建筑制图与识图教案

LEKIBMstandardizationoffice【IBM5AB-LEKIBMK08-LEKIBM2C】建筑制图与识图教案学习目标：了解建筑制图的任务与学习方法，掌握常用的图的几个分类教学重点：搞清本章所讲的几个概念，及其相互间的关系；掌握本课程的学习方法，培养一丝不苟的学习作风。教学难点：搞清“画法几何”与“工程制图”之间的关系，并在工程制图中正确运用画法几何理论；掌握本课程的学习方法，培养一丝不苟的学习作风。课时：2个课时第一章绪论建筑制图的任务1．研究正投影的基本理论2．培养绘制和阅读工程图的能力3．研究常用的图解方法，培养图解能力4．通过绘图、读图和图解的实践，培养空间想象能力5．培养认真、细致、一丝不苟的工作作风6．培养用图形软件绘制图样的初步能力工程图：在生产建设和科学研究工程中，对于已有的或想象中的空间体（如地面、建筑物、机器等）的形状、大小、位置和其它有关部门资料，很难用语言和文字达清楚，因而需要在平面上（例如图纸上）用图形表达出来。这种在平面上表达工程物体的图，称为工程图。工程图常用的有以下几种：1．透视图2．轴测图3．正投影图4．标高投影图画法几何当研究空间物体在平面上如何用图形来表达时，因空间物体的形状、大小和相互位置等不相同，不便以个别物体来逐一研究，并且为了使得研究时易于正确、深刻和完全，以及所得结论能广泛地应用于所有物体起见，特采用几何学中将空间物体综合概括成抽象的点、线、面等几何形体的方法，先研究这些几何形体在平面上如何用图形来表达，以及如何通过作图来解决它们的几何问题。这种研究在片面上用图形来表示空间几何形体和运用几何图来解决它们的几何问题的一门学科，称为画法几何。例如：正方体6个面组成每个面由无数条线组成每条线由无数个点组1.1.2工程制图把工程上具体的物体，视为由几何形体所组成，根据画法几何的理论，研究它们在平面上用图形来表达的问题，而形成工程图。在工程图中，除了有表达物体形状的线条以为，还要应用国家制图规定的一些表达方法和符号，注以必要的尺寸和文字说明，使得工程图能完善、明确和清晰地表达出物体的形状、大小和位置，以及其它必要的资料（例如：物体的名称、材料的种类和规格，生产方法等）。研究绘制工程图的这门学科，称为工程制图。注意：如将工程图比喻为工程界的一种语言，则画法几何便是这种语言的语法。一、目的培养学生绘图、读图和图解的能力，通过这几方面的实践，培养学生的空间想象能力二、任务1．研究正投影的基本理论2．培养绘制和阅读工程图的能力3．研究常用的图解方法，培养图解能力4．通过绘图、读图和图解的实践，培养空间想象能力5．培养认真、细致、一丝不苟的工作作风6．培养用图形软件绘制图样的初步能力三、应达到的要求1．掌握正投影的基本理论和作图方法2．确使用绘图工具，掌握绘图的技巧和方法，又快又好地作出符合国家标准的工程图，并能正确地阅读一般的工程图纸。3．具有图示空间几何形体和图解空间几何问题的能力4．初步掌握计算机绘图的基本知识1.1.3本课程的主要内容和学习方法一、主要内容图样的基本知识：绘图工具、仪器的使用，几何作图的知识，基本制图标准。2．投影作图：工程图样的图示原理和方法。3．工程图样的看图、画图的规则和方法。4．相关的其它图样：简介建筑制图图样的看图、画图规则和方法。5．计算机绘图。二、学习方法画法几何是制图的理论基础，比较抽象，系统性较强。制图是投影理论的运用，实践性较强，学习时要完成一系列的绘图、识图作业。但必须注意学习方法，才能提高学习的效果。1．要下工夫培养空间想象能力从二维的平面想象出三维形体的形状。这是初学者制图的一道难关。开始时可以借助于一些模型（没有），加强图物对照的感性认识，但要逐步减少使用模型，直至可以完全依靠自己的空间想象能力，看懂图纸。2．作图时要画图与读图相结合每一次根据物体画出投影图之后，随即移开物体，从所画的视图想象原来物体的形状，是否相符。坚持这种做法，有利于空间想象能力的培养。3．要培养解体能力课文易懂，习题难做。这是本门课程的第二道难关。要解决这个问题，一要掌握解体的思路，即空间问题，一定要拿到空间去分析研究，决定解体的；二要掌握几何元素之间的各种基本关系（如：平行、垂直、相交、交叉等）的表示方法，才能将解体逐步用作图表达出来，并求得解答。4．要提高自学成才能力课前预习，然后带着问题听老师讲课。复习时要着重检查自己能否用图表示书中每一个概念和每一种方法。5．工程图纸（机械图纸、化工图纸、建筑图纸等）是施工的根据，往往由于图纸上一条线的疏忽或一个数字的差错，结果造成严重的反工浪费。所以应从初学制图开始，就严格要求自己，养成认真负责、一丝不苟和力求符合国家标准的工作态度。同时又要逐步提高绘图速度，达到又快又好的要求。注意：工程质量终身负责制（工程质量、设计方面的问题）教学重点：1．掌握国家制图标准《建筑制图》等相关标准中的图幅、图框格式、常用比例、写字要求及字形、图线宽度等基本要求；2．掌握几何作图的基本方法，能正确利用作图工具绘制圆的内截多边形、椭圆等基本图形；3．能正确地对平面图形进行尺寸和线段分析，能正确选择尺寸基准，完整地标注定形尺寸和定位尺寸；4．掌握锥度和斜度的画法及其标注；5．掌握圆弧连接的基本画法。教学难点：.1．基本几何图形的基本画法；2．平面图形进行尺寸和线段分析、尺寸基准的选择、尺寸的正确标注。3．圆弧连接中应注意的问题。教学过程：复习旧课讲授新课教学课时：8课时第二章制图规格与基本技能目前，虽然计算机绘图技术正在逐渐步入设计、生产和科研等各个领域，但工程技术人员手工绘图的基本技能还是要具备的。手工绘制工程图样通常是先在绘图纸上用绘图铅笔按规定方法和绘制图稿（也称白图），再在半透明的描图纸上用描图笔将图稿描正，或直接在画图稿并描正。描好的图样称为底图。用晒图机或复印机将底图上的图样翻晒或复印在图纸上，就得到了一般常见的工程图纸（称蓝图）。本章将简单介绍基本的绘图工具、一起的使用方法，国家标准的有关部门规定，并简要介绍徒手绘制技术草图的方法。2．1制图工具和仪器的用法学习制图，首先要了解各种绘图工具和一起的性能，熟练掌握它们的正确使用方法，并经常注意维修保养，才能保证绘图质量，加快绘图速度。2.1.1、绘图仪器1．图板：板面要求光滑平整,四周工作边要平直。