概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案

1第七章假设检验习题7.11．设X1,…,Xn是来自N(µ,1)的样本，考虑如下假设检验问题H0：µ=2vsH1：µ=3，若检验由拒绝域为}6.2{≥=xW确定．（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.01，n最小应取多少？（3）证明：当n→∞时，α→0，β→0．解：（1）犯第一类错误的概率为0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=∈=nXPXPHWXPµµα，犯第二类错误的概率为0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=∉=nXPXPHWXPµµβ；（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=nnnnXPXPµµβ，则99.0)4.0(≥Φn，33.24.0≥n，n≥33.93，故n至少为34；（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=−≥−==≥=nnnnnXPXPµµα，)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=−<−==<=nnnnnXPXPµµβ．2．设X1,…,X10是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题H0：p=0.2vsH1：p=0.4，取拒绝域为}5.0{≥=xW，求该检验犯两类错误的概率．解：因X~b(1,p)，有),10(~10101pbXXii=∑=，则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10510100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−kkkkCpXPpXPHWXPα，6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{4010101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−kkkkCpXPpXPHWXPβ．3．设X1,…,X16是来自正态总体N(µ,4)的样本，考虑检验问题H0：µ=6vsH1：µ≠6，拒绝域取为}|6{|cxW≥−=，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ=6.5处犯第二类错误的概率．2解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=cccXPcXPHWXPµµα，则Φ(2c)=0.975，2c=1.96，故c=0.98；故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβXPXPHWXP83.0)96.2()96.0(96.01625.696.2=−Φ−Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=XP．4．设总体为均匀分布U(0,θ)，X1,…,Xn是样本，考虑检验问题H0：θ≥3vsH1：θ<3，拒绝域取为}5.2{)(≤=nxW，求检验犯第一类错误的最大值α，若要使得该最大值α不超过0.05，n至少应取多大？解：因均匀分布最大顺序统计量X(n)的密度函数为θθ<<−Ι=xnnnnxxp01)(，则nnnnnnnnxdxnxXPHWXP⎟⎠⎞⎜⎝⎛=====≤=∈=∫−6535.233}3|5.2{}|{5.205.201)(0θα，要使得α≤0.05，即05.065≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛n，43.16)6/5ln(05.0ln=≥n，故n至少为17．5．在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6．设X1,…,X20是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题H0：p=0.2vsH1：p≠0.2，取拒绝域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≥=∑∑==17201201iiiixxW或，（1）求p=0,0.1,0.2,…,0.9,1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p=0.05时犯第二类错误的概率．解：（1）因X~b(1,p)，有),20(~201pbXii∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=6220201)1(201)(kkkiippkpWXPpg，故110201)0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，3941.09.01.0201)1.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，1559.08.02.0201)2.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，3996.07.03.0201)3.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，37505.06.04.0201)4.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，9424.05.05.0201)5.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，9935.04.06.0201)6.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，9997.03.07.0201)7.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，999998.02.08.0201)8.0(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，11.09.0201)9.0(6220≈××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg，101201)1(6220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−kkkkg；（2）在p=0.05时犯第二类错误的概率2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=kkkiikpWXPβ．7．设一个单一观测的样本取自密度函数为p(x)的总体，对p(x)考虑统计假设：H0：p0(x)=I0<x<1vsH1：p1(x)=2xI0<x<1．若其拒绝域的形式为W={x:x≥c}，试确定一个c，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α+2β为最小，并求其最小值．