尖子生冲刺名校，高中数学压轴题培优教程

冲刺名校，高考数学压轴题培优教程34专题4圆锥曲线几何性质压轴选择题45专题5数列综合压轴选择题54专题6向量综合压轴选题题64专题7导数综合压轴选择题75第二篇压轴填空题75专题1合情推理问题压轴填空84专题2新定义背景压轴填空97专题3恒成立或有解问题压轴填空108专题4平面向量数量积相关的求值问题121专题5立体几何新颖问题压轴填空134专题4数列相关压轴填空题144第三篇压轴解答题144专题1以立体几何中探索性问题为背景的解答题176专题2解析几何中与椭圆相关的综合问题209专题3解析几何中与抛物线相关的综合问题240专题4以解析几何中与圆相关的综合问题284专题6函数与导数相结合的综合问题第一篇压轴选择题专题1函数与方程压轴选择题本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数与方程以及不等式的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.【典例解剖】类型一用函数与方程求解零点问题（且）在区间内恰有5个不同的根，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【名师指点】求解零点问题时，往往转化为的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图象的交点问题求解．本题首先应正确求出函数的解析式，准确画出函数图象，注意分段函数在分界点处的连续性以及对参数的范围的讨论，根据方程解的个数确定图像交点个数，“临界点”和的函数值要倍加关注．【举一反三】已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】C类型二用函数与方程求解不等式问题典例2．【云南大理2017届高三第一次统测】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，，结合函数的单调性可知，所以不等式的解集是，故选B.【名师指点】结合已知条件，联想构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性解解抽象不等式问题是解题关键．【举一反三】己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．[来源:QQ群545423319]【答案】D类型三用构造法求解问题[来源:学|科|网Z|X|X|K]典例3设，，且满足，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】D.【解析】令，则的图象关于原点点对称，由题设得：，即，∴，即.选D.【名师指点】解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到理想的解题途径，构造函数，利用函数性质解决问题是构造函数法蕴含的数学思想．【举一反三】【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考数学（理）】设函数，.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】易得是奇函数，在上是增函数，又，故选D.类型四关于复合方程的解的问题典例4．【2017湖南长沙一中月考】已知实数若关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设，作出函数的图象，如图所示，则时，有两个根，当时，有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时，，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.QQ群545423319【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值．【举一反三】若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A.【解析】函数有极值点，，说明方程的两根为，，∴方程的解为或，若，即是极大值点，是极小值点，由于，∴是极大值，有两解，，只有一解，∴此时只有解，若，即是极小值点，是极大值点，由于，∴是极小值，有解，，只有一解，∴此时只有解，综上可知，选A.【精选名校模拟】1．【山东潍坊2017届高三上学期期中联考】设函数，若函数有三个零点，，，则等于.【答案】2．【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷，12】若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】方程有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数与函数的图象如下图所示，所以是方程的两根，是方程的两根，由求根公式得，且，所以，令，由得，函数在区间递增，在区间递减，又，所以所求函数的取值范围是，故选B.3．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（）A．B．C.D．【答案】C【解析】因为当时，，所以在上单调递增，又函数为奇函数，所以函数为偶函数，结合，作出函数与的图象，如图所所示，由图象知，函数的零点有3个，故选C．QQ群5454233194.【广西柳州市2017届高三10月模拟】设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数解，则（）A．6B．4或6C．6或2D．2【答案】D5．【2017四川成都市一模】已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，.则关于的方程在上的所有实数解之和为（）．A．-7B．-6C．-3D．-1【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以，所以函数是周期为2的偶函数，如图画出函数图像，两个函数在区间有7给交点，中间是，其余6个交点关于对称，所以任一组对称点的横坐标之和为-2，所以这7个交点的横坐标之和为，故选A.6．【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（　　）A．B．C．D．【答案】C7．【河南百校联盟2017届高三11月质检】已知函数满足，当时，，若在上，方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：[来源:Zxxk.Com]8．【2017山西省山大师大附中模块】已知函数，若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，由可知函数的图象与直线有两个交点，而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；[来源:Zxxk.Com]记（），.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，.所以.9．【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评】定义在实数集上的函数，满足，当时，.则函数的零点个数为（）A．B．C.D．【答案】B【解析】是偶函数，图象关于直线对称，周期是，画图可得，零点个数为，故选B.10．【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中】已知函数（）有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是函数的零点，则函数有四个不同的零点，等价于方程有三个不同的根，即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=与有三个不同的交点，由图知，所以，故选D．11．