群论-群论基础

物理学中的群论物理学中的群论——群论基础群论基础主讲翦知渐群论教材与参考教材自编教材与参考书教材：自编参考书群论及其在固体物理中的应用参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）（马中骐）物理学中的群论基础物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第一章群论基础第章群论基础群的基本概念和基本性质§1.1集合与运算§1.2群的定义和基本性质§13子群及其陪集§1.3子群及其陪集§1.4群的共轭元素类§1.5正规子群和商群§16直积和半直积§1.6直积和半直积§1.7对称群§1.8置换群群论-群论基础-集合与运算§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是什么都不是，所以什么都是集合的直乘：CA×B示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：设A{}B{bbb}则集合设A={a1,a2,…,ai,…}，B={b1,b2,…,bj,…}，则集合C=A×B={(ai,bj)|ai∈A,bj∈B}是A与B的直乘。群论-群论基础-集合与运算2映射定义设与是两个集合若有种规则使得的每2映射定义：设A与B是两个集合，若有一种规则f，使得A的每一个元素在B上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f就称为A到B的一个映射记为就称为A到B的个映射，记为f：A→B或写为f：x→y=f(x),或写为fyf(),式中y称为x在B上的象，而x称为y在A上的原象。对应规则函数对应规则：函数群论-群论基础-集合与运算满射单射单射一一映射逆映射：f-1恒等映射：e变换恒等映射变换：体系A的一个自身映射f称为A的一个变换，若f是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质：ff-1=f-1f=e群论-群论基础-集合与运算3二元运算定义：若对A上的每一对有序元(a,b)，在A上有唯一确定的定义：若对A上的每对有序元(a,b)，在A上有唯确定的c与之对应，即有一规则R使得A×A→A，则R称为A上的一个二元运算，记为R：A×A→A，或R：(a,b)→c=R(a,b)()()一般记为c=a·b，或c=ab。二元运算一般也称为“乘法”——二元运算般也称为乘法数值加法数值乘法对称操作……群论-群论基础-集合与运算乘法表A乘法表mlOkBCkBeabklmbklD3eeabklmaabemklbbealmkkklmeabkklmeabllmkbeammklabe群论-群论基础-集合与运算4同态和同构设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法·和×，若有满射f，使得对于yi=f(xi)yj=f(xj)来说，满射f，使得对于yif(xi),yjf(xj)来说，f(xi·xj)=f(xi)×f(xj)——即像的乘积=乘积的像则称f为A到B的同态，记为A~B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了的符号数学上同构即是同→1:1数学上，同构即是同一→1:1例如：C4={e=a4,a,a2,a3}→G={1,i,-1,-i}群论-群论基础-集合与运算物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C2={e,c2}和Ci={e,ci}同态：A到B的等比例缩小同态：A到B的等比例缩小保持了乘法结构→3:1例如C{23}G'{11}→3:1例如：C4={e,a,a2,a3}→G' ={1,-1}二对一的同态二对的同态群论-群论基础-群的定义和基本性质§1.2群的定义和基本性质什么是群？1定义G={e,g2,…,gi,…}是一个集合，其中定义了乘法。如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：1)闭合律：gigj∈G,׊gi,gj∈G2)结合律：gi(gjgk)=(gigj)gk,׊gi,gj,gk∈G3)存在单位元：gie=egi=gi,׊gi∈G4)存在逆元素：׊gi∈G，׌gi-1∈G，使得gigi-1=gi-1gi=e广群半群幺半群广群，半群，幺半群群论-群论基础-群的定义和基本性质2群的例子1){1}：只含一个元素的群,1即是单位元e。2){1，-1}：这个集合对普通乘法构成一个群。{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。