土质学与土力学第4章 土中应力计算

第4章　土中应力计算□4.1　概述□4.2土中自重应力计算□4.3基础底面的压力分布与计算□4.4竖向集中力作用下土中应力计算□4.5竖向分布荷载作用下土中应力□4.6有效应力概念□4.7其他条件下的地基应力计算4.1　概述4.1.1　土中应力计算方法土中应力产生的条件不同,分布规律和计算方法也不同。主要采用弹性理论公式,即把地基土视为均匀的、各向同性的半无限弹性体。实际上,土体是一种非均质的、各向异性的多相分散体,是非理想弹性体,采用弹性理论计算土体中应力必然带来计算误差,但对于一般工程,其误差是工程所允许的。但对于许多复杂条件下工程的应力计算,应采用其他更为符合实际的计算方法,如非线性力学理论、数值计算方法等。采用弹性理论虽然同土体的实际情况有差别,但其计算结果基本能满足实际工程的,其主要理由如下:1)土的分散性影响。土是三相组成的分散体,而不是连续介质,土中应力是通过土颗粒间的接触而传递的。但是,由于建筑物基础面积尺寸远远大于土颗粒尺寸,同时研究的也只是计算平面上的平均应力,而不是土颗粒间的接触集中应力。因此可以忽略土分散性的影响,近似地将土体作为连续体考虑,而应用弹性理论。4.1　概述2)土的非均质性和非理想弹性体的影响。土在形成过程中具有各种结构与构造,使土呈现不均匀性。同时土体也不是一种理想的弹性体,而是一种具有弹塑性或黏滞性的介质。但是,在实际工程中土中应力水平较低,土的应力-应变关系接近于线性关系,可以应用弹性理论方法。因此,当土层间的性质差异不大时,采用弹性理论计算土中应力在实用上是允许的。3)地基土可视为半无限体。半无限体就是无限空间体的一半,即该物体在水平向x轴及y轴的正负方向是无限延伸的,而竖直向z轴仅只在向下的正方向是无限延伸的,向上的负方向等于零。地基土在水平向及深度方向相对于建筑物基础的尺寸而言,可以认为是无限延伸的。因此,可以认为地基土符合半无限体假定。4.1　概述4.1.2　土中一点的应力状态(1)法向应力与剪应力　土体中某点M的应力状态,可以用一个正六面单元体上的应力来表示。若半无限土体所采用的直角坐标系如图4-1所示。图4-1　土中一点的应力状态4.1　概述则作用在单元体上的3个法向应力分量为σx、σy、σz,6个剪应力分量为τxy=τyx、τyz=τzy、τzx=τxz。剪应力的脚标前面一个英文字母表示剪应力作用面的法线方向,后一个表示剪应力的作用方向。在土力学中规定法向应力以压应力为正,拉应力为负。剪应力的正负号规定是当剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向一致时,则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正,反之为负。在图4-1所示的法向应力及剪应力均为正。4.1　概述(2)自重应力与附加应力　土中某点的应力按产生的原因分为自重应力与附加应力两种。由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般自土形成时就在土中产生,因此也将它称作为长驻应力。附加应力是指由外荷载(如建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗流力、地震力等)的作用,在土中产生的应力增量。修建建筑物后,土中的应力为自重应力和附加应力之和,称为总应力,即总应力=自重应力+附加应力。4.2　土中自重应力计算假设土体是均匀的半无限体,土体在自身重力作用下任一竖直切面都是对称面,切面上不存在剪应力。因此,在深度z处平面上,土体因自身重力产生的竖向应力σcz(简称为自重应力)等于单位面积上土柱体的重力W,如图4-2所示。图4-2　均质土的自重应力分布4.2.1　均质土体当地基是均质土体时,在深度z处土的竖向自重应力为γ——土的重度(kN/m3); z——计算深度(m); F——土柱体的截面积,现取F=1。从式(4-1)知,自重应力随深度z线性增加,呈三角形分布,如图4-2所示。4.2　土中自重应力计算4.2.2　成层土体当地基是成层土体时,各土层的厚度为hi,重度为γi,在深度z处土的竖向自重应力也等于单位面积上土柱体的重力即。如图4-3所示σcz=(W1+W2)=γ1h1+γ2h2从式(4-2)知,成层土体的自重应力分布是折线形,如图4-3所示。4.2　土中自重应力计算图4-3　成层土的自重应力分布4.2　土中自重应力计算4.2.3　土层中有地下水计算地下水位以下土的自重应力时,应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。通常水下的砂性土需要考虑浮力作用,黏性土则视其物理状态而定。一般认为,若水下的黏性土液性指数IL≥1,则土处于流动状态,土颗粒之间存在着大量自由水,此时可以认为土体受到水的浮力作用;若IL≤0,则土处于固体状态,土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力,认为土体不受水的浮力作用;若0<IL<1,土处于塑性状态时,土颗粒是否受到水的浮力作用就较难确定,一般在实践中均按不利状态考虑。4.2　土中自重应力计算若地下水位以下的土受到水的浮力作用,则水下部分土的重度应按有效重度γ'计算,其计算方法同成层土体的情况。在地下水位以下,如果藏有不透水层(如,岩层或只含结合水的坚硬黏土层),由于不透水层中不存在水的浮力,所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。如图4-4虚线所示。4.2　土中自重应力计算图4-4　水下土的自重应力分布4.2　土中自重应力计算4.2.4　水平向自重应力计算土的水平向自重应力σcx、σcy按式(4-3)计算,即σcx=σcy=K0σcz(4-3)式中　K0——侧压力系数,也称静止土压力系数。【例4-1】某土层及其物理性质指标如图4-5所示。