（见如下图示）2．丁子尺：丁字尺主要用于画水平线，使用时，左手握尺头，使尺头紧靠图板左边缘。尺头沿图板的左边缘上下滑动到需要画线的位置，从左向右画水平线，应注意，尺头不能靠图板的其它边缘滑动画线。丁字尺不用时应挂起来，以免尺身翘起变形。（见图2-7示）图2-7图板、丁字尺及其使用3．三角板：由两块直角形三角板组成一幅，其中一块的两个锐角都为45°，另一块两个锐角分别为30°和60°。用三角板和丁字尺配合，可画出15°倍角的斜线，用三角板配合可画出平行线。（见如下两图示）4．比例尺（1）比例尺：比例尺是用于放大（读图时）或缩小（绘图时）实际尺寸的一种尺子。最常用的为三棱比例尺，常用比例有1：100，1：10，1：1000。（见如下图示）5．圆规与分轨：用来画圆和圆弧的工具，具体使用见教材P16图2-106．铅笔：由软到硬以2B，B，HB，H，2H来表示型号7．曲线板：曲线板是用以画非圆曲线的工具。如下图所示，连接曲线板上各个点可以做出不同形状的曲线，曲线板主要用于机械类制图，而建筑制图中曲线的出现概率不大。建筑制图国家标准的基本规定工程图样之所以能成为工程技术界的共同语言，主要是由于图样格式、内容、画法几何及工程制图和标注等，都有一系列必须共同遵循的统一规定，简言之，就是实现了制图的标准化。制图的标准化工作是一切工业标准的基础。我国现行的制图标准，是国家标准局于1983年和1984年发布，1985年实施的《中华人民共和国国家机械制图标准》。国家标准简称“国标”，代号：“GB”，本节只介绍国家标准《机械制图》部分中的部分内容，其余将在以后各章节中结合各章节的内容介绍之。2.1.1图纸幅面（GB/50001—2001）图纸幅面尺寸尺寸代号A0A1A2A3A4bxl841x1189594x841420x594297x420210x297c105a25注：bl分别为图纸的短边与长边，ac分别为图框线到图幅边缘之间的距离。A0面积为1㎡，A1是A0的对开，其他以此类推2．图样格式A0~A3横式幅面和立式幅面如下左右图所示：标题栏和会签栏图纸的标题栏（简称图标）和会签栏的位置、尺寸及内容如下图所示。2.2.2比例（GB/50001—2001）图样的比例，应为图形与实物相对应的线型尺寸之比。比例的大小是指其比值的大小。比例宜注写在图名的右侧，字的基准应取平。比例的字高宜比图名的字高小一号或二号。例如在一般情况下，应该优选选用下表中所示比例2.1.3字体（GB/50001—2001）汉字、数字、字母等字体的大小以字号来表示，字号就是字体的高度。字高从下列序列中选用：3.5mm、5mm、7mm、10mm、14mm、20㎜。1．汉字应采用简化汉字，书写成长仿宋字体。长仿宋字体的字高与字宽的比例大约为3：2（或1：）长仿宋字的书写要领：横平竖直，起落分明，填满方格，结构匀称。2．数字、字母拉丁字母及数字（包括阿拉伯数字和罗马数字及少数希腊字母）有一般字体和窄字体两种，其中又有直体字和斜体字之分。拉丁字母、阿拉伯数字与罗马数字的字高，应不少于2.5mm。2.1.4图线（GB/50001—2001）1．线型及其应用(见下表所示)2．图线的画法（1）同一图样中，同类线的宽度应基本一致，虚线、点划线、双点划线各自线段的长短和间隙应大致相符。（见图示说明）。（2）绘制圆的中心线时a）应超出圆外2～5mm；b）首末两端应是线段而不是点；c）圆心是线段的交点；d）当绘制小圆的中心线有困难时，可由细实线代替点划线。（3）绘制虚线与虚线（或其它图线）相交时a）应是线段相交；b）虚线是实线的延长线时，在相交处要离开。（见图示说明）。图线交接的正确画法2.1.5尺寸标注（GB/50001—2001）图样中的图形仅仅确定了机件的形状，而机件的真实大小是靠尺寸确定的，因此，尺寸标注是图样中的另一重要内容。尺寸标注也是制图工作中极为重要的一环，需要认真细致，一丝不苟。1．基本原则（1）机件的真实大小应以图样上所标注的尺寸数值为依据，与图样的大小及绘图的准确性无关。（2）图样中（包括技术要求和其它说明）的尺寸，以mm为单位，不需标注计量单位的代号或名称，如采用其他单位，则必须注明相应的计量单位的代号或名称。（3）图样中所注的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则，应另加说明。（4）机件的每一个尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。2．尺寸的组成（标注尺寸的四要素）一个完整的尺寸由尺寸界线、尺寸线、尺寸数字和箭头（或斜线）组成，故常称为尺寸的四要素。(1)尺寸界线（表示尺寸的起止）的画法。一般用细实线画出并垂直于尺寸线。尺寸界线的一端应与轮廓线接触，另一端伸出尺寸线外2～3mm，有时也可以借用轮廓线、中心线等作为尺寸线。（2）尺寸线。a）尺寸线必须用细实线单独画出，不能用其它图线代替，也不能画在其它图线的延长线上；b）标注线性尺寸时，尺寸线必须与所注的尺寸方向平行；c）当有几条相互平行的尺寸线时，大尺寸要注在小尺寸的外面，以免尺寸线与尺寸界线相交。d）在圆或圆弧上标注直径尺寸时，尺寸线一般应通过圆心或其直径的延长线上；（3）尺寸线终端的两种形式。尺寸线终端有箭头和斜线两种形式。机械图多采用箭头。同一张图上箭头（或斜线）大小要一致，一般应采用一种形式。（4）尺寸数字。线性尺寸的数字一般注在尺寸线的上方（见图示），也可注在尺寸线的中断处。a）尺寸数字的书写，水平方向的尺寸数字头朝上；b）垂直方向的尺寸数字头朝左；c）倾斜方向的尺寸数字字头要保持朝上的趋势；d）应避免在300范围内标注尺寸，当实在无法避免时，可按图所示。尺寸数字的注写方向注意：（1）尺寸数字应写在尺寸线的中间，在水平线上的应从左到右写在尺寸线上方，在铅直尺寸线上，应从下到上写在尺寸线左方；（2）长尺寸在外，短尺寸在内；（3）不能用尺寸界线左尺寸线；（4）轮廓线、中心线可以作尺寸界线，但不能作为尺寸线；（5）尺寸线倾斜时，数字的方向应便于阅读，应尽量避免在斜线300范围内注写尺寸（见书中图示）；（6）同一张图纸内尺寸数字大小应一致；（7）在剖面图中写尺寸数字时，应在留有空白处书写而在空白处不画剖面线；（8）两尺寸界线之间比较窄时，尺寸数字可注在尺寸界线外侧，或上下错开，或用引出线引出再标注；（9）桁架式结构的单线图，可将尺寸直接注在杆件的一侧。