高等数学积分学总结

《高等数学》中的积分学高等数学中涉及的积分类型主要有：定积分（含广义积分）、二重积分、三重积分、曲线积分（对弧长、对坐标）、曲面积分（对面积、对坐标）。一、符号形式1()baIfxdx；2(,)DIfxyd；3(,,)IfxyzdV；4(,,)CIfxyzds；5CCIFdrPdxQdyRdz；6(,,)IfxyzdS；7IFndSFdSPdydzQdzdxRdxdy二、共同点2.1定义方法：划分—>微元—>求和—>取极限2.2性质：线性性质、可加性、估值三、不同点类型几何背景物理背景积分区域特殊被积函数“1”微元应用点定积分面积细杆的质量区间badx质量矩质心转动惯量二重积分体积平面薄板的质量平面区域()SDd三重积分--几何体的质量空间区域()VdV第I型曲线积分--弯曲杆件的质量无向曲线()LCds第I型曲面积分--弯曲薄板的质量曲面(未定向)()SdS第II型曲线积分--变力做功（或流量或通量）有向曲线--ds功、流量、环量、通量第II型曲面积分--流量（通量）定向曲面--dS流量、通量四、重要联系及公式4.1Newton-Leibniz公式：()()()bafxdxFbFa4.2Green公式：环量—旋度形式：()CDDQPxyDPdxQdyrotFkdFkdd通量—散度形式：()CDDQPxyDPdyQdxFnddivFdd4.3Stokes公式：()()()CQQRPRPyzzxxyPdxQdyRdzrotFndSFndSdydzdzdxdxdy4.4Gauss公式：()QPRxyzPdydzQdzdxRdxdyFndSdivFdVFdVdV五、基本计算方法5.1定积分方法：凑微分法、换元法、分部积分法特殊结论：（1）对称性与奇偶性：02(),()()()0,()()aaafxdxfxfxfxdxfxfx（2）周期性：0()()aTTafxdxfxdx（3）无界性：(),(),(),()AbbAaafxdxfxdxfxdxfxdx5.2二重积分2(,)DIfxyd，其中D为平面有界区域。直角坐标系面积微元ddxdy区域D特点任意分类X-型Y-型复杂图形略略略不等式12()(),yxyyxaxb12()(),xyxxycyd分细二次积分21()()(,)byxayxdxfxydy21()()(,)dxycxydyfxydx多个X，Y型之和特殊方法利用D的对称性和(,)fxy关于某个变量的奇偶性计算极坐标系cossinxryr（以先r后的积分次序为例）特点被积函数中含有22xy项面积微元drdrd区域D特点D为圆域、环域或扇形域分类I型II型III型特征极点在D内部极点在D外部极点在D边界不等式12,0()rr1212,0()()rrr1212,()()rrr二次积分21()0(,)rdfrrdr2211()()(,)rrdfrrdr5.3三重积分3(,,)IfxyzdV，其中为空间有界区域坐标直角(,,)xyz柱坐标(,,)rz球面坐标(,,)坐标关系cossinxryrzzsincossinsincosxyz特点区域任意坐标面的投影为圆形、环形、扇形区域球体、半球体、锥面与球面围成的立体函数任意222222(,)(,)(,)fxyzfxzyfyzx被积函数含有222xyz微元dVdxdydzdVrdrddz2sindVddd积分次序向坐标面投影或先一后二或切条法向坐标轴投影或先二后一或切片法向坐标面投影或先一后二法或切条法（zr）（）不等式组12(,)(,)(,)xyzxyzzxyxyD(,)zczdxyD121212(,)(,)()()zrzzrrrr121212(,)(,)()()积分形式21(,)(,)(,,)xyzxyzxyDdxdyfxyzdz（切条法：xyzD）222111()(,)()(,)(,,)rzrrzrdrdrfrzdz（柱坐标）(,,)zdcDdzfxyzdxdy（切片法：zDz）222111()(,)2()(,)sin(,,)ddfd（球坐标）5.4曲线积分类型第I型第II型（FPiQjRk）形式4(,,)CIfxyzds5CCIFdrPdxQdyRdz（功或沿着曲线方向的流量）曲线方程(),(),()xxtyytzzt或()rrt参数范围t:t微元222(())(())(())dsxtytztdt或()drdtdsdtvtdt{.,}dyodrdxdzdtdtdtdtdrtdsdtdt积分形式4((),(),())()Ifxtytztvtdt5()()()IPxtQytRztdt5.5曲面积分类型第I型第II型（FPiQjRk）形式6(,,)IfxyzdS7IFndSFdSPdydzQdzdxRdxdy（流量或者通量）曲面方程:(,,)gxyzc是否定侧未定侧定侧（即选定法向量n的方向）微元ggpdSdggpdSndsd，其中n与的梯度方向一致取“+”，否则取“-”其中：pi（往yoz面投影）或j（往zox面投影）或k（往xoy面投影）积分形式6||(,,)ggpDIfxyzd7||ggpDIFd六、Green公式环量—旋度形式：()CDDQPxyDPdxQdyrotFkdFkdd通量—散度形式：()CDDQPxyDPdyQdxFnddivFdd大前提：曲线C分段光滑。