1
( )f x1 设 在 连续,且 则0x = 0 ( )lim 21 1x
f x
x→
=+ − (0) 1f ′ =
2 设 在 可导,且 则0x =( )f x 0 ( ) (4 )lim 5x f x f xx→
− = 5(0) 3f ′ = −
0
( )lim 2
1 1x
f x
x→
=+ −解 即 0
( )lim 2
2
x
f x
x→ = 0
( ) (0)lim 1
x
f x f
x→
− =
0 0
( ) (4 ) ( ) (0) (4 ) (0)lim lim 4
4x x
f x f x f x f f x f
x x x→ →
− − −= + ⋅
(0) 4 (0) 5f f′ ′= − =
解
高数复习
2 2( , )f xy x y x y− = + 则
( , ) ( , ) 2 2f x y f x y y
x x
∂ ∂+ = +∂ ∂
4 设 则( )f x lnx x= 0
( 2 ) ( )lim 4
x
f e x f e
xΔ
Δ
Δ→
− − = −
解 2 2 2( , ) 2 ( )f xy x y x y xy x y− = + = + −
2( , ) 2f x y x y= +
0
( 2 ) ( )lim
x
f e x f e
xΔ
Δ
Δ→
− − =
0
( 2 ) ( )2 lim
2x
f e x f e
xΔ
Δ
Δ→
− −− =− 2 ( )f e′−
2(1 ln ) 4x ex == − + = −
3 已知
• 5 设 2lim( ) 8
x
x a
x a→∞
+ =− 则 ln2a =
6 设 2( 1) lim( )2
n
n
n xf x
n→∞
++ = − 则
2( ) 2 xf x e′ =
32 3lim( ) lim(1 ) 8 ln2x x a
x x
x a a e a
x a x a→∞ →∞
+ = + = = =− −
2( 1) lim( )
2
n
n
n xf x
n→∞
++ = −
2(1 )2 2lim(1 )
2
n x
n
x e
n
+
→∞
+= + =−
2( ) xf x e=
• 7 2 3 (6)(2 1) ( 3) 4 6!y x x x y= − + = ⋅
8 已知
1
ln ( )( ) lim 0
1x
x f xf x
xx →
′ = =− 则
2( ) lnf x x=
(1) 0f =2ln( ) xf x
x
′ =
2
21 2
0
cos 0
xt
y
e dt t dt+ =∫ ∫ y
2
42 cos
y
x xy
e
′ =
9 方程 确定了 为 的函数,x
10 I= 2 7
0
(sin cos ) 4x x dx
π + =∫
7 2
2
sin 2 cos 0 4 4xdx xdx
ππ
ππ− −= + = + =∫ ∫
11
2
2 21
1 2 1
(1 ) 4
x dx
x x
π+∞ + = ++∫
12 交换积分次序
2
1 1 1 1
4 2 2 2
10 0
4
( , ) ( , ) ( , )
y x
y y x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy+ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
21
1( )
1
x dx
x x
+∞= − +∫
2
2
1 1 ln2(ln ln(1 )) ln ln
1 12 221
xx x
x
+∞ +∞= − + = = − =+
2
13 设 2 2 2 2 2: 0 0x y
D
I e dxdy D x y x y a− −= ≤ ≥ + ≤∫∫
则 2(1 )
4
aI eπ −= −
14 的收敛半径1( 1) ( )
3
n nx−−∑ 3R =
15 收敛域
0
2 ( 1)
1
n
n
n
x
n
∞
=
−+∑ 1 3,2 2⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠
1 1 1 1 1 3lim 2 1
2 2 2 2 2
n
n
n
u
R x x
u
+
→∞ = = − < − < < <
1
1 1( 1)
2 1
n
n
x
n
∞
=
= − +∑ 收敛
1
3 1
2 1n
x
n
∞
=
= +∑ 发散
116 已知 为 的驻点,则(0,0)
2 2( , )f x y x xy y= + − (0,0)f
为 的( , )f x y C
A 极大值 极小值B
非极值C D 极值不能确定
17 设 在 连续,则( )f x [ ]0,a 2 2 2 2
0
( )
a a x
a
dx f x y dy B
−
− + =∫ ∫
2
0
( )
a
A f r drπ ∫ 0 ( )aB f r rdrπ ∫
2
0
2 ( )
a
C f r rdrπ ∫ 0 ( )2
a
D f r rdrπ ∫
2
(0,0) 0B AC− >∵
18
21
0 0
( , )