几何作图机件的形状虽然各不相同，但都是由各种几何形体组成。它们的图形也是由一些几何形体组成。最基本的几何作图包括：圆周等分、斜度和锥度的画法、线段连接等作图方法。一、等分直线段和角二、两平行线间的任意等分三、角的二等分分点，过各等分点作AB（或CD）的平行线，即为所求。四、作已知圆规的内截正多边形（或称圆周的等分）1．内截正三角形内截正四角形3．内截正五边形4．内截正六边形五、斜度和锥度1．斜度斜度==tgα=1：n斜度是指一条直线（或平面）对另一条直线（或平面）的倾斜程度，如上式。其大小以直角三角形两直角边之比来表示，如图所示。并把斜度注成1：n的形式；标注斜度时用符号“∠”表示，如图1—7所示。符号倾斜方向与轮廓线方向一致。例如：过A点对AB直线作一条1：5的倾斜线，其作图方法如图所示，先将直线五等分得点C，然后过C点作⊥，并使=，连接即得锁求的倾斜线。斜度的作法和标注2．锥度1：n===2tg锥度是指圆锥底圆直径与锥高之比。对于锥台，其锥度则为上、下两底圆直径之差与锥台的高度之比，如图所示。并把比例写1：n的形式。标注：标注锥度时用符号“⊿”表示，如图所示，符号的方向应与锥面的轮廓线方向一致。图1—8锥度的作法和标注六、圆弧连接圆弧连接是指用已知半径的圆弧，光滑地连接（即相切）两已知线（直线或圆弧）构成机件的轮廓，如图所示。这个起连接作用的圆弧，称为连接弧。（a）（b）（c）圆弧连接作图举例注意：为保证光滑连接，作图时必须准确地求出连接弧的圆心和连接圆弧与被连接线段的连接点（即切点）。切点：即连接两圆弧的圆心延长线与已知圆弧的交点即为切点。1．连接弧的圆心轨迹（1）与直线相切时，其圆心在与直线的距离为R的平行线上，如图（a）、（b）所示；（2）与圆心为O1，半径为R1的圆弧相切时，其圆心在已知圆弧的同心圆上，该圆半径根据相切情况（内切、外切）而定（a）两圆外切时，R外=R+R1，如图（c）所示；（b）两圆内切时，R内=R－R1，如图（d）所示；根据已知条件分别作出两条轨迹弧，其交点即为轨迹弧的圆心。2．连接圆弧切点的位置（1）与直线相切时，从连接弧的圆心向已知直线作垂线，其垂足就是切点，如图所示，k1、k2点即为切点；（2）与圆弧相切时，切断在两圆弧圆心的连心线或延长线与已知圆弧的交点处,如图（c）、（d）所示,k1、k2点即为切。3．圆弧连接的作图步骤（1）首先求唨连接弧圆心，它应满足两被连接线段的距离均为连接弧半径的条件；（2）找出连接点，即连接弧与已知线段的切点；（3）最后在两连接点之间画出连接圆弧。七、椭圆的近似画法椭圆画法较多，已知椭圆的长短轴（或共轭轴），（a）用四心圆法作近似椭圆，称为四心圆法；（b）用同心圆法作椭圆，称为同心圆法。如图（a）、（b）所示。椭圆的近似画法（四心法）（a）作图方法（四心法）：（1）画长短轴AB、CD，连接AC，并取CF=OA－OC（长短轴差）；（2）作AF的中垂线与长、短轴上交于两点1、2，在轴上取对称点3、4得四个圆心；（3）连接O1O2，O2O3，O3O4，O4O1并适当延长；（4）分别以O1、O2、O3、O4为圆心，以O1A、O2C、O3B、O4D为半径，顺序作四段相连圆弧（两大两小四个切点在有关圆心连线上），即为所求。（b）作图方法（同心圆法）：椭圆的近似画法（同心圆法）（见书中图例）八、平面图形的尺寸分析及画法平面几何图形都是由若干直线和曲线连接而成的，这些线段有必须根据给定的尺寸关系画出，所以要想正确而又迅速地画好平面图形，就必须首先对图形中标注的尺寸进行分析。通过分析，可使我们了解平面集合图形中各种线段的形状、大小、位置及性质。1．平面图形的尺寸分析标注平面图形的尺寸时，要求正确、完整、清晰、齐全。要达到此要求，就需了解平面图形应标注哪些尺寸。平面图形中的尺寸，按其作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。而在标注和分析尺寸时，首先必须确定基准，如图1—11所示。（1）定形尺寸：确定组成平面图形的各个部分形状大小的尺寸，称为定形尺寸。如直线的长度、圆及圆弧的半径、角度大小等。如图1—11中的75、15、￠20、￠45、R15、R12、R50、R10、￠30均为定形尺寸。平面图形的画图步骤及尺寸线段分析（书中图例）（2）定位尺寸：确定构成平面图形的各简单的几何图形中线段间相互位置的尺寸，称为定位尺寸。如图1—11中尺寸8就是￠5的定位尺寸。（3）基准：标注尺寸的基点，称为尺寸基准。标注尺寸时应考虑基准，一般以图形的对称中心线、较大圆的中心线或图形中的较长直线作为尺寸基准。通常一个平面图形需要X、Y两个方向的基准。（4）定形尺寸兼作定位尺寸：如图1—11中的￠30尺寸即是。2．平面图形的线段分析及作图步骤平面图形的绘制步骤、尺寸标注都与线段连接情况相关。因此，根据锁标注的尺寸和组成图形的各线段间的关系，图形中的线段可以分为以下三种：（1）已知线段：定形尺寸、定位尺寸齐全，可以直接画出的线段。（2）中间线段：有定形尺寸，而定位尺寸则不全，还需根据与相邻线段的一个连接关系才能画出的线段（3）连接线段：只有定形尺寸，而无定位尺寸，需要根据两个连接关系才能画出的线段。下面以图2—11为例进行分析（a）分析图形，画出基准线，并根据定位尺寸画出定位线；（b）画出已知线段，即那些定形尺寸、定位尺寸齐全的线段；（c）画连接线段，即那些只有定形尺寸，而定位尺寸不齐全或无定位尺寸的线段；注：这些线段必须在已知线段画出之后，依靠他们和相邻线段的关系采纳画出。（d）擦去不必要的图线，标注尺寸，按线型描深如图1—11所示。徒手作图仪器图———用绘图仪器画出的图。草图———不用仪器，徒手作的图。草图是工程技术人员交谈、记录、构思、创作的有利工具，工程技术人员必须熟练掌握徒手作图的技巧。一、草图的“草”字只是指徒手作图而言，并没有容许潦草的意思草图上的线条也要粗细分明，基本平直，方向正确，长短大致符合比例，线形符合国家标准。画草图用的铅笔要软些，例如B、HB；铅笔要削长些，笔尖不要过尖，要圆滑些；画草图时，持笔的位置高些，手放松些，这样画起来比较灵活。