固体物理部分习题解答

《固体物理学》部分习题解答1.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。a2a3a3a1a1a2解由倒格子定义b12b22b32a1a2a3a1a2a3a1a2a3aaa体心立方格子原胞基矢a1(ijk),a2(ijk),a3(ijk)222a2a32aa倒格子基矢b12(ijk)(ijk)a1a2a3v02222a2(ijk)(ijk)(jk)v04aa3a122同理b22(ik)b3(ij)a1a2a3aa可见由b1,b2,b3为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢a1a(jk)/2a2a(ki)/2a3a(ij)/2a2a32倒格子基矢b12b1(ijk)a1a2a3a22同理b2(ijk)b3(ijk)aa可见由b1,b2,b3为基矢构成的格子为体心立方格子(2)31.4证明倒格子原胞的体积为，其中v0为正格子原胞体积v0a2a3证倒格子基矢b12a1a2a3a3a1b22a1a2a3a1a2b32a1a2a3*倒格子体积v0b1(b2b3)此由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-1-33*(2)*(2)v03(a2a3)(a3a1)(a1a2)v0v0v01.5证明：倒格子矢量Ghb11h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。证：aaaaCA13,CB23h1h3h2h3Gh1h2h3CA0容易证明Gh1h2h3CB0Ghb11h2b2h3b3与晶面系(h1h2h3)正交。1.6如果基矢a,b,c构成简单正交系h2k2l2证明晶面族(hkl)的面间距为d1()()()abc说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证简单正交系abca1ai,a2bj,a3cka2a3a3a1a1a2倒格子基矢b12b22b32a1a2a3a1a2a3a1a2a3222b1i,b2j,b3kabc222倒格子矢量Ghb1kb2lb3hikjlkabc2h2k2l2晶面族(hkl)的面间距d1()()()Gabc面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解(111)面与(100)面的交线的AB－AB平移，A与O重合。B点位矢RBajak（111）与（100）面的交线的晶向ABajak——晶向指数011(111)面与(110)面的交线的AB——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-2-RBaiaj(111)面与(110)面的交线的晶向ABaiaj――晶向指数1102.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln2.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]rjrijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为1112[1...]234234xxxn(1x)x...x34111当X=1时，有1...n22n22342.3若一晶体的相互作用能可以表示为u(r)rmrn求1）平衡间距r02）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4）若取m2,n10,r00.3nm,W4eV，计算,值。N解1）晶体内能U(r)()2rmrn1dUmnnnm平衡条件0m1n10r0()drrrmrr00012)单个原子的结合能Wu(r0)2m1mnnmu(r0)(mn)W(1)()rrrr02nm2U3)体弹性模量K(2)VV0V03晶体的体积VNAr——A为常数，N为原胞数目N晶体内能U(r)()2rmrn此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-3-Nmn1(m1n1)22rr3NAr2UNrmn12[(m1n1)2]V2Vrrr3NAr2U体弹性模量K(2)VV0V0222UN1mnmn22[mnmn]V29V0r0r0r0r0VV0UNmn1由平衡条件(m1n1)20VVV02r0r03NAr0mnmnr0r0222UN1mn22[mn]V29VrrVV00002UN体弹性模量K(2)V0V0U0(mn)V2r0r0222UN1mn[]V229V2rmrnVV00002UN1mn22[mmnn]V29V0r0r0VV0mnNnm（mn）2[mn]r0r029V0r0r02Umnmn22(U0)KU0V9V09V0VV01mmnnnm1mnnm4）mnr0()W(1)()r0r0m2nmW109510r01.1810eVm22192r0[102W]9.010eVmr02.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-4-构中的结合能之比值．1261126解u(r)4()()ur,()N(A4n)(Al)()rr2rr2du(r)6A1261A60r02u0NrrA62A1222bccu(r0)bccA6A612.25/9.11()/()20.957fccu(r0)fccA12A1214.45/12.1362.7．对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为5010J,2.96A.计算H2结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解以H2为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：126126U2NPijPij.iRjR612Pij14.45392;Pij12.13188,ji501016erg,2.96A,N6.0221023/mol.将R0代入U得到平衡时的晶体总能量为1262.962.96U26。0221028/mol501016erg12.1314.452.55KJ/mol.3.163.16因此，计算得到的H2晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于H2的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．