442－21数字信号处理学习拓展1y(0)24204231jj1y(1)2e44ej2e22j42j14411y(2)2ej4ej22ej3242244341jj1y(3)2e24ej32e22j42j144综上可得：x(n)1,1,0,1，x(n)1,1,0,12－39已知序列x(n)4(n)3(n1)2(n2)(n3)X(k)是x(n)的6点DFT，若有限长序列(n)的6点DFT等于X(k)的实部，即W(k)ReX(k)，求(n)。1解：X(k)的实部是ReX(k)X(k)X*(k)，为了计算ReX(k)的DFT反变换，2我们需要计算X*(k)的DFT反变换。由于N1N1*nknknkX(k)xnWxnWWNNNn0n0N1N1x(n)WNnkx((Nn))NNn0n0X*(k)是x*((Nn))的DFT，所以ReX(k)的DFT反变换是：N1(n)x(n)x*((Nn))2NN6，所以(n)为：33(n)4,,1,1,1,222－40如何用一个N点DFT变换计算两个实序列x(n)和x(n)的N点DFT变换？12解：两个实序列的DFT可以由一个N点DFT求得：首先，我们组成一个N点复序列x(n)x(n)jx(n)12计算x(n)的N点DFT后，利用DFT的共轭对称性质从X(k)中提取出X(k)和12－22数字信号处理学习拓展X(k)。实序列的DFT有共轭对称性：2X(k)X((Nk))N虚序列的DFT有共轭反对称性：X(k)X((Nk))N由于X(k)X(k)X(k)12X(k)是实序列的DFT：11X(k)X(k)X((Nk))12N这是X(k)的共轭对称部分。同样，X(k)是虚序列的DFT：21X(k)X(k)X((Nk))22N这是X(k)的共轭反对称性。22－41一个有限长序列x(n)1,1,1,1,1,1，设其Z变换是X(z)。如果在zexpjk，k4k0，1，2，3点上对X(z)采样，就得到一组DFT系数X(k)。求4点DFT等于这些采样值的序列y(n)。解：对X(z)在单位圆上等间隔采样4点将造成x(n)的混叠：y(n)x(n4k)R(n)4k利用表格法计算上式中的求和，注意只有序列x(n)和x(n4)在0n3时有非零值，所以有题2-41表n01234567x(n)11111100x(n4)11000000y(n)2211————y(n)2(n)2(n1)(n2)(n3)2－23数字信号处理学习拓展2－42设x(n)12j,3,12j,1，试画出时域基2FFT流图，并根据流图计算每个碟形运算的结果，最后写出X(k)DFT[x(n)]的序列值。解：2FFT流图如题2-42图所示：12j26x(0)X(0)12j4j6jx(2)X(1)W04342x(1)W0X(2)4122jx(3)W1X(3)W044题2-42图时域基2FFT流图x(0)W0x(2)22W04644x(0)W0x(2)4j2W04244x(1)W0x(3)44jW126j44x(1)W0x(3)24jW122j44X(k){6,6j,2,2j}k0,1,2,32－43已知序列x(n)={0,1,0,1,1,1,0,0}，用FFT蝶形运算方法计算其8点的DFT。画出计算流图，标出各节点数值。解：X(0)x(0)W0x(4)138X(1)x(0)W0x(4)138X(0)x(2)W0x(6)048X(1)x(2)W0x(6)048X(0)x(1)W0x(5)258X(1)x(1)W0x(5)058X(0)x(3)W0x(7)168X(1)x(3)W0x(7)168NN用点DFT计算点的DFT42X(0)X(0)W0X(0)113842－24数字信号处理学习拓展X(1)X(1)W2X(1)11384X(2)X(0)W0X(1)11384X(3)X(1)W2X(1)11384X(0)X(0)W0X(0)32586X(1)X(1)W2X(1)j2586X(2)X(0)W0X(0)12586X(3)X(1)W2X(1)j2586计算8点的DFTX(0)X(0)W0X(0)418222X(1)X(1)W1X(1)1j18222X(2)X(2)W2X(2)1j18222X(3)X(3)W3X(3)1j18222X(4)X(4)W0X(4)218222X(5)X(5)W1X(5)1j18222X(6)X(5)W1X(6)1j18222X(7)X(7)W3X(7)1j18222所以其计算流图如题2-43图所示：2－25数字信号处理学习拓展题2-43图FFT蝶形运算流图2－44设序列x(n)的长度为200，对其用时域基2FFT来计算DFT，请写出第三级蝶形中不同的旋转因子。解:由于序列x(n)的长度为200，所以取N256282M,得M8。又因为L3，PJ2MLJ28332J,J0,1,…,2L-1-1=0，1，2，3第3级蝶形运算中不同的旋转因子为：W0，W32，W64，W962562562562562－45如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5s，每次复数加需要1s，用来计算N1024点DFT，问直接计算需要多少时间。用FFT计算呢？照这样计算，用FFT进行快速卷积对信号进行处理时，估算可实现实时处理的信号最高频率。解：当N1024210时，直接计算DFT的复数乘法运算次数为N210242次直接计算1024点DFT需要时间T为DT51061024210475521066.290432sD用FFT计算1024点DFT所需计算时间为NT5106logNNlogN106F2221024510610102410106235.84ms快速卷积时，要计算一次N点FFT（考虑到H(k)DFTh(n)已计算好存入内存），一次N点IFFT和N次频域复数乘法。