通信原理 樊昌信第七版

第2章确知信号确知信号与非确知信号可以用明确数学关系式描述的信号称为确知信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确知信号。 确知信号是可以预先确知其变化规律的信号。例如，。 随机信号（不确知信号），其在定义域内的任意时刻都没有确定的函数值。例如，通信系统中的接收信号、热噪声等。确知信号的类型一、确知信号的定义在任何时间都确定和可预知的信号，可用数学公式达二、确知信号的分类1、按周期性：周期信号eg:正弦信号、周期脉冲串非周期信号eg:冲激信号、指数函数、语音信号、Sa(x)函数2、按能量有限：能量信号eg:单脉冲和功率信号eg:周期信号、随机信号、阶跃信号 注意：1、能量信号和功率信号的分类对于随机信号也适用；2、周期信号一般都是功率信号，而功率信号不一定都是周期信号，eg:阶跃信号；3、能量信号是持续时间有限的非周期信号，而非周期信号不一定都是能量信号，eg:阶跃信号。研究信号能量与功率的意义在于：它们在通信系统中都是很重要的参数，与通信系统的检测性能密切相关，例：接收信号的能量越大，数字通信系统的检测性能就越可靠。确知信号 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号b)非周期信号：再不会重复出现的信号。非确知信号c)非确知信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。能量信号与功率信号 在通信理论中，把功率定义为在单位电阻上(1Ω)消耗的功率（归一化功率）。 这样，电流的平方和电压的平方都等于功率。 用s(t)代表时间t时刻的电流或电压，则s2(t)代表瞬时功率，信号能量为： 如果信号能量的值有限，则信号s(t)为能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。在所分析的区间,能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值。此时，研究信号的平均功率更为合适。一般持续时间无限的信号都属于功率信号:信号的平均功率：信号分成两类： 能量信号：能量等于一个有限正值，但平均功率为0. 功率信号：平均功率是一个有限值，但能量为无限大。*例：信号，其中a>0；说明此信号为能量信号或功率信号。[解析]计算x(t)的总能量 因为x(t)的能量有限，此信号为能量信号。例：信号；说明此信号类型。[解析]计算x(t)的总能量 计算x(t)的平均功率 该x(t)的能量和平均功率皆为，因此此信号既非能量信号 也非功率信号。周期信号是功率型信号？对任意周期为T0的周期信号，其能量为：因此，周期信号不是能量型信号，其功率为周期信号功率等于该信号一个周期内的平均功率。信号的特性可从时域和频域来描述。 时域特性—反映信号随时间变化的特性，可借助示波器观察信号的波形。 频率特性—反映信号各个频率分量的分布情况，可借助频谱仪观察信号的频谱。 在数学上，周期信号的频谱可用傅里叶（Fourier）级数来分析；非周期信号的频谱可用傅里叶变换来分析。 频域特性是信号最重要最本质的特性之一，它关系到信号占用的频带宽度以及滤波性能和抗噪声能力。 确知信号在频域中的性质可用频谱、频谱密度、能量谱密度或功率谱密度来描述。 随机信号的频率特性常用功率谱密度来描述时域描述与频域描述 实际上,一个信号是由多种频率组成的.如信号信号的频域概念包含了两种频率f和3f基频三角函数形式：周期函数的傅立叶级数指数形式：将时域周期转换为频域的频谱信号幅度频谱：相位频谱：非周期信号的傅立叶变换功率信号的频谱周期性信号（功率信号）可以用指数形式的傅里叶级数展开频谱函数一个信号f(t)作用在1Ω电阻上，其瞬时功率为：p=|f(t)|2消耗的能量为：平均功率为：能量和功率计算的第一种方法：通过时域函数。能量谱密度和功率谱密度2、若f(t)是周期性的功率信号，且其指数形式的傅里付叶级数为：,则下述关系式成立1、若f(t)是能量信号，且其傅里叶变换为F()，则有能量和功率计算的第二种方法：通过频域函数。帕什瓦尔定理帕什瓦尔定理的 证明：定理2证明：因此，对于能量信号和功率信号，其能量和功率可分别由下式给出：设f()为f(t)的能量谱密度，代表信号能量沿频率轴的分布状况，设f()为功率谱密度，代表信号功率沿频率轴的分布状况，那么，f()和f()与信号的频谱函数有什么样的关系呢？能量和功率计算的第三种方法：通过谱密度函数。能量密度谱与功率密度谱对于能量信号可以看出能量谱是一个实偶函数，所以有因此能量谱为 对于一般的功率信号式中，T为有限值，所以fT(t)是一能量信号可见功率谱也是一个实偶函数，其平均功率也可以写成：将f(t)截短成fT(t),即因此功率谱对于周期信号所以：小结功率谱密度和能量谱密度都与振幅--频率特性有关，而与相位--频率特性无关。因此，从功率谱密度和能量谱密度中只能获得信号振幅的信息，而得不到信号相位的信息。帕塞瓦尔定理物理意义和应用帕塞瓦尔定理把一个信号的能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来了。帕塞瓦尔定理给出一个很重要的概念，即能量信号的总能量等于各个频率分量单独贡献出来的能量的连续和；而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的功率之和。已知f(t)的波形如图示1。如果f(t)为电压，加在1欧姆的电阻上，求消耗的能量；2。求能量谱密度；例 【例2】试求周期性信号的功率谱密度。 该例中信号的频谱已知，它等于： 所以：得出 确知信号的时域性质 能量信号的自相关函数 定义： 性质： 自相关函数R()和时间t无关，只和时间差有关。 当=0时，R(0)等于信号的能量： 自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换： 功率信号的自相关函数 定义： 性质： 当=0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率： 周期性功率信号： 自相关函数定义： R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：第2章确知信号 【例2.9】试求周期性信号s(t)=Acos(t+)的自相关函数。【解1】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，可求出其自相关函数。 求功率谱密度：结果为 求自相关函数：【解2】见P031【例2-8】，从自相关的定义出发。第2章确知信号 小结能量信号、功率信号确知信号在频域中的四种性质：频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度确知信号在时域中的特性：自相关函数，互相关函数第3章随机过程自然界中事物的变化过程大致有两类：1.确定性过程其变化过程具有确定的形式。数学上，可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。2.随机过程 没有确定的变化形式。每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。 