大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换

大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换 大地坐标系应变张量表达及其与 地心直角坐标系的相互转换 陈光季颖锋刘序俨李祖宁黄声明钟继茂 ， ， ， ， ， 福 建 省 地 震 局 福 建 福 州 ,， 350003, 摘 要 推导并给出了不同正交曲线坐标系 应变张量和转动张量的普适表达和在旋转椭球坐标 , 系下的应变张量表达 给出了不同正交曲 线坐标系之间应变张量转换的普适表达式 以 及 在 ， ， 大地坐标系与地心直角坐标系这两种坐标 系之间应变张量矩阵相互转换的具体表达 可 供 实 ， 际研究工作应用 。 关 键 词 应 变 张 量 大 地 坐 标 系 正交曲线坐标系 地心直角坐标系 坐 标 转 , , , , , 换 中 图 分 类 号 文 献 标 识 码 文 章 编 号 ,P315.11 , A , 1000 -3274 ,2010, 02-0067- 12 引言 在大地测量和地球物理学中 除 了 确 定地表某点的空间位置需要坐标系外 在 计 算 由 ， ， 于 质 点 位 移 所引起的地表应变与转动张量时也需要选择坐标系 在 采 用 观 测 技 术 监 测。 GPS 地 壳 运 动 时 技 术 提 供 了两种参考框架 一 种 是 它通过全球跟踪站的坐标和速 ，GPS ， ITRF， 度 场 的 演 算 反 映 动 态 坐标系统下的参考框架 定义了相对静态的坐标 另 一 种 是 ， ,WGS84， 参 考 框 架 这两种参考框架均采用了 大 地 坐 标 系 和地心直角坐标系 。 ,B、 L、 H, ,X、 Y、 前者属于椭球坐标系 后者则是笛卡儿坐标系 在 不 同 的 坐 标 系 中 同一点处的地壳 Z, 。 ， 。 ， 应变张量的表达式都是各不相同的 并且不同的坐 标系有不同的推导方法 就 是 在 同 一 种 ， ， ,1:7,坐标系中 例如在直角坐标系中 很多学者都给出了不同的推导思路 文 献 给 出 了 其， ， ，,8, 在球坐标系的表达式 文 献 给出了在椭球坐标系的表达式 尽管不同的坐标系表达各不 ，,9,。 相 同 但 是 在 地表同一点处发生的体应变与面应变都是一个与坐标系选择无关的几何量 ， ， ,10,因 此 在不同的正交曲线坐标系之间应变张量是可以相互转换的 尽 管 不 同 的 正 交 此 外 。 ，曲线坐标系的坐标曲线各不相同 但 它 们 的 局 部 活 动 标架却均为直角标架 前 者 为 正 ， ,, ， 交曲线坐标系的外延 个 性 共 性 特 殊 性 后 者 为 其 内 涵 一 般 性 共性寓于个性之 ,， , ， ,， , 。 收 稿 日 期 , 2009 -12-17 作 者 简 介 季 颖 锋 男 年 生 固体地球物理学硕士主要从事地壳形变 和地震预报研究, ， ， 1977 ， . 、 GPS . E-mail, 31911431@qq.com. ,11,中 个性表现共性 并 丰 富 共 性 正 如 椭 圆 抛物线和双曲线可以用作为它们共性的圆锥 ， 。 、 曲线的数学表达式作为它们的普适表达一样 我 们 是 否 可以在作为正交曲线坐标系共性的 ， 局部直角标架上采用笛卡儿坐标系的应变张量推导 出正交曲线坐标系的应变张量普适 表 达 式 呢 是否可以不直接计算该点在大地坐标系中的 应 变 张 量 矩 阵 而根据该点在地心 , ， 这 两 种 直角坐标系中的应变张量矩阵间接计算该点在 坐标系中的应变张量矩阵呢 WGS84 , 不同坐标系之间的 应变张量表达的多样性是否可以浓缩为一种通用公式加以转换表达呢 , 回答是肯定的 本文试从这几个方面进行探讨 。 。 