画水平线时，铅笔要放平些，初学画草图时，可先画出直线两端点，然后持笔沿直线位置悬空比划一、两次，掌握好方向，并轻轻画出底线。然后眼睛盯住笔尖，沿底线画出直线，并改正底线不平滑之处。画铅直线时方法相同，但持铅笔可竖高些。画向右上倾斜的线，手法与画水平线相似。画向右下倾斜的线，与画沿直线相似，但铅笔要更竖高些，而且要特别注意眼睛要盯住线的终点。二、画草图时要手眼并用作垂直线、等分一线段或一圆弧，截取相等的线段等，都是靠眼睛估计决定的。三、徒手画平面图形时，不要急于画细部，先要考虑大局画草图时，既要注意图形的长与高的比例，以及图形的整体与细部的比例是否正确，草图最好成绩画在方格纸（坐标纸）上，图形各部分之间的比例可借助方格数的比例来解决（当然是在有条件时用）四、画物体的立体草图时，可将物体摆在一个可以同时看到它的长、宽、高的位置，然后观察及分析物体的形状1．有的物体可以看成由若干个几何形体叠砌而成如图2—12（a）所示的模型，可以看作由两个长方体叠加而成。画草图时，可先徒手画出底下一个长方体，使其高度方向铅直，长度和宽度方向与水平线成300角，并估计其大小，定出其长、宽高。然后在顶面上另加一个长方体，如图2—12（a）所示。2．有的物体如棱台，可以看成从一个长方体削去一部分而成先画（徒手）一个以棱台的下底为底，棱台的高为高的长方体，然后在其顶面画出棱台的顶面，并将上、下面的四个角连接起来。如图2—12（b）所示，即为一个棱台。（a）（b）图2—12立体草图五、画立体草图应注意三点先定物体的长、宽、高的方向，使高度方向垂直，长度方向和宽度方向与水平线倾斜300；物体上互相平行的直线，在立体图上也应互相平行；画不平行于长、宽、高的斜线时，只能先画出他的两个端点，然后连线，如图2—12（b）所示。作业题：习题集2，3，4，5，6页教学重点：投影的概念，正投影的基本特性，三视图的形成及相互间的投影关系；教学难点：掌握正投影的基本特性，并能正确运用正投影的基本特性解决实际的作图问题；教学课时：2个课时注：考虑到知识的传承顺序，将第一章投影法的部分放到第三章中讲授第三章点、直线、平面的投影一切空间立体，从几何的观点出发都可看成是由点，线，面所组成。本章重点研究将三维空间中的点，直线，平面及其相对位置关系在二维平面上表达出来的理论和方法。通过这个学习的过程，使学生初步建立起一定的空间概念，为学习后续内容打好基础。投影的概念一、投影在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法在投影法中：投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面；投影———在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。二、投影法的分类投影法依投影线性质的不同而分为两类：1．中心投影法投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。投影线的出发点称为投影中心。这种投影方法，称为中心投影法；螦得的单面投影图，称为中心投影图。如图所示。由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法中心投影法平行投影法（a）平行投影法（b）2．平行投影法如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面。平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法。如上图所示。正投影法是工程制图中广泛应用的方法。3．轴测投影轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识。三、正投影的基本特性正投影特性以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2—4所示。1．真实性当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状；2．积聚性当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线；3．类似性当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形。由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒处于平行或垂直的位置。四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立）如图所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投影是相同的。很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的。一个投影不能确定物体的形状1．三个投影面的建立一般需将物体放置在如图3—2的三面投影体系中，分别向三个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补充即可反映出物体的真实形状和大小。图3—2三面投影体系2．三投影面名称正投影面——正立着的面，简称正投影面或V面，水平投影面——水平的面为水平投影面，简称水平面或H面，侧投影面——册立着的面为侧投影面，简称侧面或W面。在三投影面中：OX轴——V面和H面的交线，OY轴——H面和W面的交线，OZ轴——V面和W面的交线，坐标原点O——OX、OY、OZ三轴的交点。五、三视图的形成按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图。为了得到能反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影体系中，分别向V面、H面、W面进行投影美丽V面上得到的投影称为主视图；在H面上得到的投影称为俯视图；在W面上得到的投影称为左视图。三视图的形成工程如图3—2（a）所示。