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第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及
示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有 1件是不合格品,从中任取 2件得 1件不合格品。
(2)一个口袋中有 2个白球、3 个黑球、4个红球,从中任取一球,(ⅰ)得白
球,(ⅱ)得红球。
解 (1)记 9 个合格品分别为
921, 正正正 ,,⋯ ,记不合格为次,则
,,,,,,,,, )()()(){( 1913121 次正正正正正正正 ⋯=Ω ,,,,,,,,, )()()()( 2924232 次正正正正正正正 ⋯
,,,,,,, )()()( 39343 次正正正正正 ⋯ )}()()( 9898 次正次正正正 ,,,,,,⋯
=A ){( 1 次正 , ,,, )( 2 次正 )}( 9 次正 ,,⋯
(2)记 2 个白球分别为 1ω , 2ω ,3 个黑球分别为 1b , 2b , 3b ,4个红球分别
为 1r , 2r , 3r , 4r 。则 =Ω { 1ω , 2ω , 1b , 2b , 3b , 1r , 2r , 3r , 4r }
(ⅰ) =A { 1ω , 2ω } (ⅱ) =B { 1r , 2r , 3r , 4r }
1.2 在数学系的学生中任选一名学生,令事件 A 表示被选学生是男生,事件
B 表示被选学生是三年级学生,事件C表示该生是运动员。
(1) 叙述
CAB
的意义。
(2)在什么条件下
CABC = 成立?
(3)什么时候关系式
BC ⊂ 是正确的?
(4) 什么时候 BA = 成立?
解 (1)事件
CAB
表示该是三年级男生,但不是运动员。
(2)
CABC = 等价于 ABC ⊂ ,表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n个零件,以事件
i
A 表示他生产的第 i个零件是合格品
( ni ≤≤1 )。用
i
A
表示下列事件:
(1)没有一个零件是不合格品;
(2)至少有一个零件是不合格品;
(3)仅仅只有一个零件是不合格品;
(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) ∩
n
i
i
A
1=
; (2) ∪∩
n
i
i
n
i
i
AA
11 ==
= ; (3) ∪ ∩
n
i
n
ij
j
ji
AA
1 1
)]([
=
≠
=
;
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
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k
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(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”,可表示为∪
n
ji
ji
ji
AA
≠
=1,
;
1.4 证明下列各式:
(1)
ABBA ∪=∪ ;
(2) ABBA ∩=∩
(3) =∪∪ CBA )( )( CBA ∪∪ ;
(4) =∩∩ CBA )( )( CBA ∩∩
(5) =∩∪ CBA )( ∪∩ )( CA )( CB∩
(6) ∪∩
n
i
i
n
i
i
AA
11 ==
=
证明 (1)—(4)显然,(5)和(6)的证法分别类似于课文第10—12页
(1.5)式和(1.6)式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张,把卡
片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为 7828 ×=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、
13中的两个,或为2、4、6、8、12中的一个和 7、11、13中的一个组合,所以
事件 A“所得分数为既约分数”包含 6322 15
1
3
2
3 ××=×+ AAA 个样本点。于是
14
9
78
632
)( =
×
××
=AP 。
1.6 有五条线段,长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条,
求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解 样本点总数为 10
3
5
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
。所取三条线段能构成一个三角形,这三条线段必
须是 3、5、7或 3、7、9或多或 5、7、9。所以事件 A“所取三条线段能构成一
个三角形”包含 3个样本点,于是
10
3
)( =AP 。
1.7 一个小孩用 13个字母 TTNMMIIHECAAA ,,,,,,,,,,,, 作组字游戏。如
果字母的各种排列是随机的(等可能的),问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词
的概率为多大?
解 显然样本点总数为 !13 ,事件 A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含
!2!2!2!3 个样本点。所以
!13
48
!13
!2!2!2!3
)( ==AP
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求它们
正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置,黑“车”可处于 891109 =−× 个不同位置,当
?
?
?
?