正交曲线坐标系普适表达的推导 1 借助于正交曲线坐标系的参考面 正交曲线坐标 系 中 任 意 一 点 的 曲 线， P ,q， q， q, 123坐标可以这样来定义 前 两 个 坐 标为该点至参考面的法线投影在该面上的曲线坐标 与 , q1 作为该点的第三个坐标 两 条 坐标曲线在参考面 该点至参考面的法线距离 q， q， q、 q23 12 上 形 成了一组相互正交的两维网络 这样在该点所形成的局部直角标架 与 在 欧 氏 空 间，q i 3 连 续 可 微 双 方 单 值 的 中的某个连通域 上的笛卡儿直角坐标变量 之 间 由 可 逆 的 、 EΩ x、 i ,12,的变换联系着 由 于 与 都 对 应 于 内 的 同 一 点 这就要求由这两个坐标变量之 间 的 。qxΩ ， i i -1正向及其逆向两种坐标变换矩阵 与 的雅可比行列式均不为零 即 ,T,,T,， ij ij 坠x i,1, det ,T,=de,t ,0?ij 坠q i 坠q i-1det ,T,=det, ,?0,2, ij坠x j 且对应的变换矩阵互逆 即 ， 坠q坠x坠q k iii ,3, = = δ j 坠x坠q坠q k j j i i 式中 为 符号若 则 否则等于零 ， ， ， 。δ Kronecker i=jδ =1 j j 考虑到正交曲线坐标系的性质 变 换 矩 阵 的雅可比行列式不等于零 意味着由笛卡儿 ， ，坐标和曲线坐标的之间的坐标变换矩阵的列向量彼此不 仅 不 平 行 而且应该是正交的 设 ，。 ,13, 由笛卡儿坐标变换到正交曲线坐标系的坐标变换矩阵 为 ,T, ij3 3 3 3 坠x坠x坠x 1113 3 3 33 3 坠q坠q坠q 3 31233 3 3 33 3 坠x坠x 坠x 3 3 2223 3 ??T = ,4, 3 3 ij 3 3坠q坠q 坠q 1 2 3 3 3 3 33 3 33 坠x坠x坠x 3 33 33 33 33 33 坠q坠q坠q 1233 3 该坐标变换矩阵的每一列分别代表 在正交曲线坐标系该点处沿坐标曲线 的 切 向 量 q， i 这三条切向量彼此正交 同样也可求出正交曲线坐标系 转换到笛卡儿坐标系的坐标变换矩 。 ,13, -1阵 ,T, ij 季 颖 锋 等 大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换 , 期2 69 3 3 3 3 坠q坠q坠q 111 33 33 3 3坠x坠x坠x 33 1233 3 33 3 3 坠q坠q 坠q 3 3 222-13 3 = ,5, T 3 3ij 坠x坠x3 3 坠x 1 2 3 333 33 3 33 坠q坠q坠q 33333 3 3 33 坠x坠x坠x 123 3 3 该坐标变换矩阵的每一行分别代表在正交曲线坐标系该点处沿坐标曲 面 q,i=1， 2， 3, i的梯度 或法向量 也彼此正交 以 这 些 向 量 在 点处构建一个局部直角坐标标架 由 于 ,,， 。P ， 该坐标标架的模及其方向是该点位坐标的函数 因此亦称为活动坐标标架 因 此 凡 局 部 ， 。 ，标架为直角标架的曲线坐标系被定义为正交曲线坐标系 这也正是该坐标系的内涵和共性 ， 。 由文献 点正交曲线坐标系的度量张量矩阵为可得到 ,13, ， P 3 32 3 3 33h0 0 13 3 33 3 3 23 3 3 3 g = ,6, 00 hij 1 33 3 3 33 23 3 330 0 h 33 3 2 式中 称之为拉梅系数 其中 称之为度量张量分量或第一类基本量 ， ，g。h=gh ij iji i 设 为一无限小弧长元素 则 ds ， ds=hdq,7, i ii 是与坐标曲线 切向量共线的弧微分向量的模 ， dsq在 点处构成了一个 无 限 小 的 直 dsP i i i 角标架 ,p, ds， ds， ds,。 123 如图 为地面一点 点处正 交 曲分别为 与 1， P ， ,p, ds， ds， ds, ,p, dx， dy， dz, P 123 线坐标系与笛卡儿 坐标系的弧微分构成的两个无限小的直角标架 与 ， e 、 e、 ee、 e、 e 123 xyz分别为上述两个标架的单位向量 设 为由笛卡儿坐标系变换到正交坐标系的变换矩阵则 。