3){1，i，-1，-i}：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。{b}乘法定义为2b22bb{e,a,b,c}：乘法定义为：a2=b2=c2=e,ab=c,bc=a,ca=b，其中乘法可交换次序。4)全体实数对普通加法构成群。除0之外的所有实数对普通乘法构成群。5)全体n阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。6)D3群。群论-群论基础-群的定义和基本性质3一些基本概念1)阿贝尔群：可交换群)2)有限群：可给出群表3)无限群：离散群，连续群4)群元素的阶：gn=e群阶：|G|5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集6)循环群：一个生成元群论-群论基础-群的定义和基本性质4一些基本性质设G={gi}是一个群设G{gi}是个群„׊gi,gj∈G,方程gix=gj，xgi=gj有唯一解jjj(gi-1)-1=gi(gigj)-1=gj-1gi-1„单位元唯一；逆元素唯一逆元素唯„若群G={e,g2,…,gi,…}与群G'={e',g'2,…,g'j,…}同态或构则态或同构，则：G的单位元e的象是G'的单位元e'׊g∈G设g的象是g'则g的逆元g-1的象是g'-1׊g∈G，设g的象是g，则g的逆元g1的象是g1群论-群论基础-群的定义和基本性质有限群重排定理有限群重排定理设G是个N阶群则G的每个元素在群表的每设G是一个N阶群，则G的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。推论若f是群元的任意函数，则有()(),NNiifgfxgxG=∀∈∑∑()()11,iiiifgfg==∑∑群论-群论基础-子群及其陪集§1.3子群及其陪集群的乘法联系起来的内部结构1子群设为的个子集若它对的乘法构成群则称为设H为G的一个子集，若它对G的乘法构成群，则称H为G的子群„平凡子群，真子群„判别方法„判别方法：符合以下两个条件的G的子集H是G的子群：若׊gigj∈H，有gigj∈H若׊gi,gj∈H，有gigj∈H若׊gi∈H，则gi-1∈H对于有限群，只要满足第一个条件，即乘法的封闭性，就可证明H是G的子群。群论-群论基础-子群及其陪集2陪集设H={e,h2,…,hm}是G的一个子群，对于某个元素x∈G，集合xH={xxhxh}称为H的一个左陪集集合xH={x,xh2,…,xhm}称为H的个左陪集。„H的所有左陪集都包含有相同数目的元素„若x∈H，则xH=H„若xבH，则xH∩H=׎„若某个g∈xH，则有gH=xH：陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元”‹右陪集：H的右陪集和左陪集有同样的性质。左陪集H和右陪集H不定相等左陪集xH和右陪集Hx不一定相等。群论-群论基础-子群及其陪集3拉格朗日定理根据陪集的性质，可以得到结论：任意两个左陪集xH和yH，要么完全相同，要么完全不同任意两个左陪集xH和yH，要么完全相同，要么完全不同母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中；每个陪集的元素个数相同；每个陪集的元素个数相同；所有陪集要么没有公共元，要么全同——所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合拉格朗日定理：设H是G的一个子群则G的阶|G|一定是H的阶|H|的整所以母群定可以划分为子群的不同陪集的集合设H是G的一个子群，则G的阶|G|一定是H的阶|H|的整数倍，即|G|=k|H|。其中k是正整数，称为H在G中的指数，实际上也就是G中含H的陪集数实际上也就是G中含H的陪集数。推论（定理1.2的推论）：若群G的阶为素数时，G没有真推论（定理.的推论）：若群G的阶为素数时，G没有真子群，而且G必为循环群。群论-群论基础-子群及其陪集例：D3只有三阶子群和二阶子群，即C3和C2C3={e,a,b}例：3只有阶子群和阶子群，即3和2左陪集（两个）右陪集（两个）eC=aC=bC={e，a，b}Ce=Ca=Cb={e，a，b}eC3aC3bC3{e，a，b}C3eC3aC3b{e，a，b}kC3=lC3=mC3={k，l，m}C3k=C3l=C3m={k，l，m}C2={e,k}左陪集（三个）右陪集（三个）eC2=kC2={e，k}C2e=C2k={e，k}eC2kC2{e，k}C2eC2k{e，k}aC2=mC2={a，m}C2a=C2l={a，l}bC=lC={b，l}Cb=Cm={b，m}bC2lC2{b，l}C2bC2m{b，m}群论-群论基础-共轭元素类§1.4共轭元素类等价关系联系起来的内部结构1共轭关系设是的个元素元素1称为的设g是G的一个元素，׊h∈G，元素g'=hgh-1称为g的共轭元素，而g和g'具有共轭关系。