【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考】定义域在上的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为（）A．B．C.D．【答案】B【解析】因为函数为奇函数，所以可以得到当时，，当时，，所以函数图象如下图，函数的零点即为函数与的交点，如上图所示，共个，当时，令，解得：，当时，令，解得：，当时，令，解得：，所以所有零点之和为：，.故本题正确答案为B.QQ群54542331912．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（）A.7B.8C.9D.10【答案】D.13．【2017湖北重点中学高三联考】已知函数，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∵的图象与轴有个不同的交点，∴函数与函数的图象有个不同的交点；作函数与函数的图象如下，图中，，故此时直线的斜率；当直线与相切时，设切点为；则，解得；此时直线的斜率；结合图象可知，；故选C．QQ群545423319专题2立体几何中球体压轴选择题球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一四面体的外接球问题典例1．点均在同一球面上，且、、两两垂直，且，则该球的表面积为A．B．C．D．【答案】B【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径，分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】【云南大理2017届高三第一次统测，10】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A类型二三棱柱的外接球问题典例2．【广东2017届高三上学期阶段测评（一）】三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．C.D．【答案】C【解析】如图，由题可知矩形的中心为该三棱柱外接球的球心，.∴该球的表面积为.选C.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点距离相等的点在过的外心且垂直于平面的直线上，再确定到顶点距离相等的点过的外心且垂直于平面的直线上，故直三棱柱的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,15】设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是．【答案】【解析】试题分析：因为该三棱柱为正三棱柱，所以底面为正三角形，底面三角形外接圆的直径为，即，所以该三棱柱外接球的半径，所以该三棱柱外接球的表面积为.类型三四棱锥的外接球问题典例3．【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）A．B．C.D．【答案】D【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．【举一反三】【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，10】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】设球的半径为，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴，∴,∴球的体积为.故应选A.类型四几何体的内切球问题典例4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【答案】3π【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为2eq\r(3)，圆锥的底面半径为eq\r(3)，高为3，∴V＝eq\f(1,3)×π×3×3＝3π.[来源:QQ群545423319]【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化的目的．【举一反三】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,9】将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的内切球的半径为（）A．1B．C.D．【答案】D【解析】设球心为，球的半径为，由，知，故选D.【精选名校模拟】1.【河北衡水中学2017届高三上学期五调】三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（）[来源:Zxxk.Com]A．B．C.D．【答案】B【解析】如下图所示，由题意可知，又球的直径是，所以且，所以该几何体的体积为，故选B.2．【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D3.【河北唐山市2017届高三年级期末,10】现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】试题分析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比选项取得最大值，此时设正方体的棱长为，则球的半径为，所以所求体积比为，故选A．4．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为是平行四边形，所以，因为是直二面角，所以平面，即，那么，即取中点，连接，都是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以，所以三棱锥的外接球的球心为点，半径，所以表面积是．[来源:QQ群545423319ZXXK]5．【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，10】已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，若四面体中球心O恰好在侧棱DA上，DC=，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由可知取AC中点M，则OM为DA的中位线，又点M为外接圆圆心，球心O到面ABC的距离为，球半径为，故球表面积为.6．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A.B.C.D.【答案】C.7．【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，11】已知点在同一球的球面上，，若四面体外接球的球心恰好在侧棱上，，则这个球的表面积为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】如下图所示，设三角形所在小圆的圆心为，则为的中点，且平面，又，所以平面，所以，外接球的表面积，故选D.8．【河南百校联盟2017届高三11月质检，10】已知边长为的菱形中，,现沿对角线BD折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，，设则由勾股定理可得四面体的外接球的表面积为故选C．QQ群5454233199．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3QUOTE\*MERGEFORMATC.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3【答案】A.【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意，，设，故，∵，解得，故该球的半径，∴.[来源:Zxxk.Com]10．已知三棱锥，在底面中，，，，，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A11.