c ， 3 3 3 3 33 33ee 1 x 333 33 3 3 3 333 33 333ee=c ,8, 333 32 y 3 3 3 3 3 3 3 3 333 3e e3 z 3 3 3 3 3 3 3 3 3333ee 1 x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ,6,3333ee皆 为 正 交 矩 阵 故 亦 为 正 交 矩 阵 由 于 与 ， c ， 3 3 332 y 3 3 3 3 3 3 3 3 333 3ee3 z 3 3 3 3 3 3 33e x 3 3 3 3 3 3 -1T33则 e为单位矩阵 顾及到 c=c， ，故 3 3 y 3 33 3 图 点处笛卡儿与正交曲线坐 1 P 3 3ez 3 3 标系的无限小直角标架示意图 3333e 1 33Fig.1 Sketchof infinitely small 333 3 33rectangular frames of Cartesian and ec= ,9, 3 3 2 33 33orthogonal curvilinearcoordinates 3 3 e 3 3 3upon point P由 式可得 ,8, 0 0 0 0 0000ee x 1 0 000 0 000 0 000T 0000ee=c,10, 0 y 0 0 2 0 0 0000 0 0 0 0 000ee z 3 0 0 0 0,,3~7根据文献中的 点处地壳发生位移产生变形的应变张量表达式为可以得出图 ,6, ， 1 P Δ Δ 坠u 坠v 坠w Δε= = ε= εxx yy zz Δ 坠x坠y坠z ΔΔ ,11, Δ Δ 坠u坠v 坠w坠u 坠w坠v 1 1 1 ΔΔ + + + ε=ε=ε= 0 0 0000 Δxz yz xy Δ 坠y 坠x坠x 坠z坠y 坠z 222 Δ 式中 分别为位移向量在单位向量 上的分量 为点位坐标的函数 设 ， ， 、 、 ， 。uvw eee x y z 分别为位移向量 在 单 位 向 量 上 的 分 量 而位移向量的全微分 在， ， 、 、 ， uuuu eeeΔu 123 1 2 3 上的分量为 在正交曲线坐标系中的表达式为则位移向量 e、 e 、 e ΔU， ΔU， ΔU， u 1231 2 3 T 00 0000 00ue 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000000ue u= ,12, 2 2 00 0 00 0 0 0 00 000 00 0ue 3 3 0 0 0 0对 式两边取全微分 有 ,12, ， T T T 00 0000 00000000 0000 0000 00Ueueue 1 1 1 1 1 1 00 0000 000000 00 0000 000000 00 0000 00 00000 0000 000 0000e u e e UuΔu=Δ =Δ + Δ ,13, 2 2 2 2 2 2 00 0 00 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0000 00 000000000 0 0 0 0 00 0Ueu e u e 3 3 3 3 3 3 00 0 00 0 0 0 0 00 0将 式代入 式则 ,8, ,13, ， T T T 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000000Ueuu0 00 0000 0 0 0 1 1 1 1 00 000000e e 0 0 0 0 0 0 0 e00 0 x x 0 0 0 0 0 0 x 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 00 00 0u u Uee e e 0 0 0 000 00 0 0=Δ c + Δc +cΔ Δ ,14, y y y 2 2 2 00 0 00 00 02 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 000000eee 0 0 00 00000 0z z z 0000000 0Ueu u 3 3 