有关规范场与纤维丛关系问题的三次阐释_冯晓华

第 26卷,第 5期 科 学 技 术 哲 学研 究 Vo.l 26 No. 5 2009年 10月 Stud ies in Ph ilosophy of Science and Techno logy Oc.t , 2009 有关规范场与纤维丛关系问的三次阐释 冯晓华,高 策 (山西大学科学技术哲学研究中心 ,太原 030006) 摘 要: 20世纪末期,先后有四位学者论述了规范场与纤维丛的关系:数学物理学家陆启铿的研究最早发表, 它表明抽象数学世界的纤维丛在物理世界获得了规范场这一对应物,纤维丛的客观实在性得到了体现; 物理学家 吴大峻与杨振宁的研究影响深远 ,它体现了纤维丛为规范场提供了基础性支持这一思想;数学家陈省身给出了一 个本质性的总结: 一维纤维的几何表示就是麦克斯韦方程 (电磁场 ), 它向二维推广就是杨 -米尔斯方程 (规范 场 )。 关键词: 规范场;纤维丛; 陆启铿;吴大峻;杨振宁; 陈省身 中图分类号: N09 文献标识码: A 文章编号: 1674- 7062( 2009) 05- 0081- 06 规范场与纤维丛理论属于 20世纪物理、数学研 究领域的两个经典理论, 在相互独立基础上发展出 来的这两个理论,几十年后被发现有密切关系:规范 场就是纤维丛上的联络。这种不同学科以不同形式 在本质上诠释着同一概念同一理论的事情, 成就了 科学史上又一段佳话。 首先发现这个关系问题的是杨振宁。在杨振宁 与米尔斯 1954年那篇重要的规范场 [ 1]发表十 多年后,杨振宁注意到了规范场中场强的数学表达 式与黎曼几何中曲率张量的数学表达式十分相似, 而且后者是前者的一个特例。[ 2] 258于是从直觉上他 感到二者之间可能有某种关系。是什么关系,他当 时一无所知。于是他向任伯克利数学系系主任的西 蒙斯请教,西蒙斯告诉杨振宁, 他的规范场理论一定 和现代微分几何中的纤维丛理论有关, 并让杨振宁 去读斯廷罗德的 5纤维丛的拓扑学 6[ 3]。但是对于 杨振宁,读数学著作是件麻烦的事情,所以他将这一 问题放在了一边,这一搁就是八年。 随着相关研究的进展以及人们对杨振宁 1954 年那篇论文的不断引用, 杨振宁再次注意了这个问 题,并在多种场合不断地提出这个问题。1972年杨 振宁在北京大学的一次演讲中就提到了这个问题, 它很快吸引了听众中非常熟悉纤维丛理论的数学物 理学家陆启铿,由于事先曾过杨振宁的这篇演 讲稿,以供中央领导阅读,所以陆启铿非常熟悉杨振 宁报告中的内容 (另文详述 )。之后经过夜以继日 的紧张思考, 陆启铿很快解决了这个问题, 于 1974 年在 5物理学报6上,发表了他的研究结果 /规范场 与主纤维丛上的联络0 [ 4]。 在美国,杨振宁还是没有去读西蒙斯推荐给他 的那本有关纤维丛理论的著作, 而是邀请西蒙斯本 人来讲纤维丛理论,很快杨振宁就有了规范场与纤 维丛关系问题的答案 (另文详述 ) , 在 1975年美国 著名杂志 5物理评论 6上, 他和吴大峻合作发表了这 一研究结果 /不可积相因子和规范场的整体表 示0 [ 5 ]。 在相互独立研究的情况下,陆启铿、吴大峻与杨 振宁解决了规范场与纤维丛的关系问题。这一问题 的解决在物理学界和数学界产生了深远的影响, 一 些物理学家开始纷纷研究纤维丛,一些数学家开始 =收稿日期> 2009- 01- 23 =基金项目> 国家哲学社会科学基金项目 ( 08BZX020); 教育部人文社科基金项目 ( 08JC720010) =作者简介> 冯晓华 ( 1977- ), 女,山西原平人, 山西大学科学技术哲学研究中心讲师, 研究方向为近现代数学史; 高 策 ( 1958- ), 男,山西太原人, 山西大学科学技术哲学研究中心教授, 研究方向为科技史。 