如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）A．2B．1C．D．【答案】C.【解析】球心在面的中心上，为截面圆的直径，∴，底面外接圆圆心位于中点，外心在中点上，设正方形边长为，中，，，，∴，即，则，∴.12.已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为()[来源:QQ群545423319]A．B．C．D．【答案】C.【解析】由条件直径所对的圆周角，由已知，∴与是全等的等腰三角形，∴，，即面，由条件，则为等边三角形，∴.13.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A.B.C.D.【答案】D.专题3三视图体积与表面积压轴选择题空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.其中以三视图为背景的表面积或体积问题是考题中常见的题型,根据三视图还原几何体,进而计算是解题关键．类型一柱体组合体的三视图问题典例1【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B．C.D．【答案】C【解析】如图所示，该几何体是棱长为2的正方体砍去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积.选C.【名师指点】在棱柱体的三视图中,轮廓线为两个四边形和一个多边形；圆柱的三视图中有两个矩形一个圆；球体的三个视图都为圆．.求解几何体的表面积及体积的技巧:(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．【举一反三】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】如图为某几何体的三视图，则其体积为（）B.C.D.【答案】D类型二锥体及组合体的三视图问题典例2【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷】已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A．B．C.D．2【答案】A【解析】如图，该三回旋曲图所表示的几何体为三棱锥，显然最长棱为，且，故选A.【名师指点】一般情况下棱锥的三个视图中，轮廓线为两个三角形，一个多边形；圆锥的三视图中两个等腰三角形和一个圆，但是因为摆放位置的不同，视图的位置也相应发生变化，本题要注意俯视图中的虚线的形成与原几何体的对应关系．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤:(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.【举一反三】【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考，11】某几何体三视图如图，则该几何体体积是（）A．4B．C.D．2【答案】B【精选名校模拟】1．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，9】《九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（）A．B．C.D．[来源:QQ群545423319ZXXK]【答案】C2．【重庆八中2017届高三上学期二调10，】用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高于底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆柱的高为，则其内接矩形的一边长为，那么另一边长为，所以圆柱的体积为，，令，得；令，得，即在内单调递增，在内单调递减，所以当时，此圆柱体积最大，那么另一边长为，故圆铁皮的面积和其内接矩形的面积比为，故选C.3．【中原名校2017届高三上学期第三次质量考评，10】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C.D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故.故选D.4．【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】通过三视图可知这是一个三棱柱和一个三棱锥的组合体，底面均为边长为的等边三角形，故.故选A.5．【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）（A）外接球的半径为（B）表面积为（C）体积为（D）外接球的表面积为【答案】B6．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．[来源:学#科#网Z#X#X#K]【答案】C【解析】由三视图可知这是一个三棱柱截去一个三棱锥所得，故体积为.7.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积为（）A．8B．7C.D．【答案】B【解析】，故选B.8．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B．C．D．:【答案】B【解析】根据三视图可以看出原几何体为一个四棱锥，平面平面，割去半个圆锥，圆锥底面直径为,为顶点，其体积为，选B.9．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C[来源:QQ群545423319ZXXK][来源:QQ群545423319]10.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】C11．如图，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段，，上．当三棱锥的俯视图如图所示时，三棱锥的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图知点为中点、EMBEDEquation.DSMT4、EMBEDEquation.DSMT4，因此三棱锥的正视图为三角形,其中点为中点，所以面积为，选B.12.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A．B．C．D．【答案】A[来源:Zxxk.Com]【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个四棱锥构成的几何体，所以其体积为,故选A．13.【广东2017届高三上学期阶段测评（一），16】将一块边长为的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为．【答案】专题4圆锥曲线几何性质压轴选择题1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定，，的等量关系，然后把用，代换，求的值；在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于，，的不等式，再根据，，的关系消掉得到关于，的不等式，由这个不等式确定，的关系．2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．常见的几何方法有：（1）直线外一定点到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；（2）圆外一定点到圆上各点距离的最大值为，最小值为(为圆半径)；（3）过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为(长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为(实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一求圆锥曲线的离心率问题典例1．