2011年数二考研真题及答案

2011201120112011年考研数学试题（数学二）年考研数学试题（数学二）年考研数学试题（数学二）年考研数学试题（数学二） 一、选择题 1.已知当 0x→ 时，函数 是等价无穷小，则与 kcxxxxf 3sinsin3)( −= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2. = − == → 3 32 0 )(2)( ,0)0(0)( lim x xfxfx fxxf x 则处可导，且在已知 A )0(2 f ′− B )0(f ′− C )0(f ′ D0 3.函数 )3)(2)(1(ln)( −−−= xxxxf 的驻点个数为 A0 B1 C2 D3 4.微分方程 的特解形式为)0(2 >+=−′ − λλ λλ xx eeyy A )( xx eea λλ −+ B )( xx eeax λλ −+ C )( xx beaex λλ −+ D )(2 xx beaex λλ −+ 5 设函数 )(xf 具有二阶连续导数，且 0)0(,0)( >′> fxf ，则函数 )(ln)( yfxfz = 在点（0， 0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0( >′′> ff B 0)0(,1)0( <′′> ff C 0)0(,1)0( >′′< ff D 0)0(,1)0( <′′< ff 6.设 ∫∫∫ === 444 000 cosln,cotln,sinln πππ xdxKxdxJxdxI 的大小关系是、、则 KJI A I= >≤− λλ xxxf ，则 =∫ +∞ ∞− dxxxf )( 13.设平面区域 D由 y=x,圆 yyx 222 =+ 及 y轴所组成，则二重积分 ∫∫ = D xyda ________ 14.二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 2223),,( xxxxxxxxxxxxf +++++= ，则 f 的正惯性指数为 ________________ 三、解答题 15.已知函数 α x dtt xF x ∫ + = 0 2 )1ln( )( ，设 0)(lim)(lim 0 == +→+∞→ xFxF x x ，试求 α 的取值范围。 16.设函数 y=y(x)有参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ ++= +−= 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 ttx tty ，求 y=y(x)的数值和曲线 y=y(x)的凹凸区间及 拐点。 17.设 ))(,( xygxyfz = ，其中函数 f具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导，且在 x=1 处取 得极值 g(1)=1,求 1,1 2 ==∂∂ ∂ yx yx z 18.设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l:y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记α 是曲线 l在 点（x,y)外切线的倾角 dx dy dx d = α ，求 y(x)的

