西南交通大学研究生弹性力学简明教程全程导学及习题全解

1-7试画出1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-8试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。2-7在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题（平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换位21E，1换为，就得到平面应变问题的物理方程。2-8试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。【解】（1）对于图（a）的问题在主要边界0,xxb上，应精确满足下列边界条件：0(),(),xxxxbgygy0()0()0xyxxyxb；。在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：01(),yygh()0yx。在小边界（次要边界）2yh上，有位移边界上条件：22()0,()0yhyhuv。这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1时，22212000()(),()0,()0byyhbyyhbyxyhdxghhbxdxdx。（2）对于图（b）所示问题在主要边界/2yh上，应精确满足下列边界条件：/2/2()0,(),yyhyyhq/21/2()()0yxyhyxyhq；。在次要边界0x上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1时，/20/2/20/2/20/2(),(),()hxxNhhxxhhxyxShdyFydyMdyF。在次要边界xl上，有位移边界条件：()0,()0xlxluv。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替/21/22/21/2/2/2(),(),22()hxxlNhhxxlShhxyxlShdyqlFqlhqlydyMFldyqlF。2-9试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？【解】（1）对于图（a），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为/2NFqb，SF=0，20()/122bqxbMxdxqbb。应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚1时，00200202()2,()12,()0byybyybyxybdxqbxdxqbdx。（2）对于图（b），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚1时，0020000()2,()12,()0byybyybyxydxqbxdxqbdx。所以，在小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（1）用位移示的平衡微分方程22222222222211()012211()0122xyEuuufxyxyEvvufyxxy（2）用位移表示的应力边界条件221()()121()()12xxyxEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy（3）位移边界条件(),()()ssuuuvvs。在上2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（1）平衡微分方程0,0yxxxyxyyfxyfyx。（2）相容方程2()(1)()yxxyffxy。（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，ss）(),()xyxxyxyylmfmlf。/.ss（在上）（4）若为多连体，还须满足位移单值条件。2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：（a）题2-13图（a），22,0xyxyyqb。（b）题2-13图（b），由材料力学公式，,SxxyFSMyIbI（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：32223332,(4)4xxyxyqxqhylhlh。又根据平衡微分方程和边界条件得出333222yqxyxyqxqlhlhl。试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解】按应力求解时，（本题体力不计），在单连体中应力分量,,xyxy必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设ss）。（1）题2-13图（a），22,0xyxyyqb①相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23）222222()()0xyqxyb，不满足相容方程。②平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程00yxxyxyxyyx显然满足。③应力边界条件：在xa边界上，22(),()0xxaxyxayqb。在yb边界上，()0,()0yybyxyb。满足应力边界条件。（2）题2-13图（b），由材料力学公式，,SxxyFSMyIbI（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：32223332,(4)4xxyxyqxqhylhlh。