如果G是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就是相似矩阵。„自反性：即G的任一元素与自身共轭„对称性：即gi是gj的共轭元素，则gj也是gi的共轭元素„传递性：若gi与gj共轭，而gj与gk共轭，则gi也是gk的共轭元素轭元素——共轭关系是一种等价关系——共轭关系是种等价关系群论-群论基础-共轭元素类2共轭类G中所有相互共轭的元素构成的集合，称为共轭类设g'是gi的共轭元素，即有x∈G，使得g'=xgix-1，当x走遍G的所有元素时，所有不同的g'构成的G的一个子集称g为G中含gi的共轭类，记为Ci={g1,g2,…,gm}„同类元素有相同的阶。直接验证即可。„两个类不能有公共元素，否则它们是同一个类。根据共轭关系的传递性可知若两个类有公共元素则根据共轭关系的传递性可知，若两个类有公共元素，则这两个类的所有元素都是相互共轭的，自然组成一个类。群论-群论基础-共轭元素类„单位元自成一类„单位元自成一类单位元可与任何元素交换乘积次序„阿贝尔群的所有元素各成一类；循环群等，群元乘积可交换次序„矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似变换不改变矩阵的迹，所以变换不改变矩阵的迹，所以迹相同的矩阵属于同一个类群论-群论基础-共轭元素类„群G中任何一个类Ci满足：׊x∈G，xCix-1=Ci。因为所有形如xgix-1的元素都是共轭的，而且每个都互因为所有形如xgix的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，个数与Ci中一样，所以xCix-1=Ci。‹逆类：若Ci={g1,g2,…,gm}是群G的一个共轭类，集合Ci'={g1-1,g2-1,…,gm-1}也是G的一个共轭类，称为Ci的逆类逆类。设gi,gj∈Ci，有xgix-1=gj，所以可以得到设gi,gjCi，有xgixgj，所以可以得到(xgix-1)-1=(gj)-1——也就是说xgi-1x-1=gj-1，可见gi-1和gj-1也属于一个类。又因为xCix-1=Ci，所以有xCi' x-1=(xCix-1)-1=Ci-1=Ci' ，׊x∈G成立所以C'是G的一个类称为C的逆类׊x∈G成立，所以Ci是G的个类，称为Ci的逆类。群论-群论基础-共轭元素类‹可以把群分解为不相交的共轭类的并集‹可以把群分解为不相交的共轭类的并集：G=C1∪C2…∪Cc式中Ci为第i个共轭类，G按共轭关系分成c个不同的类。式中Ci为第i个共轭类，G按共轭关系分成c个不同的类。‹D3群的共轭类D3群有三个共轭类：C1={e}，C2={a,b}，C3={k,l}因为b代表旋转120°（即360°/3）称之为绕3次轴l,m}。因为a,b代表旋转120°（即360°/3），称之为绕3次轴的旋转，记为c3；k,l,m代表旋转180°（即360°/2），称之为绕2次轴的旋转，记为c2，故可以写为：绕2次轴的旋转，记为c2，故可以写为：C1={e}，C2={2c3}，C3={3c2}一般对于群元，可以按共轭类记之：D3={e,2c3,3c2}群论-群论基础-共轭元素类3几个定理„若Λ是群中若干个完整的类构成的集合：Λ=C1+C2+…=ΣkCk，x是群中任意元，则有xΛx-1=Λ成立。kk是群中任意元则有成只需要注意到，对每一个Ci都有xCix-1=Ci，则命得证。„逆定理：任何一个满足关系xΛx-1=Λ，׊x∈G成立的集合Λ必然由若干个完整的类构成合Λ，必然由若干个完整的类构成。证明：首先将Λ中完整的类抽出。设余下的元的集合是Λ' ，于是有xΛ' x-1=Λ' ，׊x∈G成立考虑Λ'中的某个元我们发现等式左边将包含的所有共轭考虑Λ'中的某个元g，我们发现等式左边将包含g的所有共轭元，因此等式右边的Λ'一定是一个完整的类。群论-群论基础-共轭元素类„设Ci={a1a2a}和Cj={b1b2b}为群G的两„设Ci{a1,a2,…,am}和Cj{b1,b2,…,bn}为群G的两个类，若规定类的乘积为：Ci·Cj={a1b1,a2b1,…,amb1,a1b2,a2b2,…,amb2,…,ambn}j则有：其中求和是对群中所有的共轭类求和而系数为非负整kijijkkCCcC×=∑kc其中求和是对群中所有的共轭类求和，而系数为非负整数，表示类Ck在Ci·Cj中出现的次数。ijc证明：根据上一个定理，我们有xCix-1=Ci，xCjx-1=Cjjj故Ci·Cj=xCix-1xCjx-1=xCi·Cjx-1它对所有x∈G成立根据上一个定理的逆定理它对所有x∈G成立，根据上一个定理的逆定理：集合Ci·Cj必然由一些完整的类构成。集合CiCj必然由些完整的类构成。