为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开，如图3—2（b）所示。展开方法：V面不动，H面绕OX轴旋转900，W面绕OZ轴旋转900，使H、W面与V面形成同一平面。在旋转工程中，需将OY轴一分为二，随H面的称为OYH，随W面的OYW。展开后的三视图，如图3—2（c）所示。值得注意的是：在生产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框，视图按上述位置布置时，不需注出视图名称，如图3—2（d）所示。六、三视图的投影关系从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：1．位置关系俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边；三视图的形成2．方位关系任何物体都有前后、上下、左右六个方位。而每个视图只能表示其四个方位，如图3-3所示。在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示物体的左、右；俯左视图表示物体的前后。靠近主视图的一面是物体的后面，远离主视图的一面是物体的前面图3-3三视图与物体的方位关系3．三等关系任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X方向）的尺度称为长，上下方向（Z方向）尺度称为高，前后方向（Y方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图3—4所示）主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度，俯、左视图反映了物体的宽度。归纳上述三视图的三等关系是：主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等。简称为三视图的关系是上对正，高平齐，宽相等关系。同时对应到坐标上应有以下关系：1．长对正——X坐标相等2．宽相等——Y坐标相等3．高平齐——Z坐标相等如此可以把这种空间形象的方位关系转化为“数学上的关系”，为以后的利用数学方法分析题目打下基础注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部分都应符合三等关系。图3-4三视图的三等关系学习目标：掌握点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法教学重难点：点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法。课时：4个课时点的投影空间物体都是由面围成的，而呒可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素。学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状。一、点的投影和三面投影规律点的投影仍然是点，如图所示，设：空间有一点A，自A分别向三个投影面作垂线（即投影线），得三个垂足、、。、、分别表示A点在H面、V面、W面的投影。（通常规定空间点用大写字母如：A、B、C……等表示，其投影用响应的小写字母，如、、……等表示）见下图。这样，A点到W面的距离为A点的X坐标，A点到V面的距离为A点的Y坐标，A点到H面的距离为A点的Z坐标。若用坐标值确定点的空间位置时，可用下列规定书写形式：A=（XA，YA，ZA），B=（XB，YB，ZB）………。点的三面投影由作图可知，⊥H面，⊥V面，⊥W面。则通过所作的平面P必然同时垂直于H面和V面，当然，也垂直于H面与V面的交线OX轴，它与OX轴的交点用表示，显然Ax是一矩形，同理Ay和Az也是矩形。这三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影面的响应矩形围成一长方体。因为长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与三个投影面的关系为：1．=y=z=x（均为坐标XA）2.=x=z=y（均为坐标YA）3．=x=y=z（均为坐标ZA）可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由该点的两个坐标值决定的。点由ox和oy，即A点的XA，YA两坐标决定；点由ox和oz，即A点的XA，ZA两坐标决定；点由oy和oz，即A点的YA，ZA两坐标决定。如图2—10（a）所示，将三投影面展开，使其与V面成同一平面。为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到和（称为投影连线），分别与X、Z轴相交于x和z点。由于Y轴展开后分为Yh和Yw，在作图时，一种方法是采用以O点为圆心画弧yH和yw，如图2—10（b），另一种方法是自O点作450斜线，再从yH引Y轴的垂线与450斜线得交点，再从此点引Yw的垂线与由引出的Z轴的垂线交点，即为点。注：在投影面上通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2—10（c）所示。按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：1．点的正投影和水平投影的连线垂直于X轴，即⊥OX两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离。即：⊥OX，z=yH=XA。2．点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，这两个投影都反映空间点的Z坐标，即便表示点到水平面的距离。⊥Z轴，x=yw=ZA。3．点的水平投影到X轴的距离等于其侧面投影到Z轴的距离，这两个投影都反映空间的Y坐标，表示空间点到正投影面的距离：x=z=YA。显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的。应用：（1）根据点的投影规律，可由点的三个坐标值X、Y、Z画出其三面投影图。