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点集拓扑(答案)选择公理定义:：设X是一个築合。记兗为X中的所有非空子集构成的集族，即壬二软X)—如果一个映射f：—X满足条件：对于任意有£(A)gA，则此映射£称为集合X的一个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理.1•设X和Y是两个集合。证明：cardY(oo,a]U[a»+oo)=R.所以1)弘异'由定理知，存在R的唯一拓扑『以戸为子基。任意x^R*S为(-QOpX][x,+oo)GP

选择公理定义:：设X是一个築合。记兗为X中的所有非空子集构成的集族，即壬二软X)—如果一个映射f：—X满足条件：对于任意有£(A)gA，则此映射£称为集合X的一个选择函数。任何一个函数都有选择函数就是选择公理.1•设X和Y是两个集合。证明：cardY(oo,a]U[a»+oo)=R.所以1)弘异'由定理知，存在R的唯一拓扑『以戸为子基。任意x^R*S为(-QOpX][x,+oo)GPN时石=巧。证明：充分性显然。必要性，设离散的拓扑空间X中的序列｛殆收敛于X,因0｝为x的开领域，所以存在NWN使得当i»N时，e｛x｝,即当AN时，xi=x，因此当ij>N时,x^=x-=x.9、设疋和兀是两个拓扑空间，X/X2是它们的积空间。证明对于任何Au為，BuX?有/证明：设x=(x1,x2)g^xj8,对于任意开领域U^USi,V^Ux2,U^VgUx7从而(J7xr)n=(UnB)x(UnA)工0即UcAH0,(UcE)工0，则XjEX’XjEjB。®X^(XpXj)GB,反之，设X=(XpX,)EAxB>XjWd,XjeBo对任意开领域WwUjf,存在《7三4厂KgJ7i2,W=UW,由于(UCA)M0,(UcE)M0©cQxxw3且乂芷4（i=匕2「・、/1）对任彳可I,x^B且兀纟4o对任何7»Wxe5-4o%w「|3_4〉M所以B-（j4）=n（B-4）or=l*=1（2）xe^-（P|4）<=>xe^且x毎门4r-4M<=>xeS且存在厂％空4。存在八使x^B且x幺4u>存在i>使XG^-4<=>U（5-4）°所以—4）Alr-11LN为自然数，令厶二{码卄旁…},〃二bz…。并令『={0，4山,}（1）证明T为N的拓扑。（2〕写出仁“的所有开邻域.证：（1）显然0，N=«T，又0（U„=0^T,刀二匕厶…，任意広好，氏/厂仏心肉"因此T为N的拓扑。（2）的唯一的开邻域为A]=N。设XpX2^X3都是拓扑空间。证明：1）积空间X.xX2同胚干积空间X2xX{：2）积空间同胚干积空间3）如果X严空萎并且空间XlxX2同胚于积空间X"X”则為同胚干兀■证明：（1）定义f：X}KX7~>X2KX[使fW=/（（^^2））=（乃,羽）,x=（xpx2）gX1xX2，显然/为在空间上的一一映射，又P\©f=P”处。于=刊,皆为连续映射，故/连续，类似可证广】也连续，即/'是同胚，故XykX2同胚于积空间XjXXj（2）由定理3.2.9,知鬲只益乂為冋胚于（Jf.xjrjxX.,下证明XjXhX、同胚于记尤xX2x匕向X\,X”X、的投影分别为耳，此”此盯禺xX$向兀的投影分别为P级啓，将X.x（X2xX3）向X、，X2kX.投影分别记为召，马，则这些投影皆为连续映射，定义映射f:XjkX2XX3->XjX(X2xXj),得任意(x,,x2,x3)eXxxX2xX3,/（x1,x2,xJ）=（x1,（x2,^））e显然f是在空间上的-—映射。又£。/=巧],禺。马。/=匕，骂。£。/=乌都为连续映射，故马。/连续，所以f为连续映射，类似可证广1也为连续映射，故f为同胚，即同胚干（4）由题意知存在同胚广不乂兀—為乂兀,取養％则{^xXjd^xXj由3.1习题8〔1）：{0}x&->{0}><兀是一个同胚，令的X%,对任何二9>工）是一个同胚。作h：X工T耳冷）二马"I呻*2昭⑴是一个同胚，其中琨是{0}XX3的第二个投射。*1证明：离散空间（平庸空间）的任何一个商空间都是离散空间（平痛空间）证明：（1）设（X,）是寓散空间。是商空间，则碑是相对于自然的投射pzX^XlR而言的商拓扑，对任何UwXfR，有叫）g）,所以严匕疋禺，于是応気,卩（X/R〉u逊，即込=曲叫所以a是离散空间（2）设（X,的是平庸空间，a心、是商空间，若2応、有"七)“={4恥,于是pl(u)=X,由是溺射，u-P(jy(u))=p(.X)=X/R.^是逸=仇/&硏，所以ajg)是平唐空间。

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