81 纷纷研究规范场。原本分属于两个不同学科的理 论,现在人们很难将它们区分开来。这一问题的解 决再次优美地诠释了数学与物理之间那千丝万缕的 关系。 1989年, 作为纤维丛理论的重要贡献者陈省 身在 /具有联络的向量丛 0[ 6]一文中给出了纤维丛 与规范场关系的一个本质性论述, 从而将这一问题 划上了完美的句号。 对于规范场与纤维丛的关系问题, 三种学科身 份的研究者从三种角度给出了三种阐释; 在三种阐 释中, 三种科学思想熠熠生辉。 一 1974年数学物理学家 陆启铿给出的首次阐述 陆启铿是一位数学物理学家,他的目的是正确、 清晰地处理规范场论中出现的数学问题。他从主纤 维丛的联络论的观点出发,系统地处理了规范场理 论。整个论证过程是数学的,但可以看到行文始终 以物理中的规范场为指引,即以物理中规范场的重 要关系为结果,逐步从纤维丛上等价变形出与之相 一致的关系。与吴大峻、杨振宁的文章相比,他的文 章展现出了浓郁的数学味道。 陆启铿首先给出了三个几何概念:微分流形M、 主纤维丛 P和主纤维丛 P (M, G )上的联络 #。主纤 维丛 P (M, G )上的联络 #满足 ( 1. 2) : # cav 9xcv 9x L (AdUUV ( x ) - 1 ) a b # b L + v a b ( UUV ( x ) ) 9U b UV ( x ) 9x L 陆启铿遵从物理上的一些习惯将上式等价代换与恒 等变形为公式 ( 1. 6): # cL = S - 1 # LS + S - 1 9S 9x L 得到此式后,陆启铿紧接着说了一句话 /联络 #aL即 物理上称为规范势者 0。 对于一般读者来说, 这个结论给得非常突兀。 因为在论证过程中,并没有提及物理上的规范势,陆 启铿怎么就得到了这个结论? 如果我们拿出 1954 年杨振宁与米尔斯在 5物理评论 6上的那篇论文,对 比文中给出的规范势 BL上的同位规范变换公式 ( 3) BcL = S - 1 BLS + i E S - 1 9S 9xL 就会发现,公式 ( 1. 6)与公式 ( 3)相同, 所以联络 #aL 就是物理上的规范势 BL。 接着,陆启铿给出了联络 #上的曲率张量的定 义 ( 1. 7)式: F a Lv = 9# a v 9x L - 9# a L 9x v + C a bc # b L# c v 和曲率张量局部坐标变换公式 ( 1. 8) : Fc a Kp = 9xcK 9x L 9xcp 9x v = (AdUUV ( x ) - 1 ) b aF b Lv 同理,陆启铿遵从物理上的一些习惯, 将公式 ( 1. 7) 进行等价代换与恒等变形为公式 ( 1. 9): F Lv = 9# v 9x L - 9# L 9x v + # L# v - # v # L 随即,陆启铿指出 /物理上称曲率张量为规范场0。 我们对比 1954年杨振宁与米尔斯论文中所定 义的规范场的场强公式 ( 4) : F Lv = 9B L 9xv - 9Bv 9xL + iE(B LBv - B vB L) 就会发现公式 ( 1. 9)与公式 ( 4)相同,所以联络 #上 的曲率张量就是物理中的规范场。同理公式 ( 1. 8) 恒等变形为公式 ( 1. 10): FcLv = S - 1 F LvS 陆启铿指出曲率张量局部坐标变换就是常见的规范 场的变换关系。 我们对比 1954年杨振宁与米尔斯论文中规范 变换公式 ( 5): FcLv = S - 1 F LvS 就会发现公式 ( 1. 10)与公式 ( 5)相同, 所以曲率张 量局部坐标变换就是常见的规范场的变换关系。 随后陆启铿还证明了 /物理上的规范变换 S (x ) 即主纤维丛上的联接函数 UUV ( x ) 0。 