（2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图。例3-1已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″（题目）（求解）分析：利用长对正，宽相等，高平齐的方位相等关系，也就是XYZ三坐标相等，可以做出如上图中YH和YW中间的斜45°辅助线，然后过a′和a分别作出∥于相应投影轴的线最终做出一个以三投影为顶点的方形，且方形的第四个顶点就在45°辅助线上。例题1：已知：A（20，10，35）求作：A点的第三面投影例题2：已知：点的两面投影求作：点的第三面投影例题3：已知A、B两点的两面的投影求作：第三面投影并确定其相对位置解：∵XB＞XA，∴B点在左，A点在右∵ZA＞ZB，∴A点在上，B点在下∵YA＞YB，∴B点在后，A点在前总的结论：A点在B点的右前上方，B点在A点的左后下方。其它的例题自学。二、两点的相对位置和重影点1．两点的相对位置根据相对于投影面的距离确定如图2—11所示。（1）距离W面远者在左，近者在右（根据V、H的投影分析）；（2）距离V面远者在前，近者在后（根据H、W面的投影分析）；（3）距离H面远者在上，近者在下（根据V、W面的投影分析）图2—11两点的相对位置2．重影点当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起来。如图所示分别列出H面、V面、W面的上面的重影点：H面上的重影点A和BV面上的重影点C和DW面上的重影点E和F学习目标：掌握各种位置直线的投影特性和作图方法教学重点：直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角以及线段的实长的方法；用定比方法确定直线上点的投影；以及两直线位置关系的判断课时：8个课时3．3直线的投影空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图3—1所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。直线与投影面之间的夹角称为倾角，本学科规定直线与H、V、W之间的倾角分别用希腊字母αβγ来表示如图3—1所示图3—1空间线段的投影一、直线段对于一个投影面的投影空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。三种不同的位置具有不同的投影特性。1．收缩性当直线段AB倾斜于投影面时，如图3—2（a），它在该投影面上的投影长度比空间AB线段缩短了，这种性质称为收缩性。2．真实性当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，这种性质称为真实性。如图3—2（b）。3．积聚性当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性。如图2—14（c）。图3—2线段的投影特性二、直线段在三面投影体系中的投影特性图3—2投影面的平行线空间线段因对三个投影面的相对位置不同，可分为三种：投影面的平行线，投影面的垂直线，投影面的一般位置直线（倾斜线）前面两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。1．投影面的平行线平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面平行线。正平线——平行于V面的直线段；水平线——平行于H面的直线段；侧平线——平行于W面的直线段如图3—2所示，列出了三种投影面的平行线的投影特点和性质。以水平线为例：按照定义，它平行于H面，线上所有点与H面的距离都相同，这就决定了它的投影特性是：（1）AB的水平投影=AB，即反映实长；（2）正面投影平行于OX轴，即∥OX轴；（3）侧面投影平行于OYw轴，即∥OYw轴；（4）水平投影与OX轴的夹角，反映该直线对V面的倾角β；水平投影与OY轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。其它二投影面平行线的分析同上。投影面平行线的投影特性概括为：如图3—2所示，（1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角；（2）另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。投影面平行线的辨认：（1）当直线的投影有两个平行于投影轴时；（2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。投影面垂直线垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。投影面垂直线有三种：铅垂线——直线⊥H面；正垂线——直线⊥V面；侧垂线——直线⊥W面。图3—3列出了三种投影面垂直线的投影特点及性质。投影面垂直线的投影特性概括为：（1）在所垂直的投影面貌上的投影积聚为一点；（2）在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反反应直线段的实长。如何判断投影面的垂直线？根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。图3—3垂直线3．一般位置直线由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上的投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图3—4所示。此特性对于在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用，因而，同理可得在三面投影体系中它的投影特性为：（1）三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长；（2）三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对投影面的倾角。