3 3 00 0 00 00 0,13,T再将 代入 单位矩阵 式因 并顾及到 ,10, ,14, ， c?c=I ,, ， 0 0 0 000e0 0 1 x 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 000e= 01 0 ,15, 0 0 y 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 00 0 1 e0 0z 0 0 则 T T T 0 0 0 0 0 0 000000Uuu 1 1 1 000000 000000 000000T0 0000 0u UuΔ = Δ + ,Δc?c, ,16, 2 2 2 000 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0000Uu u 3 3 3 000 0 0 0由文献 笛卡儿坐标系单位向量的应变张量矩阵为单位矩阵 故其拉梅系数为 ,13, ，， ,17, h=h=h=1 xyz把 式代入 式则有,7, ， ,17, Δ ΔΔS=hΔx=Δxx x Δ ΔΔ ΔΔS=hΔy=Δy,18, y y Δ Δ ΔΔΔS=hΔz=Δzz z 季 颖 锋 等 大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换 , 期2 71 由 式是在把笛卡儿坐标系 的单位向量与拉梅系数的具体数值代 式 可 知 ,18, ， ,11, 入 后 的 结 果 从而在该表达式中缺失了能表征笛卡儿坐标系度量空间的 度量张量的拉梅系 ， 数 与 单 位 向 量 现把它们重新赋予该式 分 别 以 含 有单位向量的位移向量全微分分量 。， Δ T T U xu U 取 代 以 将上述取代值分 取 代 式 中 的 Δ v ，,18, hΔx、 hΔy、 hΔz Δx、 Δy、 Δz， yxyz w U z 别 代 入 式 就 可 以 得 到应变张量内蕴几何量的真正表达式 为下文推导方便起见 ， 。 ，,11, 把式中的增量 代换为 则 式变为 坠”， ,11,““Δ ， ” ， 坠U 坠U 坠U x y z ，ε= = ε= εxx yy zz ， ，h 坠xh 坠yh 坠zx y z ， ，,19, ， ， 坠U坠U坠U坠U坠U坠U 1 1 1 x yx zy z ， + + + ε= ε=ε=y y yyyy ，xy xz yz ， h 坠y h 坠xh 坠z h 坠xh 坠z h 坠y2y x 2z x 2z y ， 进一步可化为 ， ， 坠U i ，ε= i=1， 2， 3 ii ， h 坠q，i i ， ，,20, ， ， 坠U坠U 1 ij ，+ i?j i， j=1， 2， 3 = ε，y ，ij ， h 坠q h 坠q2j j i i ， 转动张量表达式为 坠U坠U 1 i j- ω= ,21, ，yijh坠qh坠q 2 jj ii 式中 T T T Uuue 1111 Tu u Ue ,坠c?c,，坠=坠c= ,22, + 22 2 2 Ue u u 33 3 3 T T uu 11 Tu u 的 改 正 项 经 过 这 样 处 理 称 为 其中 正交曲线坐标系的应变张量 ,, 。 ，?坠cc坠 22 u u 33 表达式就与笛卡儿坐标系的公式统一起来了 本来正交曲线坐标系的局 部坐标标架就是直 。 角 标 架 与笛卡儿坐标系是同源的 只不过对于局部标架为活动标架的 正交曲线坐标系而 ， ， T u 1 式中的改正项公式对位移分量的微分 u 言 要 根 据 进 行 改 正 对 于 笛 卡 儿 坐 标 ,, ， 。 22坠 2 u 3系 此项改正为零 ， 。 由普适表达式 我们可以推导出旋转椭球坐标系下的应变张量表达式 ， 。 大地坐标系下的应变张量表达 2 图 为旋转椭球面与活动标架示意图 设 为地面上某一点 该点的大地坐标为 。 ， 、2 M θ 分别为该点的大地余纬 大地经度和高程 L、 h， 、。 