y y
A dy f x y dx
−∫ ∫
cos
2
0 0
( cos , sin )d f r r rdr D
π θθ θ θ =∫ ∫
21 1
0 0
( , )
y
B dy f x y dx
−∫ ∫
1 1
0 0
( , )C dx f x y dy∫ ∫ 21 1
0 0
( , )
x
D dx f x y dy
−∫ ∫
19 的不可导点的个数2 3( ) ( 2)f x x x x x= − − − C
0 1 2 3A B C D
20 设 则下列结论正确的是3 2( , ) 3 4f x y x x y y= − + +
A 为极大值( 1, 2)f − − A 为极大值(1, 2)f −
C 为极小值( 1, 2)f − − D 为极小值(1, 2)f −
D
3( 2)y x x= − 的不可导的点是
A B C D 不存在0, 2x x= = 0x = 2x =
C21
22 设 是单连域 的正向边界曲线,则 的面积为C DD A
1
2 c
A xdy ydx−∫v 12 cB xdy ydx+∫v
1
2 c
C xdy ydx− +∫v 12 cD xdx ydy+∫v
23
1 2 2
1
(1 1 )x x dx D− + + − =∫
0 2 2 4A B C Dπ π+ +
3
24
2 7
0
(sin cos )x x dx
π + =∫
A 0 B 1 C 4 D 2
C
25 设A(1,1) B(6,3) C(2,7)是XOY平面上的三点,
则三角形ABC的面积为
A 6 B 14 C 28 D 32
B
解 1 1 0 5 2 14
2 2
0 1 6
i j k
S AB AC= × = =
G G G
JJJG JJJG
26 在 某领域可导( )f x 0x = (0) 0, (0) 0f f ′= >
则存在 使0δ > B
A 有(0, )x δ∀ ∈ ( ) 0f x′ > B 有(0, )x δ∀ ∈ ( ) 0f x >
C 有( ,0)x δ∀ ∈ − ( ) 0f x′ > C 有( ,0)x δ∀ ∈ − ( ) 0f x >
27
2
2 20 0
sin
cos(sin ) 1 12lim lim
3 3 6x x
x
x
x x→ →
−− = = −
28 直线 相对于平面2 3 1
1 2 1
x y z− − += =− − 2 4 2 6 0x y z− + + − =
的位置关系是D
A 平行于平面,但不在平面内; B 相交但不垂直于平面
C 直线在平面内 D 垂直于平面
29 连续函数 满足( )f x 2 40
1( ) cos (2 )f x x f x dx
π
π− = ∫ 求 20 ( ) 3f x dx
π π=∫
30 若 与 可导 则必有 C( )f x ( )h x ( ) ( )f x h x<
A ( ) ( )f x h x− > − B ( ) ( )f x h x′ ′<
C
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x→ →< D 0 0( ) ( )
x x
f x dx h x dx<∫ ∫
31 设 在 不连续,则 在( , )f x y 0 0( , )x y ( , )f x y 0 0( , )x y C
A 极限不存在 B , 不存在0 0( , )xf x y 0 0( , )yf x y
C 不可微 D 任一方向方向导数不存在
32 当 都为无穷小量,则当 下列哪一个式子
一定是无穷小
0 ( ), ( )x x x xα β→ 0x x→
A
2 ( )
( )
x
x
α
β B
( )
( )
x
x
β
α C
( )
( )
x
x
αβ⎡ ⎤⎣ ⎦ D ln(1 ( ) )xα+
D
33 为不定型,则 存在
0
( )lim
( )x x
f x
g x→ 0
( )lim
( )x x
f x
g x→
′
′
为 存在的
0
( )lim
( )x x
f x
g x→
B
A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要
34 下列各积分中不等于零的是 B
A cosx xdx
π
π−∫ B
2
2
2
2 1 cos
x dx
x
π
π− +∫
C
2 5
0
sin xdx
π∫ DD sin cos2x xdxππ− +∫
2
2 01 cos
x
x
>+∵
2
2
2
2
0
1 cos
x dx
x
π
π− >+∫
若级数 在 处收敛,则此级数在
1
( 2)nn
n
a x
∞
=
−∑ 2x = − 5x C=
一定发散 一定条件收敛
一定绝对收敛 敛散性不定
A B
C D
35
4
36 如
5 61 cos 2
0
( ) sin , ( )
5 6
x x xf x t dt g x
−= = +∫ 则当 时
是 的( )f x ( )g x B
0x→
A 低阶无穷小 B 高阶无穷小
等价无穷小C D 同阶但不等价无穷小