?
w
w
w
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它处于和红“车”同行或同列的 1789 =+ 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所
求概率为
89
17
)( =AP
1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯,在底层登上7位乘客。电梯在每一
层都停,乘客从第二层起离开电梯,假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,
求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的 9层中任意一层离开电梯,现有 7 位乘客,所
以样本点总数为 79 。事件 A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于
“从 9 层中任取 7层,各有一位乘客离开电梯”。所以包含 79A 个样本点,于是
7
7
9
9
)(
A
AP = 。
1.10 某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从 00001到 10000。问事件“偶
然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大?
解 用 A表示“牌照号码中有数字8”,显然
44
10
9
10000
9
)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==AP ,所以
1)( =AP -
44
10
9
1
10000
9
1)( ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=AP
1.11 任取一个正数,求下列事件的概率:
(1)该数的平方的末位数字是 1;
(2)该数的四次方的末位数字是1;
(3)该数的立方的最后两位数字都是 1;
解 (1) 答案为
5
1
。
(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时,其四次方的末位数是 1,所以答
案为
5
2
10
4
=
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,所以样
本空间包含 210 个样本点。用事件 A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”,
则该数的最后一位数字必须是 1,设最后第二位数字为
a
,则该数的立方的最后
两位数字为 1 和 3 a的个位数,要使 3 a的个位数是 1,必须 7=a ,因此 A所包
含的样本点只有 71这一点,于是
。
1.12 一个人把6 根草掌握在手中,仅露出它们的头和尾。然后请另一个人
把 6个头两两相接,6个尾也两两相接。求放开手以后 6根草恰好连成一个环的
概率。并把上述结果推广到
n2 根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头,它可以与其它的 5 个头之一相接,再取
另一头,它又可以与其它未接过的3 个之一相接,最后将剩下的两个头相接,故
?
?
?
?
?
w
w
w
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对头而言有 135 ⋅⋅ 种接法,同样对尾也有 135 ⋅⋅ 种接法,所以样本点总数为
2)135( ⋅⋅ 。用 A表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接,对头而言仍有 135 ⋅⋅ 种
连接法,而对尾而言,任取一尾,它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。
再取另一尾,它只能和未与它的头连接的另 2根草的尾连接,最后再将其余的尾
连接成环,故尾的连接法为 24 ⋅ 。所以 A包含的样本点数为 )24)(135( ⋅⋅⋅ ,于是
15
8
)135(
)24)(135(
)(
2
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=AP
(2)
n2 根草的情形和(1)类似得
1.13 把
n
个完全相同的球随机地放入
N
个盒子中(即球放入盒子后,只能
区别盒子中球的个数,不能区别是哪个球进入某个盒子,这时也称球是不可辨
的)。如果每一种放法都是等可能的,证明(1)某一个指定的盒子中恰好有
k
个球
的概率为
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−+
n
nN
kn
knN
1
2
, nk ≤≤0
(2)恰好有
m
个盒的概率为
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
n
nN
mN
n
m
N
1
1
1
, 1−≤≤− NmnN
(3)指定的
m
个盒中正好有 j 个球的概率为
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
n
nN
jn
jnmN
m
jm
1
1
1
1
,
.0,1 NjNm ≤≤≤≤
解 略。
1.14 某公共汽车站每隔 5分钟有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是
任意的,求一个乘客候车时间不超过 3分钟的概率。
解 所求概率为
5
3
)( =AP
1.15 在 ABC∆ 中任取一点P,证明 ABCABP ∆∆ 与 的面积之比大于
n
n 1−
的概
率为
2
1
n
。
解 截取 CD
n
DC
1
=′ ,当且仅当点P落入
BAC
′′∆ 之内时 ABCABP ∆∆ 与 的面
积 之 比 大 于
n
n 1−
, 因 此 所 求 概 率 为
2
2
)(
CD
DC
ABC
CBA
AP
′
=
∆
′′∆
=
的面积
有面积
2
2
2
1
CD
DC
n
′
=
2
1
n
= 。
?
?
?
?