旋转椭球面与活动标架 图 2 Fig 2 Rotationalell ipsoid and variabletr ihedron 点的位置向量的表达式为M ，，，， 129 b R+hR+h+h X= sinθcosL，sinθcosL，cosθ,23, 1 1 v 式中 为 点曲面法线和椭球面交点的卯酉圈曲率半径 其表达式为 ，RM 1 2 a R= ,24, 1 bv 2 2 2 2 a sin θ+b cos θ姨 且 式中 分别为 大地坐标系旋转椭球的长短半径 a、 b WGS84 ， v= b θθh=R+h，e= ,cosθcosL， cosθsinL， -sinθ,θ θ 2 θ θ θe= ,-sinL， cosL， 0, θL h=Rsinθ+h，,25, θ L 1 θ θθh=1，e= ,sinθcosL， sinθsinL，cosθ, h h θ 为 点曲面法线和椭球面交点的子午圈曲率半径 ，RM 2 a2 R=,26, 2 2 bv 由直角坐标系转换到椭球坐标系的转换矩阵为 θ θ θθθ θ θθcosθsinLθcosθ坠L-坠θ-sincosθcosL0 θθθθ T θθθθθθθθ cosL ， 0 c= -sinL 0 θ 坠cc = -cosθ坠L-sinθ坠L θ,27, ?θθ θθθθθ θ θθ θ θθ sinθ坠L sinθcosLcosθ坠θ0 sinθcosL θθθθ θθθ坠U=坠u-ucosθ坠L+u坠θθ θ θ L h θ θθ坠U=坠u+ucosθ坠L+usinθ坠L,28, θ L L θ h θ θθ坠U=坠u-u坠θ-usinθ坠L h h θ L θ 季 颖 锋 等 大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换 , 期2 73 i 坠q i 顾及到相对于地球的曲率半径而言 可忽略不计 且 由 式 可 得 旋 转 椭 ,20, ，h ， =δ，j 坠q j球坐标系下的应变张量表达式 。 u坠u 1 θhε= + θθ R坠θR 2 2 坠uu cotθ 1 Lhε= u+ + LL θ R sinθ 坠L RR1 1 1 坠u hε= hh 坠h ,29, 坠u坠u 1 cotθ1 1 θL -u+ ε= L θL R sinθ 坠L R坠θ R 21 1 2 坠u坠uu 1 θθh1 - + ε= θh 坠h坠θ R R 22 2 u坠u坠u 1 LLh1 - + = εLh 坠hRR sinθ坠L 21 1 ,16, 该 式 与 文 献 和 短 半 径 若 代 入 长 半 径 中给出的完全一样 ,9, 。 a , 6 378 137 m, 和 即可得到大地坐标系下的 根 据 和 式 在 ,6356752.314 m, ，,24, ,26, RR。 ,29,， 1 2式中 则 令 式变为球坐标系下的应变张量表达式 ，R=R=R，h=r， ,27, 。 12 地心直角坐标系与大地坐标系之间的应变张量矩阵转换 3 我们一般仅会在地心直角坐标系和大地坐标 采 用 观测资料进行地 壳 应 变 分 析 时 GPS ， 系中选择其中一种进行应变分析 但是采用应变张量矩阵转换公式 我 们就可根据其中一 ， ，种坐标系的应张量数值去计算另一种坐标系的相应数值 也不必重新在 该坐标系中进行应 ， 变 张 量 计 算 以获得在不同坐标系中的地壳应变信息 因 此 给 出 地 心 直角坐标系与大地 ， ， ， 坐标系应变张量转换公式是很有必要和意义的 。 由于地心直角坐标系为空间直角坐标系 其曲线为彼此正 交 曲 线 而大地坐标系系统 ， ，则是一个旋转椭球参考面 在这个参考面上的坐标曲线也是彼此正交的 它们皆为正交曲 ， ， 线 坐 标 系 活动标架彼此正交是正交曲线坐标系的共性 而互不相同的 正交曲线系各有各 ， ， 的坐标曲线则是它们各自的特性 既然地心直角坐标系和大地坐标系两 个坐标系统在地面 。 某点处的活动标架是都直角坐标系 因此可以对其应变张量的转换进行 进 一 步 的 探 讨 设 ， 。 某测站在地心直角坐标系 。 