计算土中自重应力。解:第一层土为细砂,地下水位以下的细砂是受到水的浮力作用,其浮重度γ'1为γ'1==kN/m3=10.0kN/m34.2　土中自重应力计算第二层黏土层的液性指数IL=(ω-ωP)/(ωL-ωP)=(50-25)/(48-25)=1.09>1,故认为黏土层受到水的浮力作用,其浮重度为γ'2==7.1kN/m3土中各点自重应力计算如下:a点,z=0,σcz=γz=0。b点,z=2m,σcz=19kN/m3×2m=38kPa。c点，z=5m,σcz=∑γihi=68kPa。d点,z=9m,σcz=96.4kPa。土层中的自重应力σcz分布,如图4-5所示。4.2　土中自重应力计算图4-5　例4-1图4.2　土中自重应力计算【例4-2】　计算如图4-6所示水下地基土中的自重应力。解:水下的粗砂层受到水的浮力作用,其浮重度为γ'=(γsat-γw)=19.5kN/m3-9.81kN/m3=9.69kN/m3黏土层因为ω<ωP,IL<0,认为土层不受水的浮力作用,土层面上还受到上面的静水压力作用。土中各点的自重应力计算如下:a点,z=0,σcz=0。b点,z=10m,该点位于粗砂层中,σcz=γ'z=96.9kPab'点,z=10m,该点位于黏土层中,σcz=γ'z+γwhw=224.4kPa　c点,z=15m,σcz=γ'z+γwhw+γh=320.9kPa4.2　土中自重应力计算图4-6　例4-2图4.2　土中自重应力计算土中的附加应力是由建筑物荷载作用所引起的应力增量,而建筑物的荷载是通过基础传到土中的,因此基础底面的压力分布形式将对土中应力产生影响。基础底面压力分布是涉及基础与地基土两种不同物体间的接触应力,在弹性理论中称为接触压力问题。这一问题比较复杂,影响因素很多,如基础的刚度、形状、尺寸、埋置深度,以及土的性质、荷载大小等。在理论分析中要综合考虑这些因素较困难,在弹性理论中主要研究不同刚度的基础与弹性半空间体表面间的接触压力分布问题,本节主要讨论基底压力分布的基本概念及简化计算方法。4.3　基础底面的压力分布与计算4.3.1　基底压力实际分布规律基底压力是指作用于基础底面与地基土接触面上的压力,包括自重压力和基底附加压力。自重压力是指上覆岩土的重力产生的竖向压力。基底附加压力是指基底接触压力与基底处原土体自重压力之差。基础是指将结构所承受的各种作用传递到地基上的结构组成部分。分为柔性基础和刚性基础。4.3　基础底面的压力分布与计算1.柔性基础若一个基础作用均布荷载,假设基础是由许多小块组成,如图4-7a所示,各小块之间光滑无摩擦力,则这种基础相当于绝对柔性基础(即基础的抗弯刚度EI→0),基础上荷载通过小块直接传递到土上,基础底面的压力分布图形将与基础上作用的荷载分布图形相同。4.3　基础底面的压力分布与计算图4-7　柔性基础下的压力分布a)理想柔性基础　b)路堤下的压力分布这时基础底面的沉降则各处不同,中央大而边缘小。因此,柔性基础的底面压力分布与作用的荷载分布形状相同。如,由土筑成的路堤,可近似认为路堤本身不传递剪力,那么它就相当于一种柔性基础,路堤自重引起的基底压力分布与路堤断面形状相同,为梯形分布,如图4-7b所示。2.刚性基础桥梁墩台基础有时采用大块混凝土实体结构,如图4-8所示,它的刚度很大,可以认为是刚性基础(即EI→∞)。刚性基础不会发生挠曲变形,在中心荷载作用下,基底各点的沉降相同,这时基底压力分布是马鞍形。4.3　基础底面的压力分布与计算中央小而边缘大(理论上边缘应力为无穷大)如图4-8a所示。当作用的荷载较大时,基础边缘由于应力很大,将会使土产生塑性变形,边缘应力不再增加,而使中央部分继续增大,使基底压力重新分布呈抛物线形分布,如图4-8b所示。若作用荷载继续增大,则基底压力会继续发展呈钟形分布,如图4-8c所示。4.3　基础底面的压力分布与计算图4-8　刚性基础下的压力分布a)马鞍形分布　b)抛物线形分布　c)钟形分布所以,刚性基础底面的压力分布形状与荷载大小有关,根据试验研究,基底压力还与基础埋置深度及土的性质有关,如普列斯(Press,1934)曾在0.6m×0.6m的刚性板上做了实测试验,其结果列于表4-1。表4-1　刚性载荷板底面压力分布的试验结果4.3　基础底面的压力分布与计算注:pm为荷载板底面平均压力;p0为荷载板底面中心压力。 土　　类 载荷板底面的埋置深度/m 0 0.30 0.60 砂土(干的) 抛物线形分布pmax=1.36pm 荷载小时马鞍形分布p0=0.93pm 荷载大时抛物线形分布pmax=1.15pm 黏土A(干的) 荷载小时马鞍形分布p0=0.98pmpmax=1.23pm 荷载小时马鞍形分布p0=0.98pmpmax=1.20pm 黏土B(ω=32%) 马鞍形分布p0=0.96pmpmax=1.26pm 马鞍形分布p0=0.97pmpmax=1.23pm 荷载大时抛物线形分布pmax=1.13pm4.3.2　基底压力简化计算方法基底压力的分布比较复杂,但根据弹性理论中的圣维南原理以及从土中应力量测结果得知,当作用在基础上的荷载总值一定时,基底压力分布形状对土中应力分布的影响,只在一定深度范围内,一般距离基底的深度超过基础宽度的1.5~2.0倍时,影响不明显。因此,在实用上对基底压力的分布可近似认为是按直线规律变化,采用简化方法计算,即按材料力学公式计算。4.3　基础底面的压力分布与计算1)中心荷载作用时,如图4-9a所示,基底压力p按中心受压公式计算,即式中　N——作用在基础底面中心的竖直荷载; F——基础底面积。2)偏心荷载作用时,如图4-9b所示,基底压力按偏心受压公式计算,即式中　N,M——作用在基础底面中心的竖直荷载及弯矩,M=Ne; e——荷载偏心距; W——基础底面的抵抗矩,对矩形基础; b,l——基础底面的宽度与长度。4.3　基础底面的压力分布与计算从式(4-5)可知,按荷载偏心距e的大小,基底压力的分布可能出现三种情况,如图4-10所示。