群论-群论基础-共轭元素类例：D3群有三个类，例：D3群有三个类，D3={e,2c3,3c2}={C1,C2,C3}，则可得C1·C2=C2；C1·C3=C3；C2·C3=2C3；C2·C2=2C1+C3；CC=3C+3CC3·C3=3C1+3C2群论-群论基础-共轭元素类„类元素数目定理：对于有限群G，每一个共轭类Ci的元素的个数|C|是|G|的一个因子的个数|Ci|是|G|的个因子。证明：设g∈G，构造集合Hg={h∈G|hgh-1=g}gg{|gg}易证它是G的一个子群。共轭于g的元素的数目：当k取遍G中所有元素时，从kgk-1中能得到的不同元素的数目能得到的不同元素的数目——可证这是Hg的左陪集的个数。g群论-群论基础-共轭元素类1)若k1gk1-1=k2gk2-1,则g=(k1-1k2)g(k1-1k2)-1,所以k1-1k2∈Hg，g或者说k2∈k1Hg，即k1和k2属于同一个陪集；2)若k1和k2属于Hg的同一个左陪集，即k2∈k1Hg，则有k1gk1-1=k2gk2-1，k1gk1k2gk2，故从同一个左陪集中的元素ki所得到的共轭元kigki-1相同。所以，含g的共轭类的元素个数是Hg的左陪集的个数：一一对应一一对应——它是|G|的一个因子。它是|G|的个因子。群论-群论基础-正规子群与商群§1.5正规子群与商群共轭的子群：独立的小单元1正规子群„共轭子群：群G有某个子群H，H的共轭子集xHx-1(׊x∈G)也是个子群般称之为的共轭子群也是一个子群。一般称之为H的共轭子群。„正规子群：若群G的子群N满足„正规子群：若群G的子群N满足xNx-1=N(׊x∈G)则称子群N为正规子群。由于正规子群的所有共轭子群就是它本身，所以一般也称之为不变子群。D3群：正规子群有C3={e,a,b}，而其他的子群则不是正规子群规子群。群论-群论基础-正规子群与商群正规子群的性质„׊x∈G，正规子群关于x的左陪集和右陪集相同：xN=NxxN=Nx。证明：根据xNx-1=N立即可以得到xN=Nx„群G的正规子群N由群G的一个或几个完整的类构成；反之若一个子群包含母群的一个或几个完整的类则它必之，若个子群包含母群的个或几个完整的类，则它必是正规子群。群论-群论基础-正规子群与商群证明：证明：令n是正规子群N的一个元对׊x∈G，xnx-1必然也是N的一个元——所以N包含了n的整个类；反之，若子群包含了群G的一个或几个完整类：N=ΣaC其中a等于0或1N=ΣiaiCi，其中ai等于0或1，则因为׊x∈G，有xCix-1=Ci，ii所以有xNx-1=N(前面的定理)即N是正规子群。群论-群论基础-正规子群与商群集法集中‹集合乘法的定义：集合A和B相乘的结果是，取A中所有元分别与B中所有元的乘积构成集合，若有重复的元则只取一次不同于“类的乘法”„正规子群的一个陪集与另一个陪集（包括其自身）相元则只取一次——不同于类的乘法„正规子群的个陪集与另个陪集（包括其自身）相乘——集合乘法——结果必为某一个陪集或子群本身。证明：首先，对于这样定义的集合乘法而言，对于任一个群G有GG=G，而对于子群H同样有HH=H；其次，设正规子群N的两个陪集是gxN和gyN，则xNyN=xyy-1NyN=xy(y-1Ny)NxNyNxyyNyNxy(yNy)N=xyNN=xyN即结果仍旧是一个陪集（或子群本身）。群论-群论基础-正规子群与商群2商群群G的阶是|G|，其正规子群N的阶是|N|，于是存在k|G|/|N|个陪集（包括N本身）于是存在k=|G|/|N|个陪集（包括N本身）：g1N(=N)，g2N，…，gkN；把这k个集合作为一个新的集合S的元，定义S中的元素的乘法为“集合乘法”，则S是一个群，称之为商群记为G/N：S=G/N={N，g2N，…，gkN}证明：闭合律由规子群的性质闭合律：由正规子群的性质可证S的单位元为NgN的逆元素为g-1N（g-1N也是一个陪集）giN的逆元素为gi1N（gi1N也是个陪集）群论-群论基础-正规子群与商群商群的例子„D3群它有一个正规子群C={eab}子群C有两个陪集它有个正规子群C3={e,a,b}，子群C3有两个陪集{C3，kC3}，所以商群D3/C3由两个群元组成。„G={1,i,-1,-i}它有一个正规子群N={1,-1}，这个子群有两个陪集，所以商群G/N有两个群元G/N{NN}所以商群G/N有两个群元：G/N={N，iN}。„O(3)群„O(3)群SO(3)群是O(3)群的不变子群，而商群O(3)/SO(3)={SO(3),ISO(3)}，其中I=-E，E是单位()(){(),()}矩阵。任何指数为2的子群都是正规子群——任何指数为2的子群都是正规子群群论-群论基础-正规子群与商群„整数群所有整数在数字加法下构成的群Z={n|n=0，±1，±2，……}。所有6的倍数构成的子集所有6的倍数构成的子集Z6={6n|n=0，±1，±2，……}是Z的一个子群，而且是正规子群（因为Z是加法群）。