单调性与最大小值教学设计

单调性与最大小值教学教学设计3.1单调性与最大值第1课时整体设计教学目标.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法..通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力..通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明.教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.教学方法教师启发讲授，学生探究学习.教学手段计算机、投影仪.教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：由于某种原因，XX年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开.始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事下图是北京市某年8月8日一天.24小时内气温随时间变化的曲线图.图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.问题：观察图形，能得到什么信息？预案：当天的最高温度、最低温度以及何时达到；在某时刻的温度；某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数化规律，对我们的生活是很有帮助的.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？据的变预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣.归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义..借助图象，直观感知问题1:分别作出函数y=x+2,y=—x+2,y=x2,=y1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：函数y=x+2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=—x+2在整个定义域内y随x的增大而减小.函数y=x2在［0,+8）上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小.函数y=1x在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小.引导学生进行分类描述，同时明确函数的单调性是对定某个区间而言的，是函数的局部性质.义域内问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f在该区间上为增函数；如果函数f在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f在该区间上为减函数.教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识.【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的次认识..探究规律，理性认识问题1:下图是函数y=x+2x的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、然比较精确化的研究.【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函性的必要性.数单调问题2:如何从解析式的角度说明f=x2在［0,+^)为增函数？预案：在给定区间内取两个数，例如1和2,因为12V22,所以f=x2在［0,+^）为增函数.仿，取很多组验证均满足，所以f=x2在0，+为增函数.任取x1,x2?［0,+^），且x1Vx2，因为x12-x22=v0,即卩x12Vx22,所以f=x2在［0，+）为增函数.对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1,x2.【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫..抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比函数的定义.板书定义巩固概念判断题：吗？得出减①已知f=1x，因为fVf，所以函数f是增函数.②若函数f满足fVf,则函数f在区间［2,3］上为增函数.③若函数f在区间上均为增函数，贝y函数f在区间上为增函数.④因为函数f=1x在区间和上都是减函数，所以f=1x在U上是减函数.通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域，可以是定义域内某个区间，也可以根本不单调.③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增函数，一般不能认为函数在AUB上是增函数.思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.掌握证法，适当延展【例】证明函数f=x+2x在上是增函数..分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.证明：任取x1,x2J且x1Vx2，设元f-f=x1+2x1-x2+2x2求差=+2x1-2x2=+2x1x2=1-2x1x2=x1x2-2x1x2，变形???2Vx1Vx2,???x1-x2V0,x1x2>2,「.f-fV0，即fVf,断号???函数f=x+2x在上是增函数.定论.归纳解题步骤弓I导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.练习：证明函数f=x在［0,+^）上是增函数.问题：要证明函数f在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x1,x2?，且x1工x2有f—fx2x1>0可以吗？引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f=x在［0，+）上是增函数.【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结..小结概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等..作业书面作业：课本习题1.3A组第1,2,3题.课后探究：证明：函数f在区间上是增函数当且仅当对任意的x,xh?，且hz0有f—fh>0.研究函数y=x+1x的单调性，并结合描点法画出函数的草图.设计说明.教学的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的个性质，是函数学习中个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点..教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成..教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识..教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的：在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入.在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤.可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.第2课时方诚心整体设计教学目标.知识与技能使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用.启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题..过程与方法通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确..情感、态度与价值观理性描述生活中的最大、最多等现象.重点难点教学重点：函数最大值的定义和求法.教学难点：如何求一个具体函数的最值.教学过程导入新思路1.某工厂为了扩大生产规模，重新建造一个面积为100002的矩形新厂址，新厂址的长为x，则宽为10000X，所建围墙y，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2x+10000x,x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f=—x+3:②f=—x+3,x?[—1,2];③f=x2+2x+1;④f=x2+2x+1,x?[-2,2].学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新新知探究提出问题如图4所示是函数y=—x2—2x、=—2x+1,x?[—1,+）、y=f的图象.观察这三个图象的共同特征.图4函数图象上任意点P的坐标与函数有什么关系？