1)当时,由式(4-5)知,pmax>0,基底压力呈梯形分布,如图4-10a所示。4.3　基础底面的压力分布与计算图4-9　基底压力分布的简化计算a)中心荷载时　b)偏心荷载时图4-10　偏心荷载时基底压力分布的几种情况4.3　基础底面的压力分布与计算2)当时,pmax=0,基底压力呈三角形分布,如图4-10b所示。3)当时,pmax<0,即产生拉应力,如图4-10c所示,但基底与土之间不能承受拉应力,这时产生拉应力部分的基底将与土脱开,而不能传递荷载,基底压力将重新分布,如图4-10d所示。4.3　基础底面的压力分布与计算弹性半空间地基模型——假设地基为连续、均匀、各向同性半无限空间弹性体的地基模型。在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面,作用一竖向集中力Q,如图4-11所示,计算半无限体内任意点M的应力(不考虑弹性体的体积力)。在弹性理论中由布辛尼斯克(J.V.Boussinesq,1885)解得,其应力及位移的表达式如下:1)当M点应力采用直角坐标表示时,如图4-11所示。法向应力为4.4　竖向集中力作用下土中应力计算4.4　竖向集中力作用下土中应力计算X、Y、Z轴方向的位移分别为式中　x,y,z——M点的坐标;E,μ——弹性模量及泊松比。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算图4-11　布辛尼斯克解答(直角坐标表示)4.4　竖向集中力作用下土中应力计算2)当M点应力采用极坐标表示时,如图4-12所示。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算图4-12　布辛尼斯克解答(极坐标表示)上述的应力及位移分量计算公式,在集中力作用点处是不适用的,因为当R→0时,从上述公式可见应力及位移均趋于无穷大,这时土已发生塑性变形,按弹性理论解得的公式已不适用。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算在上述应力及位移分量中,应用最多的是竖向法向应力σz及竖向位移ω,因此本章将重点讨论σz的计算。为了应用方便,式(4-7)可以写成式(4-21)的形式。式中　α——应力系数,α=3/{2π[1+(r/z)2]5/2},它是(r/z)的函数,可制成表格查用。现将应力系数α值列于表4-2。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算表4-2　集中力作用下的应力系数α值4.4　竖向集中力作用下土中应力计算 r/z α r/z α r/z α r/z α r/z α 0.00 0.4775 0.50 0.2733 1.00 0.0844 1.50 0.0251 2.00 0.0085 0.05 0.4745 0.55 0.2466 1.05 0.0744 1.55 0.0224 2.20 0.0058 0.10 0.4657 0.60 0.2214 1.10 0.0658 1.60 0.0200 2.40 0.0040 0.15 0.4516 0.65 0.1978 1.15 0.0581 1.65 0.0179 2.60 0.0029 0.20 0.4329 0.70 0.1762 1.20 0.0513 1.70 0.0160 2.80 0.0021 0.25 0.4103 0.75 0.1565 1.25 0.0454 1.75 0.0144 3.00 0.0015 0.30 0.3849 0.80 0.1386 1.30 0.0402 1.80 0.0129 3.50 0.0007 0.35 0.3577 0.85 0.1226 1.35 0.0357 1.85 0.0116 4.00 0.0004 0.40 0.3294 0.90 0.1083 1.40 0.0317 1.90 0.0105 4.50 0.0002 0.45 0.3011 0.95 0.0956 1.45 0.0282 1.95 0.0095 5.00 0.0001图4-13　集中力作用下的地面沉降4.4　竖向集中力作用下土中应力计算在工程实践中最常遇到的问题是地面竖向位移(即沉降)。计算地面某点A(其坐标为z=0,R=r)的沉降可由式(4-15)求得,如图4-13所示。式中　E0——土的变形模量(kPa)。土中附加应力是由建筑物荷载引起的应力增量,虽然实践中几乎没有集中力,但应用竖向集中力作用下土中应力计算公式,通过叠加原理或者积分的方法可以得到各种分布荷载作用下土中应力计算公式。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算【例4-3】　在地表面作用集中力Q=200kN,计算地面下深度z=3m处水平面上的竖向法向应力σz分布,以及距离Q的作用点r=1m处竖直面上的竖向法向应力σz分布。解:各点的竖应力σz可按式(4-21)计算,见表4-3及表4-4,绘出σz分布图,如图4-14所示。表4-3　z=3m处水平面上竖应力σz4.4　竖向集中力作用下土中应力计算 r/m 0 1 2 3 4 5 r/z 0 0.33 0.67 1 1.33 1.67 α 0.478 0.369 0.189 0.084 0.038 0.017 σz/kPa 10.6 8.2 4.2 1.9 0.8 0.4表4-4　r=1m处竖直面上竖应力σz4.4　竖向集中力作用下土中应力计算图4-14中竖应力σz的分布曲线表明,在半无限土体内任一水平面上,随着与集中力作用点距离的增大,σz迅速地减小。在不通过集中力作用点的任一竖向剖面上,在土体表面处σz=0,随着深度的增加,σz逐渐增大,在某一深度处达到最大值,之后又逐渐减小。 