这样,陆启铿就给出了规范场与纤维丛的对应 关系,虽然他没有给出一张明确的对照表,但他的整 个论述是非常清楚简洁的, 使读他论文的人对规范 场与纤维丛的关系一目了然。另外陆启铿虽然是从 数学的观点处理物理中的规范场,但为了与现代物 理中规范场的常用符号相联系, 也为了 /较易于为 物理学工作者所接受 0 [ 4] , 陆启铿没有使用现代数 学常用的更抽象的术语与符号来精炼地叙述他所要 表达的观点,而是采取了较繁且较具体的局部坐标 描述方法来讨论问题, 这充分体现了数学物理学家 与数学家的不同之处。不过, 对于其中所定义的概 念,陆启铿都指明了它们与现代数学中由公理化定 义的相应概念的一致性。 为了便于读者对比, 我们仿照吴大峻与杨振宁 当年那个著名的规范场与纤维丛术语对照表, 也将 陆启铿上述结果列成表格形式,称为陆启铿表。 我们可以看出它与吴大峻、杨振宁表格的相似 与不同。这种不同当然来自于对整个问题的不同理 82 解以及学科身份的不同,但都相当的漂亮。 陆启铿表 规范势 BL 主纤维丛上的联络 # aL 场强 FLv 曲率张量 FaLv 规范场的变换 曲率张量局部坐标变换 规范变换 S( x) 主纤维丛上的联接函数 UUV ( x ) 对比陆启铿与吴大峻、杨振宁论文中对规范场 与纤维丛关系问题的处理,我们发现除了在解决的 问题与结果上是相同的外,其他非常的不同。 ( 1)首先是风格完全不同: 后者是物理特色的 而前者是数学特色的; ( 2)其次目的不同:后者是为了物理的目的而前 者纯粹是为了解决关系问题,陆文对纤维丛与规范场 概念之间的对应关系做了详细而清晰的数学论证; ( 3)最后是影响的不同: 在这一问题的解决上, 陆启铿确实是早于吴大峻与杨振宁一年发表了研究 结果, 我们国内也将奠基性的荣誉毫无争议的给予 了陆启铿;但不得不指出的一点是, 这一问题的解决 真正被国际认可、产生国际性影响的还是吴大峻与杨 振宁的论文,原因很多: ¹ 主要是问题来源背景不同 的原因,杨振宁经历了问题提出与解决的整个过程; º杨振宁本人也曾谈到一点,就是他们的论文中给出 了一张醒目的对照表, 使读者产生了深刻的印象; » 当时在中国杂志发表成果与国际交流的局限性。 二 1975年物理学家吴大峻、 杨振宁给出的影响深远的阐述 吴大峻与杨振宁是物理学家, 他们的研究思路 是物理的,他们关心的是描述物理中规范理论的主 要概念。在论述中, 他们始终围绕电磁学的基本问 题:什么是对电磁学本质的、完整的描述。 在法拉第和麦克斯韦提出用电磁场来描述电磁 学以后,一旦知道了场强,就能够描述整个电磁学。 但是 1959年 A haranov和 Bohm设计的 A- B实验打 破了这个局面, 尽管这个实验当时还没有实现, 但是 它使物理学家发现在量子理论中,仅仅用场强不能够 完全描述在电子波函数上的所有电磁作用。1960年, R. G. Chamber首次实现了 A - B实验,他发现在场强 为零的复连通域,每一点物理实验的结果都依赖于沿 着不可收缩圈的圈积分,即位相 ( 1)式: e ¶cjALdx L 通过对 A - B实验的考察及相关定理的证明, 吴大峻与杨振宁发现: ( a)场强不能完全描述 ( un- derdescr ibe)电磁学; b)位相 ( 1)描述电磁学又太充 分了 ( overdescribe)。那么什么能够为电磁学提供 一个完整的描述,它既不多余、也不不足? 答案是位 相 ( 1)的相因子 ( 2)式: exp( ie ¶cjALdx L ) 不过吴大峻与杨振宁发现,在某些情况下,特别是从 阿贝耳群的情形推广到非阿贝耳群的时候, 表达式 ( 2)用起来比较不方便, 如果要用作基础概念, 从 P 到 Q的任意路径上的相因子的概念 ( 7)式: 5 QP = exp( ie ¶c Q Q P ALdx L ) 更方便。 