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w
w
w
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1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为 1小时与两小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待
一段时间的概率。
解 分别用 yx, 表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等
待 当 且 仅 当 10,20 ≤−≤≤−≤ xyyx 。 因 此 所 求 概 率 为
121.0
24
22
2
1
23
2
1
24
)(
2
222
≈
×−×−
=AP
1.17 在线段 AB上任取三点 321 ,, xxx ,求:
(1) 2x 位于 31 xx 与 之间的概率。
(2) 321 ,, AxAxAx 能构成一个三角形的概率。
解 (1)
3
1
)( =AP (2)
2
1
1
2
1
3
1
31
)( =
××−
=BP
1.18 在平面上画有间隔为
d
的等距平行线,向平面任意地投掷一个三角形,
该三角形的边长为 cba ,, (均小于d ),求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用 321 ,, AAA 表示三角形的一个顶点与平行线相合,一条边与平行线
相合,两条边与平行线相交,显然 .0)()( 21 == APAP 所求概率为 )( 3AP 。分别用
bcacabcba
AAAAAA ,,,,, 表 示 边 cba ,, , 二 边 bcacab ,, 与 平 行 线 相 交 , 则
=)( 3AP ).( bcacab AAAP ∪∪ 显然 )( aAP )()( acab APAP + , =)( bAP )()( bcab APAP + ,
=)(
c
AP )()(
bcac
APAP + 。所以
2
1
)( 3 =AP [ +)( aAP +)( bAP )( cAP ] )(2
2
cba
d
++=
π
)(
1
cba
d
++=
π
(用例 1.12的结果)
1.19 己知不可能事件的概率为零,现在问概率为零的事件是否一定为不可
能事件?试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1的线段内随机投
点。则事件 A“该点命中 AB的中点”的概率等于零,但 A不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有
a
个白球与
b
个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先取,
乙后取,每次取后都有不放回,直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一
随机现象的概率空间,并求甲或乙先取到白球的概率。
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?
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解 1ω 表示白, 2ω 表示黑白, 3ω 表示黑黑白,… 白黑黑表示
个���
⋯
b
b 1+ω ,
则样本空间 =Ω { 1ω , 2ω ,…, 1+bω },并且
ba
a
P
+
=})({ 1ω ,
1
})({ 2 −+
⋅
+
=
ba
a
ba
b
P ω ,
21
1
})({ 3 −+
⋅
−+
−
⋅
+
=
ba
a
ba
b
ba
b
P ω ,…,
)1()2(
)2(
1
1
})({
−−+
⋅
−−+
−−
⋅⋅
−+
−
⋅
+
=
iba
a
iba
ib
ba
b
ba
b
P
i
⋯ω
ababa
ab
P
b ⋯)1)((
!
})({ 1 −++
=+ω
甲取胜的概率为 })({ 1ωP + })({ 3ωP + })({ 5ωP +…
乙取胜的概率为 })({ 2ωP + })({ 4ωP + })({ 6ωP +…
1.21 设事件 BA, 及 BA∪ 的概率分别为 p、 q及 r ,求 )(ABP , )( BAP ,
)( BAP , )( BAP
解 由 )()()()( ABPBPAPBAP −+=∪ 得
rqpBAPBPAPABP −+=∪−+= )()()()(
qrABPAPABAPBAP −=−=−= )()()()( , prBAP −=)(
rBAPBAPBAP −=∪−=∪= 1)(1)()(
1.22 设 1A 、 2A 为两个随机事件,证明:
(1) )()()(1)( 212121 AAPAPAPAAP +−−= ;
(2) )()()()()()(1 21212121 APAPAAPAAPAPAP +≤∪≤≤−− .
证 明 (1)
−=∪= 1)()( 2121 AAPAAP )( 21 AAP ∪ = )()()(1 2121 AAPAPAP +−−
(2) 由(1)和 0)( 21 ≥AAP 得第一个不等式,由概率的单调性和半可加性分别
得第二、三个不等式。
1.23 对于任意的随机事件A、B、
C
,证明: )()()()( APBCPACPABP ≤−+
证明 )()()()]([)( ABCPACPABPCBAPAP −+=∪≥
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)()()( BCPACPABP −+≥
1.24 在某城市中共发行三种报纸:甲、乙、丙。在这个城市的居民中,订
甲报的有 45%,订乙报的有 35%,订丙报的有 30%,同时订甲、乙两报的有 10%,
同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,
求下述百分比:
(1)只订甲报的;
(2)只订甲、乙两报的;
(3)只订一种报纸的;
(4)正好订两种报纸的;
(5)至少订一种报纸的;
(6)不订任何报纸的。
解 事件 A表示订甲报,事件B表示订乙报,事件C表示订丙报。
(1) ))(()( ACABAPCBAP ∪−= = )()( ACABPAP ∪− =30%
(2) %7)()( =−= ABCABPCABP
(3) %23)]()()([)()( =−+−= ABCPBCPABPBPCABP
%20)]()()([)()( =−+−= ABCPBCPACPCPBACP
∪CBAP( +
CAB
+ )BAC = )( CBAP + )( CABP + )( BACP =73%
(4) =++ )( ABCBACCABP %14)()()( =++ ABCPBACPCABP
(5) %90)( =++ CBAP
(6) %10%901)(1)( =−=++−= CBAPCBAP
1.26 某班有
n
个学生参加口试,考签共 N张,每人抽到的考签用后即放回,
在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?