是Z的个子群，而且是正规子群（因为Z是加法群）。Z6有6个陪集，分别是Z6，Z6+1，Z6+2，Z6+3，Z6+4和Z6+5，其中Z6+i={6n+i|n=0，±1，±2，……}。可以看到可以看到，S=Z/Z6={Z6，Z6+1，Z6+2，Z6+3，Z6+4，Z6+5}构成一个群，即Z与Z6的商群。构成个群，即Z与Z6的商群。群论-群论基础-正规子群与商群单群，群链„单群没有正规子群的群称为单群没有正规子群的群称为单群有限单群：素数阶群+交错群+16族有限李群26个散在有限单群个散在有限单群„分解对于任意的有限群我们可以将其分解成串单群而且这对于任意的有限群，我们可以将其分解成一串单群，而且这样的分解是唯一的——直积分解„群链利用商群进行分解，我们有可能得到一个“群链”：G=G0ـG1ـ…ـGn-1ـGn={e}从而可以对群的结构进行更深入地探讨群链保持同态关系群表示的基础群链保持同态关系——群表示的基础群论-群论基础-正规子群与商群3商群与同态群同态的性质„若群G与G'同态，则单位元映射到单位元：e' =f(e)；„若群G与G'同态，则逆元素映射到逆元素：若x'=f(x)则(x')-1=f(x-1)若x =f(x)，则(x)1=f(x1)。同态核若群G~G' ，则群G中与G'的单位元e'对应的所有元构同态核成的集合N称为同态的核。群论-群论基础-正规子群与商群同态核的性质定理：若群G与G'同态，则同态核N是群G的正规子群N是一个子群——只需要证明N的封闭性——易证又因，׊x∈G，若g∈N，设x→x'(x' ∈G')，则g()xgx-1→x' e' x' -1=e' ，即xNx-1=N对于所有x成立，故N是一个正规子群。设是个群则与它的每个商群同态商群与同态核„设G是一个群，则G与它的每一个商群G/N同态证明：建立一个映射为证明：建立个映射为f：x→xN，x∈G则有xy→(xy)N=(xN)(yN)（因为N是正规子群）y(y)()(y)——所以G与商群G/N同态。群论-群论基础-正规子群与商群„设群G与G'同态，而同态的核为N，则商群G/N与G'同构证明：设同态映射f使得G的元素x→x' ∈G'则陪集xN中的所有元素都映射到x'e'=x'（同态）则陪集xN中的所有元素都映射到xe x （同态）即在此映射下商群G/N的元素xN对应于G’中的元素x；反之，若某个y也对应于x' ，即x' =f(x)=f(y)，则根据同态的性质(x')-1=f(x-1)，有f(-1)f(-1)f()(')-1''f(x-1y)=f(x-1)f(y)=(x')-1x' =e'所以有x-1y∈N，即y∈xN，y一定在陪集xN中。结合以上两点，可知xN与x'之间是一一对应的，而且映射满足同态关系，故它们同构：G/N≈G' 。群论-群论基础-直积和半直积§1.6直积和半直积扩大群的方法定义设群H和K的阶分别为|H||K|其群元为1直积群定义：设群H和K的阶分别为m=|H|，n=|K|，其群元为H={e,h2,…,hm}，K={e,k2,…,kn}，如果满足如下两个条件：如果满足如下两个条件：H和K只有单位元e是共同的；H的所有元与K的所有元可以对易，则H۪K={e,h2,…,hm,k2,h2k2,…,hmk2,…,hmkn}形成一个mn阶的群，其群元形式为hikj，这个群就称为H和K的直积群K的直积群。只需证明封闭性它的单位元和逆元是很显然的只需证明封闭性，它的单位元和逆元是很显然的。设hi，hj∈H；kl，km∈K，则H۪K中的两个元hikl和hjkm的乘积为：(hikl)(hjkm)=(hihj)(klkm)=h'k' ∈H۪K，乘积为：(il)(jm)(ij)(lm)۪，所以H۪K构成群。群论-群论基础-直积和半直积直积群的例子直积群的例子„六阶循环群G={e,a,a2,…,a5}它有两个子群H={e,a2,a4}和K={e,a3}这两个子群都是正规子群——循环群它们除了单位元之外没有公共元它们除了单位元之外没有公共元它们的元的乘积可以对易所以G={e,a,a2,…,a5}=H۪K„O(3)=SO(3)۪{E,I}——I可以和任何矩阵对易群论-群论基础-直积和半直积直积群的性质直积群的性质„如果G=H۪K，则H和K必为G的正规子群证明：首先H和K都是G的子集而且本身都是群故它们是G首先，H和K都是G的子集，而且本身都是群，故它们是G的子群。进一步，׊hikj∈G和׊kl∈K，我们有：(hikj)kl(hikj)-1=hi(kjklkj-1)hi-1jjjj=hik' hi-1=hihi-1k' =k'即׊g∈G有gKg-1K即：׊g∈G，有gKg-1=K所以K是G的正规子群。