附录A 平面图形的几何性质

nullnull附录A 平面图形的几何性质2010年 课件制作：河海大学 楼力律 内容主编 江苏科技大学 景荣春版null附录 A 平面图形的几何性质A.1 静矩与形心 A.2 惯性矩与惯性积 A.3 平行移轴公式 A.4 转轴公式nullA.1 静矩与形心nullA.1 静矩与形心A.1.1 静矩 设任意形状平面图形如图所示，其面积为A，建立图示Oyz直角坐标系。 任取微面积dA，其坐标为(y,z) ，则积分 分别称为平面图形对轴y与轴z的静矩或一次矩。 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩也就不同。因此静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲为长度的三次方。nullA.1 静矩与形心A.1.2 形心 设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板板面形状如图所示。均质薄板的重心: 均质板重心与其平面图形的形心重合。 若 yC = 0 或 zC = 0，则Sz = 0 或 Sy = 0；平面图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过平面图形的形心。通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。nullA.1 静矩与形心【例A-1】 求如图所示半圆形的静矩 Sy，Sz 及形心 C 位置。已知圆的半径为 R 。nullA.1 静矩与形心【例A-1】解（1）求静矩取平行于轴的狭长条为微面积dA，则（2）求形心坐标nullA.1 静矩与形心A.1.3 组合图形的静矩与形心 当一个平面图形是由几个简单图形（例如矩形、圆形、三角形等）组成时，称为组合图形。 根据静矩的定义可知，图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩。 Ai 和 yCi ，zCi 分别表示任一组成部分的面积及其形心的坐标。 组合图形形心坐标的计算公式为nullA.1 静矩与形心【例A-2】 试确定如图所示图形形心C的位置。nullA.1 静矩与形心【例A-2】解 选取图示参考坐标系 Oyz，并将图形划分为Ⅰ和Ⅱ两个矩形。 矩形 I 矩形 II 得组合图形形心 C 的纵坐标为nullA.2 惯性矩与惯性积nullA.2 惯性矩与惯性积A.2.1 惯性矩 设任意形状平面图形如图所示。其图形面积为A，任取微面积dA，坐标(y,z)为，则积分 分别称为平面图形对轴 y 与轴 z 的惯性矩或二次矩。惯性矩 Iy 和 Iz 恒为正，其量纲为长度的四次方。 iy 和 iz 分别称为平面图形对轴 y 和轴 z 的惯性半径。惯性半径的量纲为长度。nullA.2 惯性矩与惯性积A.2.1 惯性矩 若以 r 表示微面积 dA 到坐标原点的距离，则下述积分 定义为平面图形对坐标原点的极惯性矩或二次极矩。 平面图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。nullA.2 惯性矩与惯性积A.2.2 惯性积 定义积分 定义为平面图形对轴y,z的惯性积 Iyz可能为正，为负或为零。量纲是长度的四次方。 如果图形有一个（或一个以上）的对称轴，则图形对包含此对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。nullA.2 惯性矩与惯性积【例A-3】 求如图所示实心和空心圆对形心的极惯性矩和对形心轴的惯性矩。解：(1) 实心圆极惯性矩图形对称，惯性矩nullA.2 惯性矩与惯性积【例A-3】解：(1) 空心圆极惯性矩惯性矩nullA.2 惯性矩与惯性积【例A-4】求矩形图形对形心轴的惯性矩。解： 微面积取宽为dy ，高为h且平行于轴z的狭长矩形，即 矩形图形对轴 z 的惯性矩为 矩形图形对轴 y 的惯性矩为nullA.2 惯性矩与惯性积A.2.3 组合图形的惯性矩 当一个平面图形是若干个简单的图形组成时，根据惯性矩的定义，可先计算出每一个简单图形对同一轴的惯性矩，然后求其总和，即得整个图形对于这一轴的惯性矩。