又根据平衡微分俄方程和边界条件得出333222yqxyxyqxqlhlhl。试导出上述公式，并检验解答的正确性。①推导公式：在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对z轴（中性轴）的惯性距312zhI，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为23(),()62SqqxMxxFxll。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为33()2xzMxyxyqIlh，2222233()43(1)(4)24SxyFxyqxhybhhlh。根据平衡微分方程的第二式（体力不计）0yxyyx，得到33322yqxyxyqAlhlh。根据边界条件2()0,yhy得2qxAl，所以333222yqxyxyqxqlhlhl。②相容条件：将应力分量代入相容方程2222324()()0xyqxyxylh。不满足相容方程。③平衡方程：将应力分量代入平衡微分方程显然满足。④应力边界条件：在主要边界2yh上，应精确满足下列边界条件：/2/2(),()0,yyhyyhqxl/2/2()0()0yxyhyxyh。。自然满足。在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。有三个积分的应力边界条件：/20/2/20/2/20/2()0,()0,()0hxxhhxxhhxyxhdyydydy。在xl次要边界上，()0,()0xlxluv。这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。3/2/23/2/232/2/23/2/23/2/2223/2/2()20,()2,63()(4)42hhxxlhhhhxxlhhhhxyxlhhxydyqdylhxyqlydyqydylhqxyqldyhydylh。所以，满足应力的边界条件。显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-15设已求一点处的应力分量，试求121,,：（a）100,50,1050;xyxy（b）200,0,400;xyxy【解】根据教材中式（2-6）和11tanxxy可分别求出主应力和主应力的方向：（a）100,50,1050;xyxy1222111211005010050()(1050),22150100tan0.7071050150,0,3516xxy。得（b）200,0,400;xyxy12221112120002000()(400),22512200tan0.78400512,312,3757xxy。得2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F，如题2-17图所示，体力不计，试根据材料力学公式，写出弯应力x和切应力xy的表达式，并取挤压应力0y，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否表示正确的解答。【解】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为()MxFx，横截面对z轴（中性轴）的惯性距为312zhI，根据材料力学公式，弯应力3()12xzMxyFxyIh；该截面上的剪力为()SFxF，剪应力222233()46(1)()24SxyFxyFhyhhlh；并取挤压应力0y。（3）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程0,0yxxxyxyyfxyfyx。也能满足相容方程2222()()(1)()0yxxyffxyxy。再考察边界条件：在2yh的主要边界上，应精确满足应力边界条件：/2/2()0,()0,yyhyyh/2/2()0;()0yxyhyxyh。能满足。在次要边界x=0上，列主三个积分的应力边界条件：/20/2/20/2/20/2()0,()0,()0hxxhhxxhhxyxhdyydydy。满足应力边界条件。在次要边界xl，列出三个积分的应力边界条件：/2/23/2/2/2/223/2/22/2/223/2/212()0,12(),6()()4hhxxlhhhhxxlhhhhxyxlhhFdylydyhFydylydyFlhFhdyyFh。满足应力边界条件。因此，它们是该问题的正确解答。3-2取满足相容方程的应力数为：223(1),(2),(3)axybxycxy试求出应力分量（不计体力），画出题3-2图所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解】（1）应力函数2axy，得应力分量表达式0,2,2xyxyyxayax。在主要边界2yh上，即上、下边，面力为22(),()2yyhyxyhahax。在次要边界0,xxl上，面力的主矢量和主矩为/20/2/20/2/20/2()0,()0,()0hxxhhxxhhxyxhdyydydy。/2/2/2/2/2/2/2/2()0,()0,()22hxxlhhxxlhhhxyxlhhdyydydyaldyalh。弹性体边界上的面力分布及在次要边界0,xxl上面力的主矢量和主矩如解3-2图（a）所示。（2）应力函数2bxy，得应力分布表达式2,0,2xyxyyxbxby。在主要边界2yh上，即上、下边，面力为22()0,()yyhyxyhbh。在次要边界0,xxl上，面力的主矢量和主矩为/20/2/20/2/2/20/2/2()0,()0,()20hxxhhxxhhhxyxhhdyydydybydy。