吴大峻与杨振宁称从 P到 Q的任意路径上的 相因子 ( 7)为不可积相因子, 不可积相因子就是依 赖于路径的相因子。 这样吴大峻与杨振宁将不可积相因子的概念作 为了描述电磁学的基础。他们指出:电磁学就是不 可积相因子的规范不变表示。 用不可积相因子来描述规范场并不是新鲜事。 但是已有研究讨论的中心仅仅是规范场的局部值, 而吴大峻与杨振宁现在是要将不可积相因子的概念 运用到规范场的整体问题上去。他们面临的一个困 难是:如果路径是沿着奇异点,不可积相因子就无法 定义。吴大峻与杨振宁首先在 D irac的磁单极场中 讨论了这一难题,他们设计了一个来解决这个难 题:对 R域进行分割,分成两个相交的域 Ra和 Rb;并 分别在两个区域上定义向量势 ( AL ) a和 (AL ) b。这 样一来,吴大峻与杨振宁就能够给出在满足 D irac量 子化条件下不可积相因子的一般性定义。 接着的问题是: 在不满足 D irac量子化条件下 怎么办? 吴大峻与杨振宁证明了在不满足 D irac量 子化条件下,上述关于不可积相因子的一般性定义 不可行,因为不存在对 R的分割。 在完成对不可积相因子的一般性定义后, 吴大 峻与杨振宁接着讨论了在定义不可积相因子时, 选 择相交域的灵活性和在相交域中选择向量势的灵活 性。对于其中涉及到的一个定理 8,吴大峻与杨振 宁做了一段评论, 他们说: /这个定理是 Chern - We il定理的特殊情况, Chern - W e il定理由著名的 Gauss- Bonnet- A llendoerfer- W eil- Chern定理演 变而来,这是当代数学发展中具有重大影响的一个 定理。我们想要强调这个定理的两个结果, ,。值 得注意的是这些结果在普遍的、深刻的数学定理中 仍然有效。0从这段话, 明显可以感到杨振宁对数学 的信仰,尽管他不喜欢读数学著作。 83 在完成了阿贝耳规范场情形的讨论后, 吴大峻 与杨振宁很快将阿贝耳规范场的情形推广到了非阿 贝耳规范场,即从局部推广到全域,将不可积相因子 作为了规范场的整体表示。在这个时候, 吴大峻与 杨振宁对文中所涉及的物理概念作了一个总结性阐 述,他们说: /这些概念已经被数学家在数学中作了 仔细深入地研究 0, 同时他给出了纤维丛与规范场 术语对照表。我们称为吴大峻 -杨振宁表。 规范场术语 纤维丛术语 规范或整体规范 主坐标丛 规范形式 主纤维丛 规范势 b 主纤维丛上的联络 S 转移函数 相因子 5 平行移动 场强 f 曲率 源 J ? 电磁作用 U ( 1)丛上的联络 同位旋规范场 SU ( 2)丛上的联络 狄拉克的磁单极量子化 按第一陈类将 U ( 1)丛分类 无磁单极的电磁作用 U( 1)平凡丛的联络 有磁单极的电磁作用 U( 1)非平凡丛上的联络 就是这个表,一目了然地将规范理论中的物理 概念和纤维丛理论中的数学概念加以一一对应,从 而能够很快吸引研究者的注意。1976年, 当杨振宁 向大数学家辛格介绍自己的这个研究时, 辛格一下 子就被这个表吸引住了, 因此促发了数学界研究规 范场的热潮。[ 2] 260 SU 2规范场的概念是在 1954年由杨振宁、米尔 斯首次提出的,到了 19世纪 70年代,大部分理论物 理学家都已经相信 SU 2规范场确实存在。但是,令 杨振宁仍然牵挂的是在他撰写本论文时, 仍然没有 这个理论性想法的实验证明。 ( 1983年初, 分别由 鲁比亚和达留拉特领导的两个实验组通过实验直接 地证明了 60年代由温伯格、萨拉姆、格拉肖提出的 弱电统一理论的正确性,这也首次为杨 - 米尔斯场 提供了实验证据。后来的量子色动力学也间接地用 实验证明了杨 -米尔斯规范场。再后来, 可重整化 性质的证明,使理论界在严格意义上普遍接受了杨 -米尔斯规范场。