z/m 0 1 2 3 4 5 6 r/z ∞ 1.00 0.50 0.33 0.25 0.20 0.17 α 0 0.084 0.273 0.369 0.410 0.433 0.444 σz/kPa 0 16.8 13.7 8.2 5.1 3.5 2.5图4-14　竖向集中力作用下土中σz分布4.4　竖向集中力作用下土中应力计算【例4-4】　矩形基础,b=2m,l=4m,作用均布荷载p=10kPa,计算矩形基础中点O下深度z=2m、10m处的竖向应力σz。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算图4-15　基础上的分布荷载用集中力代替解:计算时将基础上的分布荷载用8个等份集中力Qi代替,如图4-15所示。将基础分成8等份,每等份面积ΔF=(1×1)m2,则作用在每等份面积上的集中力Qi=p·ΔF=10kPa×1m2=10kN。各集中力Qi对矩形基础中点O的距离分别为各集中力Qi对基础中点O下深度z=2m及10m处的竖应力σz值的计算见表4-5。4.4　竖向集中力作用下土中应力计算O点下深度z=2m处的竖向应力σz为O点下深度z=10m处的竖向应力σz为4.4　竖向集中力作用下土中应力计算表4-5　σzi计算表 Qi z/m r/m r/z α σzi=Qiα/2/kPa Q1,4,5,8 2 1.581 0.791 0.142 0.36 Q2,3,6,7 2 0.707 0.353 0.356 0.89 Q1,4,5,8 10 1.581 0.158 0.449 0.045 Q2,3,6,7 10 0.707 0.071 0.471 0.047在实践中,荷载很少是以集中力的形式作用在土上,而往往是通过基础分布在一定面积上。若基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则,则可以把分布荷载分割为许多集中力,然后应用布辛尼斯克公式和叠加方法计算土中应力。若基础底面的形状及分布荷载有规律,则可以应用积分方法解得相应的土中应力。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算若在半无限土体表面作用一分布荷载p(ξ,η),如图4-16所示。为了计算土中某点M(x,y,z)的竖应力σz,可以在基底范围内取元素面积dF=dξdη,作用在元素面积上的分布荷载可以用集中力dQ表示,dQ=p(ξ,η)dξdη。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-16　分布荷载作用下土中应力计算简图这时土中M点的竖应力σz可以用式(4-7)在基底面积范围内进行积分求得,即求解式(4-23)取决于3个边界条件:1)分布荷载p(ξ,η)的分布规律及其大小。2)分布荷载的分布面积F的几何形状及其大小。3)应力计算点M的坐标x,y,z。现介绍几种常见的基础底面形状及分布荷载作用时,土中应力的计算公式。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算4.5.1　空间问题若作用的荷载是分布在有限面积范围内,从式(4-23)知,土中应力与计算点的空间坐标(x,y,z)有关,这类解均属空间问题。如前面介绍的集中力作用时的布辛尼斯克解,以及下面讨论的圆形面积和矩形面积分布荷载下的解均为空间问题。1.圆形面积上作用均布荷载时,土中竖向应力σz的计算如图4-17所示,圆形面积上作用均布荷载p,计算土中任一点M(r,z)的竖向应力。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-17　圆形面积上均布荷载作用下σz计算简图4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算若采用极坐标表示,原点在圆心O。取元素面积dF=ρdφdρ,其上作用元素荷载dQ=pdF=pρdφdρ,由式(4-23)在圆形面积范围内积分求得σz。应注意式中的R在图4-17中用R1表示,已知得解式(4-24)得竖向应力σz的表达式为4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算αc——应力系数,它是r/R及z/R的函数,由表4-6查得;R——圆形的半径;r——应力计算点M到z轴的水平距离。表4-6　圆形面积上均布荷载作用下的竖向附加应力系数αc4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算 r/R　z/R 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.2 0.998 0.991 0.987 0.970 0.890 0.468 0.077 0.015 0.005 0.002 0.001 0.4 0.949 0.943 0.920 0.860 0.712 0.435 0.181 0.065 0.026 0.012 0.006 0.6 0.864 0.852 0.813 0.733 0.591 0.400 0.224 0.113 0.056 0.029 0.016 0.8 0.756 0.742 0.699 0.619 0.504 0.366 0.237 0.142 0.083 0.048 0.029 1.0 0.646 0.633 0.593 0.525 0.434 0.332 0.235 0.157 0.102 0.065 0.042（续）4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算 r/R　z/R 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1.2 0.547 0.535 0.502 0.447 0.377 0.300 0.226 0.162 0.113 0.078 0.053 1.4 0.461 0.452 