上海虹口区2022届九年级初三数学一模试卷+答案

2022年上海市虹口区中考数学一模试卷2022.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.下列选项中的两个图形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形2.在Rt△ABC中，C90，BC12，AC5，那么cotB等于（）512125A．B．C．D．13135123.已知a7b，下列说法中不正确的是（）A．a7b0B．a与b方向相同C．a∥bD．a7b4.下列函数中，属于二次函数的是（）2A．yx2xB．yx1x22C．y5x2D．yx25.在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE:EB3:2，那么AF:FC的值是（）3223A．B．C．D．23556.如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（）A．45米B．10米C．46米D．12米二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】m5mn7.如果，那么______．n6n8.已知点P是线段AB的黄金分割点APPB，如果AB2，那么线段AP______．139.如果向量a、b、x满足xaab，那么x______（用向量a、b示）．222210.如果二次函数ym1xxm1的图像经过原点，那么m______．211.如果抛物线y2ax2开口向下，那么a的取值范围是______．12.如果抛物线过点2,3，且与y轴的交点是0,3，那么抛物线的对称轴是直线______．213.已知点Ax1,y1、Bx2,y2为函数y2x13的图像上的两点，若x1x20，则y1______y2（填“>”、“=”或“<”）．314.如果一个斜坡的坡度i1:，那么该斜坡的坡角度数是______°．315.已知Rt△ABC的两直角边之比为3:4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为______．16.如图，过△ABC的重心G作ED∥AB分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分BAC，AB6，那么EC______．17.在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为项点的三角形称为“格点三角形”．如图，在44的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是______．418.如图，在△ABC中，ABAC15，sinA．点D、E分别在AB和AC边上，5AD2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EFBC，那么AE______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）2sin603tan30计算：．cot30cot4520.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）2已知抛物线yaxbxca0上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线yax2bxc沿x轴向右平移mm0个单位，使得新抛物线经过原点O，求m的值以及新抛物线的表达式．x…-2-1012…y…3430-5…21.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CEBC，联结AE交DC于点F，设ABa，ADb．（1）用向量a、b表示DE；（2）求作：向量AF分别在a、b方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论．）22.（本题满分10分）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当ABC130，BCD70时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：sin700.94，cos700.34，tan702.75，√21.41，31.73）23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在梯形ABCD中，ABC90，AD∥BC，BC2AD，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且BDFBAC．（1）求证：EB2EFEC；2（2）如果BC6，sinBAC，求FC的长．324.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知开口向上的抛物线yax24ax3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；（2）当ABC90时，求抛物线yax24ax3的表达式；（3）当ABC2BCD时，求OD的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）3已知：如图，在△ABC中，ACB90，AB10，tanB，点D是边BC延4长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得ADEABC，过点A作AFDE于点F．AFDE（1）当点E在线段AB上时，求证：；ACBD（2）在（1）题的条件下，设CDx，DEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．2022年上海市虹口区中考数学一模试卷答案一、选择题1.D2.C3.A4.C5.B6.B二、填空题17.．8.51．9.a3b．10.1611.a＞2．12.x1．13.＜14.60°.15.48．16.817.2．18.8510三、解答题2sin603tan3019.解：cot30cot4533232331233123(31)(31)(31)33．20.【答案】（1）y=-（x+1）2+4；（2）m=3；y=-（x-2）2+4．【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a即可；（2）根据平移的规律得到y=-（x+1-m）2+4，把原点代入即可求得m的值，从而求得平移后的抛物线的不等式．【小问1详解】∵x=-2，y=3；x=0，y=3，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，则抛物线的顶点坐标为（-1，4），设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+1）2+4；【小问2详解】将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，得到y=-（x+1-m）2+4，∵经过原点，∴0=-（0+1-m）2+4，解得m1=3，m2=-1（舍去），∴m=3，∴新抛物线的表达式为y=-（x-2）2+4．21.【答案】（1）ab（2）向量AD、AM是向量AF分别在a、b方向上的分向量．【解析】【分析】（1）连接AC，证四边形ACED是平行四边形，得出DE∥AC，根据平行四边形法则求解即可；（2）过点F作FM∥AB交AB于M，根据平行四边形法则即可求得答案．