37 设函数 是微分方程 的两个不同特解
则该方程的通解为
1 2( ), ( )y x y x ( ) ( )y p x y f x′ + =
D
1 1 2 2A y c y c y= + 1 2B y y cy= +
1 1 2( )C y y c y y= + + 1 2 1( )C y y c y y= + −
38 20
1 tan 1 sin 1lim ( )
sin 4x
x x
x x→
+ − +
2
3 330 0 0
tan sin 1 tan (1 cos ) 1 12lim lim lim
2 2 4( 1 tan 1 sin )x x x
xxx x x x
x xx x x→ → →
− −= = = =+ + +
i
39
0
1 1lim ( )
ln(1 ) ln(1 )x x x+→
++ −
40
2
20
coslim
ln(1 )
x
x
e x
x→
−
+
2 2
20 0
ln(1 )lim lim 1
ln(1 )ln(1 )x x
x x
x x x→ →
−= = =− +
2
2 20
1 1 cos 1 3lim 1
2 2
x
x
e x
x x→
− −= + = + =
41 曲线 在点 处切线方程4
s e c
t
x t
y e π−
=⎧⎨ =⎩ ( , ) ( 2,1)x y =
1 2 2( 2)y x− = −
42
2
0
0
(1 )
lim 1
tan
x t
x
e t dt
x x→
+ =∫
43
22
30
1 1lim
sin 2
x
x
x e
x x
−
→
− − = −
44
1
1
0
lim(3 2)
x
x x
x
e −→ −
45
1
40
2 sinlim( )
1
x
x
x
e x
xe
→
+ +
+
1
0 0
3( 1)1 1lim 3 lim 31
0
lim(1 3( 1))
x
x
x x
x
ex x
x x x x
x
e e e e
−
→ →
− − −−
→= + − = = =
1
40
2 sinlim ( ) 2 1 1
1
x
x
x
e x
xe
−→
+ − = − =
+ 1
40
2 sinlim ( ) 0 1 1
1
x
x
x
e x
xe
+→
+ + = + =
+
曲线的水平渐近线
4sin
5 2cos
x xy
x x
+= −
1
5
y =
设 在 连续,则
2
3 0
1 sin 0
( )
0
x
t dt x
f x x
a x
⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩
∫ 0x = 1
3
a =
4sin 1lim
5 2cos 5x
x x
x x→∞
+ =−
1
5
y =
曲线 的水平渐近线
2 2
0
3 20 0
sin sin 1lim lim
3 3
x
x x
t dt xa
x x→ →
= = =∫
46
47
5
48 设 21( ) ( ) cos( )
1
x
x
ey f f x x
e
− ′= =+ 求 0x
dy
dx =
1 1( ) ( )
1 1
x x
x x
dy e ef
dx e e
− −′ ′= + +
02
1 2 1 1( ) (0)
1 ( 1) 2 2
x x
xx x
e e dyf f
e e dx =
−′ ′= = =+ +
设
2
2arctan ln 1
x
x
x
ey e
e
= − + 求
1x
dy
dx =
2arctan ln( 1)x xe x e= − + +
2
2 2
21
1 1
x x
x x
dy e e
dx e e
= − ++ +
1x
dy
dx =
2
1
1
e
e
−= +
49
设 在 连续,且( )f x 1x =
1
( ) 3lim 2
1x
f x
x→
− =− 则 (1) 3f =
2
1
ln 2lim xx
x x x
e e e→
− + =−
1
( ) 3lim 2
1x
f x
x→
− =− 分母趋于零 1 1lim ( ) 3 0 lim ( ) 3x xf x f x→ →− = → =
( )f x 1x =在 连续 1(1) lim ( ) 3xf f x→= =
2
1 1
12 1ln 2lim limx xx x
xx x x x
e e e e→ →
− +− + = =−
50
51
求 2 lnx xdx∫
求 3 2
0
(2 )x dx−∫
3 3
3 3 31 1 1ln ( ) ln
3 3 3 9
x xxd x x x x dx c
x
⎡ ⎤= = − ⋅ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
3 2 3
0 0 2
2 (2 ) ( 2)xdx x dx x dx= − = − + −∫ ∫ ∫
52
53
54 计算 16
1 1
dx
x −∫
55
1
0
arcsinx xdx∫
23
0
4 (1 )1 8 3t tx t dt
t
+− = =∫
1 12 2 2