0.425 0.383 0.329 0.270 0.212 0.161 0.118 0.086 0.062 1.6 0.390 0.383 0.362 0.330 0.288 0.243 0.197 0.156 0.120 0.090 0.068 1.8 0.332 0.327 0.311 0.285 0.254 0.218 0.182 0.148 0.118 0.092 0.072 2.0 0.285 0.280 0.268 0.248 0.224 0.196 0.167 0.140 0.114 0.092 0.074 2.2 0.246 0.242 0.233 0.218 0.198 0.176 0.153 0.131 0.109 0.090 0.074 2.4 0.214 0.211 0.203 0.192 0.176 0.159 0.146 0.122 0.104 0.087 0.073 2.6 0.187 0.185 0.179 0.170 0.158 0.144 0.129 0.113 0.098 0.084 0.071 2.8 0.165 0.163 0.159 0.151 0.141 0.130 0.118 0.105 0.092 0.080 0.069 3.0 0.146 0.145 0.141 0.135 0.127 0.118 0.108 1.097 0.087 0.077 0.067 3.4 0.117 0.116 0.114 0.110 0.105 0.098 0.091 0.084 0.076 0.068 0.061 3.8 0.096 0.095 0.093 0.091 0.087 0.083 0.078 0.073 0.067 0.061 0.055 4.2 0.079 0.079 0.078 0.076 0.073 0.070 0.067 0.063 0.059 0.054 0.050 4.6 0.067 0.067 0.066 0.064 0.063 0.060 0.058 0.055 0.052 0.048 0.045 5.0 0.057 0.057 0.056 0.055 0.054 0.052 0.050 0.048 0.046 0.043 0.041 5.5 0.048 0.048 0.047 0.046 0.045 0.044 0.043 0.041 0.039 0.038 0.036 6.0 0.040 0.040 0.040 0.039 0.039 0.038 0.037 0.036 0.034 0.033 0.031【例4-5】　有一圆形基础,半径R=1m,其上作用中心荷载Q=200kN,求基础边缘点下的竖向应力σz分布。将计算结果与例4-3中把Q作为集中力作用时的计算结果(表4-4)进行比较。解:基础底面的压力为圆形基础边缘点下的竖向应力σz按式(4-25)计算,即σz=αcp,计算结果列于表4-7。在表中同时列出了例4-3中表4-4的结果。对比表中两种计算结果可以看到,当深度z≥4m后,两种计算的结果已相差很小。由此说明,当z/2R≥2后,荷载分布形式对土中应力分布的影响已不显著。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-7　圆形面积边缘点下竖向应力σz计算4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算 z/m 集中力Q作用时 圆形面积均布荷载力p作用时 α σz/kPa αc σz=αcp/kPa 0 0 0 0.500 31.8 0.5 0.0085 6.8 0.418 26.6 1.0 0.084 16.8 0.332 21.1 2.0 0.273 13.7 0.196 12.5 3.0 0.369 8.2 0.118 7.5 4.0 0.410 5.1 0.077 4.9 6.0 0.444 2.5 0.038 2.42.矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力σz计算(1)矩形面积上均布荷载作用时中心点O下土中竖向应力σz计算　如图4-18所示在地基表面l×b矩形面积上作用均布荷载p,计算矩形面积中心点O下深度z处M点的竖向应力σz。由式(4-23)解得4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算式中,应力系数α0为α0是n=l/b和m=z/b的函数,可由表4-8查得。(2)矩形面积上均布荷载作用时角点c下土中竖向应力σz计算　如图4-18所示均布荷载p作用下,计算矩形面积角点c下深度z处N点的竖向应力σz时,同样可以由式(4-23)解得4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算式中,应力系数αaαa是n=l/b和m=z/b的函数,可由表4-9查得。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算(3)矩形面积上均布荷载作用时土中任意点竖向应力σz计算——角点法　如图4-19所示,在矩形面积abcd上作用均布荷载p,计算土中任意点M的竖向应力σz。M点既不在矩形面积中点下面,也不在角点下面,而是任意点。M点的竖直投影点A可以在矩形面积abcd范围之内,也可能在范围之外。这时可以应用式(4-27)按下述叠加方法进行计算,这种计算方法一般称为角点法。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-18　矩形面积均布荷载作用下中点及角点竖向应力σz计算简图4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-19　角点法1)若A点在矩形面积范围内,如图4-19a所示,计算时可以通过A点将荷载作用面积abcd划分为4个小矩形面积aeAh、ebfA、hAgd及Afcg。