群论-群论基础-直积和半直积„如果H和K分别有c1和c2个类，则G=H۪K有c1c2个类证明证明：G的类由下列形式的元构成(hikj)hkl(hikj)-1=h'k'(hikj)hmkl(hikj)h k即(hihmhi-1)(kjklkj-1)=h' k'但是，hihmhi-1=h' ，kjklkj-1=k'可见直积群的类由H的类和K的类相乘得到可见直积群的类由H的类和K的类相乘得到因此，G中类的个数是H和K的类的个数的乘积；因此，G中类的个数是H和K的类的个数的乘积；而直积群G的每一类中元素的个数，也是H和K的相应类中元素的个数的乘积。群论-群论基础-直积和半直积2半直积群定义：如果有两个群H和K，它们只有一个公共元即单位元，且H在K“作用下”不变，则集合且H在K作用下不变，则集合G={e,h2,…,hn,k2,h2k2,…,hnk2,…,hnkp}构成一个群，称为H和K的半直积群，记为G=H۪SK，而G的阶等于|H|×|K|注意此处H和K的次序不可颠倒注意此处H和K的次序不可颠倒“作用”：如共轭作用——׊k∈K有kHk-1=H证明：只需证明G是封闭的它就是一个群——易证如果K在H作用下不变，则半直积群记为G=K۪SH。当H在K作用下不变，而且K在H作用下不变，则半直积群就是直积群H۪KK۪H就是直积群：H۪K=K۪H群论-群论基础-直积和半直积性质„如果G=H۪SK，则H是G的正规子群，但K只是G的子性质如果۪S则是的正规子群但只是的子群而不是正规子群。直积群的群元不是有序对群元的乘积„直积群的群元(hikl)不是有序对，群元的乘积(hikl)(hjkm)=(hihj)(klkm)——可交换半直积群的群元(hk)是有序对群元的乘积为：半直积群的群元(hi,kl)是有序对，群元的乘积为：(h1,k1)·(h2,k2)=(h1h’,k1k2)≠(h1h2,k1k2)其中h’是h2在k1作用下的结果。其中是2在1作用下的结果直积群与半直积群的群元乘积，集合上是相同的但是直积中两个分量的群运算各自独立但是直积中两个分量的群运算各自独立而半直积群的运算是纠合的群论-群论基础-直积和半直积例子‹D3群有两个子群{e,a,b}和{e,k}前者是规子群后者不是前者是正规子群，后者不是我们可以得到D={eab}۪{ek}D3={e,a,b}۪S{e,k}‹空间群即是平移群与点群的半直积：S=T۪SR是平移群T是平移群R是点群群论-群论基础-对称群§1.7对称群应用于物理体系的基础对称群也称为变换群——对称变换构成的群1对称性对称性与守恒律；对称性与物质特性1对称性几何对称性：几何对称性：经典物理：Noether定理——守恒律量子力学：旋转对称，波函数交换反对称，CPT变换……固体物理：晶体结构，能带…………群论-群论基础-对称群2对称性定理一个物理体系的全体对称变换构成该体系的的一个对称群，或称之为全对称群或称之为全对称群。群的乘法为“变换的合成”。两个变换相乘的定义是：先做后面的变换再接着做前面的变换做后面的变换，再接着做前面的变换。闭合律单位元逆元素闭合律；单位元；逆元素；结合律：设x为体系的任一个“坐标”，α,β,γ为体系的任意三个对称变换，则有：意三个对称变换，则有：(αβ)γ(x)=(αβ)[γ(x)]=α{β[γ(x)]}=α{(βγ)(x)}=α(βγ)(x)所以有：(αβ)γ=α(βγ)所以有：(αβ)γ=α(βγ)群论-群论基础-对称群二维转动群维转动群一个轴对称物体或体系绕其对称轴的全体转动构成的群称为二维转动群，记为R2或SO(2)。它的任一元素可记为Rz(θ)，0≤θ<2π（设转轴为z）z单参数连续群：它的任意两个元素Rz(θ1)和Rz(θ2)的积为zzRz(θ1)Rz(θ2)=Rz(θ1+θ2)令Rz(θ)对X-Y平面上的矢量r作用，则可以写'R(θ)r' =Rz(θ)rR(θ)=cossinθθ−⎡⎤⎢⎥Rz(θ)因为SO(2)是阿贝尔群，所以它的共轭类是每个元素自成一sincosθθ⎢⎥⎣⎦类。群论-群论基础-对称群三维转动群三维转动群一个球对称的物体或体系的全体转动构成的群称为三维转动群R或SO(3)nz构成的群称为三维转动群R3或SO(3)。三维转动群元素的表示：先确定转轴߰θ维转动群元素的表示先确定转轴的方向，再给出绕该轴的转角，表示为Rn(θ,߮)(߰)。y欧拉角表示：R(α,β,γ)xφ可以用三阶矩阵表示任意的转动，这个矩阵为正交矩阵，而且行列式为+1行列式为()00zcossinRsincosααααα−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥()001⎢⎥⎢⎥⎣⎦群论-群论基础-共轭元素类‹SO(3)群的共轭类据定义，设Rn(߰)为SO(3)群中绕某个n轴旋转߰角的元素，与它共轭的元素是xRn(߰)x-1，当x走遍SO(3)时，所得到的不同元素构成一个类，那么：——假如x的旋转轴就是n，则因同轴旋转可以交换次序，所以有：xR(߰)x-1=R(߰)；次序，所以有：xRn(߰)xRn(߰)；——假如x与Rn(߰)不同轴，设旋转操作x使得n轴转到m轴，则xRn(߰)x-1中三个变换起如下作用：群论-群论基础-共轭元素类1)x-1操作：使得m轴转到n轴；1)x操作：使得m轴转到n轴；2)Rn(߰)操作：绕n轴旋转߰角；)n(߰)߰3)x操作：使得n轴转到m轴所以xRn(߰)x-1的效果实际上就是绕m轴旋转߰角：xR(߰)x-1=R(߰)xRn(߰)xRm(߰)即：绕m轴转߰角与绕n轴转߰角属于同一个类。