图3—4一般位置直线的投影判断：若直线段的投影与三个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。三、求一般位置直线的实长及对投影面的倾角一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法，二是利用换面法。利用三角形法求直线段的实长及与投影面的倾角如书中图3—5（a）中，在由直线AB及其对H面的投影线所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其两直角边分别为：AC=ab、BC=ZB－ZA，R而斜边AB即为实长，该直线对H面的倾角∠BAC=，α，而B、A点的高度民主坐标差，可从、中得到。由此，通过一般的几何作图便可得到如图2—18（c）或（d）所示，求直线段的实长及对投影面倾角了。作图方法：（1）以水平投影ab为一直角边，以正投影的坐标为另一直角边（ZB－ZA），作一直角三角形，该直角三角形可以画在原投影之外，也可以画在原投影之内。（2）三角形的斜边即为实长，斜边（实长）与水平投影的夹角即为α。用同样的方法，即可求出β角和γ角：=ZB－ZC（ZA）∠α=YA－YD（YB）∠β=XA－XE（XB）∠γ(a)(b)(c)(d)图3—5直角三角形法求空间直线段的实长和倾角四、直线上点的投影从图3—6（a）可以看出，点在直线实长的几何条件及投影特性：1．直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。K点的投影、、分别在、、上。2．同一直线上两线段长度之比等于其投影长度之比。由于对同一投影面面的投影面线互相平行，因此：===。由直线有积聚性的投影面特性可知：（1）如果点在已知直线上，则根据点的一个投影面（头版头条面垂直线有积聚性的投影面除外），求出它的另外两个投影面，如上图（c）所示；（2）也可通过作第三面投影的方法求得；（3）也可如图所示，通过a作一辅助线，在该线上量取：o=，oo=，然后连接Bob，并通过o作o∥Bob交于ab上的k点，即为所求。（a）（b）（c）图3—6直线上点的投影五、两直线的相对位置图3—7两直线的相对位置1．平行两直线（1）平行两直线的所有同面投影面都互相平行；（2）反之若两直线的同面投影均互相平行，则空间两直线必定互相平行；（3）判定方法：（a）一般情况下，只要看他们的两个同面投影是否平行就可以了；（b）特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据他们在所平行的那个投影面上的是否平行才能判定。2．相交两直线（1）若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的的规律。这是因为交点是两直线的共有点，如图3—7所示；（2）反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交；（3）特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断之。通常有两种方法：（a）用定比方法判定；（b）用两条直线的第三投影来判定。3．交叉两直线如图3—7，交叉两直线的同面投影可能相交，但各投影的交点不符合点的投影规律。交叉两直线上对该投影面的一对重影点的投影。可用它来判断这两直线的相对位置。4．直角投影定理（1）定理：a）空间两条互相垂直的直线，如果其中一条为某一投影面的平行线，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直；b）逆定理也成立；c）垂直交叉的两直线仍具有上述特性。（2）定理的应用：（P39）平面的投影由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。3.4.1平面的表示方法1．不在一条直线上的三点；2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。图3—8几何元素表示平面3.4.2平面形在三面投影体系中的特性平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最简单的平面形，如图3—9所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。其它多边形的作法与此类似。又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。图3—9一般位置平面的投影图3—10投影面平行面的投影特性平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图3—9所示。一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。由此得到一般位置平面的投影特性：（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。如图3—10所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。三种投影面平行面的投影特征：（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。该平面形投影反映该空间平面形的实形。投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面图3—11投影面垂直面的投影特性仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。如图3—11所示。投影面垂直面有三种：铅锤面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。