3.1．已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，njajsin(jt_naqjj)，j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT，具体计算每个原子的平方平均位移。解任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即nnjajsin(jtnaqjj)（1）jj此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-5-2*2*nnjnjnjnjnjjjjjj由于njnj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项22相比是一小量，可以忽略不计。所以nnjj由于nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为21T0212asin(tnaq)dta（2）j0jjjjjT02已知较高温度下的每个格波的能量为kT，nj的动能时间平均值为22LTT101dnjwjaj01TdxdtLa2sin(tnaq)dtw2La2nj000jjjjjjT02dt2T04其中L是原子链的长度，使质量密度，T0为周期。1221所以TnjwjLajKT（3）422KT因此将此式代入（2）式有nj2PLj22KTKT1所以每个原子的平均位移为nnj22jjPLjPLjj3.2讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解，当M=m时与一维单原子链结果一一对应解质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3⋯⋯。质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4⋯⋯。m2n(22n2n12n1)牛顿运动方程M2n1(22n12n22n)——体系有N个原胞，有2N个独立的方程此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-6-m2n(22n2n12n1)方程的解M2n1(22n12n22n)i[t(2na)q]2nAei[t(2n1)aq]2n1Be(2m2)A(2cosaq)B0(2cosaq)A(2M2)B02m22cosaqA,B有非零解02cosaq2M2(mM)4mM12{1[1sin2aq]2}mM(mM)2——两种不同的格波的色散关系12(mM)4mM2{1[1sinaq]2}mM(mM)2(mM)4mM12{1[1sin2aq]2}mM(mM)2对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波——总的格波数目为2N4aqM=mcosm24aqsinm2qaqa长波极限情况下q0sin()(2q)22m与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3．考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交错的等于c和10c．令两种a原子质量相同，且最近邻间距为．求在k0和k处的(k)．大略地画出色散关系．本2a题模拟双原子分子晶体，如H2。＜解＞a/2C10cus1vs1usvsus1vs1此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-7-2dusM2CVs1us10CVsus，dt2dVsM10CusVsCus1Vs,dt2isKaitisKait将usuee,VsVee.代入上式有M2uC10eikaV11Cu,M2VCeika10u11CV,是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为M211C,C(10eiKa)iKa2=0，解出C(e10),M11CM2422MC220C2(1conKa)02C11121201conKa.M当K=0时，当K=/a时2222C/M,20C/M,20,22C/M,2与K的关系如下图所示．这是一个双原子(例如H2)晶体3.6计算一维单原子链的频率分布函数()解设单原子链长度LNa22波矢取值qh每个波矢的宽度NaNaNaNa状态密度dq间隔内的状态数dq22——对应q,取值相同，d间隔内的状态数目Na()d2dq2242aq一维单原子链色散关系sin()m24aq令00sin()m2此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-8-aaq两边微分得到d0cos(dq)222aqa22cos()12d0dq202a222dd0dqdq2a220NaN1代入()d2dq2d22202N1一维单原子链的频率分布函数()22023.7．设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有(q)0AqV11/2求证：频率分布函数为f()23/20,0;4Af()0.,0112222解0时，0Aq0f()0,00AqqA0Vds依据，并带入上边结果有q(q)2Aq,f()32q(q)1/2VdsV1AV11/2f332401/223/202q(q)22A02A22222222B点能量BKxKy2,所以B/A22m2maa2ma3.8．有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低2温极限比热正比于T。证明：在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积L253s2ndn，且2ndnkdkkdk即d则222v223d32x23smd3skBTDkBTkBT3skBTDxdxEE02v20e/kBT12v22De/kBT12v22Dex13E2T0时，ET,Cv()sTT此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-9-3.9．写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为qFU0kBTnqkBTq1qkBT证明:量子谐振子的自由能为FUkBTn1eq2kBT经典极限意味着（温度较高）kBTgx2应用e1xx...q2qq所以ekBT1...kBTkBT1qq因此FUqkBTn11U0kBTnq2qkBTkBT1其中U0Uqq213.10．