所以，计算1024点快速卷积的计算时间约为2－26数字信号处理学习拓展T2T1024cF71680s51024s76800s1024所以，每秒钟处理的采样点数（即采样速率）f13333.3次/秒。s76800106由采样定理知，可实时处理的信号最高频率为f13333.3fs6666.7Hzmax22应当说明，实际实现时，f还要小一些。这是由于实际采样频率高于奈奎斯特速max率，而且在采用重叠相加法时，重叠部分要计算两次。重叠部分长度与h(n)长度有关，而且还有存取数据指令周期等。2－46序列x(n)长240点，h(n)长10点。当采用直接计算法和快速卷积法（用基2FFT）求它们的线性卷积y(n)x(n)h(n)时，各需要多少次乘法？解：（1）已知N240,N10,直接线性卷积复乘的次数为12NN240102400（次）12（2）因为NN1240101249,取N256。快速卷积中复乘的次数：12N1）x(n)FFTX(k),h(n)FFTH(k)，需2logN次复乘；222）Y(k)X(k)H(k)，需N次复乘；N3）y(n)IFFTY(k)，需logN次复乘；22总的复乘的次数为：N3logNN312882563328(次)222－47设有限长序列x(n)的DFT为X(k)，我们可使用FFT来完成该运算.现假设已知X(k)，k0,1,,N1,如何利用FFT求原序列x(n)IDFT[X(k)]。1N1解：x(n)X(k)Wkn，n0,1,,N1Nk02－27数字信号处理学习拓展1N1*x(n)[X*(k)Wkn]，n0,1,,N1Nk0因此，利用FFT求x(n)的步骤为：(1)对X(k)求共轭(2)对X(k)*进行FFT变换1(3)对变换后的序列取共轭，并乘以即得到x(n)。N2－48已知X(k)和Y(k)是两个N点实序列x(n)和y(n)的DFT，若要从X(k)和Y(k)求x(n)和y(n)，为提高运算效率，试设计用一次N点IFFT来完成。解：x(n),y(n)为实序列。X(k),Y(k)为共轭对称序列，jY(k)为共轭反对称序列。将X(k)，jY(k)作为序列F(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量F(k)X(k)jY(k)F(k)F(k)epop计算一次N点IFFT得到f(n)IFFTF(k)Ref(n)jImf(n)由DFT的共轭对称性11x(n)Re[f(n)][f(n)f*(n)]，y(n)Im[f(n)][f(n)f*(n)]22j2－49设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。（1）试设计用一次N点DFT完成计算X(k)的高效算法。（2）若已知X(k)，试设计用一次N点IDFT实现求x(n)的2N点IDFT运算。解：本题的解题思路就是DIF-FFT思想（1）在时域分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N点实序列x(n)和x(n)12x(n)x(2n),n0,1,,N11x(n)x(2n1),n0,1,,N122－28数字信号处理学习拓展根据DIT-FFT思想，只得x(n)和x(n)的N点DFT，再经过简单的一级碟形运12算就可以得到x(n)的2N点DFT。又x(n),x(n)为实，所以根据DFT的共轭对12称性，可用一次N点DFT求得X(k)和X(k)，方法如下：12令y(n)x(n)jx(n)12Y(k)DFTy(n),k0,1,,N11则X(k)DFTx(n)Y(k)Y(k)Y(Nk)11ep21jX(k)DFTjx(n)Y(k)Y(k)Y(Nk)22op22N点DFT[x(n)]X(k)可由X(k)、X(k)得到12X(k)X(k)WkX(k)12N2k0,1,,N1X(kN)X(k)WkX(k)12N2这样通过一次N点DFT计算完成2N点DFTx(n)x(2n),1x(n)x(2n1),（2）设2k0,1,,N1,n0,1,,N1X(k)DFTx(n),11X(k)DFTx(n),22X(k)X(k)WkX(k),则12N2k0,,N1X(kN)X(k)WkX(k)12N21X(k)X(k)X(kN)121X(k)X(k)X(kN)Wk222N过程如下①由X(k)计算出X(k)，X(k)12②由X(k)，X(k)构成N点频域序列Y(k)12Y(k)X(k)jX(k)Y(k)Y(k)12epop其中Y(k)X(k)，Y(k)jX(k)ep1op2进行N点IDFT得到2－29数字信号处理学习拓展y(n)IDFTY(k)Rey(n)jImy(n)n0,1,,N1由DFT的共轭对称性1Rey(n)y(n)y(n)IDFTY(k)x(n)2ep11jImy(n)y(n)y(n)IDFTY(k)jx(n)2op2③由x(n)和x(n)定义得x(n)。122－50一个3000点的序列输入一个线性时不变系统，该系统的单位脉冲响应长度为60。为了利用快速傅里叶变换算法的计算效率，该系统用128点的离散傅里叶变换和离散傅里叶反变换实现。如果采用重叠相加法，为了完成滤波器运算，需要多少DFT？解：采用重叠相加法，将x(n)分成若干个长度为M的不重叠的序列x(n)。若h(n)的长i度为L，则x(n)h(n)的长度为LM1，所以DFT变换的长度NLM1。