20 0
11 1 1arcsin ( arcsin )
02 2 1
xdx x x x dx
x
= = − ⋅ −∫ ∫
2
2
0
1 sin cos 1 1
4 2 cos 4 2 2 2 8
t tdt
t
ππ π π π= − = − ⋅ ⋅ =∫
56 设
1
( ) ,
x
y
x
f x e dy= ∫ 求 10 ( )f x dx∫
1
2
e −=
1 1
0
x
y
x
e dy dx
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
1
0
( )f x dx∫
1 1 1 1
0 0 0 0
( ) ( 1)
x x
yy y
x
xdx e dy ydy e d y e dy
y
⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫
6
57 1
1 1l i m ( )
2
1
x
x
x
e
→ ∞ − =−
解 设 1t
x
=
1 20 0
1 1 1 1 1lim ( ) l im ( ) l im
1 2
1
t
tx t t
x
e tx
t e t
e
→ ∞ → →
− −− = − = =−−
58
3lim ln(1 2 ) ln(1 ) 3ln 2x
x x→+∞
+ + =
解
3 ln(1 2 )lim ln(1 2 )ln(1 ) 3 lim
x
x
x xx x→+∞ →+∞
++ + =
2 ln 23 lim 3ln 2
1 2
x
xx→+∞
= =+
59 已知
0
( )ln(1 )
sin3lim 5
3 1xx
f x
x
→
+
=−
求 20
( )lim 10ln3
x
f x
x→
=
60 3 3
1 1 1c o s ( ta n ) 1lim
ln (1 ) ln 3x
x x x
x x→ ∞
−
= −+ −
61 设
[ ]
20
( ) (0) tan3
lim 4
x
f x f x
x→
− =
则
4(0)
3
f ′ =
62 求 的间断点,并判别类型1( ) sinf x x
x
=
63 设 由方程 确定2 2 ( )u z z z z x= + = ( 1)x y zxe ye ze z− = ≠ −
求 du
0x = 为间断点 0 1lim sin 0x x x→ =
0x = 为第一类可去间断点
( ) (1 )x y z xxF x xe ye ze F x e= − − = + (1 ) yyF y e= − +
(1 ) zyF z e= − + (1 )(1 )
x
x
z
z
Fz x e
x F z e
∂ += − =∂ +
(1 )
(1 )
y
x
z
z
Fz y e
y F z e
∂ += − = −∂ +
z zdz dx dy
x x
∂ ∂= +∂ ∂
(1 )
(1 )
x
z
x e
z e
+= + dx
(1 )
(1 )
y
z
y e dy
z e
+− +
( 2 2 )du z dz= + = dx (1 )
(1 )
y
z
y e dy
z e
+− +
(1 )(2 2)
(1 )
x
z
x ez
z e
++ +
64 设 与 在 处切线相同,求此
切线方程与极限
( )y f x= 2arctan
0
x ty e dt−= ∫
2lim ( )
n
nf
n→∞
(0,0)
2arctan
02
1 (0) 1
1
x
xy e f yx
−
=′ ′ ′= ⋅ = =+
切线方程: y x=
2lim ( )
n
nf
n→∞
=
2( )
lim 1n
f
n
n
→∞ =
2( ) (0)
2 lim 2 (0) 22n
f f
n f
n
→∞
−
′= =
65 设 ( , ) ( )y xz f xy g
x y
= + 求 zx
∂
∂
66 设 1 ( ) ( )z f xy yg x yx= + + 求
2z
x y
∂
∂ ∂
z
x
∂
∂ 1 2 2
1( )yf y f g
x y
′= ⋅ + ⋅ − + ⋅
2
1 1z f f y yg
x x x
∂ ′ ′= − ⋅ + ⋅ ⋅ +∂
( )2 21 1z f x f y f x g ygx y x x
∂ ′ ′ ′′ ′ ′′= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + +∂ ∂
= yf g yg′′ ′ ′′+ +
67 设 由方程 确定( , )z z x y= 3( , 3 ) 0F x z x y z+ + = 求
z z
x y
∂ ∂
∂ ∂
2
1 2
3
1 2
3x
z
F F x z Fz
x F F x F
⋅ +∂ = − =∂ ⋅ +
2
3
1 2
3Fz
y F x F
∂ = −∂ ⋅ +
2 3
1 2 2 1 23 3x y zF F x z F F F F F x F= ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ +
