子女身高对父母身高的再回归分析

子女身高对父母身高的再回归分析 子女身高对父母身高的再回归分析 摘要: 本文通过抽样调查及统计分析, 建立了父母身高与子女身高的两个回归方程, 揭示了父母身高与子女身高之间显著的线性关系. 从分析的结果可以看出, 不同家庭的子女身高有回归其群体平均身高的倾向. 关键词: 父母身高; 子女身高; 回归分析 1 引 言 早在19 世纪后期, 英国生物学家Galton 在研究父母身高与子女身高的关系时, 观察了 1078 个家庭中父亲、母亲身高的平均值 x 和其中一个成年儿子身高 y, 建立了一个线性方 程y = 33. 73 + 0. 516x 通过这个方程分析出, 子女身高有回归平均身高的倾向, 首次提出了“回归”一词. 多少年来, 人们利用“回归”的思想和方法在自然科学和社会科学的许多领域通过建立回归模型, 揭示了一个又一个问题的内在规律, 并使其得到了深入广泛的应用, 从而也推动了科学和社会的进步. 既然回归问题追溯到源头是研究关于父母身高与子女身高的关系问题, 那么, 时隔一百多年后的今天, 人类的物质生活和精神生活都发生了巨大的变化, 父母身高与子女身高之间将呈现出一种什么样的关系呢?在现实生活中, 人们都知道父母身高对子女身高是有影响的, 但是父亲与母亲的影响分别有多大? 对儿子或对女儿的影响程度是否一样? 我们能否以定量的形式回答这个问题呢? 具体地讲, 我们是否也可以利用回归的思想和方法, 进一步揭示出父亲身高、母亲身高与子女身高之间量化关系的秘密, 帮助那些关注自己后代身高的年轻父母们进行早期的预测; 对那些未婚青年男女在选择理想配偶时提供一种科学的参考依据. 因此, 今天我们重新回味并研究“回归——父母身高和子女身高的关系”问题, 仍具有一定的研究价值. 2 数据采集 最近, 我们就父母身高对子女身高影响问题进行了抽样调查. 我们对所调查的家庭提出了明确要求: ? 该家庭有一个或多个子女; ? 每个家庭成员身体健康, 发育正常, 无先天性和遗传性疾病, 无残疾; ? 子女的年龄均在 23 岁(含23 岁)以上, 23 岁以下者剔除. 我们注意到调查的范围尽可能广泛, 有机关干部、职员、工人、农民、城市居民、军人、大学生等, 并特意选择了一所面向全国招生的军队院校的应届毕业生进行抽样, 他们来自全国各地, 家庭背景也相对复杂一些, 这使得样本更具有代性. 在发放的 460 张调查表中, 收回 410 张. 按照事先的, 经数据筛选, 有 290 个家庭符合要求, 其中在对“子”“女”的统计中,“儿子”有 405 人,“女儿”有 270 人.利用二元回归分析的方法, 通过建立父母身高与子女身高的线性回归方程了定量的分析. 3 方 法 1) 回归平面方程的建立 设X 1 为父亲身高,X 2 为母亲身高, Y 为儿子(或女儿)身高. 单位: 厘米 个家庭的数据中, 设第 i 个家庭中父亲身高为X 1i, 母亲身高为X 2i, 儿子 Yi, 该家庭中父亲、母亲、儿子(或女儿)身高有以下关系式: Yi = Β0 + Β1X 1i + Β2X 2i + Εi, i = 1, 2, 3, „,n 利用最小二乘法得到正规方程组 A Β= B (1) n X 1i X 2i Yi ? ? ? Β0 2 其中 A = X 1i X 1i X 1iX 2i , B = X 1i , = 1 ? ? ? ? Β Β 2 2 X 2i X 1iX 2i X 2i X 2i ? ? ? ? Β - 1 当系数矩阵A 可逆时, Β= A B. 为了使正规方程组求解简单些, 将(1)进行初等行变换得到 1 X 1 X 2 Β0 ?Y 0 l11 l12 Β1 = l1y 0 l21 l22 Β2 l2y 1 1 其中X k = X ki, Y = Yi, lkt = X kiX ti - nX k X t, lky = X kiYi - nX k Yi, k ? ? ? ? ? n n = 1, 2, t = 1, 2. l11 l12 1 l1y - 1 当L = 可逆时, 得以 = = L , 0= y- 1 X 1- 2 X 2. 