【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理）试题】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B典例2．【河北唐山市2017届高三年级期末，11】已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】易证得，则，即；同理，，所以EMBEDEquation.DSMT4，又，所以，整理，得，故选A．QQ群545423319【名师指点】在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[来源:学|科|网Z|X|X|K]一般来说，求离心率取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系，例如根据线段的大小关系或者角的大小关系列不等式；二是考虑代数关系，通过设点，将所给问题坐标化，结合圆锥曲线方程和本身范围来确定．【举一反三】【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考数学（理）试题】过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C.D．【答案】D[来源:QQ群545423319]类型二与圆锥曲线有关的最值问题典例2．【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）数学（理）试题】等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，，△的面积是16，抛物线的焦点为，若是抛物线上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C[来源:学&科&网Z&X&X&K]【解析】因为等腰直角△内接于抛物线，为抛物线的顶点，所以，可设，得，将代入，得，抛物线的方程为，所以，设，则，设，则，时，“”成立.故选C.【名师指点】抛物线定义是转化抛物线上的点到焦点距离和到准线距离的桥梁，通过设点的坐标并结合抛物线定义，将待求对象坐标化，同时结合抛物线方程消元，利用函数思想求解最值问题是常见的求最值方法，有时还可以几何平面几何知识求解．【举一反三】【2014四川高考理第10题】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B类型三平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例3．设双曲线的左焦点为，点、在双曲线上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．2C.D．【答案】D【解析】设，∵四边形为平行四边形，∴，∵四边形的面积为，∴，即，∴，代入双曲线方程得，∵，∴.故选D.【名师指点】求离心率问题实质上是根据已知条件，挖掘题中的等量关系或者不等关系，可以借助平面图形自身满足的条件或者点的坐标所满足的方程或者范围等，本题利用平行四边形的性质并结合双曲线方程和平行四边形的面积公式得关于的方程，进而确定离心率的值．【举一反三】【2017湖南长沙一中高三月考】]已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【精选名校模拟】1．【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学（理）试题】双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）A．B．C．D．【答案】C2．【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知双曲线，过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线交地两点，是坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知是通径，根据双曲线的对称性和可知，三角形为等边三角形，即，由，得，两边除以得，解得.3．【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为A.2B.C.D.:【答案】D【解析】由于MN∥F1F2，，则，设，又，且，则,点N、Q在双曲线上满足方程，有，消去得：，则选D.4．【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考数学（理）试题】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A5．【2014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.6．【云南大理2017届高三第一次统测，11】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．B．C．2D．-2【答案】A【解析】设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.7．【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，8】过抛物线的焦点作斜率为的直线与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为.若分别表示的横坐标，且，则（）A．B．C.D．【答案】D8．【广东2017届高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（）A．B．C.D．【答案】D【解析】不妨设，∵，∴，又，∴，∴.根据对称可得直线的斜率为.选D.9．【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理）试题】已知抛物线：的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A．4B．C．5D．【答案】B【解析】设且,,根号下二次函数的对称轴为,所以在对称轴处取到最小值,即[来源:QQ群545423319ZXXK][来源:QQ群545423319]，解得或(舍去),所以抛物线方程为,,所以,故选B.10．【辽宁盘锦市高中2017届11月月考，11】已知双曲线（，），、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点（），使得△（）构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B11．【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，11】椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】A12．【2017湖南长沙雅礼中学高三月考】为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（）A．2B．3C.D．【答案】A【解析】如图所示，记与的内切圆相切于点，则，则，则，则，即，所以，由，得，所以，故选A.13．【2017河南新乡一中高三月考】已知双曲线，、是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1,则双曲线的离心率为（）A．B．C.D．【答案】B专题5数列综合压轴选择题数列与函数的交汇问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的交汇问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．