这时A点分别在4个小矩形面积的角点,这样就可以用式(4-27)分别计算4个小矩形面积均布荷载作用时,在角点下引起的竖向应力σzi,再叠加即得4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算2)若A点在矩形面积范围之外,如图4-19b所示,计算时可以按图4-19b的划分方法,分别计算矩形面积aeAh、beAg、dfAh及cfAg在角点A下引起的竖向应力σzi,然后按下述叠加方法计算,即【例4-6】　有一矩形面积基础b=4m、l=6m,其上作用均布荷载p=100kN/m2,计算矩形基础中心点O下深度z=8m处M点的竖向应力σz,如图4-20所示。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算解:按式(4-26)计算σz,即由表4-8插值得应力系数α0=0.153。由式(4-26)得σz=0.153×100kN/m2=15.3kPa【例4-7】　用角点法计算例4-6中M点的竖向应力σz。解:将矩形面积abcd通过中心点O划分成4个相等的小矩形面积,即afOe、Ofbg、eOhd及Ogch,如图4-20所示,M点位于4个小矩形面积的角点下,可按式(4-27)用角点法计算M点的竖向应力σz。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算对于矩形面积afOe,已知n=l1/b1=3/2=1.5,m=z/b1=8/2=4,由表4-9插值得应力系数αa=0.038,故σz=4σz(afOe)=4×0.038×100kN/m2=15.2kPa按角点法计算结果与例4-6计算结果一致。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-20　例4-6、例4-7、例4-8图【例4-8】　求例4-6矩形基础外k点下深度z=6m处N点竖向应力σz,如图4-20所示。解:如图4-20所示,将k点置于假设的均布荷载作用时矩形面积的角点处,按角点法计算N点的竖向应力。N点的竖向应力是由均布荷载作用时矩形面积ajki与iksd引起的竖向应力之和减去均布荷载作用时矩形面积bjkr与rksc引起的竖向应力。即σz=σz(ajki)+σz(iksd)-σz(bjkr)-σz(rksc)用角点法计算均布荷载作用时N点竖向应力系数αa,结果见表4-10。则N点竖向应力为σz=100kN/m2×(0.131+0.051-0.084-0.035)=100kN/m2×0.063=6.3kPa4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算3.矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力σz计算4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-10　用角点法计算均布荷载作用时N点竖向应力系数αa图4-21　矩形面积上三角形分布荷载作用下σz计算简图 荷载作用面积 n=l/b m=z/b αa ajki 9/3=3 6/3=2 0.131 iksd 9/1=9 6/1=6 0.051 bjkr 3/3=1 6/3=2 0.084 rksc 3/1=3 6/1=6 0.035如图4-21所示,在地基表面矩形面积(l×b)上作用三角形分布荷载,计算荷载为零的角点下深度z处M点的竖向应力σz时,同样可以用式(4-23)求解。将坐标原点取在荷载为零的角点上,Z轴通过M点。取元素面积dF=dxdy,其上作用元素集中力dQ=(x/b)pdxdy,则4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算式中,应力系数αt为它是m=z/b、n=l/b的函数,可由表4-11查得。应注意上述b值不是指基础的宽度,而是指三角形荷载分布方向的基础边长。如图4-21所示。【例4-9】　如图4-22所示,有一矩形面积三角形分布的荷载作用在地基表面,荷载最大值p=100kPa,计算在矩形面积内O点下深度z=3m处M点的竖向应力σz。解:本题求解时要通过两次叠加法计算。第一次是荷载作用面积的叠加,即角点法。第二次是荷载分布图形的叠加。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算(1)荷载作用面积叠加计算　因为O点在矩形面积abcd内,可用角点法计算。如图4-22a、b所示,通过O点将矩形面积划分为4块,假定其上作用着均布荷载q,如图4-22c所示中荷载DABE,则M点产生的竖向应力σzi可用角点法计算,即σz1=∑σz1i=σz1(aeOh)+σz1(ebfO)+σz1(Ofcg)+σz1(hOgd)=q(αa1+αa2+αa3+αa4)式中　αa1,αa2,αa3,αa4——各均布矩形荷载作用时角点下竖向附加应力系数,由表4-9查得,结果列于表4-12。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-22　例4-9图4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-12　各矩形面积应力系数αai计算 编　　号 荷载作用面积 n=l/b m=z/b αai 1 aeOh 1/1=1 3/1=3 0.045 2 ebfO 4/1=4 3/1=3 0.093 3 Ofcg 4/2=2 3/2=1.5 0.156 4 hOgd 2/1=2 3/1=3 0.073(2)荷载分布图形叠加计算　上述角点法求得的应力σzi是均布荷载q引起,但实际作用的荷载是三角形分布,因此可以将图4-22c所示的三角形分布荷载ABC分割成三块:均布荷载DABE、三角形荷载AFD及CFE。