[ 7] )同位旋守恒仅仅暗示了同位 旋规范场的存在,而并没有要求它的存在。所以杨 振宁不得不亲自来思考: 哪种实验才是证明同位旋 规范场存在的决定性实验? 吴大峻与杨振宁讨论了 一个空想的、推广了的 SU 2规范场的 A - B实验,实 际上可以说是一个思想实验。不幸的是, 实验是不 可行的,除非大量的规范粒子消失。至此,能够支持 规范场的确凿证据就是它与纤维丛理论的关系,能 带给杨振宁巨大信心的也是数学上的这种支持。可 见数学在整个行文中的分量, 即使着墨不多。 最后吴大峻与杨振宁对全文的一些问题作了六 个评论。在第六个评论也就是最后一个评论中吴大 峻与杨振宁再次谈到了纤维丛,他说: /在数学家看 来,纤维丛是一个自然而然的几何概念。由于规范 场,特别是包括电磁场都是纤维丛,所以可以说所有 的规范场是建立在几何基础上的。对于我们来说, 值得注意的是没有涉及物理学而形成的一个几何概 念应当被证明是物理世界基础相互作用的一个基 础,甚至可能是全部基础。0 在这段评论中,吴大峻与杨振宁阐述了规范场 与纤维丛的关系:规范场,特别是包括电磁场都是纤 维丛。这就是我们熟知的规范场与纤维丛关系的经 典阐述,它出现在全文最后评论部分的最后一个评 论中。从中可以看出杨振宁在物理学中给予了纤维 丛非常高的地位,为物理学家探讨物理世界基本相 互作用的基础提供了一个研究方向。 我们曾谈到吴大峻与杨振宁的这篇论文被广为 人知是因为其中给出了规范场与纤维丛理论之间的 关系,尤其是它所给出的纤维丛与规范场术语对照 表,但是从上述分析来看,吴大峻与杨振宁的整个行 文是物理的,只是在一些地方,用简短肯定的话语指 出所涉内容已经被数学家所证实, 仅一句话而已,并 未展开论述。即使是给出规范场与纤维丛关系方 面,也仅仅用了一句话和一个纤维丛与规范场术语 对照表。为什么会这样? 吴大峻与杨振宁曾在论文的一开始谈到: 虽然 在第五部分给出了纤维丛与规范场术语对照表, 但 应当强调本文的兴趣不在数学中漂亮的、深刻的、普 遍的纤维丛理论的发展; 而是描述物理中规范理论 的主要概念。值得注意的是这些概念已经被数学家 作为数学内容作了详细的研究。 这段话给了上述问题一个很好的回答。对于吴 大峻与杨振宁来说,他们关注的是规范场,而不是纤 维丛,所以他们没有给纤维丛留多余的笔墨。另外, 从文献分析来看,对于吴大峻与杨振宁,纤维丛理论 早已是事实,而他们也完全明了规范场与纤维丛之 间的关系 (这归功于西蒙斯与陈省身 ) ; 所以当他们 将规范场论述清楚的时候, 也许认为规范场与纤维 丛之间的关系是显然的,没有必要论述。 既然关注的是规范场, 又无需耗墨论述规范场 与纤维丛的关系,然而吴大峻与杨振宁为什么还要 用一点点笔墨点破这层纸呢? 84 我们说不可积相因子与规范场整体表示是一种 创新尝试,从心理学上分析,创新即意味着需要获取 来自理论或实践方面的支持或检验, 来证明或验证 它的正确与否。吴大峻与杨振宁在规范场理论的论 述过程中,每当指出所述概念或结果已经在数学上 作了详细深入的论证时, 应该说一方面它的确给了 规范场以数学理论方面的支持, 另一方面在心理上 也给了吴大峻与杨振宁极大的支持, 使他们能够坚 信自己尝试的正确性, 这种来自心理方面的支持所 产生的积极作用是非常重要的。的确, 这种来自数 学方面的基础性支持,由于它的纯粹与绝对性,无需 多说, 只要说明存在即可 /表情达意0。 事实效果又如何呢? 这就是即使吴大峻与杨振 宁整篇论文是物理的,对纤维丛着墨不多,但在关键 的部分他们都有提及纤维丛或数学, 所以对于读这 篇论文的读者来说, 完全可以体会到数学或纤维丛 在规范场中的分量, 也完全可以体会到数学或纤维 丛在吴大峻与杨振宁心中所产生的深刻影响,也能 体会到吴大峻与杨振宁所感受到的震撼与信心。 