zzzzεεε xxxyxz z z z z zz z εyy zzεε,30, Γ= zyxyz z z xyz zε zz zy zzεεz zxzz zz z 设该测站在椭球坐标系中的局部标架的应变张量矩阵为 ,z ′ ′ ′′εεε x′x′x′y′x′z′ ′′ ′′ ′′ ′′εε,31, Γ′ ′y′y′ yz ′′ ′′ ′′ε= ′ y′x ′ ′′x′y′z′εεε z′x′z′y′ z′z′ ′ ′新旧坐标系的应变张量矩阵在局部标架上的转换可由文献 给出,,6， 18, T Γ′=cΓ,32, x′y′z′xyz c 式中 ′′′′lmn x′xx′ ′′ ′′ ′′ ′′′nlc= ,33, ′′y′y′ ′′ ′′my ′′ln z′z′ ′′′ zzl=,e， e,=cosθm=,e， e,=cosθn=,e， e,=cosθ mx′xx xxx′xy xyx′xz xz′′′′′′z z′ zzz， ， l=,e， e,=cosθm=,ee,=cosθ n=,ee,=cosθ ,34, y′y′y y′yy′y′z y′zy′y′x y′xz zzz， ， l=,e， e,=cosθm=,ee,=cosθ n=,ee,=cosθ z′z′y z′yz′z′z z′zz′z′x z′xz 与 分别为新旧坐标系的单位向量 表示向量内积 式中 、 、 ， ， 。e′e′e′ee,, y z x z 、e y 另 设 、为 在 点处建立的直角坐标系的单位固定标架 其 单 位 向 量 ,M , e ， e ， e , M ， x y z x e， e， e,AuAvAw 之间是相互正 交 的 在 坐 标 系 中 点处的单位活动标架 e,i=x， y， z,， A M ,M, i ,,6的诸单位向量之间也是正交的 因 此 这两个单位标架 之间的转换矩阵 亦 为 正 交 的 ， ， c， A 因此 其表达式为 后一个单位标架可由前一个单位标架进行表达 ， ， ′′′′ ′′′′ee Au Au ′′′′ ′′′′ ′′′′′′′′e e,35, =c Av Av ′′′ ′A ′′′′ ′′′′ ′ ′′′ee Aw Aw ′′′ ′显然 ′′′′e Au ′′ ′′ ′′′′ec= ,36, A ′′Av ′′ ′′′′e Aw ′′同样坐标系中也可得到下列诸式 在 ， B , ′′′ ′ ′′′′ee Bξ x ′′′ ′ ′′′ ′ ′′′ ′′′′′e e=c,37, ′ Bη ′ B ′ y ′ ′′′ ′ ′′′ ′ ′′′′ee Bζ z ′′′ ′ ′′′′e Bξ ′′ ′′ ′′′′ec= ,38, BBη ′′ ′′′ ′ ′′e Bζ ′′ T -1 T -1 注意到 可得 ,c, =c ， ,c, =C ， B B A A ′ ′ ′ ′ ′′′′ee Bξ Au ′ ′ ′′ ′′ ′′T ′′′′′′′′e e=cc,39, Bη ′′Av ′ ′B A ′′′′ ′′′′′ ′′′ee Bζ Aw ′′′ ′ 季 颖 锋 等 大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换 , 期2 75 由 坐标系中的单位活动标架 坐 标 系式 可 得 从 转 换 到 ,39, A ,M, B e， e ， e , Au Av Aw 中的单位活动标架 的转换矩阵为 ,M, ,e， e ， e , Bξ Bη Bζ T,40, c=cc B A 式 分 别 将 则 可 得 由 坐 标 系 转 换 到 坐标系的转换矩 与 式 代 入 ,36, ,38, ,40, ，A B 阵为, zzzzzzzze,e， e ,,e， e ,,e， e , Bξ Bξ Au Bξ Av Bξ Aw z z z z z z z z z z zz,e， e , zz zzBη Av ，e,,e， e , e,ec= ,e， e , = ， e ,41, z zzzBη Bη Au Bη Aw Au Av Aw zzzzz z z z zzzzzzzze,e ， e , ,e ， e , ,e ， e , Bζ Au Bζ Av Bζ Aw Bζ z z z z 将 式 与 转 换 矩 阵 中的诸元素即为 式 相 对 照 式中相应的方向余 ,41, ,33, ， c ,33, 弦 。 