设晶体中每个振子的零点振动能为，使用德拜模型求晶体的零点振动能。2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振m13V2动模零点能之和。EEgd将E和g代入积00002322vs3V499分有E023mNm，由于mkBD得E0NkBD16vs882一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．3.11．一维复式格子24M1m51.6710g,4,1.510N/m(即1.51104dyn/cm),m00A求（1），光学波max,min，声学波max。（2），相应声子能量是多少电子伏。（3），在300k时的平均声子数。0（4），与max相对应的电磁波波长在什么波段。4A221.510dyn/cm311解（1），xma3.0010s,M451.671024此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-10-424o2Mm21.5104551.6710dyn/cm131max6.7010sMm451.67102451.6710244A221.510dyn/cm131max5.9910sm51.671024A161312max6.58105.9910s1.9710eVo161312（2）max6.58106.7010s4.4110eVo161312min6.58103.0010s3.9510eVA1O1（3）nmaxA0.873,nmaxO0.221emax/kBT1emax/kBT1O1nO0.276min/kTeminB12c（4）28.1m4.1．根据k状态简并微扰结果，求出与E及E相应的波函数及。说明它们a2*都代表驻波，并比较两个电子云分布（即）说明能隙的来源(假设Vn=Vn)。00解令k，k，简并微扰波函数为Ak(x)Bk(x)aa0*E(k)EAVnB00VnAEkEB0取EE0带入上式，其中EE(k)VnV(x)<0,Vn0,从上式得到B=-A,于是nnixix00Aaa2AnAk(x)k(x)ee=sinxLLa0取EE，EE(k)VnVnAVnB,得到ABnnixix00Aaa2AnAk(x)k(x)ee=cosxLLa由可知，及均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度(k)为零．产生n22a驻波因为电子波矢k时，电子波的波长，恰好满足布拉格发射条件，这akn此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-11-时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2．写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k的0级波函2a数。2221imxiximxi(m)x*1ikx1ikxa12aa1a4解：k(x)eeeeeeLLLLix*12a第一能带：m0,m0,k(x)e2aL23ixiix22a2a*12a第二能带：bb则bb,m,即m1,（e=e）k(x)eaaL25ixixix22*12aa12a第三能带：cc,m,即m1,k(x)eeeaaLL4.3．电子在周期场中的势能．1222mb(xn)a,当nabxnab2V(x)0，当(n-1)a+bxnab其中a＝4b，是常数．(1)试画出此势能曲线，求其平均值.(2)用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度．解：(I)题设势能曲线如下图所示．此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-12-(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以11a1abV(x)V(x)V(x)dxV(x)dxLLabab题设a4b，故积分上限应为ab3b，但由于在b,3b区间内V(x)0，故只需在b,b区间内积分．这时，n0，于是22bb1m22m2b13b12VV(x)dx(bx)dxbxbxbmb。ab2ab2a36（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数m22bm1bmV(x)VVcosx,VV(x)cosxdxV(x)cosxdx0mm00m2b2b2bb2b2bm22x第一个禁带宽度Eg2V1,以m1代入上式,Eg(bx)cosdx11b02b2u2利用积分公式ucosmudu2musinmu2cosmu3sinmu得mm216m2Egb第二个禁带宽度E2V,以m2代入上式,代入上式13g2222bm22x2m2Eg(bx)cosdx再次利用积分公式有Egb2b0b22s4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带E(k)函数解面心立方晶格sikRs——s态原子能级相对应的能带函数E(k)sJ0J(Rs)eRsNearest0*0s原子态波函数具有球对称性J1J(Rs)i(Rs)[U()V()]i()}d0sikRsE(k)sJ0J1eRsNearest——任选取一个格点为原点——最近邻格点有12个此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-13-12个最邻近格点的位置aaaaaa,,00,,,0,222222aaaaaa,,00,,,0,222222aaaaaa,,00,,,0,222222aaaaaa,,00,,,0,222222aasikRsRsij0kE(k)sJ0J1e22RsNearestaai(kxikyjkzk)(ij0k)eikRse22ai(kk)xykakakyakyae2(cosxisinx)(cosisin)2222——类似的表示共有12项——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带sE(k)sJ0kxakyakxakzakyakza4J1(coscoscoscoscoscos)222222对于体心立方格子――任选取一个格点为原点——有8个最邻近格点——最近邻格点的位置aaaaaa,,,,222222aaaaaa,,,,222222aaaaaa,,,,222222aaaaaa,,,,222222aaasikRsRsijkE(k)sJ0J1e222RsNearest此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-14-aaaai(kxikyjkzk)(ijk)i(kxkykz)eikRse222e2kakakyakyakaka(cosxisinx)(cosisin)(coszisinz)222222——类似的表示共有8项归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带sE(k)sJ08J1cos(kxa/2)cos(kya/2)cos(kza/2)4.7．