解 用
i
A
表示“第
i
张考签没有被抽到”,
Ni ,,2,1 ⋯= 。要求 )(
1
∪
N
i
i
AP
=
。
n
i
N
N
AP ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
1
)( ,
n
ji
N
N
AAP ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
2
)( ,……, 0)( 1 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
n
N
N
NN
AAP ⋯
n
N
i
i
N
N
N
AP ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=∑
=
1
1
)(
1
n
N
N
N
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= −
1
1
)1( 11
n
Ni
ji
N
N
N
AAP ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=− ∑
≤≤
2
2
)(
1
n
N
N
N
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= −
2
2
)1( 12 ,……
所以
n
N
i
i
N
i
i
N
iN
AP ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=∑
=
−
= 1
1
1
)1()(∪
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
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1.27 从 n阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的
概率是多少?
解
n
阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为
n
niii
aaa ⋯
21 21
,当
且仅当 n,,2,1 ⋯ 的排列 )( 21 niii ⋯ 中存在 k使 kik = 时这一项包含主对角线元素。
用
k
A
表示事件“排列中
ki
k
= ”即第 k个主对角线元素出现于展开式的某项中。
则
ni
n
n
AP
i
≤≤
−
= 1
!
)!1(
)( )1(
!
)!2(
)( nji
n
n
AAP
ji
≤<≤
−
= ,……
所以
!
1
)1(
!
)!(
)1()(
1
1
1
1
1 in
in
i
n
AP
n
i
i
n
i
i
N
i
i ∑∑
=
−
=
−
=
−=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=∪
1.29 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩
的概率(假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的)。
解 用
gb, 分别表示男孩和女孩。则样本空间为:
)},,)(,,}(,,),,(),,,)(,,(),,,(),,,{( gggbgggbgggbbbgbgbgbbbbb=Ω
其中样本点依年龄大小的性别排列。 A表示“有女孩”, B表示“有男孩”,则
7
6
8/7
8/6
)(
)(
)|( ===
AP
ABP
ABP
1.30 设M 件产品中有m件是不合格品,从中任取两件,
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概
率。
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概
率。
解(1)设 A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”, B表示“所取产
品都是不合格品”,则
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
112
)(
M
mMmm
AP
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
2
)(
M
m
BP
===
)(
)(
)(
)(
)|(
AP
BP
AP
ABP
ABP
12
1
−−
−
mM
m
(2)设
C
表示“所取产品中至少有一件合格品”,
D
表示“所取产品中有一
件合格品,一件不合格品”。则
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
211
)(
M
mMmMm
CP
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
11
)(
M
mMm
DP
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
a
c
k
s
h
p
.c
n
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- 10 -
===
)(
)(
)(
)(
)|(
CP
DP
CP
CDP
CDP
1
2
−+mM
m
1.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求:
(1)已知前 1−k )( nk ≤ 个人都没摸到,求第 k个人摸到的概率;
(2)第 k )( nk ≤ 个人摸到的概率。
解 设
i
A
表示“第
i
个人摸到”,
ni ,,2,1 ⋯= 。
(1)
1
1
)1(
1
)|( 11 +−
=
−−
=−
knkn
AAAP
k
k
⋯
(2) =)(
k
AP =− )( 11 kk AAAP ⋯
nknn
n
n
n 1
1
1
1
21
=
+−
⋅⋅
−
−
⋅
− ⋯
1.32 已知一个母鸡生 k个蛋的概率为 )0(
!