解：当0<c<1时，α=P{X∈W|H0}=P{X≥c|X~p0(x)}=1−c，且20112)}(~|{}H|{cxdxxpXcXPWXPc==<=∉=∫β，则2224128721161287212⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+cccccβα，故当41=c时，α+2β为最小，其最小值为87．8．设X1,X2,…,X30为取自柏松分布P(λ)的随机样本．（1）试给出单侧假设检验问题H0：λ≤0.1vsH1：λ>0.1的显著水平α=0.05的检验；（2）求此检验的势函数β(λ)在λ=0.05,0.2,0.3,…,0.9时的值，并据此画出β(λ)的图像．解：（1）因)30(~3021λPXXXXn+++=L，假设H0：λ≤0.1vsH1：λ>0.1，统计量)30(~λPXn，当H0成立时，设)3(~PXn，其p分位数)3(pP满足∑∑=−−=−≤<)3(031)3(03e!3e!3ppPkkPkkkpk显著水平α=0.05，可得P1−α(3)=P0.95(3)=6，右侧拒绝域}7{≥=xnW；（2）因∑=−−=≥=∈=6030e!)30(1}|7{}|{)(kkkXnPWXnPλλλλλβ，010.10.20.30.40.50.60.70.80.91pg(p)4故0001.0e!5.11)05.0(605.1=−=∑=−kkkβ，3937.0e!61)2.0(606=−=∑=−kkkβ，7932.0e!91)3.0(609=−=∑=−kkkβ，9542.0e!121)4.0(6012=−=∑=−kkkβ，9924.0e!151)5.0(6015=−=∑=−kkkβ，9990.0e!181)6.0(6018=−=∑=−kkkβ，9999.0e!211)7.0(6021=−=∑=−kkkβ，1e!241)8.0(6024≈−=∑=−kkkβ，1e!271)9.0(6027≈−=∑=−kkkβ．习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p值时要求计算出p值．1．有一批枪弹，出厂时，其初速率v~N(950,1000)（单位：m/s）．经过较长时间储存，取9发进行测试，得样本值（单位：m/s）如下：914920910934953945912924940．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α=0.05）？解：设枪弹经储存后其初速率X~N(µ,1000)，假设H0：µ=950vsH1：µ<950，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α=u0.95=1.645，左侧拒绝域W={u≤−1.645}，因928=x，µ=950，σ=10，n=9，则Wu∈−=−=6.6910950928，并且检验的p值p=P{U≤−6.6}=2.0558×10−11<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低．2．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082)．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α=0.05）？解：设现在生产的铁水含碳量X~N(µ,0.1082)，假设H0：µ=4.55vsH1：µ≠4.55，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，因484.4=x，µ=4.55，σ=0.108，n=9，则Wu∉−=−=8333.19108.055.4484.4，并且检验的p值p=2P{U≤−1.8333}=0.0668>α=0.05，00.10.20.30.40.50.60.70.80.91λβ(λ)5故接受H0，拒绝H1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55．3．由经验知某零件质量X~N(15,0.052)（单位：g），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为14.715.114.815.015.214.6．已知方差不变，问平均质量是否仍为15g（取α=0.05）？解：设技术革新后零件质量X~N(µ,0.052)，假设H0：µ=15vsH1：µ≠15，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，因9.14=x，µ=15，σ=0.05，n=6，则Wu∈−=−=8990.4605.0159.14，并且检验的p值p=2P{U≤−4.8990}=9.6326×10−7<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即不能认为平均质量仍为15g．4．化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100kg，标准差为1.2kg．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5．设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α=0.05）？解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X~N(µ,1.22)，假设H0：µ=100vsH1：µ≠100，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，因9778.99=x，µ=100，σ=1.2，n=9，则Wu∉−=−=0556.092.11009778.99，并且检验的p值p=2P{U≤−0.0556}=0.9557>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即可以认为这一天包装机的工作正常．5．设需要对某正态总体的均值进行假设检验H0：µ=15，H1：µ<15．已知σ2=2.5，取α=0.05，若要求当H1中的µ≤13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．解：设该总体X~N(µ,2.5)，假设H0：µ=15vsH1：µ<15，已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α=u0.95=1.645，左侧拒绝域W={u≤−1.645}，因µ=15，σ2=2.5，有nxu5.215−=，当µ≤13时犯第二类错误的概率为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−+−>−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−>−=13|5.21565.15.213|65.15.215µµµµβnnXPnXP05.0)2649.165.1(15.2131565.15.2≤+−Φ−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−>−≤nnnXPµ，6则95.0)2649.165.1(≥+−Φn，即65.12649.165.1≥+−n，6089.2≥n，n≥6.8064，故样本容量n至少为7．6．从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）为：100.36100.3199.99100.11100.64100.8599.4299.9199.35100.10．