三角形荷载ABC等于均布荷载DABE减去三角形荷载AFD,加上三角形荷载CFE。故可将此三块分布荷载产生的应力叠加计算。三角形分布荷载AFD,其最大值为q,作用在矩形面积aeOh及ebfO上,并且O点在荷载零点处。因此它对M点引起的竖向应力σz2是两块矩形面积三角形分布荷载引起的应力之和,可按式(4-28)计算,即4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算σz2=σz2(aeOh)+σz2(ebfO)=q(αt1+αt2)式中　αt1,αt2——两块矩形面积三角形分布荷载的应力系数,由表4-11查得,结果列于表4-13。表4-13　应力系数αti计算4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算 编　　号 荷载作用面积 n=l/b m=z/b αti 1 aeOh 1/1=1 3/1=3 0.021 2 ebfO 4/1=4 3/1=3 0.045 3 Ofcg 4/2=2 3/2=1.5 0.069 4 hOgd 1/2=0.5 3/2=1.5 0.032三角形分布荷载CFE,其最大值为(p-q),作用在矩形面积Ofcg及hOgd上,同样O点也在荷载零点处。因此,它对M点产生的竖向应力σz3是这两块矩形面积三角形分布荷载引起的应力之和,可按式(4-28)计算,即σz3=σz3(Ofcg)+σz3(hOgd)=(p-q)(αt3+αt4)式中　αt3,αt4——两块矩形面积三角形分布荷载的应力系数,由表4-11查得,结果列于表4-13。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算最后叠加求得三角形分布荷载ABC对M点产生的竖向应力σz为σz=σz1-σz2+σz3=(12.2-2.2+6.7)kPa=16.7kPa4.5.2　平面问题若在半无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载,荷载在宽度的方向分布是任意的,但在长度方向的分布规律是相同的,如图4-23所示。在计算土中任一点M的应力时,只与该点的平面坐标(x,z)有关,而与荷载长度方向Y轴坐标无关,这种情况属于平面应变问题。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-23　无限长条分布荷载4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算1.均布线荷载作用时土中应力计算在地基土表面作用无限分布的均布线荷载p,如图4-23所示,计算土中任一点M的应力时,可以用布辛尼斯克公式(4-7)~式(4-12)积分求得,即4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算式(4-29)~式(4-31)在弹性理论中称为弗拉曼(Flamant)解。若用极坐标表示,如图4-24所示,z=R0cosβ,x=R0sinβ,代入式(4-29)~式(4-31)得4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-24　均布线荷载作用时土中应力计算4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算2.均布条形荷载作用下土中应力σz计算(1)计算土中任一点的竖向应力σz　在土体表面作用均布条形荷载p,其分布宽度为b,如图4-25所示,计算土中任一点M(x,z)的竖向应力σz时,可以将弗拉曼公式(4-29)在荷载分布宽度b范围内积分求得。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算式中　αu——应力系数,它是n'=x/b及m=z/b的函数,从表4-14中查得。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-25　均布条形荷载作用下土中应力σz计算图注意坐标轴的原点是在均布荷载的中点处。若采用如图4-26所示的极坐标表示,从M点到荷载边缘的连线与竖直线间的夹角分别为β1和β2,其符号规定是,从竖直线MN到连线逆时针转时为正,反之为负。图4-26中的β1和β2均为正值。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-26　均布条形荷载作用时土中应力σz计算(极坐标表示)图取元素荷载宽度dx,可知利用极坐标表示的弗拉曼式(4-32)~式(4-34),在荷载分布宽度范围内积分,即可求得M点的应力表达式为4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算(2)土中任一点的主应力计算　如图4-27所示,在土体表面作用均布条形荷载p,计算土中任一点M的最大、最小主应力σ1和σ3时,可以用材料力学中有关主应力与法向应力及剪应力之间的关系式计算,即式中　θ——最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算将式(4-36)~式(4-38)代入式(4-40),即得M点的主应力表达式及其作用方向。若令从M点到荷载宽度边缘连线的夹角为2α(一般也称视角),则从图4-27可得2α=β1-β2(4-43)4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算由式(4-42)知,最大主应力σ1的作用方向恰好在视角2α的等分线上,如图4-27所示。将式(4-43)代入式(4-41),可得用视角表示的M点主应力表达式从式(4-44)看到,式中仅有一个变量α,土中凡视角2α相等的点,其主应力也相等。