1982年,杨振宁为他的这篇论文写了一个后 记 [ 8]。从这篇后记我们可以看到在经历时间的沉 淀后, 杨振宁更加认识到纤维丛的重要性。这篇后 记的第一句话就是 /研究场论的物理学家必须学习 纤维丛的数学概念, 这一点越来越清楚了 0。接着 他再次回忆了当年学习纤维丛的事情, 正是这样, /我们意识到规范场具有全局性的几何内涵 (不应 同物理学家的全局相因子混为一谈 )。这种内涵是 自然而然的用纤维丛概念表示出来的。0于是在 1975年, /吴大峻和我探讨了这些全局性的内涵。 我们证明了,规范相因子给了电磁学一种内在的完 整描述。这种描述既不会过分, 也不会不足。一旦 接受了这一点,该文的其余部分便只不过介绍了纤 维丛的概念而已;这些概念支撑了规范理论物理学 中那些含混笼统的观念。0在杨振宁看来, 当 1975 年论文的第二部分给出电磁学的一种完整描述后, 论文的其余部分只不过是介绍纤维丛的概念。这一 方面进一步体现了纤维丛在这篇规范场论文中的重 要作用;另一方面也进一步解释了文中对纤维丛着 墨不多以及又要着墨的原因。 三 1989年数学家陈省身 给出的总结性的阐述 规范场与纤维丛的关系已经熟知, 那么为什么 规范场与纤维丛理论会有如此密切的关系? 对此问 题最好的阐述,还要数纤维丛理论大师陈省身。上 述由于规范场与纤维丛关系问题的解决, 20世纪 80 年代,数学界开始了研究规范场理论的热潮;陈省身 也开始关注杨振宁的研究。陈省身是一位数学家, 对于规范场与纤维丛的关系, 他关注的是这层关系 背后的深层数学原因。 1989年,美国数学会出版了 陈省身主编的 254页的5整体微分几何 6,这本书中 有一节 /具有联络的向量丛 0, 在该节的第七部分, 陈省身阐述了他对此的深刻认识。 首先,陈省身对经典麦克斯韦方程进行了等价 变换。对于一般时空 (x 1, x2, x3, t= x0 )中的经典麦 克斯韦方程可写作: d ivˆE = 4Pp, curlˆB - 9 9t ˆE = 4Pƒj; (103a ) d ivˆB = 0, curlˆE + 9 9t ˆB = 0 ( 103b ) 其中, ˆE (E 1, E2, E3 )表示电场, ˆB = (B1, B 2, B 3 )表示 磁场, Q表示荷密度, ƒj( j1, j2, j3 )表示电流向量。 陈省身对其中的物理量, 作了相应的数学处理。 他首先引进了主对角线是零的 4阶反对称矩阵, 它 们的元素是由上述电场和磁场的分量组成的; 接着 他用电流和场强的分量重新定义了电流和场强。利 用洛伦兹度量和霍奇意义下对应的算子, 陈省身将 经典麦克斯韦方程等价变形为: d * F = 4PJ (108a ) dF = 0 ( 108b ) 进一步, 陈省身指出方程 ( 108b )是方程 ( 110 ) dA = F的推论; 方程 ( 110)又是方程 ( 78) Q = dX的 改写。由于M 是一个 4维洛伦兹流形, E是M 上一 个埃尔米特线丛,就会有一个可允许的联络 X及这 个联络的曲率式 Q, 它们有关系 Q = dX。这是一维 纤维的几何表示,所以一维纤维的几何表示正是麦 克斯韦方程。这样陈省身就证明了麦克斯韦方程的 数学基础就是一维纤维丛及其上的联络。 接着,陈省身引进一些新的研究结果,对麦克斯 韦方程进行推广改写。上述麦克斯韦方程 ( 108b ) 是方程 (110)的一个推论, 在一般情况下这是事实。 但A - B实验出现后,情况就不同了。