表

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达式。 19.证明：1）对任意正整数 n，都有 nnn 1 ) 1 1ln( 1 1 <+< + 2）设 ),2,1(ln n 1 2 1 1 …=−+…++= nna n ,证明 }{ n a 收敛。 20. 一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕 y 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面 ， 该 曲 面 由 ) 2 1 (1), 2 1 (2 2222 ≤=+≥=+ yyxyyyx 连接而成。 （1）求容器的容积。 （2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力 加速度为 2/ sgm ；水的密度为 33 /10 mkg ） 21.已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0, ∫∫ = D adxdyyxf ),( ，其 中 }10,10),{( ≤≤≤≤= yxyxD ，计算二重积分 dxdyyxxyI D xy ),( ″ = ∫∫ ∫ 。 22. X 0 1 P 1/3 2/3 Y -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 1)( 22 == YXP 求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3） XY ρ 23.A 为三阶实矩阵， 2)( =AR ，且 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 A （1）求 A的特征值与特征向量；（2）求 A 参考答案参考答案参考答案参考答案 选择题：CBCC ABDD 填空题： 9. 2 10. xey x sin−= 11. )12ln( + 12. λ 1 13 12 7 14. 2 解答题： 15.解： 31 3,120lim )1ln( lim )1ln( lim)(lim 0,0 )1( 1 1 2 lim )1ln( lim )1ln( lim)(lim0 ,)(lim,0 1 2 01 2 0 0 2 0 221 2 0 2 << <−>== + = + = >= −+ = + = + => +∞=≤ −→−→+∞→→ −+∞→−+∞→+∞→+∞→ +∞→ +++ ∫ ∫ a aa ax x ax x x dtt xF a xaax x ax x x dtt xFa xFa a x a x a x x x a x a x a x xx x 于是 所以得 得，当 所以结论不正确因为当 16.解： sss17.解： )1,1()1,1()1,1( )](,()()(,([)](,[ )()](,[)](,[ 1211 2 12111 2 21 fff yx z xygxyfxgxygxyfxyxygxyf yx z xgyxygxyfyxygxyf x z x ′′+′′+′= ∂∂ ∂ ′′+′′+′= ∂∂ ∂ ′′+′= ∂ ∂ 18.解： { .22,2,0)( 2 2 , 2 , 2 1 1 , 2 1 ln, 1 ln ),1(,,, ,)1(,sec,tan 2 2 2 2 22 2112 2)1( 1)0(,0)0( 22 2 x x x x x x x yyy yy eyCoy Cedx e e y e e p e p p CCx p p pp dx dp dx dp ypy yyyy dx d x dx dy −−=== +−−= − = − = = + =+= + +==′′=′ ′′=′′+′′== ∫ ′′+=′′ =′= 故所以因为 平方解得： 故带入初始条件得 变量分离得于是有则令于是有 即求导得：两边对 α αα 19.解： { } { } 。单调递减有界，故收敛 单调递减即其中 即 应用中值定理，在 n n nnnnn nn n a n n nn n n n n nn a aaaaa nn n nn n aa n n a nnn nn n nnnn xxf 0 1 lnln)1ln( ln 1 ln2/3ln2ln ln) 1 1ln() 2 1 1() 1 1 1ln( 1 2/11 ,0 1, 1 1 1 ln)1ln( 1 1 )1ln( 1 1 2/11)2( 1 1) 1 1ln( 1 1 1 1 ,1 1 1 1 1 1 , 1 0 1 1 1 1ln) 1 1ln() 1 1ln(] 1 ,0[)1ln()()1( 11 1 1 > + =−+= − + +…+−= −++…++++>+…++= <<− +<<− + =++− + =− +− + +…++= <+< + < ++ << + =−+=++= ++ + + ξ ξ ξ ξ ξ 20.解： . 24 17 24 )1()2()2()2( )1()2()2( 4 9 )1()2()1( 2 2 1 2 1 1 22 2 2 2 2 1 2 1 1 22 1 2 2 2 1 2 1 1 22 ⋅= −−+−−= −+−= =−+−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − πρ πρπρ πρπρ π π g dyygydyyygy dyxgydyxgyyW dyydyyyV 21.解： adxdyyxfdxyxfdydxyxfdydyyxxf dxyxfxdydyyxfyxdxxxf dyyxfyxdxdxxfxdyyxfyxdxI dyyxfyxfyyxfyddyyxfy dyyxfyxdxdxdyyxfxyI D xx xx xxxy xxyxxy D xyxy ===−−= ′−=′−= ′−′=′′= ′−′=′=′′ ′′=′′= ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ),(),(]),(),([ ),(),()1,( ),()1,(),( ,),(),(),(),( ),(),( 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 于是， 22.解： ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ++= −+= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ==<∴ =∴≠== 3211 3212 3211 321321 321321321321 321321 00 02 42 1 0 0 0 2 1 1 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 101 321 111 106 310 101 420 321 111 410 310 101 531 321 111 511 300 101 ),,,)(2 50,3)(,, 3),,(01 5 3 1 1 1 0 1 0 1 ,,)1 αααβ αααβ αααβ βββααα βββββββββααα αααααα 于是 ，， ，解得，，于是，，线性表示，，，不能由又 ar r ∵ ∵ 23.解： { { ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − == ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ==∴<= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = =−= =−= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = =− =+ = = 001 000 100 000 010 001 , 000 010 001 , 0 2 1 2 1 100 0 2 1 2 1 ),,Q, 0 1 0 , 1 0 1 2 1 , 1 0 1 2 1 2 0 1 0 0 00,32)( 1 0 1 1 0 1 ,1,1 ,,A 1 0 1 1 0 1 321321321 0 0 0 03 3 2 1 3 321 21 221121 31 31 3 T 1 3 T 2 TT xx xx QQAAQQ rrrrrr AA x x x AAr A A 于是则 （令单位化得：） 解得即 为实矩阵，所以有的特征向量的相应于为矩阵令 故， 向量为对应的线性无关的特征的特征值为，根据特征值向量的定义 则，令 ααα λα λαα λλ αααααα αα αα ∵ ∵