类型一数列与函数的结合典例1已知都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于62，则的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【名师指点】由已知条件构造函数，则，故函数递增，即函数递增，从而确定，结合已知条件可确定的值，数列的前项和即等比数列的前项和，通过计算可得关于n的不等式，进而确定n的最小值．【举一反三】【2017云南曲靖一中高三月考】已知为锐角，且，函数，数列的首项，，则与的大小关系为．【答案】【解析】.类型二数列与不等式的结合典例2．【天津六校2017届高三上学期期中联考，7】已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【名师指点】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件[来源:学+科+网]求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）参变分离法，将已知不等式变形为恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．【举一反三】【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考，16】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是_____________.【答案】类型三数列与其他知识的结合典例3【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理）试题】设，分别为等差数列，的前项和，且.设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为__________.【答案】【解析】不妨取，当时，当时，，验证得上式成立，综上，同理可得，[来源:学+科+网]，．【名师指点】本题考查数列与平面向量的结合，又向量知识得其系数满足的关系，进而利用等差数列求和公式求解，本题要求学生熟悉向量三点共线公式三点共线，【举一反三】已知数列的前n项和为，令，记数列的前n项为，则）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意有，所以有，所以，故选D．【精选名校模拟】1.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,11】已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（）A．B．2C.D．【答案】A[来源:Zxxk.Com]2.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，8】已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为恒成立，又数列在时为等比数列，所以．当时，，递减，，当，为递增数列，不满足；当时，，递减，，当，为递减数列，又因成立，所以，即，解得，所以，故选B．3.【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】已知数列中的前项和为，对任意，，且恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由有,当时,,求得,当时,,化简得,当,,所以,当,,所以,因为恒成立,所以当当,,即,当,,,综上两种情况,有.4．【2017安徽淮北一中高三四模】已知等差数列的公差，且成等比数列，若为数列的前项和，则的最小值为（）A．B．C.D．【答案】C【解析】由于成等比数列，所以，解得，所以.5．（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C.6.【2016浙江】如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且EMBEDEquation.DSMT4，，，，，（表示点与点不重合）.若，为的面积，则（）.A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列【答案】A[来源:学|科|网Z|X|X|K]7．【2017山西晋中榆社中学高三月考】已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是____________．【答案】【解析】由条件得，两式相减得，故，两式再相减得，由得，从而；由得，从而，由条件得，解之得.8．【2017湖南师大附中高三月考】对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列”.设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是．【答案】9．【2017福建福州外国语学校期中】已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足：，考查下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列。以上命题正确的是．【答案】②③④【解析】①因为对定义域内任意，，满足，∴令，得，故①错误；②令，得；令，有，代入得，故是上的奇函数．故②正确；③若，则为常数，故数列为等差数列，故③正确；④∵，，∴当时，，则，，…，则，若，则为常数，则数列为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．10．【2017辽宁庄河市高三月考】等差数列的前项和为，数列的等比数列，且满足，数列的前项和为，若对一切正整数都成立，则的最小值为.[来源:学&科&网Z&X&X&K]【答案】【解析】由已知可得,解之得,所以,则,故,由此可得,以上两式两边错位相减可得,即,故当时,,此时取最大值,所以的最小值为,故应填答案.11．已知函数，且，设等差数列的前项和为，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．由题意可得或解得a=1或a=-4，当a=-1时，，数列{an}不是等差数列；当a=-4时，，，，当且仅当，即时取等号，∵n为正数，故当n=3时原式取最小值，故选D．12．【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列的前项和为，，则的最小值为．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，又，∴，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴，当且仅当时取“”.13．【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题】已知数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列满足．若对都有成立，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】14．已知函数f(x)＝coseq\f(x,4)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(x,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(x,2)))，将函数f(x)在(0，＋∞)上的所有极值点从小到大排成一数列，记为{an}，则数列{an}的通项公式为________．