三种投影面垂直面的投影特征：（1）积聚性——在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；（2）相仿性——若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形；（3）判断——若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则此平面垂直于积聚投影所在的投影面。3.4.3平面的投影一、换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。二、点的换面点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。1．点的一次换面（1）换V面图3-11（a）表示点A在原投影体系V/H中，其投影为和现令H面不动，用新投影面V1来代替V面，V1面必须垂直于不动的H面，这样便形成新的投影体系V1/H，O1X1是新投影轴。过点A向V1面作垂线，得到V1面上的新投影，点是新投影，点是旧投影，点是新、旧投影体系中的共有的不变投影。和是新的投影体系中的两个投影，将V1面绕O1X1轴旋转到与H面重合的位置时，就得到图3-11（b）所示的投影图。由于在（a）（b）（c）图3-11点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：⊥O1X1轴；==A，即：换V面时Z坐标不变。由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。换V面的作图方法和步骤如图3-11（c）所示：①在被保留的H投影附近（适当的位置）作O1X1轴；②由H投影向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取=，点即为所求。（2）换H面换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：⊥O1X1轴；==A，换H面是Y坐标不变。其作图方法和步骤与换V面类似3-11（c），可依此类推，此略。2．点的二次换面由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如3-12（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。二次换面的作图步骤如图3-12（b）所示：（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影，而==A，作图方法与点的一次换面完全相同；（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影，而==A，作图方法与点的一次换面类似。（1）（2）图3-12点的二次换面注：根据实际需要也可以先换V面，后换H面，但两次或多次换面应该是V面和H面交替更换，如：→→→……。三、几个基本作图问题1．将一般位置直线变换为投影面的平行线如图3-13（a）为把一般位置直线AB变换为投影面平行线的情况。用V1面代替V面，使V1面∥AB并垂直于H面。此时，AB在新投影体系V1/H中为正平线。图3-13（b）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影平行的新投影轴O1X1（O1X1∥），然后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A、B两点在新投影面V1上的新投影、，再连接直线。则反应线段AB的实长，即=AB，并且新投影和新投影轴（O1X1轴）的夹角即为直线AB对H面的倾角α，如图3-13（b）。如图3-13（c）所示若求线段AB的实长和与V面的倾角β，应将直线AB变换成水平线（AB∥H1面）也即应该换H面，建立V/H1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。（a）（b）（c）图3-13将一般位置直线变换为投影面平行线将投影面的平行线变换为投影面垂直线将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。如图3-14（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。图3-14（b）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1⊥。（a）（b）图3-14将投影面的平行线变换为投影面垂直线将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。如图3-15所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。其作图方法详见图3-15（b），其中O1X1∥，O2X2⊥。（a）（b）图3-15直线的二次换面将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。如图3-16表示将一般位置平面△ABC变换为新投影体系中的正平线段的情况。由于新投影面V1既要垂直于△ABC平面，又要垂直于原有投影面H面，因此，它必须垂直于△ABC平面内的水平线。作图步骤（如图3-16（b））：（1）在△ABC平面内作一条水平线AD线作为辅助线及其投影、；（2）作O1X1⊥；（3）求出△ABC在新投影面V1面上的投影、、，、、三点连线必积聚为一条直线，即为所求。而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC与H面的倾角α。同理，也可以将△ABC平面变换为新投影体系V/H1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC与V面的倾角β。（a）（b）（c）图3-16平面的一次换面（求倾角）5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）如图表示将铅垂面△ABC变为投影面平行面（求实形）的情况。由于新投影面平行于△ABC，因此它必定垂直于投影面H，并与H面组成V1/H新