/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2()22,()20,()20hhxxlhhhhxxlhhhhxyxlhhdybldylhydyblydydybydy。弹性体边界上的面力分布及在次要边界0,xxl上面力的主矢量和主矩如解3-2图（b）所示。（4）应力函数3cxy，得应力分量表达式26,0,3xyxyyxcxycy。在主要边界2yh上，即上、下边，面力为2223()3,()4yyhyxyhchxch在次要边界0,xxl上，面力的主矢量和主矩为/20/2/20/2/2/2230/2/2()0,()0,()34hxxhhxxhhhxyxhhdyydycdycydyh。/2/2/2/23/2/22/2/23/2/22/2/2()60,()6,2()34hhxxlhhhhxxlhhhhxyxlhhdyclydyclhydyclydychdycydy。弹性体边界上的面力分布及在次要边界0,xxl上面力的主矢量和主矩如解3-2图（c）所示。3-3试考察应力函数223(34)2Fxyhyh能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出题3-3图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。【解】（1）相容条件将代入相容方程444422420xxyy，显然满足。（2）应力分量表达式2321234,0,(1)2xyxyFFyxyhhh。（3）边界条件：在2yh的主要边界上，应精确满足应力边界条件22234()0,(1)02yyhyxFyhh。在次要边界0,xxl上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件/20,/2()0hxxlhdy，（a）/20/2()0hxxhydy，/2/2(),hxxlhydyFl（b）/20,/2()hxyxlhdyF（c）对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）、（b）、（c）可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。4-2试导出极坐标和直角坐标系中位移分量的坐标变换式。【解】参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。位移矢量为d，它在(x,y)和(,)坐标系中的分量分别表示为(,)(,)uvuu和，所以cossinsincosuuvuuv（a）写成矩阵形式cossinsincosuuuv（b）所以cossinsincosuuvu（c）若写成一般形式，则位移分量的变换关系为cossin,sincosuuuvuu或cossin,sincosuuvuuv。4-14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为q，试求圆筒的应力。【解】本题为轴对称问题，故环向位移0u，另外还要考虑位移的单值条件。（1）应力分量引用轴对称应力解答，教材中式（4-11）。取圆筒解答中的系数为A,B,C,刚体解答中的系数为,,ABC,由多连体中的位移单值条件，有B=0，(a)0B。(b)现在，取圆筒的应力表达式为22AC,22AC。(c)刚体的应力表达式222,2AACC。(d)考虑边界条件和接触条件来求解常数,,,AACC和相应的位移解答。首先，在圆筒的内面，有边界条件()rq，由此得22ACqr。(e)其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有()0,()0，由此得20C(f)再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有()()RR。于是有式(c)及式(d)得2222AACCRR。（2）平面应变问题的位移分量应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达式12(12)cossinAuCIKE（h）0u（i）刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即()()0RRuu。将式（h）和式（i）代入，得12(12)cossin0ACRIKER方程在接触面上的任意点都成立，取任何值都成立，方程两边的自由项必须相等，于是得12(12)0ACRER简化并利用式（f），得22(12)ACR。（j）（3）圆筒的应力把式（j）代入式（e），得2222(12)(12)qrRARr，2222(12)qrCRr。圆筒的应力为2222121121RqrR，2222121121RqrR。4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为0,xyxyq，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。【解】（1）求出两个主应力，即1223()22xyxyxyq。原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。应力分量,,0xyxyqq代入坐标变换式，教材中式（4-7），得到外边界上的边界条件()cos2Rq（a）()sin2Rq（b）在孔边，边界条件是()0r（c）()0R（d）由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以cos2，而为的另一函数乘以sin2。而22211，1()。因此可假设()cos2f。