【答案】an＝eq\f(2n－1π,2)【解析】由f(x)＝coseq\f(x,4)sineq\f(x,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(x,2)))＝－eq\f(1,4)sinx，得f′(x)＝－eq\f(1,4)cosx，由cosx＝0，得x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上的所有极值点为eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，…，eq\f(2n－1π,2)，…，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\f(2n－1π,2).专题6向量综合压轴选题题近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理.平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.类型一平面向量与解三角形的结合典例1．在中，角，，所对的边分别为，，满足，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【名师指点】由余弦定理可得角A的大小，平面向量数量积向量式是实现向量和三角形边、角转化的桥梁，而正弦定理又是进行三角形边角转化的工具．最值将的取值范围问题转化为三角函数的值域问题处理．【举一反三】【2017辽宁葫芦岛高三月考】已知点为内一点，，，，过作垂直于点，点为线段的中点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，根据等面积法得，所以．类型二向量与三角形”四心”的结合典例2【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的值为（）A．B．C.D．【答案】C【名师指点】为了将已知和结论建立联系，将分解转化为，为了出现和，将已知向量方程移项平方可求．【举一反三】【2017杭州地区重点中学高三上学期期中】在中，角A，B，C所对的边分别为，，，，，且为此三角形的内心，则（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】如下图所示，过作于，于，∴，又∵为内心，∴，，∴，故选C．类型三向量与三角函数的结合典例3．【2017浙江温州中学高三月考】已知向量则=、=，设函数R），取得最大值时的x的值是.[来源:学+科+网]【答案】，Z【名师指点】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以向量的坐标形式为背景考查的是三角函数的图象和性质及三角变换的有关知识和运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,依据向量的数量积公式建立方程,求出.然后再化简和构建函数运用三角函数的图象和性质使得问题获解.【举一反三】已知函数图像上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则（）A．B．C．D．【答案】D类型四向量在解析几何中的应用典例4【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,10】已知为双曲线的左焦点，点为双曲线虚轴的一个顶点，过的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为，若，则此双曲线的离心率是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】的方程为，即，联立得，所以，解得，故选A.[来源:Z*xx*k.Com]【名师指点】对向量式的处理是高效解题的关键，向量是既有大小又有方向的量，所以向量具有数与形的双重作用，从数的角度来讲，利用向量式可以找到三点坐标的关系，从形的角度来讲，可以将向量式转化为线段长度的比例关系．【举一反三】【广东2017届高三上学期阶段测评（一），11】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（）A．B．C.D．【答案】D【解析】不妨设，∵，∴，又，∴，∴.根据对称可得直线的斜率为.选D.【精选名校模拟】1.【2017山西运城市高三期中】已知点在△内部一点，且满足，则△，△，△的面积之比依次为（）A．B．C．D．【答案】2.【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，9】已知四点共线，，且向量，，则等于（）A．B．C.-7D．7【答案】B【解析】因为四点共线，，，所以，又，因为，所以，得，，，故选B.3.【山西临汾一中等五校2017届高三第三联考】如图，在中，，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C4.【重庆八中2017届高三上学期二调，11】设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（，），，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．2【答案】D【解析】双曲线的渐近线为：设焦点，则，，，因为，所以，所以，，解得：，，又由，得：，解得：，得，所以，故选：D．5.在中，、、的对边分别为、、，且，，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】C6.【2017届福建福州外国语学校高三期中】已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求导数可得，则由函数在实数集上单调递增，可得恒成立，即恒成立，故判别式恒成立，再由，可得，∴，∴，故选：C．7.【2017届四川凉山州高三二模】若直线（）与函数图象交于不同的两点，，且点，若点满足，则（）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A．1B．2C．3D．【答案】B【解析】因为，且直线通过坐标原点，所以函数图象两个交点，关于原点对称，即，又，由得，，解之得，所以，故选B.8.已知向量，，，则函数的最小正周期与最大值分别为（）A．B．C．D．【答案】B9.【2017年湖北部分重点中学联考】已知是所在平面内一点，若，则与的面积的比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在线段上取使，则，过作直线使，在上取点使，过作的平行线，过作的平行线，设交点为，则由平行四边形法则可得，设的高线为，的高线，由三角形相似可得，∵与有公共的底边，∴与的面积的比为，故选：A.10.【2017年贵州贵阳花溪清华中学高三月考】已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，设,设，由又的取值范围为,故选C.11.【2017年重庆巴蜀中学期中考试】在中，，则__________．【答案】212.设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】D[来源:Z|xx|k.Com]【解析】双曲线的渐近线为：，设焦点，则，因为，所以，，所以，，解得：，又由，得：，解得：，所以，，选D.13.【2017年江西抚州市七校联考】在中,、、所对的边分别为、、，已知,且,则_________.【答案】【解析】由得，即，由得，即，，故答案为.14.【河南省开封市2017届高三上学期10月月考数学（理）试题】过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率是.:【答案】[来源:QQ群545423319ZXXK]专题7导数综合压轴选择题利用导数研究可导函数的单调性,求可导函数的极值和最值,以及用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用,另外从高考试题来看,高考对导数的考查加强了试题的综合性和应用性,由此可见,导数的解题地位成了必不可少的工具,所以导数的应用成为久考不衰的考点．类型一考查导数的几何意义典例1【201