>− λ
λ
λ
e
k
k
,而每一个蛋能孵化成小
鸡的概率为 p,证明:一个母鸡恰有 r个下一代(即小鸡)的概率为 p
r
e
r
p
λ
λ −
!
)(
。
解 用
k
A
表示“母鸡生 k个蛋”, B表示“母鸡恰有 r个下一代”,则
)|()()(
k
rk
k
ABPAPBP ∑
∞
=
= rkr
rk
k
pp
r
k
k
e −
∞
=
−
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅=∑ )1(!
λ
λ
∑
∞
=
−
−
−
−
=
rk
rkr
rk
p
e
r
p
)!(
)]1([
!
)( λλ
λ )1(
!
)(
p
r
ee
r
p −− ⋅= λλ
λ
p
r
e
r
p
λ
λ −=
!
)(
1.33 某射击小组共有20名射手,其中一级射手 4 人,二级射手 8人,三
级射手 7 人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率
分别是 0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进
入决赛的概率。
解 用
k
A
表示“任选一名射手为 k级”, 4,3,2,1=k ,B表示“任选一名射手
能进入决赛”,则
)|()()(
4
1
k
k
k
ABPAPBP ∑
=
= 645.02.0
20
1
5.0
20
7
7.0
20
8
9.0
20
4
=×+×+×+×=
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,
35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有 5%,4%,2%。现在从产品中任
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
a
c
k
s
h
p
.c
n
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- 11 -
取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少?
解 用 1A 表示“任取一只产品是甲台机器生产”
2A 表示“任取一只产品是乙台机器生产”
3A 表示“任取一只产品是丙台机器生产”
B
表示“任取一只产品恰是不合格品”。
则由贝叶斯公式:
69
25
)|()(
)|()(
)|(
3
1
11
1 ==
∑
=k
kk
ABPAP
ABPAP
BAP
69
28
)|()(
)|()(
)|(
3
1
22
2 ==
∑
=k
kk
ABPAP
ABPAP
BAP
69
16
)|()(
)|()(
)|(
3
1
33
3 ==
∑
=k
kk
ABPAP
ABPAP
BAP
1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1,它们在一
定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时,问这台机
床是车床的概率是多少?
解 则
15
9
)( 1 =AP , 15
3
)( 2 =AP , 15
2
)( 3 =AP , 15
1
)( 4 =AP
7
1
)|( 1 =ABP , 7
2
)|( 2 =ABP , 7
3
)|( 3 =ABP , 7
1
)|( 4 =ABP
由贝时叶斯公式得
22
9
)|()(
)|()(
)|(
4
1
11
1 ==
∑
=k
kk
ABPAP
ABPAP
BAP
1.36 有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、
0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是
4
1
、
3
1
、
12
1
,而乘飞机不会迟到。结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少?
解 用 1A 表示“朋友乘火车来”, 2A 表示“朋友乘轮船来”, 3A 表示“朋友乘
汽车来”, 4A 表示“朋友乘飞机来”,B表示“朋友迟到了”。
则
2
1
)|()(
)|()(
)|(
4
1
11
1 ==
∑
=k
kk
ABPAP
ABPAP
BAP
1.37 证明:若三个事件
A
、
B
、
C
独立,则
BA∪ 、 AB及 BA− 都与C独
立。
证明 (1) )()()())(( ABCPBCPACPCBAP −+=∪
= )()( CPBAP ∪
(2) )()()()()() CPABPCPBPAPPABC ==
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
a
c
k
s
h
p
.c
n
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- 12 -
(3) )())(())(( ABCACPCABAPCBAP −=−=− = )()( CPBAP −
1.38 试举例说明由 )()()()( CPBPAPABCP = 不能推出 )()()( BPAPABP = 一
定成立。
解 设 },,,,{ 54321 ωωωωω=Ω , 64
1
})({ 1 =ωP , 64
18
})({ 5 =ωP ,
=})({ 2ωP =})({ 3ωP 64
15
})({ 4 =ωP , },{ 21 ωω=A , },{ 31 ωω=A , },{ 41 ωω=A
则
4
1
64
15
64
1
)()()( =+=== CPBPAP ,
)()()(
64
1
})({)( 1 CPBPAPPABCP === ω
但是 )()(
64
1
})({)( 1 BPAPPABP ≠== ω
1.39 设
n
AAA ,,, 21 ⋯ 为 n个相互独立的事件,且 )1()( nkpAP kk ≤≤= ,求下
列事件的概率:
(1) n个事件全不发生;
(2)
n
个事件中至少发生一件;
(3)
n
个事件中恰好发生一件。
解 (1) ∏∏
===
−==
n
k
k
k
k
n
k
k
pAPAP
n
111
)1()()(∩
(2) ∏
===
−−=−=
n
k
k
n
k
k
n
k
k
pAPAP
111
)1(1)(1)( ∩∪
(3) ])1([)()]([
11 111 1
∐∩∪ ∩
n
kj
j
j
n
kj
j
n
k
k
j
n
k
k
n
k
n
kj
j
j
k
ppAAAAP
≠
=
≠
= ===
≠
=
−== ∑∑ .
