泛函分析中的概念和命题

.泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach空间.定理：M是赋范线性空间X,||||的一个真闭线性子空间，则0,yX,||y||1,使得：||yx||1,xM定理：设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则1.fX*Nf{xX|fx0}是X的闭线性子空间2.非零线性泛函fx是不连续的Nf在X中稠密定理：X,Y是赋范空间，X{},则Y是Banach空间BX,Y是Banach空间X,Y,Z是赋范空间，ABX,Y,BY,Z,则ABBX,Z,且||AB||||A||||B||可分B空间：LP0,1,lp1p,c,c0,Ca,b可分L0，1,l不可分Hahn-Banach泛函延拓定理设X为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若：(1)pxypxpy,x,yX,则称p为次可加泛函(2)pxpx,0,xX，则称p为正齐性泛函(3)px||px,K,xX，则称p为对称泛函实Hahn-Banach泛函定理:设X是实线性空间，px是定义在X上的次可加正齐性泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的实线性泛函且满足f0xpxxX0，则必存在一个定义在X上的实线性泛函f，且满足：1．f0xpxxX2.fxf0xxX0..复Hahn-Banach泛函定理:设X是复线性空间，px是定义在X上的次可加对称泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的线性泛函且满足|f0x|pxxX0，则必存在一个定义在X上的线性泛函f，且满足：1．|f0x|pxxX2.fxf0xxX0定理:设X是线性空间，若X{}，则在X上必存在非零线性泛函。Hahn-Banach延拓定理:设X是赋范线性空间，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X上的有界线性泛函f，满足：1．||f||||f0||X02.fxf0xxX0定理：设X是赋范线性空间，M是X的线性子空间，x0X,x0,Md0,则必有fX*，满足：(1)fx0,xM；(2)fx0d；(3)||f||1定理：设X是赋范空间，x0X{},必fX*,使fx0||x0||,||f||1定理：设X是赋范空间，x0X,必有||x0||sup{|f(x0)|：fX*,||f||1}凸集分离定理极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形承托超平面：凸集E在点x0的承托超平面L是指E在L的一侧，且与L有公共点x0Minkowski泛函：设X是线性空间，M是X的含有点的凸子集，在X上作一个取值于[0,]的函数：pxinf{0|xM},xX与M对应，称函数p为M的Minkowski泛函定理：L是赋范空间X的(闭)超平面存在X上的非零(连续)线性泛函f及..rR,使LHrf,其中Hfr{xX|fxr}Hahn-Banach定理的几何形式:设X是赋范空间，E是X的具有内点的真凸子集，又设x0XE,则必存在一个超平面分离E与x0定理：设X是赋范空间，E和F是X的两个非空凸集，E具有内点，且E0F；则sR及fX*{},使得超平面s分离和HfEFAscoli定理：设X是赋范空间，E是X的真闭凸子集，则x0XE,fX*,R适合fxfx0，xEMazur定理：设X是赋范空间，E是X的一个有内点的凸子集，F是X的一个线性流形，又设E0F,则存在一个包含F的闭超平面L，使E在L的一侧定理：设X是赋范空间，E是X的一个含有内点的闭凸集，则通过E的每个边界点都可以作出E的一个承托超平面基本定理定理：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是满射，则0,使得TB,1O,开映射定理：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是满射，则T是开映射Banach逆算子定理：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是双射，则T1BX,Y等价范数定理：设X是线性空间，||?||1和||?||2是X上的两个范数，若X关于这两个范数都成为Banach空间，而且||?||2强于||?||1，则||?||1也强于||?||2，从而||?||1和||?||2等价闭算子：设X,Y是赋范空间，T是DTX到Y的映射，若T的图像{x,Tx|xDT}是赋范线性空间XY中的闭集，则称T是闭映射或闭算子闭算子判别定理：设X,Y是赋范空间，T是DTX到Y的映射，则T是闭映射{xn}DT,若xnx0X,Txny0Y,则x0DT，且y0Tx0闭图像定理：设X,Y是Banach空间，T是DTX到Y的线性映射，而且是闭算子，若DT是X的闭线性子空间，则T是连续的定理：设X,Y是Banach空间，T是X到Y的线性算子，则T连续T是闭算子共鸣定理：设X是Banach空间，Y是赋范空间，TBX,Y,.如果xX，都有..sup||Tx||,则{||T||：}有界自反空间与共轭算子除声明外下面的X,Y都是一般的赋范线性空间共轭空间：(P)*q,(lp)*lq,，*(0)*1,,*V0a,b，1p,,共轭LLcclCabpq伴随算子:TBX,Y，f*xfTx，T*ff*，T*BY*,X*，||T*||||T||1.TBX,记T**T**,若将X看成X**的子空间,则T**是T的延拓且||T**||||T||2.TBX,Y，则T有有界逆T*有有界逆，且此时(T1)*T*1映射AA*是由BX,Y到BY*,X*的保范线性算子4.