有一一维单原子链，间距为a，总长度为Na。（1）用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。00（3）如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级EF及EF处的能态密度。ikaika解：(1),E(k)sJ0J1(ee)sJ02J1coskaE02J1coskaikRsE(k)EJ0J(ps)eLdk2Na1N(2),N(E)222dE2J1asinkaJ1sinka0k0FNa02NakF0(3),N2(k)2dk22kFkF022a000NNEFE(kF)E2J1cosaEs,N(EF)2aJ1J1sina2a4.8(1)证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(2)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(3)(2)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响722解（1）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢Ai?,Bj?aa第一布里渊区如图所示a0aaa此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-15-???区边中点的波矢为KAi,角顶B点的波矢为KBij.aaa2222自由电子能量KxKyKz,2m222222A点能量AKx,2m2ma2ma22A点能量A;2ma2222222222B点能量BKxKyKz3,2m2maaa2ma所以B/A3(3)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子2222理论，自由电子的能量为KxKyKz，FerM面应为球面．由(2)可知，内2m34切于4点的内切球的体积，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为3a34V323N1.047N其中VNa3a23二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-16-构，能带出现重达，所以可以导电．4.9半金属交叠的能带2k2E1(k)E1(0),m10.18m2m122E2(k)E2(k0)(kk0),m20.06m2m2其中E1(0)为能带1的带顶，E2(k0)为能带2的带底E1(0)E2(k0)0.1eV由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论T=0K的费密能级解半金属的能带1和能带22k2E1(k)E1(0)2m122E2(k)E2(k0)(kk0)2m2能带1的能态密度VdSN1(E)23(2)kE2kkEm1VdSkE2[E1(0)E1(k)]/m1N1(E)23(2)kEV4k2N1(E)23(2)2[E1(0)E1(k)]/m132V2m12111N(E)22E(0)E(k)2——同理能带2的能态密度32V2m222210N(E)22E(k)E(k)2如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足0E1(0)EFN1(E)dEN2(E)dEE0EF2(k0)此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-17-0E1(0)3EF32V2m122V2m222(2)E1(0)E1(k)dE2(2)E2(k)E2(k0)dEE0(2)E(2)F2(k0)03/23/2E1(0)3/23/2EFm1[E1(0)E1(k)]E0m2[E2(k)E2(k0)]EF2(k0)00m1[E1(0)EF]m2[EFE2(k0)]0m1E1(0)m2E2(k0)EFm10.18m,m20.06mE1(0)E2(k0)0.e1Vm1m20EFE2(k0)0.075eV2x2y4.12．设有二维正方晶格，晶体势为Ux,y4Ucoscos.aa用近自由电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角,处的能隙．aa????解：以i,j表示位置矢量的单位矢量，以b1,b2表示倒易矢量的单位矢量，则有，????2??rxiyi,GG1b1G2b2g1b1g2b2,g1,g2为整数。a2x2y晶体势能Ux,y4Ucoscos.aa2222ixixiyiyiG11UrUeeeeUG11eG11其中UG11U，而其他势能傅氏系数UG10UG20...0。这样基本方程kCKUGG(KG)0变为GKCKUG11CKG11UG11CKG11UG11CKG11UG11CKG110111求布里渊区角顶,，即kG(,)G11处的能隙，可利用双项平面波近aa222似iKri(KG)rC(K)eC(KG)e来处理。11当KG11,KG11时依次有2211KG11G11,KG11G11而其他的KG11，22此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-18-KG11G11，所以在双项平面波近似下上式中只有11CG11,CKG11CG11;2211CG11,CKG11CG11;22111CG11UCG110G11222111CG11UCG110G112221uG1120，因为1G11u22222111G112G11G11222m2ma2222由行列式有()U0解得=U2U,ma所以在（,-）处的能隙为=+2u.aa222?2)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为Ai?,B?j,Ck,aaa第一布里渊区如图7—2所示．