1.40 已知事件 BA, 相互独立且互不相容,求 ))(),(min( BPAP (注: ),min( yx
表示 yx, 中小的一个数)。
解 一方面 0)(),( ≥BPAP ,另一方面 0)()()( == ABPBPAP ,即 )(),( BPAP 中
至少有一个等于 0,所以 .0))(),(min( =BPAP
1.41 一个人的血型为 ABBAO ,,, 型的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03,
现在任意挑选五个人,求下列事件的概率
(1)两个人为
O
型,其它三个人分别为其它三种血型;
(2)三个人为O型,两个人为 A型;
(3)没有一人为
AB
。
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
a
c
k
s
h
p
.c
n
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- 13 -
解 (1)从 5个人任选 2 人为O型,共有 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
5
种可能,在其余 3人中任选一人
为 A型,共有三种可能,在余下的 2人中任选一人为 B型,共有2 种可能,另一
人为
AB
型,顺此所求概率为: 0168.013.011.040.046.023
2
5 2 ≈××××××⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(2) 1557.040.046.0
3
5 22 ≈××⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(3) 8587.0)03.01( 5 ≈−
1.42 设有两门高射炮,每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮
弹而击中飞机的概率是多少?又若有一架敌机入侵领空,欲以 99%以上的概率击
中它,问至少需要多少门高射炮。
解 用
k
A
表示“第 k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”, ⋯,2,1=k ,B表
示“击中飞机”。则 6.0)( =
k
AP
, ⋯,2,1=k 。
(1) 84.04.01)(1)( 22121 =−=−=∪ AAPAAP
(2) 99.04.01)(1)(
1
1 >−=−=∪
=
n
n
k
k
n
APAAP ∩⋯ , 026.5
4.0lg
01.0lg
≈>n
取 6=n 。至少需要6 门高射炮,同时发射一发炮弹,可保证 99%的概率击中
飞机。
1.43 做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为 p,求在成功 n次之前
已失败了
m
次的概率。
解 用 A表示“在成功
n
次之前已失败了
m
次”, B表示“在前 1−+mn 次试
验中失败了m次”, C表示“第 mn + 次试验成功”
则
ppp
m
mn
CPBPBCPAP
mn ⋅−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
=== − )1(
1
)()()()( 1
mn
pp
m
mn
)1(
1
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
=
1.45 某数学家有两盒火柴,每盒都有
n
根火柴,每次用火柴时他在两盒中任
取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 r根火柴(
nr ≤≤1 )的
概率。
解 用
i
A
表示“甲盒中尚余 i根火柴”, 用
j
B 表示“乙盒中尚余 j根火柴”,
DC, 分别表示“第 rn −2 次在甲盒取”,“第 rn −2 次在乙盒取”,
CBA
r0 表示取
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
a
c
k
s
h
p
.c
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- 14 -
了 rn −2 次火柴,且第 rn −2 次是从甲盒中取的,即在前 12 −− rn 在甲盒中取了
1−n ,其余在乙盒中取。所以
2
1
2
1
2
1
1
12
)(
1
0 ⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
=
−− rnn
r
n
rn
CBAP
由对称性知 )()( 00 DBAPCBAP rr = ,所求概率为:
=∪ )( 00 DBACBAP rr
12
0 2
1
1
12
)(2
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
=
rn
r
n
rn
CBAP
第五章习
1. 设 是来自服从参数为 的泊松分布 的样本,试写出
样本的联合分布律。
2. 设 是来自 上的均匀分布的样本, 未知
(1)写出样本的联合密度
数;
(2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么?