7
68 求 ( , ) (4 )f x y xy x y= − − 在 0 0 6x y x y= = + =
所围闭区域上最值
2 24 2 4 2f fy xy y x xy x
x y
∂ ∂= − − = − −∂ ∂
4 40 0 (0,0) ( , )
3 3
f f
x y
∂ ∂= =∂ ∂
4 4 64( , )
3 3 27
f =
在边界 上0 ; 0x y= = ( ,0) 0; (0, ) 0f x f y= =
在边界 上6x y+ = 2(6 )(4 6 ) 2 12f x x x x x x= − − − + = −
( ) 0 3 3 (3,3) 18f x x y f′ = = → = = −
最大值 最小值64
27 18−
69 将 展开成 的幂级数2( ) ln(3 2 )f x x x= − − ( 1)x +
2 1 1( ) ln(3 2 ) ln2 ln(1 ) ln2 ln(1 )
2 2
x xf x x x + += − − = + − + + +
1
12ln2 ( )
2
n
n
x∞
=
+= − +∑ 1
1
1( 1) ( )
2
n n
n
x∞ −
=
++ −∑
1
( 1) 12ln2 ( 1) ( 3,1)
2
n
n
n
n
x
∞
=
− −= + + −∑
70 求级数 的和
2
1
( 1)2nn n
∞
= −∑
71 求级数 的和
1
3 1
4nn
n∞
=
+∑
2
1 1
( 1)2 2nn n
∞
=
=−∑ 12 2
1( ) 1 12 ln(1 ) ln2
( 1) 2 2
n
xn
x
n
∞
==
= − − =−∑
1
3 1
4nn
n∞
=
+∑ 1
1 1
3 1 1( ) ( )
4 4 4
n n
n n
n
∞ ∞
−
= =
= +∑ ∑
1
2
1 1
1 1( ) ( 1) ( )
1 (1 )
n n
n n
nx x s x
x x
∞ ∞
−
= =
′ ′= = − = =− −∑ ∑
1
3 1 3 1 1 5( ) 134 4 4 3(1 )
4
n
n
n s
∞
=
+ = ⋅ + − =
−
∑
72 已知曲线积分 与路径无关
其中 可微,且 求
2 22 ( ) ( ( ))
L
xyf x dx x y f x dy+ + −∫
( )f x (0) 2f = ( )f x
因无关 Q Px y
∂ ∂=∂ ∂
2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2x f x xf x f x xf x x′ ′− = → + =
2 2 22 2( ) 2 ( ) 1xdx xdx x x xf x e xe dx c e e c ce− − −⎛ ⎞∫ ∫= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
(0) 2f = 1c = 2( ) 1xf x e−= +
73 设曲线
1)求该曲线过原点的切线
lny x=
2)求该切线与曲线及 轴所围平面图形面积
3)求平面图形绕 旋转一周所得旋转体体积
x
0y =
0
0
1 1
xy k yx x
′ ′= = =1)设切点为 0 0( , ln )x x
切线 0 0
0
1ln ( )y x x x
x
− = − (0,0) 代入 0x e=
切线 = xey
2) 0 1 ln
e exS dx xdx
e
= − =∫ ∫ 12e −
3) 2 2
0 1
2( ) ln (2 )
3
e ex eV dx xdx
e
π π π= − = −∫ ∫
74 设 2 1
( )( ) ln 2
e f xf x x x dx
x
= − ∫ 求 ( )f x
75 设 连续, 求( )f x 0 ( ) 1 cos
x
t f x t dt x− = −∫ 20 ( )f x dx
π∫
设 1
( )e f x dx A
x
=∫ 2( ) lnf x x Ax= −
( ) ln 2f x x Ax
x x
= − 21 1
ln( 2 ) ln (ln )
1
e e exA Ax dx A xd x Ax
x
= − → = −∫ ∫
2
1A
e
=
2
2( ) ln
xf x x
e
= −
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
tf x t dt x t u x u f u du x f u du f u du− − = − = −∫ ∫ ∫ ∫
即 0 0( ) ( ) 1 cos
x x
x f u du f u du x− = −∫ ∫
0
( ) sin
x
f u du x=∫ 20 ( ) 1f x dx
π
=∫
8
76 计算 3sin : , 2 ,
D
x dxdy D y x y x y
y
= = =∫∫ 所围平面闭区域
1( (3cos1 sin1 sin4))
2
= + −
3
3
1 2
0 1
sin sin