设这批钢管内直径服从正态分布N(µ,σ2)，试分别在下列条件下检验假设（α=0.05）．H0：µ=100vsH1：µ>100．（1）已知σ=0.5；（2）σ未知．解：设这批钢管内直径X~N(µ,σ2)，假设H0：µ=100vsH1：µ>100，（1）已知σ2，选取统计量)1,0(~NnXUσµ−=，显著性水平α=0.05，u1−α=u0.95=1.645，右侧拒绝域W={u≥1.645}，因104.100=x，µ=100，σ=0.5，n=10，则Wu∉=−=6578.0105.0100104.100，并且检验的p值p=P{U≥0.6578}=0.2553>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即不能认为µ>100．（2）未知σ2，选取统计量)1(~−−=ntnSXTµ，显著性水平α=0.05，t1−α(n−1)=t0.95(9)=1.8331，右侧拒绝域W={t≥1.8331}，因104.100=x，µ=100，s=0.4760，n=10，则Wt∉=−=6910.0104760.0100104.100，并且检验的p值p=P{T≥0.6910}=0.2535>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即不能认为µ>100．7．假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解：设这次考试考生的成绩X~N(µ,σ2)，假设H0：µ=70vsH1：µ≠70，未知σ2，选取统计量)1(~−−=ntnSXTµ，显著性水平α=0.05，t1−α/2(n−1)=t0.975(35)=2.0301，双侧拒绝域W={|t|≥2.0301}，因5.66=x，µ=70，s=15，n=36，则Wt∉−=−=4.13615705.66，并且检验的p值p=2P{T≤−1.4}=0.1703>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分．8．一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8h电视．”她认为她所在学校的学生看电视的时间明显小于该数字．为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间5.6=xh，样本标准差为s=2h．问是否可以认为这位校长的看法是对的（取α=0.05）？解：设学生看电视的时间X~N(µ,σ2)，假设H0：µ=8vsH1：µ<8，7未知σ2，选取统计量)1(~−−=ntnSXTµ，n=100，大样本，有)1,0(~NnSXT&µ−=，显著性水平α=0.05，t1−α(n−1)=t0.95(99)≈u0.95=1.645，左侧拒绝域W≈{t≤−1.645}，因5.6=x，µ=8，s=2，n=100，则Wt∈−=−=5.7100285.6，并且检验的p值p=P{T≤−7.5}=3.1909×10−14<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即可以认为这位校长的看法是对的．9．设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数2.11=xcm，样本标准差为s=2.6cm，问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm（取α=0.05）？解：设该批木材小头的直径X~N(µ,σ2)，假设H0：µ=12vsH1：µ<12，未知σ2，选取统计量)1(~−−=ntnSXTµ，n=100，大样本，有)1,0(~NnSXT&µ−=，显著性水平α=0.05，t1−α(n−1)=t0.95(99)≈u0.95=1.645，左侧拒绝域W≈{t≤−1.645}，因2.11=x，µ=12，s=2.6，n=100，则Wt∈−=−=0769.31006.2122.11，并且检验的p值p=P{T≤−3.0769}=0.0010<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于12cm．10．考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg）为：0.81.60.90.81.20.40.71.01.21.1．设鱼的含汞量服从正态分布N(µ,σ2)，试检验假设H0：µ=1.2vsH1：µ>1.2（取α=0.10）．解：设鱼的含汞量X~N(µ,σ2)，假设H0：µ=1.2vsH1：µ>1.2，未知σ2，选取统计量)1(~−−=ntnSXTµ，显著性水平α=0.1，t1−α(n−1)=t0.9(9)=1.3830，右侧拒绝域W={t≥1.3830}，因97.0=x，µ=1.2，s=0.3302，n=10，则Wt∉−=−=2030.2103302.02.197.0，并且检验的p值p=P{T≥−2.2030}=0.9725>α=0.10，故接受H0，拒绝H1，即不能认为µ>1.2．11．如果一个矩形的宽度w与长度l的比618.0)15(21≈−=lw，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.5530.5700.8440.5760.9330.630．设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为µ，试检验假设（取α=0.05）H0：µ=0.618vsH1：µ≠0.618．解：设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X~N(µ,σ2)，假设H0：µ=0.618vsH1：µ≠0.618，未知σ2，选取统计量)1(~−−=ntnSXTµ，显著性水平α=0.05，t1−α/2(n−1)=t0.975(19)=2.0930，双侧拒绝域W={|t|≥2.0930}，8因6620.0=x，µ=0.618，s=0.0918，n=20，则Wt∈=−=1422.2200918.0618.06620.0，并且检验的p值p=2P{T≥2.1422}=0.0453<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即不能认为µ=0.618．12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（h）的观测值型号A5.55.66.34.65.35.06.25.85.15.25.9；型号B3.84.34.24.04.94.55.24.84.53.93.74.6．设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A的计算器平均使用时间明显比型号B来得长（取α=0.01）？解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，且2221σσ=，假设H0：µ1=µ2vsH1：µ1>µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=nntnnSYXTw，显著性水平α=0.01，t1−α(n1+n2−2)=t0.99(21)=2.5176，右侧拒绝域W={t≥2.5176}，因5.5=x，3667.4=y，sx=0.5235，sy=0.4677，n1=11，n2=12，4951.0214677.0115235.0102)1()1(22212221=×+×=−+−+−=nnsnsnsyxw，则Wt∈=+×−=4844.51211114951.03667.45.5，并且检验的p值p=P{T≥5.4844}=9.6391×10−6<α=0.01，故拒绝H0，接受H1，即可以认为型号A的计算器平均使用时间明显比型号B来得长．