(3)设样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标
准差。
3. 查表求 , , , 。
4. 设 ,求常数 ,使 。
5. 设 是来自正态总体 的样本,试证:
(1) ;
(2) 。
6. 设 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个
都服从 。
(1)试给出常数 ,使得 服从 分布,并指出它的自由度;
(2)试给出常数 ,使得 服从t 分布,并指出它的自由度。
7. 设 是取自总体 的一个样本,在下列三种情况下,分别求
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
a
c
k
s
h
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- 15 -
:(1) ;(2) ;(3) ,其中 。
8. 某市有 100000个年满 18岁的居民,他们中 10%年收入超过 1万,20%受
过高等教育。今从中抽取 1600人的随机样本,求:
(1)样本中不少于 11%的人年收入超过 1万的概率;
(2)样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率。
9. 设总体 ,(1)抽取容量为 36的样本,求 ;
(2)抽取容量为 64的样本,求 ;
(3)取样本容量 n 多大时,才能使 。
10. 设总体 , 皆未知,已知样本容量 ,样本均值
,修正样本方差 ,求 。
11.设是 来自正态总体 ,容量为 的样
本,求下列统计量的抽样分布:
(1) ;
(2) ;
(3) 。
12. 若 ,则 服从什么分布?
13.设 是来自泊松分布 的一个样本, 与 分别为样本
均值与样本方差,试求 。
14. 某区有 25000户家庭,10%的家庭没有汽车,今有 1600户家庭的随
机样本,试求:9%~11%之间的样本家庭没有汽车的概率。
习题解答
1.1.1.1. 解
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
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c
k
s
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- 16 -
2. 解
(1)
0
其他
(2) 和 是, 和 不是。因为 和 中不含总体中的唯一未知参数 ,而
和 中含有未知参数 。
(3)样本均值
样本方差
样本
差 。
3. 解 , , ,
。
4. 解 由 t分布关于纵轴对称,所以 即为 。
由附表 5.6可查得 ,所以 。
5.证明:
(1) 独立同分布于 ,由 分布的定义, ,即
。
(2)易见, ,即 ,由 分布的定义, ,
即 。
6. 解
?
?
?
?
?
w
w
w
.h
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k
s
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(1)易见, 即为二个独立的服从 的随机变量平方和,服从 分
布,即 ;自由度为 2。
(2)由于 ,则 。
又 , 与 相互独立,则
即
即 ,自由度为3。
7.解
(1)
(2)
?
?
?
?
?
w
w
w
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a
c
k
s
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p
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(3) ,其中
8. 解
(1)引入新变量:
1,第 个样本居民年收入超过 1 万
0,第 个样本居民年收入没超过 1万
其中
易见:
又因 ,故可以近似看成有放回抽样, 相互独立。
样本中年收入超过 1万的比例即为 ,由于 较大,可以使用渐近分布求
解,即 ,所求概率即为
(2)同(1)解法
引入新变量:
1,第 个样本居民受过高等教育
0,第 个样本居民未受过高等教育
其中
答:(1)样本中不少于 11%的人年收入超过 1万的概率为 0.0918;
(2)样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。
?
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?
?