y y
y y
x x x xydy d ydy d
y y y y
= +∫ ∫ ∫ ∫sin
D
x dxdy
y∫∫
31 2
30 1
cos cos
yyx xy dy y dy
yy yy
= +∫ ∫
1 22 2
0 1
( cos cos1) ( cos1 cos )y y y dy y y y dy= − + −∫ ∫
77 已知 的一个原函数为 求sinx x ( )xf x dx′∫( )f x
( ) ( ) ( )xdf x xf x f x dx= = −∫ ∫( )xf x dx′∫
2( sin ) sin cosx x x x x c x x c′= − + = +
78 求 在区间 上的最大值
4 32( )
4 3
x xf x = − [ ]1,3−
3 2( ) 2 ( ) 0 0 2f x x x f x x x′ ′= − = = =
4 11 3(0) 0 (2) ( 1) (3)
3 12 4
f f f f= = − − = =
最大值 11( 1) 12f − = 最小值
4(2)
3
f = −
79 设 由方程 所确定的隐函数,求( , )z z x y= lnx zz y= ,
z z
x y
∂ ∂
∂ ∂
(ln ln ) 1 1 ln ln 1x y z
z xF x z z y F F F z y
y z
= − − = = = − − + = − −
2
yx
Z z
FFz z z z
x F x z y F x z
∂ ∂= − = = − =∂ + ∂ +
80 求曲面 所围成的空间立体体积2 2 2 22z x y z x y= + = − +
2 2
2 2
2 2
1
2
z x y
x y
z x y
⎧ = +⎪ → + =⎨ = − +⎪⎩
2 2: 1D x y+ ≤
2 12 2 2 2 2
0 0
5(2 ) (2 )
6D
V x y x y dxdy d r r rdr
π πθ= − + − − = − − =∫∫ ∫ ∫
23 xx e dx∫求
求 21
ln2( )
( 1) 2
dx
x x
+∞
+∫
2
2 2
2
2 2 21 1 ( 1)
2 2 2
x
x x e xx e dx x de −= = =∫ ∫
2
21
1 1( ) (ln ln(1 ))
11 2
x dx x x
x x
+∞ +∞= − = − ++∫
2
ln2ln
1 21
x
x
+∞= =+
3
6
81
82
9
设曲线C为椭圆 并取正向,则曲线积分2 24 1x y+ +
2 24c
ydx xdy
x y
− +
+∫v求 ( )π
2 2
12 2 1
4 2c c D
ydx xdy ydx xdy dxdy
x y
π π− + = − + = = ⋅ ⋅ ⋅ =+∫ ∫ ∫∫v v
2 2
2
: 11 1( )
2
x yD + ≤
83
84
85 求微分方程 满足条件 的解22 xy y e′′ ′− = (0) 1, (0) 1y y′= =
2 23
4 4 2
x xe xey = + +
特征方程: 2 2 0 0 2r r r r− = = = 21 2 xY c c e= +
设 2 xpy Axe= 将 代入方程并消去 得p py y′ ′′ 2 xe
1
2
A =
通解
2
2
1 2 2
x
x xey c c e= + +
2 2 2
2
12 ( 2 )
2
x x xy c e e xe′ = + +
将 代入上两式得(0) 1, (0) 1y y′= = 1 23 14 4c c= =
特解
求 2 2 2 2 2 2( ) : 4 ( 1) 1
D
x y y dxdy D x y x y+ + + ≤ + + ≥∫∫
16 (3 2)
9
π= −
1
2 22 2 2 2 2
0 0 2cos
2
( ) 2 2( )
D D
x y y dxdy x y dxdy d r rdr d r rdr
π π
π θθ θ −+ + = + = ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2cosr θ=
2r =
区域 关于 轴对称D y
86 求方程 的通解5 6 (2 )x xy y y e e′′ ′− + = +
2 3 2
1 2
x x x xy c e c e e xe= + + −
25 6 2 x xy y y e e′′ ′− + = +
2 3
1 2
x xY c e c e= +
1
2 x
py Axe= 为 的特解25 6 xy y y e′′ ′− + =
2
x
py Be= 为 的特解5 6 2 xy y y e′′ ′− + =
通解:
87
设有直线 与直线 的夹角1 1 5 6: 1 2 1
x y zL − − += =− 2
6
:
2 3
x y
L
y z
− =⎧⎨ + =⎩
A B C D3
π
2
π
6
π
4
π
A
解 即已知 1 2(1, 2,1) 1 1 0 ( 1, 1,2)