因此,土中主应力的等值线将是通过荷载分布宽度两个边缘点的圆,如图4-27所示。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-27　均布条形荷载作用下土中主应力计算4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算3.三角形分布条形荷载作用时土中应力计算在地基表面作用三角形分布条形荷载,如图4-28所示,其最大值为p,计算土中M点(x,z)的竖向应力σz时,可按式(4-28)在宽度b范围内积分。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算σz=αsp(4-45)式中　αs——应力系数,它是n‘=x/b及m=z/b的函数,可由表4-15查得。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-28　三角形分布条形荷载作用下土中竖向应力σz计算【例4-10】　有一路堤如图4-29a所示,已知填土重度γ=20k/m3,求路堤中线下O点z=0及M点z=10m的竖向应力σz。解:路堤填土重力产生的荷载为梯形分布,如图4-29b所示,其最大强度p=γH=20kN/m3×5m=100kPa。将梯形荷载abcd分解为两个三角形荷载ebc及ead之差,这样就可以用式(4-45)进行叠加计算。其中q为三角形荷载eaf的最大强度,可按三角形比例关系求得q=p=100kPa应力系数αs1、αs2可由表4-15查得,将其结果列于表4-16中。4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-29　例4-10图4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-16　应力系数αsi4.5　竖向分布荷载作用下土中应力计算故得O点的竖向应力σz为M点的竖向应力σz为 编　　号 荷载分布面积 O点(z=0) M点(z=10m) αsi αsi 1 ebo 10/10=1 0 0.500 10/10=1 0.241 2 eaf 5/5=1 0 0.500 10/5=2 0.1534.6.1　有效应力原理4.6　有效应力概念图4-30　土中两种应力试验有甲乙两个完全相同的量筒,如图4-30所示,在这两个量筒的底部分别放置一层性质完全相同的松散砂土。在甲量筒松砂顶面加若干钢球,使松砂表面承受压力P,此时可见松砂顶面下降,表明松砂发生压缩,亦即砂土的孔隙比e减小。乙量筒松砂顶面不加钢球,而是小心缓慢地注水,水面在砂面以上高h处时恰好使砂层表面也增加压力P,结果发现砂层顶面并不下降,这主要是土中两种应力引起的。4.6　有效应力概念在土中某点截取一水平截面,其面积为F,截面上作用应力σ,如图4-31a所示,它是由上面的土体重力、静水压力及外荷载P所产生的应力,称为总应力。该应力一部分是由土颗粒间的接触面承担,称为有效应力;另一部分是由土体孔隙内的水及气体承担,称为孔隙应力(也称孔隙压力)。4.6　有效应力概念图4-31　有效应力考虑如图4-31b所示的土体平衡条件,沿a-a截面取脱离体,a-a截面是沿着土颗粒间接触面截取的曲线状截面,在此截面上土颗粒接触面间作用的法向应力为σs,各土颗粒间接触面积之和为Fs,孔隙内的水压力为uw,气体压力为ua,其相应的面积为Fw及Fa,由此可建立平衡条件σF=σsFs+uwFw+uaFa(4-46)对于饱和土,式(4-46)的ua、Fa均等于零,则式(4-46)可写成σF=σsFs+uwFw=σsFs+uw(F-Fs)或4.6　有效应力概念由于颗粒间的接触面积Fs很小,毕肖普及伊尔定(BishopandEldin,1950)根据粒状土试验认为Fs/F一般小于0.03,有可能小于0.01。因此,式(4-47)中Fs/F可略去不计,此时式(4-47)可写为实际上是土颗粒间的接触应力在截面积F上的平均应力,称为土的有效应力,通常用表示,并把孔隙水压力uw用u表示。式(4-48)可写成，称为有效应力公式。4.6　有效应力概念土中任意点的孔隙水压力u对各个方向作用是相等的,因此它只能使土颗粒产生压缩(由于土颗粒本身的压缩量是很微小的,在土力学中均不考虑),而不能使土颗粒产生位移。土颗粒间的有效应力作用,则会引起土颗粒的位移,使孔隙体积改变,土体发生压缩变形。同时有效应力的大小也影响土的抗剪强度。由此得到土力学中很重要的有效应力原理,它包含两个基本要点:1)土的有效应力等于总应力σ与孔隙水压力u之差。2)土的有效应力控制了土的变形及强度性能。4.6　有效应力概念对于非饱和土,由式(4-46)可得略去uaFs/F项,得非饱和土的有效应力公式为=σ-ua+χ(ua-uw)(4-51)式(4-51)是由毕肖普等1961年提出的,式中χ=Fw/F是由试验确定的参数,取决于土的类型及饱和度。一般认为有效应力原理能正确地用于饱和土,而对非饱和土需进一步研究。4.6　有效应力概念4.6.2　毛细水上升时土中有效应力计算若已知土中毛细水的上升高度为hc,如图4-32所示,计算土中有效应力的分布。4.6　有效应力概念图4-32　毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力分布在第3章中已经指出,毛细水上升区中的水压力u为负值(即产生拉应力),已知在毛细水弯液面底面的水压力u=-γwhc,在地下水位处u=0。分别计算土中各控制点的总应力σ、孔隙水压力u及有效应力,见表4-17,其分布如图4-32所示。表4-17　毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力计算4.6　有效应力概念 计　算　点 总应力σ 孔隙水压力u 有效应力 A 0 0 0 B B点上 γh1 0 γh1 B点下 -γwhc γh1+γwhc C γh1+γsathc