2715.1设一维晶体的电子能带可以写成E(k)2(coskacos2ka)ma88其中a为晶格常数，计算1）能带的宽度2）电子在波矢k的状态时的速度3）能带底部和能带顶部电子的有效质量271解1)能带的宽度的计算E(k)2(coskacos2ka)ma88能带底部k0E(0)022能带顶部kE()2aama22能带宽度EE()E(0)2ama2）电子在波矢k的状态时的速度此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-19-271E(k)2(coskacos2ka)ma881dE(k)电子的速度v(k)dk1v(k)(sinkasin2ka)ma42713)能带底部和能带顶部电子的有效质量E(k)2(coskacos2ka)ma882Em电子的有效质量m*2/k2coska(1/2)cos2ka能带底部k0有效质量m*2m*2能带顶部k有效质量mma3222222k1k2k35.5设电子等能面为椭球E(k)2m12m22m3外加磁场B相对于椭球主轴方向余弦为,,1）写出电子的准经典运动方程qB*m1m2m32）证明电子绕磁场回转频率为*。其中m222mm1m2m3dk解恒定磁场中电子运动的基本方程qv(k)Bdt1电子的速度v(k)kE(k)2k22k22k2电子能量E(k)1232m12m22m3E?E?E?kE(k)k1k2k3k1k2k3222k1?k2?k3?kE(k)k1k2k3m1m2m3k1?k2?k3?电子的速度v(k)k1k2k3m1m2m3???磁感应强度BB(k1k2k3)此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-20-dk电子运动方程qv(k)Bdt???应用关系k1k2k3dkk1?k2?k3????qB[(k1k2k3)(k1k2k3)]dtm1m2m3——电子运动方程dkkkdkkk1qB(23)1qB(23)0dtm2m3dtm2m3dkkkdkkk2qB(31)2qB(31)0dtm3m1dtm3m1dkkkdkkk3qB(12)3qB(12)0dtm1m2dtm1m20it0it0it令k1k1e,k2k2e,k3k3edk1k2k30qB0qB0qB()0ik1k2k30dtm2m3m2m3dk2k3k10qB0qB0qB()0ik2k3k10dtm3m1m3m1dk3k1k20qB0qB0qB()0ik3k1k20dtm1m2m1m2000k1,k2,k3有非零解，系数行列式为零0qB0qB0qBqBik1k2k30im2m3m2m30qB0qB0qBqBik2k3k10i0m3m1m1m30qB0qB0qBqBik3k1k20im1m2m1m2(qB)2(qB)2(qB)2i{2222}0m2m3m1m2m1m30无意义121212旋转频率qBm2m3m1m2m1m3222mmmqBqB123m1m2m3m*此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-21-m1m2m3其中m*222m1m2m336.2在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成Ce2.08T2.57TmJ/molK23如果一个摩尔的金属钾有N610个电子，求钾的费米温度TF2kT解一摩尔的电子对热容的贡献BCVN0(0)kB2EF3与实验结果比较Ce2.08T2.57TmJ/molK2kBT3N0()kB2.0810mJ/molK2kBTF2kB费米温度TFN0319624K22.08106.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量1)费密能量和费密温度2）费米球半径3）费米速度4）费米球面的横截面积5）在室温以及低温时电子的平均自由程2022/3021/3解1）费密能量EF(3n)kF(3n)2m10.56293n10NA0.58610/m107.8731m9.1110kg1.051034Js019EF8.8210J5.5eV0EF4费密温度TF6.410KkB2)费密球半径0200(kF)02mEFEFkF2m20190101EF8.8210JkF1.210m此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-22-0kF63)费密速度vFvF1.3810msm020224)费密球面的横截面积S(kFsin)kFsin――是kF与z轴间夹角2021/3232kF(3n)S(3n)sin5)在室温以及低温时电子的平均自由程11nq2(E0)电导率Fm0m驰豫时间(EF)nq20mvFkF平均自由程lvF(EF)lnq2nq201010K到室温之间的费密半径变化很小kFkF1.210mq1.61019Cn0.5861029/m334k01.0510Js平均自由程F代入l2将0101nqkF1.210m6T295K1.6110cm6T20K0.03810cm8lT295K5.2410m52.4nm63lT20K2.210m2.210nm6.4设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0K时301）每个电子的平均能量UEF522）自由电子气的压强满足pVNU32m3/21/2解自由电子的能态密度N(E)4V(2)Eh01(EEF)T=0K，费米分布函数f(E)00(EEF)电子总数NN(E)f(E)dE0此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-23-0EFEN(E)dE030电子平均能量U0UEEFF2m3/21/24V()EdE50h22将电子气看作是理想气体，压强pnU32N2pUpVNU3V37.1．InSb电子有效质量me0.015m，介电常数18，晶格常数a6.49A。试计算；(1)施主的电离能；(2)基态的轨道半径；(3)施主均匀分布，相邻杂质原子的轨道之间发生交叠时，掺有的施主杂质浓度应高于多少？m*解：（1）由于施主电离能ED是氢原子电离能Ei的2倍，m0m*Ei0.01413.64ED2(eV)6.5910(eV)m0(17)240m0170.5228（2），a0a0(A)6.3110(A)6.3110(m)m*e2m*0.014（3），如果施主的电子与类氢基态轨道发生重叠，则均匀分布于InSb中施主杂质浓度ND就3131202一定满足(2a)ND1,ND()4.9810(m)2a(26.31108)3此答案由多种版本教学资料参考整理而成，仅供参考。请勿抄袭！-24-