用公式表达为nullA.2 惯性矩与惯性积【例A-5】计算图示工字形图形对形心轴 y 的惯性矩本例可采用负面积法nullA.3 平行移轴公式nullA.3 平行移轴公式 如图所示，设 C 为平面图形的形心， yC 和 zC 是通过形心的坐标轴，图形对形心轴的惯性矩和惯性积已知 若轴 y 平行于轴 yC，且两者的距离为a；轴 z 平行于轴 zC，且两者的距离为 b 。图形对轴y 和轴 z 的惯性矩和惯性积分别为nullA.3 平行移轴公式nullA.3 平行移轴公式 将以上结果进行整理化简，得到： 上式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。应用时要注意 a 和 b 是图形的形心 C 在 Oyz 坐标系中的坐标，它们有正负。由上式可知，平面图形对所有平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。nullA.3 平行移轴公式【例A-6】计算例A-2中T形图形对水平形心轴 yC 的惯性矩解：将图形分解为矩形Ⅰ(绿色)和矩形Ⅱ(紫色)nullA.4 转轴公式nullA.4 转轴公式设有面积为A的任意平面图形， 若将坐标轴绕点 O 旋转角 a ，且以逆时针转角为正，旋转后得到新的坐标轴为y1 ，z1 ，而图形对轴 y1 ，z1 的惯性矩和惯性积应分别为A.4.1 转轴公式nullA.4 转轴公式 微面积 dA 在新旧两个坐标系中的坐标关系为惯性矩与惯性积的转轴公式A.4.1 转轴公式nullA.4 转轴公式将上述 Iy1与 Iz1相加得A.4.1 转轴公式 图形对于通过同一点的任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和恒为常数。nullA.4 转轴公式A.4.2 主轴与主惯性矩当一对坐标轴绕原点转动时，惯性积随坐标轴转动变化而改变 总可以找到一个特殊角度 a0 ，以及相应的坐标轴 y0，z0。使得图形对这一对坐标轴的惯性积 Iy0z0 为零，则称这一对坐标轴为图形的主惯性轴，简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。nullA.4 转轴公式A.4.2 主轴与主惯性矩求出a0的角度，代入经简化后得主惯性矩的计算公式为nullA.4 转轴公式A.4.2 主轴与主惯性矩由以上分析还可推出（1）若图形有2个以上（大于2）对称轴时，任一对称轴都是图形的形心主轴，且图形对任一形心轴的惯性矩都相等。 （2）若图形有两个对称轴时，这两个轴都是图形的形心主轴。 （3）若图形只有1个对称轴时，则该轴必是1个形心主轴，另1个形心主轴为通过图形形心且与对称轴垂直的轴。 （4）若图形没有对称轴时，可通过计算得到形心主轴及形心主惯性矩的值。下面通过例题说明。 nullA.4 转轴公式【例A-7】确定如图所示图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。nullA.4 转轴公式【例A-7】解（1）确定形心位置（2）求图形对与轴 y,z 平行的形心轴 yC 和 zC的惯性矩和惯性积 nullA.4 转轴公式【例A-7】解（1）确定形心位置（2）求图形对与轴 y,z 平行的形心轴 yC 和 zC的惯性矩和惯性积 nullA.4 转轴公式【例A-7】解（3）确定形心主轴位置（4）求形心主惯性矩=nullA.4 转轴公式A.4.2 主轴与主惯性矩求形心主惯性矩的一般： （1）将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位置； （2）以形心C 为为坐标原点，如有可能，使过形心的坐标轴yC, zC与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心主轴的惯性矩，利用平行移轴公式（必要时用转轴公式）确定各个简单图形对形心轴 yC, zC的惯性矩和惯性积，相加（空洞时相减）后便得到整个图形的IyC ，IzC ，IyCzC ； （3）确定形心主轴的位置，即形心主轴z0与轴zC 的夹角 a0； （4）计算形心主惯性矩Iy0，Iz0 。null本章作业null本章完