A - B实验的结 果使研究者认识到,为了描述电磁学中所有现象,应 该用方程 (110)来代替方程 ( 108b ), 也就是说麦克斯 韦方程中的未知量应该是联络或规范势 A, 而不是曲 率或场强 F,于是推广的麦克斯韦方程应该是: d * F = 4PJ, dA = F 依据阿蒂亚的研究结果 [ 9] , 在一个 4维洛伦兹 流形上,对于一个 S( 2)丛, 使用协变微分 DA, 杨 - 85 米尔斯方程就是: D * A F = 4PJ, DAA = F 这样,陈省身得到 /杨 - 米尔斯方程就是麦克 斯韦方程的一个直接推广,它们分别是纤维维数为 1和 2的情形0。 在其后的一些演讲、访谈中,陈省身通俗地表达 了这种认识。1999年 9月 24日, 在复旦大学主办 的 /求是科学基金 0颁奖会上, 陈省身指出: 在纤维 丛上定义一个平行性 A,这个平行性的微分, 就等于 电磁场的场强 F,对 F再求它的余微分, 就得到 F的 流矢量 J。即得到了方程 dA = F, DF = J, 这是麦克 斯韦方程。所以说麦克斯韦方程就是建立在一维的 纤维丛上,而且是一个复一维的纤维丛,它可以看作 是 U( 1)丛上的联络。现在用一个非阿贝耳群 SU ( 2)的联络, 将上述方程重新写一遍,就是杨 - 米尔 斯方程,只是它是在二维的纤维丛上,它可以看作是 SU( 2)丛上的联络。所以说, 一维空间的麦克斯韦 方程向二维推广就是杨 -米尔斯方程。[ 10] 规范场为什么会与纤维丛有关系, 这是很早以 前就注定的。 =参 考 文 献> [ 1] Yang C N, M ills R L. 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ThreeW ays to Research on Relationship between Gauge F ields and F iber Bundles FENG X iao- hua, GAO Ce (R esearch C enter for Philosophy of Science and Technology Shanx i University, Taiyuan 030006, China) Abstract: A t the end of the tw entieth century, there are four researchers doing thew ork on the relat ionship betw een Gauge f ie lds and f iber bundles. Thew ork o fLuQ ikeng is the earliest one. It indicates that fiber bundles have their substance expression in rea l w orld. The w ork ofW u Taitsun and Yang Chengn ing has the deepest influence in mathematics and physics. It makes c lear that fiber bundles g ive a strong support for gauge fie lds. The w ork of Chern Sh iingshen has g rasped the essence. It finds that fiber bundles on one d imension are electromagnetism fie lds and fiber bund les on tw o d imensions are gauge fields. Key words: Gauge fields; F iber bund le; Lu Q ikeng; Wu T aitsun; Y ang Chengn ing; Chern Sh iingshen (责任编辑 李树雪 ) 86