将式（e）代入相容方程，教材中式（4-6），得43243223()2()9()9()cos0dfdfdfdfdddd。删去因子cos2以后，求解这个常微分方程，得432()DfABC，其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e），得应力函数432cos2()DABC，由应力函数得应力分量的表达式242432446cos2(2)6cos2(122)26sin2(62)CDBDABCDAB将上式代入应力边界条件由式（a）得24462CDBqRR(g)由式（b）得3242662CDARBqRR(h)由式（c）得244620CDBrr(i)由式（d）得32426620CDArBrr(j)联立求解式（g）——（j），并命0rR，得420,,,22qqrABCqrD。将各系数值代入分量的表达式，得2222222222cos2(1)(13)cos2(13)sin2(1)(13)rrqrqrrq沿着孔边r，环向正应力是4cos2q。最大环向正应力为max()4q。6-2如题6-2图所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元，其边长为,16a。（1）试求出应力转换矩阵S及单元劲度矩阵k。（2）试求出k中的每行之和及每列之和，并说明原因。（3）设单元发生结点位移1,0,ijmijmuuuvvv或发生结点位移0,1,32,12ijijmmuuvvuv，试求单元中的应力，并说明其原因。(4)设该单元在jm边上受有线性分布的压力，其在j点及m点的集度分别为jmqq和，试求等效结点荷载。【解】（1）在所选的坐标系中10,,,230,,2ijmijmxxaxayyaya。应用教材中式（6-19）及（6-20），得233,,0,2211,,,2232ijmijmbababcacacaAa。应用教材中式（6-32）和（6-33），得该单元的应力转换矩阵1831830233633630123352.537.52.537.5530ESa（a）应用教材中式（6-37）及（6-38），得单元的劲度矩阵4138212738831941338883593212733888851551553334444233333306322Etk对称。（2）求得式（b）中每一行（或列）的元素之和为零（其第一、三、五个元素之和或第二、四、六个元素之和也为零）。因为k中的每一个元素都表示，发生单位结点位移时所引起的结点力。而各个节点的位移都相同，说明单没有发生形变，即不会引起结点力。（3）设单元发生结点位移1,0,ijmijmuuuvvv此时，单元作平移，则三角形内不产生应力和应变，从而结点力为零；但单元发生结点位移0,1,32,12ijijmmuuvvuv，单元作转动，从而结点力也为零。（4）单元在jm边上受有线性分布的压力，在j点及m点的集度分别为jmqq和（可假设jmqq），此时，相当于有均布荷载jq和三角形分布荷载（在j点集度为0，m点集度为mjqq）同时作用在jm边上。①在均布荷载jq的作用下，x方向的均布面力为32jq；y方向的均布面力为12jq。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为111111333,,,222111,,222LixjiLjxjjLmxjmjmjmjmLiyjiLjyjjLmyjmjmjmjmFqtNdsFqtNdsFqtNdsFqtNdsFqtNdsFqtNds。应用教材中式（6-22）中的第二式及式（6-21）中的第三式，得11022ijmjmjmjmNdsNdsNdsija，。所以，有11111103414LixLiyLjxLmxjLjyLmyjFFFFqtaFFqta（c）②在线性分布荷载（j点集度为0，m点集度为mjqq）的作用下，m点x方向的面力为3()2mjqq，y方向的均布面力为12jq。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为222222033(),(),4411(),()44LixLiyLjxmjjLmxmjmjmjmLjymjjLmymjmjmjmFFFqqtNdsFqqtNdsFqqtNdsFqqtNds，。（d）三角形分布荷载作用在jm上，两点的形函数有1233imNN，，根据教材式（6-22）的第二式，1233jmjmjmNdsaNdsa，。代入式（d），得222222033(),(),12611(),()126LixLiyLjxmjLmxmjLjymjLmymjFFFqqtaFqqtaFqqtaFqqta，。（e）将式（c）和（e）中对应项相加，得033(2),(2),121211(2),(2)1212LixLiyLjxjmLmxjmLjyjmLmyjmFFFqqtaFqqtaFqqtaFqqta，。如果设jmqq，可得相同的结果。6-5对于如题6-5图所示的结构，试求整体劲度矩阵K中的子矩阵41424446,,,KKKK。【解】结构是对称的，只取下半部分进行研究，如解6-5图所示，在2，5，8结点设置了铅直支座。单元的局部编码,,ijm与整体编码1，2，4，5，7，8对应如下：单元号ⅠⅡⅢⅣ局部编码整体编码i4815j8451m7542取0根据教材6-7中式（g）知四个单元的劲度矩阵都是0.50000.5000.250.2500.250.2500.250.2500.250.250000.500.50.50.250.2500.750.2500.250.250.50.250.75kEt。（a）应用公式ijijeKk求整体劲度矩阵K中的子矩阵41424446,,,KKKK分别为414244460.50.2500,,00.25001.50.2500,0.251.500miiijjmmKkEtKEtKkkkEtKEt。