0 2 1
i j k
s s= − = − = − −
G G G
JG JG
,
1 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 ( 1) ( 2) ( 1) 1 2 1cos( , )
21 ( 2) 1 ( 1) ( 1) 2
s ss s
s s
⋅ ⋅ − + − ⋅ − + ⋅= = =+ − + − + − +
JJGJGJG JG
JG JG
选A
88 89 计算 3 2
4 1 1 1
(2 1) 2 1 2 (3 1)
x dx c
x x x
= − + ++ + +∫
解 令 2 1x t+ =
10
90 如 0
sinlim (cos ) 5xx
x x b
e a→
− =− 则 ,a b= =1 -4
91
2
12 2
1arctan ln ,
1 1
x
x
xx
e dy ey e
e dx e=
−= − =+ +
92
2
2
1
2
11
12( ) , ( 1)
1 21
2
xxe x
f x f x dx
x
⎧ − ≤ <⎪⎪= − = −⎨⎪ − ≥⎪⎩
∫
493
( , ) 2f x y x y= + 则
(4,1)0
(4 ) (4,1) 1lim
3x
f x f f
x xΔ →
+ Δ − ∂= =Δ ∂
94 设 在 连续且( )f x 0x =
0
( )lim 2, (0) 1
1 1x
f x f
x→
′= =+ −
95 方程 在 附近确定了隐函数3 sin 3cos 2xy y x+ + = ( ,1)2
π
( )y y x= 求
2
3
4x
dy
dx π=
=
96 当 0, 1 tan 1 sinx x x→ + − + 是 的 阶无穷小
3
2
k =
k
x
x
解
0 0
1 tan 1 sin (tan sin )lim lim
( 1 tan 1 sin )
kx x k
x x x x
x x x x→ →
+ − + −=
+ + +
0 0
tan (1 cos )1 1 3 12lim lim
2 2 2 4k kx x
xxx x k
x x→ →
−= = = =
97 ln ( ln ) 0y ydx x y dy+ − = 通解为 21 1 lnln 2x y cy
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
解 一阶线性非齐次方程1 1
ln
x x
y y y
′ + =
98
1
20
arcsin 1
1
x xdx
x
=−∫
解 1 1 2
20 0
arcsin arcsin ( 1 )
1
x xdx xd x
x
= − −−∫ ∫
12
0
1
1 arcsin 1
0
x x dx= − − + =∫
也可令 sinx t=
99 已知 2
0 0
( ) ( ) , ( )sin 2, ( ) 3
2
x
g x f t dt f x xdx f
π π′= = =∫ ∫
求 2
0
( )sing x xdx
π∫
解 2 2
0 0
( )sin ( ) cos cos ( ) 2
0
g x xdx g x d x x g x
π π π
= − = − ⋅ +∫ ∫
2
0
( )cosf x xdx
π
=∫ 20 ( ) sin ( )sin 2
0
f x d x f x x
π π
= −∫ 20 ( )sin 1f x xdx
π
′ =∫
100 设 在 连续,且 计算( )f x [ )0.+∞ lim ( ) 2007
x
f x→+∞ =
1
0
lim ( )
n
f nx dx→+∞ ∫
解 令 则nx t=
0
( )lim
n
n
f t dt
n→+∞ ∫10lim ( )n f nx dx→+∞ =∫
0
( )
lim lim ( ) 2007
n
n n
f t dt
f n
n→+∞ →+∞
= = =∫
101 设函数 二阶可导,且满足 求( )f x
0
( ) sin 2 ( )
x
f x x tf x t dt= + −∫ ( )f x
解 令 则x t u− =
0
( ) sin 2 ( ) ( )
x
f x x x u f u du= + −∫
0 0
( ) sin 2 ( ) ( )
x x
f x x x f u du uf u du= + −∫ ∫即 且 (0) 0f =
0
( ) 2cos2 ( )
x
f x x f u du′ = + ∫ (0) 2f ′ =
( ) ( ) 4sin 2f x f x x′′ − = − 1 21, 1 x xr r Y c e c e−= = − = +
设 sin 2 cos2py a x b x= + 代入方程得 4 05A B= =
1 2
4( ) sin 2
5
x xf x c e c e x−= + +
(0) 0, (0) 2f f ′= = 1 21 15 5c c= − =
1 1 4( ) sin 2
5 5 5
x xf x e e x−= − + +
11