当x取遍SO(3)的所有群元时，可以得到：SO(3)群中所有转相同角度的元素构成个共轭类SO(3)群中所有转相同角度的元素构成一个共轭类。群论-群论基础-对称群三维正交群球对称体系的全体转动加上空间反演：三维正交群，记为O(3)。三维正交群三维正交群的元素可用三阶正交矩阵来表示：行列式为1和-1O(3)群：转动操作，空间反演操作，相对任意平面的反射操作→欧几里得空间中保持原点不变的全体等距变换的对称群。对于O(3)群的子群来说，元素共轭类的划分可以这样来进行：(1)有转动变换的群若两个转轴和可以由群中其他元素的(1)有转动变换的群，若两个转轴n和m可以由群中其他元素的操作互相变换，即存在一个对称操作x，使得xn→m，则绕n和m旋转相同角度的变换属于一个类。和m旋转相同角度的变换属于个类。(2)含有镜面反射的群，若群中含有一个镜面到另一个镜面的变换，则这两个镜面的反射属于一个类。群论-群论基础-对称群4对称群的群轨道设G是体系A的一个对称群，对某个x∈A，集合{gx|g∈G}称为含个x∈A，集合{gx|g∈G}称为含x的群轨道。SO(2)群的群轨道群轨道也称G轨道。对于有限群来说群轨道上点的数目对于有限群来说，群轨道上点的数目不能超过群的阶D群的群轨道对于SO(2)群，垂直于对称轴的平面上的某点P，含P的群轨道即为平面上的个圆连续群D3群的群轨道道即为平面上的一个圆。——连续群对于D群来说，正三角形的某个顶点为P，则含P的群轨道对于D3群来说，正三角形的某个顶点为P，则含P的群轨道是正三角形的三个顶点。群论-群论基础-子群及其陪集群轨道定理G是某体系A的一个对称群，某点x∈A，而保持x不变的所有对称变换构成G的一个子集：Gx={g|g∈G，gx=x}这个子集Gx是G的一个子群（也称迷向子群）。如果G是个有限群则含的群轨道上的点的数目k等于Gx如果G是一个有限群，则含x的群轨道上的点的数目k等于Gx的所有不相同的左陪集的数目，或者说k是Gx在G中的指数：k=|G|/|Gx|证明：k|G|/|G|证明：1)设对某一个g∈G有gx=y，y≠x，则׊h∈Gx，有ghx=gx=y，ggy即：同一个陪集gGx={g,gh2,…，ghm}中的所有元素均将变换为同点x变换为同一点y群论-群论基础-子群及其陪集2)不同的陪集则变换为不同的点：因若'则1'即1'∈Gx'∈Gx因若gx=g' x,则x=g-1g' x，即g-1g' ∈Gx→g' ∈gGx即：g和g'属于同一个左陪集——变换为同一点的群元均在同一个左陪集中变换为同点的群元均在同个左陪集中所以：Gx的一个左陪集对应含x的群轨道上的一个点Gx有k个左陪集它们就对应于含的群轨道上的k个点Gx有k个左陪集，它们就对应于含x的群轨道上的k个点点的数目k=|G|/|Gx|：左陪集数群论-群论基础-置换群§1.8置换群全同粒子的对称群1定义置换群，是交换体系的某些部分而保持不变的对称群。它经常用于讨论全同粒子体系的对称性。先把n个全同粒子编号，对这n个全同粒子的一一变换称为置换对称变换可以用一个2×n阶的矩阵μ表示置换——对称变换，可以用个2×n阶的矩阵μ表示12niμ…⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟n阶对称群（记为S）共有n!个元素其子群称为置换群12nippppμ⎜⎟⎜⎟…⎝⎠⎝⎠n阶对称群（记为Sn）共有n!个元素，其子群称为置换群在μ的写法中，各列的排列次序是无关紧要的μ群论-群论基础-置换群两个置换的乘积μ1μ2的定义是先进行μ2操作，再进行μ1操作。„元素的乘法两个置换的乘积μ1μ2的定义是先进行μ2操作，再进行μ1操作置换元的乘法并不是矩阵的乘法，只是借用矩阵形式描述„元素的乘法121234123434122134μμ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠34122134⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠213412341234431221344312⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝=⎠⎝⎠⎝⎠„单位元⎛⎞431221344312⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠12341234e⎛⎞=⎜⎟⎝⎠„逆元素121npppμ−…⎛⎞=⎜⎟12nμ=⎜⎟…⎝⎠群论-群论基础-置换群2轮换表示轮换中的粒子按顺序依次变换：123456⎛⎞()()()123456123465231654μ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠任何一个置换，总可以分解为没有公共数字的轮换的乘积，分解方法是唯一的乘积分解方法是唯的轮换中的数字排序不能改变，但可以顺序移动：(123)=(231)=(312)≠(213)两个没有公共数字的轮换乘积顺序可以对调两个没有公共数字的轮换，乘积顺序可以对调轮换的逆元素：(1234)-1=(4321)()()群论-群论基础-置换群„轮换结构单行矩阵的长度称为轮换的长度l。