若ABX,Y,BBY,Z,则AB*B*A*定理：若X*可分，则X可分。L1，l1不自反)；X是Banach空间，X*自反X自反(自反空间的闭线性子空间是自反空间自然嵌入映射：xx**是赋范空间X到X**的保范的有界线性算子，即：||x**||||x||Riesz示定理：设X是局部紧空间，fCcX时，||f||sup{|fx|：xX},则(1)若是CcX上的正线性泛函，则存在X上一个正则Borel测度u，使得对任fCcX都有ffdu(2)CcX*Borel测度u，使ffdu若，则存在X上一个广义正则(3)若CcX是X上具有紧支集的复连续函数空间，则对CcX上任一有界复线性泛函，存在复正则Borel测度u，使ffdu弱收敛和弱列紧基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧定理：设XY是Banach空间，Tn}BXY强收敛于某个TBXY当且仅当：,{,,1.{||Tn||}有界，即有M0，使||Tn||Mn1,2,3,2.存在X中的稠集D，使xD，{Tnx}收敛..定理：设X是Banach空间，{fn}X*,则{fn}*弱收敛于某个fX*当且仅当：1.{||fn||}有界；2.存在X中的稠集D，使xD，{fnx}收敛定理：设X是赋范空间，则{xn}X弱收敛于某个xX当且仅当：1.{||xn||}有界；2.存在X*中的稠集D，使fD，有{fxn}收敛于fx定理：设X是赋范空间，{xn}X弱收敛于某个xX,则存在由{xn}的凸组合构成的点列使其强收敛到x，且||x||lim||xn||n定理：可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的HilbertSpace基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX内积：一个(数域K上)线性空间X上的内积指的是共轭双线性泛函：XXK，它满足正定性和共轭对称性。内积空间：定义了内积的线性空间。定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。内积导出的范数满足平行四边形。内积(按内积导出的范数)是XX上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert空间定理：设X,,是内积空间，||||是由内积,导出的范数，则||||与,满足如下关系：当X是实线性空间时，x,y1||xy||2||xy||2,x,yX4当X是复线性空间时，x,y1||xy||2||xy||2i||xiy||2i||xiy||2,x,yX4极化恒等式：Ax,y1AxyAxyiAxiyiAxiy，AxAx,x4定理：为了在赋范线性空间X,||||中引入内积,，使得由,导出的范数就是||||，当且仅当||||满足平行四边形公式：||xy||2||xy||22||x||2||y||2定理：设X,,是内积空间，M是X的非空子集，x,y,ynn1,2,X，则1.xy||xy||2||x||2||y||22.xynn1,2,,ynyxy3.xMxspanM4.MM,MM5.M在X中稠M{}6.M是X的闭线性子空间，且MspanM..定理：设X是希尔伯特空间，M是X的非空闭凸子集，则xX,唯一的yoM，使得||xy0||x,Minf{||xy||：yM}正交分解定理：设M是希尔伯特空间X的一个闭线性子空间，xX，存在唯一的正交分解：xx0x1,(x0M,x1M),即：XMM定理：设X,,是希尔伯特空间，M是X的线性子空间，则：1.MM2.M在X中稠M{}定理：Hilbert空间H(H{})中必存在完备正交系定理：假定S{e|}是Hilbert空间H中的标准正交系，那么xH.有Parseval不等式：||x||2||c||2定理：S{e|}是Hilbert空间H中的完备标准正交系展开式和Parseval等式：xce,||x||2||c||2，xH.有Fourier，其中：cx,e称为x的Fourier系数。若S{},则称S完备定理：S{e|}是Hilbert空间H中的完备标准正交系，x,yH.有：x,yx,ey,e定理：标准正交系S{e|}完备Parseval等式xH成立定理：可分Hilbert空间H中的完备标准正交系一定是可数的。定理：无穷维可分Hilbert空间与Hilbert空间l2同构；实(复)有穷维可分Hilbert空间都与Hilbert空间RnCn同构Riesz表示定理：设X,,是希尔伯特空间，f是X上的连续线性泛函，则必有唯一的yX，使得：fxx,y,xX.而且||f||||y||有界双线性泛函：x,yAx,yx,A*y，A被唯一确定..Hermite双线性泛函：x,yy,xAA*命题：若C0,使双线性泛函x,xC||x||2,则x,y有界,且||||CHilbertSpace中的算子常见算子(除声明外下面所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX)0．正规算子：AA*A*A。酉算子：等距满射算子。自伴算子：Ax,yx,Ay，x,yX||A||2||A*||2||AA*||；A是酉算子AA*A*AIAx,Ayx,y,x,yX1．