你是怎样理解函数图象最高点的？问题中，在函数y=f的图象上任取一点A,如图5所示，设点c的坐标为，谁能用数学符号解释：函数y=f的图象有最高点c?图5在数学中，形如问题中函数y=f的图象上最高点c的纵坐标就称为函数y=f的最大值.谁能给出函数最大值的定义？函数最大值的定义中fw即f<，这个不等式反映了函数y=的ff函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？函数y=—2x+1,x?有最大值吗？为什么？点是不是函数y=—2x+1,x?的最高点？由问题你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：函数y=—x2—2x的图象有最高点A,函数y=—2x+1,x?[—1,+^）的图象有最高点B,函数y=f的图象有最高点c.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最咼点.函数图象上任意点P的坐标的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.由于点c是函数y=f图象上的最高点，则点A在点c的下方，即对定义域内任意x，都有ywy0，即f0,>0.f>f,即函数y=2x-1在区间［2,6］上是减函数.???当x=2时，函数y=2x—1在区间［2,6］上取得最大值f=2;当x=6时，函数y=2x-1在区间［2,6］上取得最小值f=25.变式训练.求函数y=x2—2x的最大值和最小值.解：最大值是f=15，最小值是f=-1..函数f=x4+2x2-1的最小值是______________.解析：转化为求二次函数的最小值.设x2=t,y=t2+2t—1,又当t>0时，函数y=t2+2t-1是增函数，则当t=0时，函数y=t2+2t-1取最小值一1.所以函数f=x4+2x2-1的最小值是—1.答案：—1.画出函数y=—x2+2|x|+3的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图6所示.图6由图象得，函数的图象在区间和［0,1］上是上升的，在［—1,0］和上是下降的，最高点是，故函数在，［0,1］上是增函数；函数在［—1,0］，上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f在区间上单调递减，则函数=在x=b处有最大值f:②如果函数y=f在yf区间上单调递增，则函数y=f在x=b处有最小值f.例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是间ts之间的关系为h=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h与时活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少”就是函数h=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.解：作出函数h=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h=-4.9t2+14.7t+18,我们有：当t=-14.72X=1.5时，函数有最大值h=4XX1814.724八29.即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练.把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是323c24c2c.32c2D.23c2解析：设一个三角形的边长为xc,则另一个三角形的边长为c,两个三角形的面积和为S,贝yS=34x2+342=32223>23.当x=2时，S取最小值23c2.故选D.答案：D.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润研究函=^销售量.解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=[60—?10]=-10[2—16]=—102+160,当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.知能训练课本本节练习5.【补充练习】某厂XX年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量x万件与去年促销费满足x=3—2+1.已知XX年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍.将XX年该产品的利润y万元表示为年促销费的函数；求XX年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：年利润=销售价格x年销售量-固定投入-促销费—再投入，销售价格=1.5x每件产品平均成本；利用单调法求函数的最大值.解：每件产品的成本为8+16xx元，故XX年的利润为y=1.5X8+16xxXx—=4+8x—=4+83—2+1—28-16+1—.可以证明当OWW3时，函数y=28—16+1—是增函数，当〉3时，函数y=28—16+1—是减函数，所以当=3时，函数y=28—16+1—取最大值21万元.拓展提升问题：求函数y=1x2+x+1的最大值.解：利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是一12,43.图8贝y函数y=1x2+x+1的最大值是43.函数的定义域是R可以证明当xv—12时，函数y=1x2+x+1是增函数;当x>—12时，函数y=1x2+x+1是减函数.则当x=—y=1x2+12x+时，函数y=1的最大值是1x243.+x+1取最大值43,即函数函数的定义域是R由y=1x2+x+1,得yx2+yx+y—1=0.x?R,.??关于x的方程yx2+yx+y—1=0必有实数根.当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y—1=0无实数根,即y=0不属于函数的值域.当y工0时，则关于x的方程yx2+yx+y—1=0是一元二次方程，则有△=2—4Xy>0.0vy<43.???函数y=1x2+x+1的最大值是43.点评：方法三称为判别式法，形如函数y=ax2+bx+cdx2+ex+f,当函数的定义域是R时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式x2+nx+=0;②分类讨论=0是否符合题意；③当工0时，关于x的方程x2+nx+=0中有x?R,则此一元二次方程必有实数根，得n2—>,得关于y的不等式，40解不等式组n2—4>0,工0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.课堂小结本节课学习了：函数的最值；求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；求函数最值时，要注意函数的定义域.作业课本习题1.3A组5,6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：.在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入..在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.备课资料基本初等函数的最值.正比例函数：y=x在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当＞0时，函数y=x的最大值为f=b,最小值为f=a;当v0时，函数y=x的最大值为f=a,最小值为f=b..反比例函数：y=x在定义域U上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当＞0时，函数y=x的最大值为f=a,最小值为f=b;当v0时，函数y=x的最大值为f=b,最小值为f=a..一次函数：y=x+b在定义域R上不存在最值.在闭区间［,n］上存在最值，当＞0时，函数y=x+b的最大值为f=n+b,最小值为f=+b;当v0时，函数y=x+b的最大值为f=+b，最小值为f=n+b..二次函数：y=ax2+bx+c:当a＞0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f—b2a=—b2+4ac4a，无最大值；当av0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f—b2a=—b2+4ac4a，无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是咼考考查的重点和热点内容之一.二次函数f=ax2+bx+c在闭区间［p,q］上的最值可能出现以下三种情况：若一b2avp，则f在区间［p,q］上是增函数，则fin=f,fax=f.若p<—b2aq,则f在区间［p,q］上是减函数，则fin=f,fax=f.由此可见，当一b2a?［p,q］时，二次函数f=ax2+bx+c在闭区间［p,q］上的最大值是f和f中的最大值，最小值是f—b2a;当—b2a［p,q］时，二次函数f=ax2+bx+c在闭区间［p,q］上的最大值是f和f中的最大值，最小值是f和f中的最小值.