i由题设，N128，L60，x(n)必须分成长度为M的序列：MNL169x(n)的长度为3600点，所以共有44个序列（其中最后一个序列仅有33个非零值）。为了计算卷积共需要：1．一个DFT用于计算H(k)。2．44个DFT用于(k)的计算。i3．44个用于(k)(k)H(k)IDFT变换的计算。ii一共需要45个DFT变换和44个IDFT变换。t-2-51已知信号x(t)=e10[cos(10t)+cos(12t)]u(t)，用DFT分析信号的频谱。解：利用MATLAB分析信号的频谱画出频谱图如题2-51图所示：N1=128;N2=512;ws=100;w1=10;w2=12;fs=ws/(2*pi);n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;xn1=exp(-n1/10).*(cos(w1/ws*n1)+cos(w2/ws*n1));%128点有效x(n)数据%在128点有效数据不补零情况下的分辨率演示xk11=fft(xn1,N1);mxk11=abs(xk11(1:N1/2));figure(1);2－30数字信号处理学习拓展subplot(211);plot(n1,xn1);xlabel('n');title('x(n)0<=n<=127');axis([0,128,-3,3]);k1=(0:N1/2-1)*fs/N1;subplot(212);plot(k1,mxk11);xlabel('频率单位rad/s');title('X1(k)的幅度谱');%在128点有效数据且补零至512点情况下分辨率演示xn2=[xn1,zeros(1,N2-N1)];xk12=fft(xn2,N2);mxk12=abs(xk12(1:N2/2));figure(2);subplot(211);plot(n2,xn2);xlabel('n');title('x(n)0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]);k2=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k2,mxk12);xlabel('频率单位Hz');title('X1(k)补零后的幅度谱');%%在512点有效数据下分辨率演示xn3=exp(-n2/10).*(cos(w1/ws*n2)+cos(w2/ws*n2));;%512点有效x(n)数据xk2=fft(xn3,N2);mxk3=abs(xk2(1:N2/2));figure(3);subplot(211);plot(n2,xn3);xlabel('n');title('x(n)0<=n<=511');axis([0,512,-3,3]);k3=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k3,mxk3);xlabel('频率单位rad/s');title('512点有效数据的幅度谱');运行结果如题2-51图：2－31数字信号处理学习拓展2－32数字信号处理学习拓展题2-51图频谱图2－52设模拟信号x(t)cos(21000t)，以时间间隔T0.25ms进行均匀采样，as假设从t0开始采样，共采样N点。（1）求采样后序列x(n)的表达式和对应的数字频率。（2）在此采样下值是否对采样失真有影响？（3）对x(n)进行N点DFT，说明N取哪些值时，DFT的结果能精确地反映x(n)的频谱。（4）若要求DFT的分辨率达到1Hz，应该采样多长时间的数据？解：（1）采样后序列x(n)的表达式为x(n)x(t)cos(21000nT)cos(0.5n)atnTss其对应的数字频率w0.5。（2）因为采样频率1f4000Hz4fsT0s因此保证在一个周期内抽样四点（三点以上），无论取何值，根据抽样定理，都可以由x(n)准确重建x(t)。a（3）对x(n)进行DFT，要DFT的结果能精确地反映x(n)的频谱，根据f4f，s0所以当N4m(m1,2,)时，就可以保证DFT结果的精确。（4）因为分辨率为2－33数字信号处理学习拓展f1fsNT因此若要求DFT的分辨率达到1Hz，应该采样T1s多的数据。2－53用微处理机对实数序列做谱分析，要求谱分辨率F50Hz，信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数：（1）最小记录时间T；p,min（2）最大取样间隔T；max（3）最少采样点数N；min（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。11解：（1）已知F50HzT0.02sP,minF50111（2）T0.5msmaxf2f2103sminmaxT0.02s（3）Np40minT0.5103（4）频带宽度不变意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频带分辨率提高1倍。2－54以20kHz的采样率对最高频率为10kHz的带限信号x(t)采样，然后计算x(n)的aN1000个采样点的DFT，即2N1jnkX(k)x(n)eN，N1000n0（1）k150对应的模拟频率是多少？k800呢？（2）频谱采样点之间的间隔是多少？解：（1）采样率2T2(20103)，离散频率与模拟频率的关系是：ss，或。N点DFT是对DTFT在N