102 求 在区间 上的最大最小值
3 2( ) 4 18 10f x x x= − +
[ ]0 , 2
解 令 [ ]3 2( ) 4 18 10, 0,2g x x x x= − + ∈
( ) 12 ( 3) 0 (0) 10 ( ) (2) 30g x x x g g x g′ = − < ∴ = > > = −
因此1 在区间 上的最大最小值[ ]0 , 2
为 和30 0
3 2( ) 4 18 10f x x x= − + 103 设函数 lny x=
(1)求该曲线过原点的切线;(2)求由上述切线与曲线及
轴所围平面图形面积x
(3) 求(2)中平面图形绕直线 旋转一周所
成的旋转体体积
1y = −
解 (1)切线方程: xy
e
= (2) 1
0
( ) 1
2
y es e ey dy= − = −∫
(3) 2 2 2
0 1
( 1) (ln 1) 1 1
3
e ex ev dx x dx
e
ππ π π= + − + − ⋅ ⋅ =∫ ∫
xy
e
=
lny x=
0 1 e
1−
104 试确定 的值,使得方程 3 3 0x x p− + =p
1) 有一个实根
2) 有一个实根
3) 有一个实根
2p < − 或 2p >
2, 2p p= = −
2 2p− < <
105 求通过二平面 和 的交线及点
的平面方程
2 4 0x y+ − = 2 0y z+ =
0 (2, 1, 1)m − −
(所求平面方程: )3 6 0x y z+ − − =
106 计算 其中C为上半圆周3 3
1
c
x ydx dy
r r
− −+∫ 2y x x= −
(1,0) (0,0) 2 2 2(1 )r x y= + −
3 3
1 11
2c
x ydx dy
r r
− −+ = −∫
方向从 到
107 求数项级数 的和
1
4( 1)
3
n
n
n
n∞
=
+−∑
解 设
1 1 1
( ) ( 4) ( 1) 3n n n
n n n
s x n x n x x
∞ ∞ ∞
= = =
= + = + +∑ ∑ ∑
2 2
1
2
1
3 3 5 4( ) ( )
1 1 1 (1 )
n
n
x x x x xx
x x x x
∞ +
=
−′ ′= + = + =− − − −∑
1
4 1 19( 1) ( )
3 3 16
n
n
n
n s
∞
=
+− = − = −∑
1 108 求数项级数 的和
2
1
( 1)
3
n
n
n
n∞
=
−∑
解
2
2
1 1
1( 1) ( )
3 3
n n
n
n n
n n
∞ ∞
= =
− = −∑ ∑
设 2
1
( ) n
n
s x n x
∞
=
=∑
1 1
( ) ( )
1
n n
n n
xx nx x x x x x
x
∞ ∞
= =
′⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥′ ′= = = ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑
( )
2 3
1
(1 ) (1 )
x xxx
x x
′ +⎡ ⎤= =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
2
1
1 3( 1) ( )
3 3 32
n
n
n
n s
∞
=
− = − = −∑
12
109 设 在 连续,且单调减少,证明:当 有( )f x [ ]0,1 0 1a< <
1
0 0
( ) ( )
a
f x dx a f x dx≥∫ ∫ 即证 10 01 ( ) ( )a f x dx f x dxa ≥∫ ∫
证: 设 1
0 0
1( ) ( ) ( ) 0 1
x
F x f t dt f t dt x
x
= − < <∫ ∫
0
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0
x
xf x f t dt xf x xfF x x
x x
ξ ξ− −′ = = < <∫
( ) ( ) 0f x f
x
ξ−= < ( 单调减,故( )f x ( ) ( ))f x f ξ≤
( )F x 单调减 1 ( ) (1) 0x F x F< → ≥ =
1
0 0
1 ( ) ( )
a
f x dx f x dx
a
≥∫ ∫即
110 证明:当 时,有
11 1
2(1 )
x
xx e
+ ++ <0x >
证: 即证 1(1 )ln(1 ) 1
2
xx
x
+ + < + 22(1 )ln(1 ) 2x x x x+ + < +
设 ( )f x = 22(1 )ln(1 ) 2 0x x x x x+ + − − >
( ) 2(1 ln(1 )) 2 2 2(ln(1 ) ) 0f x x x x x′ = + + − − = + − <
单调减,当( )f x 0 ( ) (0) 0x f x f> < =
11 1
2(1 )
x
xx e
+ ++ <0x >故