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w
w
w
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c
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9. 0.9916,0.8904,96。
10. 0.5。
11. (1) ;(2) ;(3) 。
12. 。
13. , , 。
14. 0.8164。
第六章习题
1. 设 是取自总体X 的一个样本,在下列情形下,试求总体参数
的矩估计与最大似然估计:
(1) ,其中 未知, ;
(2) ,其中 未知, 。
2. 设 是取自总体 X的一个样本,其中 X服从参数为 的泊松分
布,其中 未知, ,求 的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值
X 0 1 2 3 4
频数 17 20 10 2 1
求 的矩估计值与最大似然估计值。
3. 设 是取自总体 X的一个样本,其中 X 服从区间 的均匀
分布,其中 未知,求 的矩估计。
4. 设 是取自总体 X的一个样本,X 的密度函数为
其中 未知,求 的矩估计。
5. 设 是取自总体X 的一个样本,X的密度函数为
其中 未知,求 的矩估计和最大似然估计。
6. 设 是取自总体X 的一个样本,总体 X服从参数为 的几何分
布,即 ,其中 未知, ,求 的最大似然
估计。
7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布 ,其中 未知,现
在观测到六个时间间隔数据(单位:s):1.8,3.2,4,8,4.5,2.5,试求该路口车
辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。
?
?
?
?
?
w
w
w
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- 20 -
8. 设总体 X 的密度函数为 ,其中 未知,
设 是取自这个总体的一个样本,试求 的最大似然估计。
9. 在第 3题中 的矩估计是否是 的无偏估计?
解
故 的矩估计量 是 的无偏估计。
10. 试证第 8题中 的最大似然估计是 的无偏估计。
11. 设 为总体 的样本,证明
都是总体均值 的无偏估计,并进一步判断哪一个估计有效。
12. 设 是取自总体 的一个样本,其中 未知,
令 ,试证 是 的相合估计。
13. 某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径 X 服从正态分布
,从某天生产的产品中随机抽取 6 个,量得直径如下(单位:mm):
14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1,求 的 0.9双侧置信区间和 0.99双侧置信区
间。
14. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布 , 未知。为
了合理的确定对该商品的进货量,需对 和 作估计,为此随机抽取七个月,其
销售量分别为:64,57,49,81,76,70,59,试求 的双侧0.95置信区间和
方差 的双侧 0.9 置信区间。
15. 随机地取某种子弹 9发作试验,测得子弹速度的 ,设子弹速度服
从正态分布 ,求这种子弹速度的标准差 和方差 的双侧 0.95置信区
间。
16. 已知某炼铁厂的铁水含碳量(1%)正常情况下服从正态分布 ,
且 标 准 差 。 现 测 量 五 炉 铁 水 , 其 含 碳 量 分 别 是 :
4.28,4.4,4.42,4.35,4.37(1%),试求未知参数 的单侧置信水平为 0.95的置
信下限和置信上限。
17. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布 ,现抽查了 25天,得
元, 元,求职工每天医疗费均值 的双侧 0.95置信区间。
18. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态
分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取 10只管头测
得其平均质量 ,已知其总体标准差 ;从乙生产线抽取 20只罐头
测得其平均质量 ,已知其总体标准差 ,求甲乙两条猪肉罐头生产
线生产罐头质量的均值差 的双侧 0.99置信区间。
?
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?
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- 21 -
19. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命 X和 Y,随机的抽取甲、乙两种
显像管各 10 只,得数据 和 (单位: ),且由此算得
, ,假定两种显像管的使用寿命
均服从正态分布,且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差
的双侧 0.95置信区间。
20. 在 3091个男生,3581个女生组成的总体中,随机不放回地抽取 100人,
观察其中男生的成数,要求计算样本中男生成数的SE。
21. 抽取 1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的
百分数,样本中有 543 人拥有私人汽车,(1)求样本中拥有私人汽车的人的百分
数的 SE;(2)求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。
习题解答
1. 解 (1) ,故 的矩估计量有 。
另,X的分布律为 ,
故似然函数为
对数似然函数为:
令
解得 的最大似然估计量 。
可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
(2) ,令 ,故 的矩估计量 。
另,X的密度函数为
故似然函数为
对数似然函数为
?
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- 22 -
解得 的最大似然估计量 。
可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
2. 解 ,故 的矩估计量 。
由样本观测值可算得
另,X 的分布律为
故似然函数为
对数似然函数为
解得 的最大似然估计量 ,
故 的最大似然估计值 。
3. 解 ,令 ,故 的矩估计量 。
4. 解 ,令 ,故 的矩估计量为 。
5. 解 ,令 ,故 的矩估计量为
,另,似然函数
对数似然函数为
?
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w
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w
.h
a
c
k