【小问1详解】解：连接AC，∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥CB，AD=CB，∵CEBC，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE∥AC，DEACABADab；【小问2详解】解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量AD、AM是向量AF分别在a、b方向上的分向量．【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．22.【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．【解析】【分析】过点B作BE∥CD，BGCD，交CD于点G，过点A作AFBE，交BE于点F，由平行线的性质可得BCDCBE70，得出ABE60，在RtAFB与RtBCG中，分别利用锐角三角函数求解得出BG75.2mm，AF173mm，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．【详解】解：如图所示：过点B作BE∥CD，BGCD，交CD于点G，过点A作AFBE，交BE于点F，∵BE∥CD，∴BCDCBE70，∴ABEABCCBE1307060，在RtAFB中，AFsinABE，AB3∴AFAB·sinABE2001003173mm，2在RtBCG中，BGsinBCG，CB∴BGBC·sinBCG80sin7075.2mm，∴AFBG17375.2248mm，答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．23.【答案】（1）见解析（2）2【解析】EAEC【分析】（1）根据AD∥BC，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由EDEBEAEBECEBBDFBAC，可得△ABE∽△DFE，从而得到，进而得到，即EDEFEBEF可求证；（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到AB35，再由BC2AD，可得AD=3，EA1ED1根据AD∥BC，可得BD36，再由△EAD∽△ECB，可得，，AC3BD3从而得到EC=6，BE26，再由EB2EFEC，可得EF=4，即可求解．【小问1详解】证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，EAEDEAEC∴，即，ECEBEDEB∵BDFBAC，∠AEB=∠DEF，∴△ABE∽△DFE，EAEB∴，EDEFECEB∴，EBEF∴EB2EFEC；【小问2详解】2解：∵ABC90，BC6，sinBAC，3BC2∴，即AC=9，AC3∴ABAC2BC235，∵BC2AD，∴AD=3，∵AD∥BC，∴∠BAD=90°，∴BDAB2AD236，∵△EAD∽△ECB，EAEDAD31∴，ECEBBC62EA1ED1∴，，AC3BD311∴EAAC3，EDBD6，33∴EC=6，BE26，∵EB2EFEC，2∴266EF，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．24.【答案】（1）点C的坐标为（4,3）,点B的坐标为（2,-4a+3）11（2）yx22x3或yx22x32215（3）或311【解析】【分析】（1）令x=0，求得y的值，即可确定点A的坐标,再确定抛物线的对称轴，进而确定点C的坐标；再将对称轴代入求出顶点的纵坐标，即可确定点B；（2）如图，当ABC90时，即△ABC是直角三角形，然后根据勾股定理列方程求解即可；（3）先说明BE=EC，再求出直线OC的解析式，进而确定点E的坐标，然后根据BE=EC运用两点间距离公式求得a，确定点B的坐标，再求得直线AB的解析式，之后与直线OC的解析式联立求得D点坐标，最后求出OD的长度即可．【小问1详解】解：令x=0，可得ya0240a33∴A点的坐标为（0,3）4a∵抛物线的对称轴为：x=22a∴点C的坐标为（4,3），令x=2，可得ya2242a34a3∴顶点B的坐标为（2,-4a+3）．【小问2详解】解：如图：当ABC90时，即△ABC是直角三角形∴AC2=AB2+BC211∴（4-0）2+（3-3）2=（2-0）2+（-4a+3-3）2+（2-4）2+（-4a+3-3）2，解得a=或-2211∴抛物线的表达式为：yx22x3或yx22x3．22【小问3详解】解：如图：∵EB在抛物线的对称轴上1∴∠EBC=∠ABE=∠ABC2∵ABC2BCD∴∠BCD=∠EBC∴BE=EC∵点O（0,0），点C(4,3)3∴直线OC的解析式为y=x43∴E点坐标为（2，）2∵BE=CE223233231∴（--4a+3）=423或-4a+3-=423，解得a=1或a=-22224∴点B的坐标为（2，-1）或（2,4）设直线AB的解析式为y=kx+b3b3b则或12kb42kbb3b3解得：或1k2k21∴直线AB的解析式为y=-2x+3或y=x+32312123yxxxyx4115∴4或解得：或199y2x3yx3yy2115129129∴点D的坐标为（，）或（，）111155222212915129∴OD=或31111115515∴OD的长为或3．118x25.【答案】（1）证明见解析；（2）y36x2，0x8；（3）CD3．10【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理可得ADE∽ABD，ADF∽ABC，由其性质：相似三角形的对应边成比例，进行等量代换即可证明；（2）根据正切函数设AC3a，BC4a，利用勾股定理确定三边长度，根据（1）中DEAD，代入可确定y与x的函数关系式，考虑当x0时，DEAB，当CDCB8BDAB时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值；当x8时，ADBB，不符合题意，不进行讨论；综合即可得出自变量的取值范围；（3）分两种情况进行讨论：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作MNAB1于点N，根据相似三角形的性质及角之间的关系可得EAFGAFBAC，再由等2腰三角形三线合一的性质得出MNCM，根据三角形等面积法即可得出CM3，由此确定CD；当点G在AC的延长线上时，根据相似三角形的性质及三角形外角的性质可得这种情况不存在，综合两种情况即可得出结果．【小问1详解】证明：∵∠ADE∠ABC，DAEBAD，∴ADE∽ABD，DEAD∴，BDAB∵AFDE，∴AFDACB90，∵∠ADE∠ABC，∴ADF∽ABC，AFAD∴，ACABAFDE∴；ACBD【小问2详解】3解：∵ACB90，tanB，4AC3∴tanB，BC4设AC3a，BC4a，∵AC2BC2AB2，22∴3a4a102，解得：a2，∴AC6，BC8，∴ADAC2CD236x2，DEAD由（1）得，BDABy36x2∴，8x108x∴y36x2，10当x0时，DEAB，符合题意，∴x0；当CDCB8时，点E与点B重合，点F与点C重合，此时x取得最大值，∴x8，当x8时，ADBB，不符合题意，不进行讨论；综上可得：0x8；【小问3详解】解：如图所示：当点G在线段AC上时，延长AF交BC于点M，作MNAB于点N，∵AEF∽AGF，∴AEFAGF，∴AEAG，1∴EAFGAFBAC，2∵DAFBAC，∴DACGAF，∵ACBD∴AMCADC，∴AMAD，∴CMCD，∵AM平分BAC，∴MNCM，由SABCSABMSACM得，111686·CM10·MN，222解得：CM3，∴CD3；如图所示：当点G在AC的延长线上时，∵AEF∽AGF，∴AEFAGF，∵AGF是△AEG的外角，∴AGFAEF，这种情况不存在，∴CD3．