高中数学三角函数1.1周期现象与周期函数1.2角的概念的推广课件北师大版必修

【课标】　1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同角的含义及表示.4.会用集合表示象限角.自主学习　基础认识　|新知预习|1．周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．2．角的概念平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．3．角的分类(1)任意角(2)象限角①前提条件：(ⅰ)角的顶点与原点重合．(ⅱ)角的始边与x轴的非负半轴重合．②分类：(ⅰ)象限角：角的终边(除端点外)在第几象限，就是第几象限角．(ⅱ)终边落在坐标轴上的角．4．终边相同的角的表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)钟表的秒针的运动是周期现象．(　　)(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．(　　)(3)钝角是第二象限的角．(　　)(4)第二象限的角一定比第一象限的角大．(　　)(5)终边相同的角不一定相等．(　　)√×√×√2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是(　　)A．26　　B．32C．36D．41解析：由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.：D3．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(　　)A．1　　　B．2C．3D．4解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.答案：B4．与30°角终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A5．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得eq\f(1,3)≤k<eq\f(4,3)，又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°课堂探究　互动讲练类型一周期现象[例1]　已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据上表可以判断，一天内的8：00至20：00之间，有多少时间可以供冲浪者运动？【解析】　由数据表画出散点图如下：由图可知，在规定时间8：00至20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，时间为9：00至15：00.,方法归纳,收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．跟踪训练1　游乐场中的摩天轮有10个座舱，每个座舱最多乘4人，每30分钟转一圈，请估算16个小时内最多有多少人乘坐．解析：每一个周期最多乘坐4×10＝40(人)，16个小时内共有32个周期，因而在16个小时内最多有40×32＝1280(人)乘坐．类型二任意角的概念[例2]　在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．①②④【解析】　①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练2　如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.答案：60°类型三终边相同的角[例3]　在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角．【思路点拨】　先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.【解析】　(1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10030°<0°，得－10390°<k·360°<－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°，得－10030°<k·360°<－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练3　(1)与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}(2)若角2α与240°角的终边相同，则α＝(　　)A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈ZCB解析：(1)由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．(2)角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.类型四象限角与区间角的表示[例4]　(1)若α是第四象限角，则－α一定在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【解析】　(1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z.所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.所以，角α的终边在题图中阴影区域内时，30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．答案：(1)A方法归纳象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练4　给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角．所以四个结论都是正确的．答案：D|素养提升|1．终边在坐标轴上的角的集合表示 角α的终边位置 角α的集合表示 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}2.象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}3.对终边相同的角的说明所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．|巩固提升|1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)A．120°　　　B．60°C．－120°D．－60°解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－eq\f(4,12)×360°＝－120°.答案：C2．与－468°角的终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}解析：因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选C.答案：C3．求α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在第________象限．解析：当k＝2n，n∈Z时，α＝45°＋n·360°，终边在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝225°＋n·360°，终边在第三象限．答案：一、三