ABX,有唯一分解AA1iA2,其中A1,A2自伴，AA*AA*A1,A22i2BX,有分解AUP,(称为A的极分解),其中U为部分等距算子，P为正算子A正规||A2||||A||2；A是有界线性算子,则,R,eiAeiA*是正规算子A正规在A的极分解AUP中,U和P可交换，且U可取为酉算子A正规对xX,有||Ax||||A*x||在直角坐标分解AA1iA2中，A1，A2可换A正规酉算子U,使A*UA；A2A,且A正规A自伴2．当考虑复空间时，有结论：A自伴,即AA*对xX,Ax,x是实数设A,B是自伴投影算子，则AB自伴投影ABBA设{An：nN}是X上的自伴算子序列，若||AnA||0,则A是自伴算子设A是自伴算子，则它的特征值是实数(Axx)，且不同的特征值对应的特征向量正交设A是自伴算子，则Ker(A)Rang(A).设A是自伴算子，则||A||sup{|Ax,x|：xX,||x||1}3．设ABX为自伴算子，若对xX,都有Ax,x0,则A称为正算子，记作：A(当考虑复空间时,自伴算子的条件可去掉，极化恒等式)设自伴算子T1T2,S1S2,常数c0,则T1S1T2S2,cT1cT2设A是正算子，则An也是正算子，其中n是正整数；且有性质：|Ax,y|2Ax,xAy,y..设{An}为一致有界的单调自伴算子列，则存在唯一的自伴算子A，使{An}强收敛到A11设A是正算子，则存在唯一的正算子，使S2A，称S为A的正平方根，记为22是SA；A1A的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限，与A可换的算子必与A2可换.设A是正算子，若xX,Ax,x0,则Tx设自伴算子A1,A2与正算子A可换，且A1A2,则AA1AA24．P是投影算子P是自共轭算子，P2PxX,Px,x||Px||2P是正算子投影算子P1，P2的投影子空间分别是是L1，L2，则：P1P2是投影算子P1P2P2P1L1L2,此时P1P2的投影子空间是L1L2P1P2是投影算子P1,P2可换；此时P1P2的投影子空间是L1L2P1P2是投影算子L2L1P1P2P2P1P2P2P1；此时P1P2的投影子空间是L2在L1中的正交余空间定理:A是正规算子，则A对0,x,||Axx||||x||A是自伴算子,则A||A||,||A||,并且||A||sup{||：A}A是U算子,则A{：||1}定理：设A是Hilbert空间H上的对称紧算子，则必有x0H,||x0||1,使得：|Ax0,x0|sup{|Ax,x|：||x||1},且Ax0x0,其中|||Ax0,x0|定理：设A是Hilbert空间H上的对称紧算子，则有至多可数个非零的，只可能以0为聚点的实数{i}，它们是算子A的本征值，并对应一组正交基{ei}(不一定可数)，使得：xx,eiei,Axix,eiei线性算子的谱概念：正则值，点谱，连续谱，剩余谱，预解式，谱半径，T，TpTcTrT定理：设T,T1,T2BX,X是巴拿赫空间，则1.T开，T非空,TT*..2.RTRTRTRT；RT1RT2T1T2RT1RT23.RT连续可导，且dnT1nn1dnRRT4.||||T||T,且I1TnTn1n0115.rTlim||Tn||ninf||Tn||nmax{||:T}nn紧算子除声明外下面的X,Y都是一般的赋范线性空间BX,Y是紧算子：P将X中的有界集映成Y中的列紧集BX,Y是紧算子，则P是连续的，且P的值域可分PBX,Y是紧算子，则P将X中的弱收敛点列映成Y中的收敛点列PBX,Y是紧算子，则P*BY*,X*也是紧算子若PBX,Y,SBY,Z中有一个是是紧算子，则SP是紧算子BX,Y是紧算子，X,Y中至少有一个是无穷维的，则P没有有界逆算子PnBX,Y是紧算子，Y是巴拿赫空间，||PnP||0，则P是紧算子X是具有可数基的巴拿赫空间，则PBX是紧算子存在有限秩算子PnBX使||PnP||0Fredholm结论：ABX是紧算子，令TIA，则T是闭值域算子，且：1.NT{}RTX,即：单满2.TT*,dimNTdimNT*,codimRTdimNT3.RT*,RT*NTNT紧算子的谱：ABX是紧算子，则：1.dimX0A；2.A{0}pA{0}；3.pA至多以0为聚点；4.若dimX2,则A必有非平凡的闭不变子空间..Fredholm算子定义：设X,Y是Banach空间，TBX,Y称为一个Fredholm算子，是指1，RT是闭的2，dimNT3，codimRT定义：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是一个Fredholm算子，令indTdimNTcodimRT，并称其为T的指标定理：若TBX,Y是Fredholm算子，则必有SBY,X，以及紧算子A1BX和紧算子A2BY,使得STIXA1,TSIYA2，IX和IY分别表示X，Y上的恒同算子定理：TBX,Y，又有R1,R2BY,X，以及紧算子A1BX和紧算子A2BY，使得R1TIXA1,TR2IYA2,则T是Fredholm算子上面两个定理中X,Y是Banach空间定理：设X,Y,Z是Banach空间，T1BX,Y,T2BY,Z是Fredholm算子，则有：T2T1BX,Z是Fredholm算子，且：indT2T1indT1indT2定理：若TBX,Y是Fredholm算子，则必有0,使得当SBX,Y，且||S||时，有TSBX,Y是Fredholm算子，而且indTSindT参考书目：泛函分析讲义(上册)张恭庆，林源渠实变函数与泛函分析概要()郑维行，王声望实变函数与泛函分析(下册)薛昌兴巴拿赫空间引论定光桂.