条件：①曲线C正向；②曲线C封闭；③P、Q在C及其内部具有一阶连续偏导数。6.1满足所有条件直接使用Green公式的两种形式之一进行计算皆可，效果相同。6.2若仅不满足条件①，则在C上满足Green公式的条件，在C上的技术结果乘以（-1）即可。即有：()CDDCQPxyDPdxQdyPdxQdyrotFkdFkdd或()CDDCQPxyDPdxQdyPdyQdxFnddivFdd6.3若仅仅不满足条件②，则可采用添加光滑曲线1C以便使用Green公式。添加时候，应注意：1）在1CC以及1CC内部应该满足Green公式的条件，2）1C尽量简单且积分1CPdxQdy容易计算。即有：11CCCCPdxQdyPdxQdyPdxQdy上式等号右边的第一个积分可用Green公式计算。6.4若P、Q在C内部的仅有m个点上不满足条件③，则可采用添加封闭光滑曲线12,,,mCCC。应注意：1）12,,,mCCC完全包含于C内；2）12,,,mCCC定向为顺时针方向；3）每个iC内部有且只有一个点不满足条件③，1,2,,im；4）曲线积分iCPdxQdy容易计算，1,2,,im。则在曲线12mCCCC及其内部满足Green公式的条件。于是11mmCCCCCCPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdy七、Gauss公式()QPRxyzPdydzQdzdxRdxdyFndSdivFdVFdVdV大前提：曲面分片光滑。条件：①曲面取外法线方向；②曲面封闭；③P、Q、R在曲面及其内部具有一阶连续偏导数7.1满足Gauss公式的所有条件，则直接使用Gauss公式计算。7.2若仅有条件①不满足，则可在上使用Gauss公式。即()QPRxyzPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyFndSdivFdVFdVdV7.3若仅有条件②不满足，则可通过增加简单定向曲面1的方法，使得在1上满足Gauss公式的条件。添加的曲面1越简单越容易计算1PdydzQdzdxRdxdy越好。此时，有11PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy7.4若P、Q、R在上有一阶连续偏导数，但在内部只有m个点不满足条件③，即有奇点。此时，可以用小曲面挖掉奇点，再用Gauss公式。注意小曲面的选取，要以在其上曲面积分易于计算为佳。八、Stokes公式()()()CQQRPRPyzzxxyPdxQdyRdzrotFndSFndSdydzdzdxdxdy使用Stokes公式计算时，注意曲线C的定向和曲面的定向应该满足右手法则。九、统一化的积分定理Green公式及其三维空间的一般化形式①法向形式（通量—散度形式）：Green公式：CDFndsFd；Gauss公式：FndSFdV解释：Gauss公式将平面上一个二维区域的Green公式的法向（流量、通量）形式一般化到空间中一个三维区域的相应形式。在每一种情况下，F的散度F在区域内部的积分都等于场F穿过边界面的总流量（通量）。②切向形式（环量—旋度形式）：Green公式：CDFdrFkdStokes公式：CDFdrFnd解释：Stokes公式将平面中一块区域上的Green公式的切向（旋度）形式一般化成三维空间中一曲面的相应形式。每一种情况下，在曲面内部上F的旋度的法向分量都等于F绕边界的环流量。这里还可以进一步地讲，所有这些结果都可以考虑为一个单一的基本定理的不同形式。回顾微积分学基本定理。它讲：若()fx在[,]ab上可微，则()()bdfdxadxfbfa若我们令在整个[,]ab上()Ffxi，则dfdxF。若在定义[,]ab边界的单位外法向量场n为在点b是i，在点a是i，则()()()()()()()fbfafbiifaiiFbnFan=F穿出区间[,]ab边界的向外总流量基本定理就可以写为：[,]()()abFbnFanFdx于是，①微积分学基本定理、Green公式的流量（通量）形式和Gauss公式都是讲微分算子与场F在一区域上的点乘运算的积分等于在该区域的边界上场的法向分量的和。②Stokes公式和Green公式的环量形式是讲当适当定向后，在一个场上旋度运算结果在法向分量的积分等于在曲面边界上场的切向分量的和。以上这些解释可以引出下属这个了不起的原理：微分算子对场的作用后在一区域上的积分等于该区域边界上场的适当分量的和。十、曲线积分与路径无关设D为简单连通域，FPiQjRk，P、Q、R具有一阶连续偏导数。F为D上保守场在D上，Ff连续二阶偏导数或0f0CFdr在整个D上，0F简单连通+Stokes公式①判别规则：0F；②应用：1）:()()CABFdrfBfA2）dfPdxQdyRdz；3）求f的方法有：曲线积分法和原函数法。