数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。 随机信号和噪声统称为随机过程。随机过程基本概念随机过程的分布函数随机过程定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。假定有n个性能完全相同的接收机，每台接收机的输出信号就是一个样本xi(t)。无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。样本函数的总体(随机过程)随机过程具有随机变量和时间函数的特点。在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t的变化的随机变量。即在一个固定时刻t1，不同样本的取值xi(t1)是一个随机变量。随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率 记为F1(x1,t1)，即同理，任给t1,t2,…,tn∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义为为ξ(t)的n维概率密度函数。称为ξ(t)的一维概率密度函数。如果F1对x1的导数存在，即随机过程的数字特征 用数字特征来描述随机过程的统计特性更简单直观。 数字特征是指均值、方差和相关系数，是从随机变量的数字特征推广而来的。 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值 式中f(x1,t1)－(t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，把t1直接写为t，x1改为x，上式变为第3章随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:a(t)第3章随机过程 方差 方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t1写成了t。因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均方值均值平方第3章随机过程 相关函数 式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。显然，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数 式中a(t1)a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值 f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率密度函数。相关函数和协方差函数之间的关系平稳随机过程 平稳随机过程(stationaryrandomprocess) 定义： 若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。 性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关： 而二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关： 数字特征： 可见，（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。 把同时满足(1)和(2)的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。 3.2.2各态历经性 问：能否从一次试验得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? 平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣又有用的特性，称为“各态历经性”（简称“遍历性”，ergodicity）。具有各态历经性的过程，其数字特征(均为统计平均)完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 各态历经性的条件?第3章随机过程 各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。第3章随机过程 “各态历经”的含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均(均值或自相关函数等)时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均满足各态历经条件。第3章随机过程 [例3-1]设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望第3章随机过程自相关函数令t2–t1=，得到 可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。第3章随机过程(2)求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。第3章随机过程 3.2.3平稳过程的自相关函数 平稳过程自相关函数的定义：同前 平稳过程自相关函数的性质 —(t)的平均功率 —的偶函数 —R()的上界 即自相关函数R()在=0有最大值。 —(t)的直流功率 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有R(0)=2。第3章随机过程 3.2.4平稳过程的功率谱密度 定义： 对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为 式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数第3章随机过程 对于平稳随机过程(t)，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，(t)的功率谱密度可以定义为第3章随机过程 功率谱密度的计算 维纳-辛钦关系非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 简记为 以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。结论1:对过程的功率谱密度积分，可得平稳过程的平均功率结论2:各态历经过程任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。结论3:功率谱密度非负且对于f具有偶对称性。第3章随机过程 [例3-2]求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。 【解】在[例3-1]中，已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，其相关函数为 因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及 所以，功率谱密度为平均功率为 作业 2.12.3(第六版)/2.22.5(第六版)*