长度为1的轮换即是恒„轮换结构单行矩阵的长度称为轮换的长度长度为的轮换即是恒等变换，而长度为2的轮换称为对换。分解之后各轮换长度的集合称为该置换的轮换结构分解之后各轮换长度{li}的集合，称为该置换的轮换结构对换„对换任意一个轮换总可写成对换的乘积：任意个轮换总可写成对换的乘积：(αβγδ)=(αβ)(βγ)(γδ)此时各因子有公共粒子，乘积顺序不可交换。所有置换都可以写成一系列对换的乘积。群论-群论基础-置换群„生成元因(i,i+j)=(i+1,i+j)(i,i+1)(i+1,i+j)，所以任何对换都可以写成相邻粒子的对换的乘积故可以将„生成元写成相邻粒子的对换的乘积。故可以将(i,i+1)，i=1,2,…,n-1作为置换群的生成元作为置换群的生成元。生成元的取法不是唯一的，也可以将生成元取为„宇称(1,i)，i=2,3,…,n。„宇称置换可以分解成N个对换的乘积，分解方法不是唯一的。虽然随着取法的不同N会随着变化但是N的奇偶性不变虽然随着取法的不同，N会随着变化，但是N的奇偶性不变。置换的宇称：N为偶数称为偶置换N为奇数称为奇置换置换的宇称：N为偶数称为偶置换，N为奇数称为奇置换。群论-群论基础-置换群3置换群的共轭类„置换群的共轭类由置换的轮换结构决定，相同的轮换结构属于同个类属于同一个类设μ把数字m1变为m2，写为μm1=m2；设μ把数字m1变为m2，写为μm1m2；则其共轭元素αμα-1则把αm1变为αm2：αμα-1(αm1)=αm2对于某个轮换因子，若μ把其中的数字m1变为m2(顺序轮换)则它的共轭元αμα-1把同一个轮换中的αm1变为αm2而且也是个接个地顺序轮换——而且也是一个接一个地顺序轮换：若μ=(m1m2…mi)，则有αμα-1=(αm1αm2…αmi)αμα(αm1αm2…αmi)故若用轮换符号表示一个置换元μ，可以看到αμα-1与μ有相同的轮换结构。群论-群论基础-置换群如(124)(36)(26)(3415)如：μ=(124)(36)，α=(26)(3415)，则αμα-1=(561)(42)置换群的共轭类由置换的轮换结构决定，具有相同的轮换结构的置换属于同一个类。„轮换结构的确定用如下方式写出轮换形式用如下方式写出轮换形式：μ=()1…()1()2…()2…()m…()m…μ()1()1()2()2()m()mν1个ν2个νm个用来表示置换的轮换结构，而且有12m12{12}mnmnνννν……ν1+2ν2+…+mνm+…+nνn=n群论-群论基础-置换群ν+2ν++mν++nν=nν1+2ν2+…+mνm+…+nνn=n它的每个解确定一个轮换结构——也就确定了Sn的一个类。一般采用另一种方式来得到Sn的轮换结构。若令：ν1+ν2+……+νn=λ1ν2+……+νn=λ2…………ν=λνn=λn则：λ1+λ2+……+λn=n12n其中λ1≥λ2≥……≥λn≥0上式称为n的一个分割，并用[λ1,λ2,…,λn]来表示。一个分割[λλλ]唯一地确定一个轮换结构从而确定S的一个类[λ1,λ2,…,λn]唯地确定个轮换结构，从而确定Sn的个类群论-群论基础-置换群一个分割[λ1,λ2,…,λ]唯一地确定一个轮换结构：个分割[λ1,λ2,…,λn]唯地确定个轮换结构：12{12}mnmnνννν……因：λ1-λ2=ν1λ2–λ3=ν2………λn=νn类如S4的共轭类：分割轮换结构类中元素数目代表元素[4]{14}1e[3,1]{1221}6(12)[,]{}()[22]=[2,2]{22}3(12)(34)[2,12]=[2,1,1]{1131}8(123)[,][,,]{3}8(3)[14]=[1,1,1,1]{41}6(1234)群论-群论基础-置换群„Cayley定理：任何群同构于一个对称变换群；任何有限群G同构于一个置换群，即S|G|的一个子群。G同构于个置换群，即S|G|的个子群。设G={g1=e,g2,…,gn}，对׊g∈G，可作映射：12nggg…⎛⎞⎜⎟g→这样就建立了G到置换群之间的一个同构映射。1212nnggggggggg⎜⎟…⎝⎠这样就建立了G到置换群之间的个同构映射。因此对于有限群，我们只需研究Sn及其子群的性质