复变函数与积分变换试题与答案
一 判断正确与错误(每题 3 分)
1.若 与 都是调和函数,则( , )u x y ( , )v x y ( ) ( , ) i ( , )f z u x y v x y= + 是解析函数。
( )
2.因为 ,所以在复平面上| sin | 1z ≤ sin z有界。 ( )
3.若 ( )f z 在 解析,则0z ( ) ( )nf z 也在 解析。 ( ) 0z
4.对任意的 , ( ) z 2Ln 2 Lnz = z
二 填空(每题 3 分)
1. i
2 2i
=− − ,
iarg
2 2i
=− − 。
2. ln( 3i)− = , ii = 。
3. 在 映 照 2( ) 2 4f z z= + z 下 , 曲 线 C 在 iz = 处 的 伸 缩 率
是 ,旋转角是 。
4. 是0z =
2
4
1 e z
z
− 的 阶 极 点 ,
2
4
1Re [ ,0]
zes
z
− = 。
三 解答题(每题 7分)
1. 设 2 2 2( ) i( )2f z x axy by cx dxy y= + + − + + 。问常数 为何值时, , ,a b c d ( )f z 在
复平面上处处解析?并求这时的导数。
2. 求
1
3( 1)− 的所有三次方根。
3. 2 d
C
z z∫ 其中C是 到0z = 3 4iz = + 的直线段。
4. 。(积分曲线指正向)
| | 2
e cos dz
z
z z=∫
5.
| | 2
d
( 1)( 3)z
z
z z z= + −∫ 。(积分曲线指正向)
6 将 1( )
( 1)( 2
f z
z z
= − − ) 在1 | 上展开成罗朗级数。 | 2z< <
7.求将单位圆内 | | 保形映照到单位圆内 | |1z < 1w < 且满足 1( ) 0
2
f = ,
1 πarg ( )
2 2
f ′ = 的分式线性映照。
四 解答题(1,2,3 题各 6 分, 4 题各 9分)
1.求 ( k为正实数)的傅氏变换。 0 0( )
e 0kt
t
f t
t−
<⎧= ⎨ ≥⎩
2. 设 2 2( ) e e sin 6 ( )t tf t t t t tδ−= + + + , 求 ( )f t 的拉氏变换。
3. 设 2 21( ) ( 1F s s s= + ) ,求 的逆变换。 ( )F s
4. 应用拉氏变换求解微分方程
2 3 e
(0) 0, (0) 1
ty y y
y y
−′′ ′⎧ + − =⎨ ′= =⎩
复变函数与积分变换试题答案
一 判断正确与错误(每题 3 分)
1 若 与 都是调和函数,则( , )u x y ( , )v x y ( ) ( , ) i ( , )f z u x y v x y= + 是解析函数。(×)
2.因为 | s ,所以在复平面上in | 1z ≤ sin z有界。
(×)
3.若 ( )f z 在 解析,则0z ( ) ( )nf z 也在 解析。
(√)
0z
4.对任意的 ,
(×)
z 2Ln 2 Lnz = z
二 填空(每题 3 分)
1. i 2
2 2i 4
=− − ,
i πarg[ ]
2 2i 4
3= −− − 。 2.