坐 标 系 中 点 处 的应变张量矩阵 转 换 到 该 点 在 坐 标 系 中 的 式 可 得 由 ,, 32A M ΓB A 应 变张量矩阵 Γ B T Γ=cΓc,42, B A 由上式可得由 坐标系转换到 坐标系的应变张量矩阵为B A T Γ=c Γc,43, A B 因 此 两 者 之 间 的 应， 鉴于地心直角坐标系为直角坐标系 大地坐标系为椭球坐 标 系 ， ， 变张量矩阵转换实际上是直角坐标系与旋转椭球坐标系之间的转换 仍 以 图 为 例 设 该 。， 2 椭球体嵌入在以地心直角坐标系框架所表示的三维空间 地心直角坐标 系框架的原点位于 ， 椭球体中心 轴与自转轴重合 轴位于起始子午面内 根据大地坐标系球面上 点O， X， X1 ， M 3 处的位置向量高斯表达式 可 得 椭 球 面 上 点处的单位活动坐 标 标 架 的 ，M ,M, e， e， e, rθL ,1, 23, 24,诸单位向量表达式分别为 θθzze= cosθcosL， cosθsinL， -sinθ θ θ θθ θe= ,sinL， cosL， 0,-,44, L θ θ θθe= ,-sinθcosL， sinθsinL， cosθ, h θ 由 式 并 顾 及 到 式可求得由地心直角 坐标系框架转换到大地坐标系系统应 ,44, ,39, 变张量的转换矩阵为 z z zcosθcosL cosθsinL θ -sinz z zzz zcosL c= -sinL 0 ,45, z z z zz cosθ sinθcosL sinθsinL z z zz 将 式代入 式 则有 ,45, ,42, ，z zzzzz zzzzεεεεεε ,48, θθθLθh xxxyxz z zz z z z T zzzz zzzz zz,46, εεεεεε=c c z zzzyy LL θLLh xyyz z z z z z z z z z z z z z zzzεεεε ε ε Lh yz zz θhhh xz zz z z 由此可得由地心直角坐标系框架的应变张量转换到大地坐标系参考面的应变张量分量为 z 2 2 2 2 2 2 z zε=εcos θcos L+εcos θsinL+ εsin θ+εcos θsin2L-εsin2θsinL-εsin2θcosL θθ xx yy zz xy yz xz z z z 1 z,,ε= ε-εcosθsin2L+εcosθcosL2-εsinθcosL+εsinθsinLzz θL yy xx xy yz xz z2 z z z2 2 1 1 1 1 z zε= εsin2θcosL+ εsin2θsinL - εsin2θ+ esin2θsin2L+ecosLcos2θ+sinLcose2θ, ,47θh xx yy zz xy xz yz z 2 2 2 2 z z z2 2 zzε=εsin L+εcos Lεsin2L- zLL xx yy xy z z z1 z ,,ε= ε-εsinθsin2L+εsinθcosL2-ecosθsinL+ecosθcosLzLh yy xx xy xz yz z2 zz z 2 2 2 2 2 2 z zε=εsin θcos L+εsin θsin L+ecos θ+εsin θsin2L+εcosLsin2θ+εsinLsin2θ hh xx yy zz xy xz yz z 由 和 转换到 坐标框架的应变张量分量为式则可得出由 ,43, ,46, WGS84 ITRF z2 2 2 2 2 2 zzε=εcos θcosL -εcosθsin2L+εsin2θcosL -εsinθsin2L+εsin L+εsin θcosL xx θθ θL θh Lh LL hh z z 2 2 z 1 1 1 1 z ε= εcos θsin2L+εcosθcos2L+ εsin2θsin2L- εsin2L+εsinθcos2L+ sin θsin2Lεz zxy