北航数学分析期中考题-答案

北京航空航天大学第一学期期中《工科数学分析(I)》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人一计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1)计算极限lim1+xsinx-1x2x?0e-1解：lim1+xsinx-1xsinx（3分）2=lim⋯⋯⋯⋯..x0ex-1x0x2(1+xsinx+1)1（2分）=⋯⋯⋯⋯⋯2求下面无穷小的阶1+tanx-1-()0sixnx?.解：1+tanx-1-sinx=tanx+sinx1+tanx+1-sinx骣1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）÷?÷sinx1+?cosx÷桫=1-sinx1+tanx+骣1÷sinx?+1÷?÷桫limcosx=2为1阶(2分)x?0x3)假设f=(sinx)cosx(0<x0,x>0,x=1骣+s÷,{n}xnxs.假设1n+1?÷证明数列单调有界，且极限为?÷?xn÷2桫证明:1)数列单调递减有下界(5分)x1骣s÷xs,n+1=?xn+÷蕹2?÷n+1?x÷桫n骣骣骣1珑s鼢1s1÷?s-=+鼢=-?=xn+1xn珑xn-xnxn0鼢?s÷珑÷2桫鼢2桫xn?xn2桫s2)下面说明极限为s(5分)1骣s÷limx=b??b=b,b=snn+12?÷桫?b÷三.证明下面问题（10分）假设数列{xn}满足xn+1-2n{xn}xn<1,用Cauchy收敛定理证明收敛.证明1)(5分)"p?N,xn+Pxn?xn+Pxn+P-1+xn+P-1-xn+P-2+.......+xn+1-xn?11+........+12n+P-12n+P-22n骣骣p?1÷?÷÷骣骣?1-?÷÷111?÷÷1鼢1?桫÷=珑+++2........=?÷?.n珑P-1P-21鼢n?÷n-1鼢桫12桫2?÷222÷??÷2÷?÷桫2)柯西定理写正确5分">$轾1+>"?<e=犏Nx,0,Nln/ln2n1,Np,nxe犏n+p臌e四.证明下面不等式(10分)e-x+sinx<1+x2,x?(0,p).2证明:1)下面每个式子2分,共6分x2--x-sinx,x?(0,p)F(x)=1+e2F'(x)=x+ex-cosx,x?(0,p)F''(x)=1+ex+sinx,x?(0,p)2)(2分)F''(x)>0,x?(0,p),F'(0)=0因此F'(x)>0,x?(0,p)(2分)F(0)=0,F(x)=1+x2-e-x-sinx>0,x?(0,p)2五.（10分）假设函数f(x)和g(x)在[a,b]存在二阶导数，并且g''(x)10,且f(a)=f()()()=0，证明下面问题:b=ga=gb1）在(a,b)内g(x)10；2）在(a,b)q,满足f(q)=f''(q)g(q)g''(q)内至少存在一点在.证明:1)下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设$q?(a,b),g(q)0.则(a)-g(q)=g'(x1)(a-q)=0?g(b)-g(q)=g'(x2)(b-q)=0?g'(x1)0,x1?(a,q)g'(x2)0,x2?(q,b)g'(x1)-g'(x2)=g''(x3)(x1-x2)=0?g''(x3)0,x3?(x1x2)矛盾,结论得证.2)令F(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)⋯⋯..(2分)F'(x)=f(x)g''(x)-f''(x)g(x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分)F(a)=F(b)=0F'q)=f(q)g''(q)-f''qgq)=0⋯⋯⋯⋯(1分)(()(六(10分)假设函数f(x)在[0,1]存在二阶导数,f0)=0,f1=1,并f'0)=f'1=0,求解(()(()和证明下面问题.写出f(x)在x=0,x=1的Lagrange余项的Taylor公式;证明在(0,1)至少存在一点q?(0,1)满足f''(q)34.证明1)下面每个式子2分f(x)=f(0)+f'(0)x+1f''(x1)x2,x1介于0,x之间.2f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+12f''(x1)(x-1)2,x2介于x,1之间.2)f(x)=f(0)+f'(0)x+1f''(x1)x2=122f(x)=1+1f''(xx-1221)()ü''2?f(x1)x???y2分?????t1f''(x1)x2=1+1221?1f''(x1)x2122?21(max{f''(x1),''2ü?f(x1)(x-1)?????''?f(x1)(x-2?1)y???'')})(22?(()?fx1x-)??x1?t分而x2+(x-12在0,1区间上的最大值1,)[]2因此max{f''(x1),f''(x1)}34.(2分)（10分）证明下面问题假设f(x)定义在(a,b)上.如果对(a,b)内任何收敛的点列{xn}都有limfx存在,则n(n)()f在a,b上一致连续.证明:1)写出不一致连续定义3分如果f在(a,b)上不一致连续,则$e0>0,$sn,tn?(a,b),sntn?1,f(sn)f(tn)?e0n2)写出下面3分(有界数列必存在收敛子列){sn,tn}?(a,b,则存在{sn,tnk}?(a,b,limsnlimtn=a)k)kkkk3)下面结论4分构造{sn1,tn1,.......snk,tnk,..........}={zn}数列收敛且极限为a,(2分)则有已知条件limfz存在,因此limfs=limftnk)(2分)n(n)k(nk)k(与1)矛盾.八（10分）附加题(下面两个题目任选其一)n假设函数fn(x)=1-(1-cosx),证明下面问题1骣p÷a)对于任意的自然数n,方程fn(x)=?中仅有一根.在0,÷?÷2?2桫b)设xn骣p÷1p??0,÷,满足f(xn)=,则limxn=.?2÷n2n2桫证明:1)5分骣骣p÷()?p÷?0,(),由介值定理$x?,fxf0=1,fn÷nn?=0n?÷n÷÷??桫桫22'n-1骣p÷fn(x)=-nsinx(1-÷cosx)<0,x??0,?÷桫2因此根唯一.2)5分骣1骣1n骣1?鼢由于f珑,limf?arccosarccos鼢=1-1-=1-n珑鼢nn??珑??桫n桫nn桫1.(3分)2(2分)e-1,（2分）由极限的保号性骣1÷1ü?$N,n>N,fn?arccos÷>??÷???桫n2?（2分）骣y1÷1?fn?arccosn(xn)?÷>=f??÷??n2桫?t单调性arccos1