πln( 3i) ln 3 i
2
− = − ,
π 2 πi 2i e
k− −= 。
3.在映照 2( ) 2 4f z z= + z下,曲线C在 iz = 处的伸缩率是 4 2 ,旋转角是
π
4
。
4. 是0z =
2
4
1 e z
z
− 的3阶极点,
2
4
1 e 4Re [ ,0]
3
z
s
z
− = − 。
三 解答题(每题 7分)
4. 设 2 2 2( ) i( )2f z x axy by cx dxy y= + + − + + 。问常数 为何值时, , ,a b c d ( )f z 在
复平面上处处解析?并求这时的导数。
解: 因为 2u x ay
x
∂ = +∂ , 2
u ax by
y
∂ = +∂ , 2
v cx dy
x
∂ = +∂ , 2
v dx y
y
∂ = +∂ ,(2 分)则
对任意的 ( , )x y 有
u v
x y
u v
y x
∂ ∂⎧ =⎪∂ ∂⎪⎨∂ ∂⎪ = −⎪∂ ∂⎩
即 2
2 2
2x ay dx y
ax by cx dy
+ = +⎧⎨ + = − −⎩ (1 分) 可得:
(2 分 ). 这 时 , 2, 1a d b c= = = = −
( ) i 2( ) 2i( ) 2 2iu vf z x y x y z z
x x
∂ ∂′ = + = + − − −∂ ∂ 或 (2 分)
5. 求
1
3( 1)− 的所有三次方根。
解:
1
3 2 +1 2 +1( 1) cos π+isin π 0,1, 2
3 3
k k k− = = (4 分), 0 π π 1 3cos +isin = +i 3 3 2 2w = ,
1 cos π+isinπ = 1w = − , 2 5π 5π 1cos +isin = i 3 3 2 2w = −
3 (3 分)
3. 2 d
C
z z∫ 其中C是 到0z = 3 4iz = + 的直线段。
解: 原式
3 33 2
2 3 4i 3 4i
0 0
(3 4i)[ d ] [ ] (2
3 3
zz z + + += = =∫ 分 分 分)或
原式
34 13 2 3 3 3 3
00
4 4 4(1 i) d (1 i) [ ] 9(1 i) (2
3 3 3 3
xx x= + = + = +∫ 分 分 分)
4. 。(积分曲线指正向)
| | 2
e cos dz
z
z z=∫
解:原式=0. (7 分)
5.
| | 2
d
( 1)( 3)z
z
z z z= + −∫ 。(积分曲线指正向)
{ }
(2
0 1
2πi Res[ ,0] Res[ , 1] (3
1 1 πi2πi[lim lim ] (2
( 1)( 3) ( 3) 6z z
f f
z z z z→ →−
= + −
+ = −+ − −
分)
解: 原式 分)
= 分)
6 将 1( )
( 1)( 2
f z
z z
= − − ) 在1 | 上展开成罗朗级数。 | 2z< <
1 1
0
1 1 1(1 ] (3 3
2 1 2
n
n n
n
z
z z z
∞
+ +
=
= − + +− − ∑解: 原式 分)=- 分)
7.求将单位圆内 | | 保形映照到单位圆内 | |1z < 1w < 且满足 1( ) 0
2
f = ,
1 πarg ( )
2 2
f ′ = 的分式线性映照。
i
1
2( ) e (411
2
z
w f z
z
θ
−
= =
−
解: 设 分) , 则 i1 4 π( ) e (2
2 3 2
f θ θ′ = ⇒ = 分) , 故
2 1i (2
2
zw
z
−= − 分).
四 解答题(1,2,3 题各 6 分, 4 题 9 分)
1.求 ( k为正实数)的傅氏变换。 0 0( )
e 0kt
t
f t
t−
<⎧= ⎨ ≥⎩
i ( i )
00
1 1( ) e e d (2 [e ]
i i
kt t k tF t
k k
ω ωω ω ω
+∞ − − − + +∞−= = =+ +∫解: 分) .
3. 设 2 2( ) e e sin 6 ( )t tf t t t t tδ−= + + + , 求 ( )f t 的拉氏变换。
3 2 2
1 1 6( ) 1 (1,2,2,1 )
( 1) ( 2) 36
F s
s s s
= + + ++ − +解: 分
6. 设 2 21( ) ( 1F s s s= + ) ,求 的逆变换。 ( )F s
(1 )
2 2
1 1[ ( )] [ ] [ ] sin (2.5,2.5 )
1
F s t t
s s
= − = −−
分
-1 -1 -1解: L L L 分
4. 应用拉氏变换求解微分方程
2 3 e
(0) 0, (0) 1
ty y y
y y
−′′ ′⎧ + − =⎨ ′= =⎩
2 1( ) (0) (0) 2[ ( ) (0)] 2 ( ) , (3 )
1
s Y s sy y sY s y Y s
s
′− − + − − = +解: 因为 分 所以
(2 )2 3 1 1( ) (2 )
( 1)( 1)( 3) 8( 1) 4( 1) 8( 3)
sY s
s s s s s s
+= = − −− + + − + +
分
分
3 33 1 1 1 5 1( ) e e e (2 ) ( ) ch sh e (2 )
8 4 8 8 8 8
t t t ty t y t t t− − −= − − = + −分 或 分