13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：东支：1337.0,230.0211==sx；西支：1736.0,269.0222==sx．若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样（取α=0.05）？解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，且2221σσ=，假设H0：µ1=µ2vsH1：µ1≠µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~11212121−++−=nntnnSXXTw，显著性水平α=0.05，t1−α/2(n1+n2−2)=t0.975(15)=2.1314，双侧拒绝域W={|t|≥2.1314}，因1736.0,269.0,1337.0,230.0222211====sxsx，n1=9，n2=8，3903.0151736.071337.082)1()1(21222211=×+×=−+−+−=nnsnsnsw，9则Wt∉−=+×−=2056.081913903.0269.0230.0，并且检验的p值p=2P{T≤−0.2056}=0.8399>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C与80°C的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N）：70°C时的强力：20.518.819.820.921.519.521.021.2，80°C时的强力：17.720.320.018.819.020.120.019.1．根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C时的平均断裂强力与80°C时的平均断裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，α=0.05）解：设在70°C和80°C时的断裂强力分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，且2221σσ=，假设H0：µ1=µ2vsH1：µ1≠µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=nntnnSYXTw，显著性水平α=0.05，t1−α/2(n1+n2−2)=t0.975(14)=2.1448，双侧拒绝域W={|t|≥2.1448}，因4.20=x，375.19=y，sx=0.9411，sy=0.8876，n1=8，n2=8，9148.0148876.079411.072)1()1(22212221=×+×=−+−+−=nnsnsnsyxw，则Wt∈=+×−=2410.281819148.0375.194.20，并且检验的p值p=2P{T≥2.2410}=0.0418<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即可以认为70°C时的平均断裂强力与80°C时的平均断裂强力间有显著差别．15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设H0：µ1=2µ2vsH1：µ1>2µ2．此处µ1,µ2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总体均为正态分布且方差分别为已知值2221,σσ，现分别在两总体中取一样本X1,…,Xn和Y1,…,Ym，设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，因X1,…,Xn和Y1,…,Ym分别X和Y为来自的样本，且两个样本独立，则),(~211nNXσµ，),(~222mNYσµ，且X与Y独立，有)4,2(~2222121mnNYXσσµµ+−−，标准化，得)1,0(~4)2()2(222121NmnYXσσµµ+−−−，假设H0：µ1=2µ2vsH1：µ1>2µ2，已知2221,σσ，选取统计量)1,0(~422221NmnYXUσσ+−=，10显著性水平α，右侧拒绝域W={u≥u1−α}．16．对冷却到−0.72°C的样品用A、B两种测量方法测量其融化到0°C时的潜热，数据如下：方法A：79.9880.0480.0280.0480.0380.0380.0479.9780.0580.0380.0280.0080.02，方法B：80.0279.9479.9879.9780.0379.9579.9779.97．假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取α=0.05）．解：设用A、B两种测量方法测量的潜热分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，且2221σσ=，假设H0：µ1=µ2vsH1：µ1≠µ2，未知2221,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~112121−++−=nntnnSYXTw，显著性水平α=0.05，t1−α/2(n1+n2−2)=t0.975(19)=2.0930，双侧拒绝域W={|t|≥2.0930}，因0208.80=x，9787.79=y，sx=0.0240，sy=0.0.314，n1=8，n2=8，0269.0190314.070240.0122)1()1(22212221=×+×=−+−+−=nnsnsnsyxw，则Wt∈=+×−=4722.3811310269.09787.790208.80，并且检验的p值p=2P{T≥3.4722}=0.0026<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．17．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/l），具体数据如下：水样号方法一（x）方法二（y）差（d=x−y）10.360.39−0.0321.350.840.5132.561.760.8043.923.350.5755.354.690.6668.337.700.63710.7010.520.18810.9110.92−0.01设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p值和结论（取α=0.05）．解：设用这两种测定方法测定的氯气含量之差为),(~2ddNYXDσµ−=，成对数据检验，假设H0：µd=0vsH1：µd≠0，未知2dσ，选取统计量)1(~−=ntnSDTd，显著水平α=0.05，t1−α/2(n−1)=t0.975(7)=2.3646，双侧拒绝域W={|t|≥2.3646}，因4138.0=d，sd=0.3210，n=8，则Wt∈==6461.383210.04138.0，并且检验的p值p=2P{T≥3.6461}=0.0082<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，可以认为两种测定方法有显著差异．1118．