θθ θL θh LL Lh hh z 2 2 2 2 z zz 1 1 zz ε=- εsin2θcosL+sinθsinL+cos2θcoscosθsinL+ sin2θcosLεεL-εεxz θθ θL θh Lh hh z 2 2 zz ,48, 2 2 2 2 2 2 zzzε=εcos θsinL +εcosθsin2L+εsin2θsinL+ εcos L+εsinθsin2L+εsin θsin L yy θθ θL θh LL Lh hh zz z z 1 1 zε=- εsin2θsinL-εsinθcosL+εcos2θsinL+εcosθcosL+ sin2θsinLεzyz θθ θL θh Lh hh z 2 2 z z2 2 z zzε=εsin θ-εsin2θ+εcos θ zz θθ θh hh z 注意到 ΔV ε+ε+ε=ε+ε+ε= ,49, θθ LL hh xx yy zz V 这表明地心直角坐标系和大地坐标系坐标系同一点处的应变 张量矩阵给出的在该点处 的地壳体应变是一个与坐标系无关的不变量 。 至 于 柱 坐 标 系 球 坐 标 椭球坐标以及双曲线坐标系之间的 应变张量转换以及平面直 、 、 角坐标系与平面极坐标系之间的应变张量转换公式同样可以求得 这里不再赘述 ， 。 算例 4 证明大地坐标系和地心直角坐标系下的应变张量矩阵转换公式 和 根 据 ,47, ,48, 。 数据得出福州地区地块在地心坐标系下某时段的应变张量矩阵如下 GPS , z z z z zzz31.401 εεε18.403 -14.183 xxxyxz z zz z z z -8 z zz zzz zzzzεεεε= = 18.403-9.951 7.669 ×10 ,50, zz z z xyyy yz 地 心 z z zzz zzz z z z zzzz εεε 7.669 2.167 -14.183 xzyz zz z z z z 福州为所选择大地坐标系的参考原点 其 经 度 和 余 纬值 作为坐标转换参数 将 ，L ， 式代入公式 后可得该原点大地坐标系下的应变张量矩阵为 ,50, ,47, , 季 颖 锋 等 大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换 , 期2 77 h hh hh hhεεε-11.981 -4.261 -15.464 θθθLθh hh h hh h-8 h hhh h hhhhhεεεε= = -4.26137.223 ×10 ,51, 10.971 h h h h θLLL Lh 大 地 hh h h h h hhhh h h hhh ε εε -15.464 10.971 -1.626 hh Lh θhh h h h再 将 式 代 入 又 得 到 与 式 完 全 一 样的地心坐标系下的应变张量矩 ,51, ,48, ，,50, 阵 上 述 两 个 应从而证明了转换公式 和 的 正 确 性 且 按 照 公 式 计 算 ， ,47, ,48, , ,49, ， 变张量矩阵所给出的地块体应变值均为 确为一个与所选坐标系无关的不变量 , 。 结语 5 大地坐标系和地心直角坐标系框架在地壳形变 作 为 地壳形变分析的常用坐标系 GPS ， 分析工作中发挥了重要作用 它们均属正交曲线坐标系 本文在正交曲线坐标系共性的基 ， 。 础 上 借用笛卡儿直角坐标系应变张量这个平台 巧 妙而简洁地推导出了正交曲线坐标系 ， ， 的应变张量普适表达式 在 此 基 础 上 本文还推导出 了不同正交曲线坐标系之间应变张量 , ， 转换的普适表达式 并给出了地心直角坐标系与大地 坐标系这两种坐标系之间应变张量矩 ， 阵相互转换的具体表达式 可作为实际地壳形变分析 工作中对地心直角坐标系和大地坐标 ， 系下应变张量转换计算的参考 此 外 本文还对正交 曲线坐标系下应变张量表达和转化的 , ， 共性和特性进行了探讨 。 参考文献 ,1, Heitz S. 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