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−6）一次，下面是7天的记录：室甲：1.151.860.751.821.141.651.90，室乙：1.001.900.901.801.201.701.95．设每对数据的差di=xi−yi(i=1,2,…,7)来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差异？（α=0.01）解：设两个化验室测定的含气量数据之差为),(~2ddNYXDσµ−=，成对数据检验，假设H0：µd=0vsH1：µd≠0，未知2dσ，选取统计量)1(~−=ntnSDTd，显著水平α=0.01，t1−α/2(n−1)=t0.995(6)=3.7074，双侧拒绝域W={|t|≥3.7074}，因0257.0−=d，sd=0.0922，n=7，则Wt∉−=−=7375.070922.00257.0，并且检验的p值p=2P{T≤−0.7375}=0.4886>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，可以认为两化验室测定结果之间没有显著差异．19．为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（104/mm3），样本方差为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样本方差为49.202．试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取α=0.05）解：设该地区正常成年男女所含红血球分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，假设H0：µ1=µ2vsH1：µ1≠µ2，未知2221,σσ，大样本场合，选取统计量)1,0(~2212NnSnSYXUyx&+−=，显著水平α=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|t|≥1.96}，因222220.49,16.422,80.54,13.465====yxsysx，n1=156，n2=74，则Wu∈=+−=9611.57420.4915680.5416.42213.46522，并且检验的p值p=2P{U≥5.9611}=2.5055×10−9<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，可以认为该地区正常成年男女所含红血球的平均值有差异．20．为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g）：12月：352029602560296032603960，6月：3220322037603000292037403060308029403060．假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取α=0.05）？解：设12月和6月出生的女婴体重分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，假设H0：2221σσ=vsH1：2221σσ<，12选取统计量)1,1(~2122−−=nnFSSFyx，显著水平α=0.05，21.077.41)5,9(1)9,5()1,1(95.005.021====−−FFnnFα，左侧拒绝域W={f≤0.21}，因225960.491=xs，225217.306=ys，则Wf∉==5721.25217.3065960.49122，并且检验的p值p=P{F≤2.5721}=0.8967>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．21．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.321.551.361.401.44问这一天纤度的总体标准差是否正常（取α=0.05）？解：设这一天维尼纶纤度X~N(µ,σ2)，假设H0：σ2=0.0482vsH1：σ2≠0.0482，选取统计量)1(~)1(2222−−=nSnχσχ，显著性水平α=0.05，4844.0)4()1(2025.022/==−χχαn，1433.11)4()1(2975.022/1==−−χχαn，双侧拒绝域W={χ2≤0.4844或χ2≥11.1433}，因σ2=0.0482，s2=0.08822，n=5，则W∈=×=5069.13048.00882.04222χ，并且检验的p值p=2P{χ2≥13.5069}=0.0181<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．22．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其熔化时间并计算得24.62=x，s2=404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异（取α=0.05，假定熔化时间服从正态分布）？解：设这天保险丝熔化时间分散度X~N(µ,σ2)，假设H0：σ2=400vsH1：σ2≠400，选取统计量)1(~)1(2222−−=nSnχσχ，显著性水平α=0.05，4012.12)24()1(2025.022/==−χχαn，3641.39)24()1(2975.022/1==−−χχαn，双侧拒绝域W={χ2≤12.4012或χ2≥39.3641}，因σ2=400，s2=404.77，n=25，则W∉=×=2862.2440077.404242χ，并且检验的p值p=2P{χ2≥24.2862}=0.8907>α=0.05，故接受H0，拒绝H1，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异．23．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，测得样本标准差s=0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：设这批导线的电阻X~N(µ,σ2)，假设H0：σ2=0.0052vsH1：σ2>0.0052，选取统计量)1(~)1(2222−−=nSnχσχ，显著性水平α=0.05，5073.15)8()1(295.021==−−χχαn，右侧拒绝域W={χ2≥15.5073}，13因σ2=0.0052，s2=0.0072，n=9，则W∈=×=68.15005.0007.08222χ，并且检验的p值p=P{χ2≥15.68}=0.0472<α=0.05，故拒绝H0，接受H1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．24．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为甲车床：15.014.515.215.514.815.115.214.8；乙车床：15.215.014.815.215.015.014.815.114.8．比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取α=0.05）．解：设两台车床生产的滚珠直径分别为),(~211σµNX，),(~222σµNY，假设H0：2221σσ=vsH1：2221σσ≠，选取统计量)1,1(~2122−−=nnFSSFyx，显著性水平α=0.05，2041.09.41)7,8(1)8,7()1,1(975.0025.0212/====−−FF