从而得到经 l21 l22 Βδ ΒΒδδ2 l2y Βδ θ Βδ Βδ 验回归平面方程 Yδ= Βδ0 + Βδ1X 1 + Βδ2X 2 (2) 这里Βδ1, Βδ2 称为回归系数. Β Β Β Ε Β Β Β Β Β Β Β ? Β Β ? Βδ ΒΒδδ Βδ θ Βδ Βδ δ Βδ Βδ Βδ Βδ Βδ 2) 线性回归方程的显著性检验 采用方差分析的方法, 对所得线性回归方程显著性进行检验. 计算F 值, 否定域为F> FΑ(2, n- 3). 3) 回归系数的显著性检验 H 0?Βj = 0, j = 1, 2 2 EΒδj = Βj, D Βδj = cjjΡ, j = 1, 2 剩 - 1 Q 其中cjj为矩阵C= L 对角线上的元素. Ρδ3 = n- 3是误差 Ρ的无偏估计. 选用统计 j 量T j= Βδ , t(n- 3), j= 1, 2, 否定域为T > t2Α (n- 3). cjj Ρδ3 Βδ Βδ δ ? ? δ δ δ δ 回归方程特别显著且回归系数 Βδ1, Βδ2 均显著地不为零, 女儿身高和父母身高 关系. 因此, 女儿身高对父母身高的回归方程(7)也是有意义的. 同样当某一家庭中父亲身高x10、母亲身高x20已知时, 其女儿身高的点估 yδ= 47. 140 + 0. 249x10 + 0. 455x20 得到, 并且由此可以得到儿子身高期望值的置信概率分别为 95? 及99? 的预 (yδ0 - 7. 792d, yδ0 + 7. 792d) 及(yδ0 - 11. 643d, yδ0 + 11. 643d 其中d 由(5)得到. 3) 举例 表1 给出了部分家庭由父亲、母亲身高而得到子女身高的预测值和预测 表 1 部分家庭子女身高的预测值和预测区间 儿 子 身 高 女 儿 身 高 父亲 母亲 身高 身高 点估计 95%的预测区间 99%的预测区间 点估计 95%的预测区间 99%的预测区间 160 155 166. 57 (165. 32, 167. 83) (164. 90, 168. 25) 157. 50 (155. 99, 159. 02) (155. 48, 159. 52) 160 160 168. 32 (167. 16, 169. 48) (166. 77, 169. 87) 159. 78 (158. 43, 161. 13) (157. 98, 161. 58) 165 160 170. 15 (169. 41, 170. 91) (169. 16, 171. 16) 161. 02 (160. 14, 161. 90) (159. 84, 162. 20) 165 165 171. 90 (171. 01, 172. 91) (170. 71, 173. 10) 163. 30 (162. 26, 164. 33) (161. 91, 164. 69) 170 160 172. 00 (171. 53, 172. 46) (171. 37, 172. 62) 162. 27 (161. 74, 162. 79) (161. 57, 162. 97) 170 165 173. 74 (173. 12, 174. 36) (172. 91, 174. 57) 164. 54 (163. 77, 165. 30) (163. 52, 165. 56) 175 160 173. 83 (173. 27, 174. 40) (173. 08, 174. 64) 163. 51 (162. 94, 164. 07) (162. 75, 164. 27) 175 165 175. 58 (174. 93, 176. 22) (174. 72, 176. 44) 165. 78 (164. 98, 166. 59) (164. 71, 166. 85) 180 160 175. 67 (174. 73, 176. 60) (174. 43, 176. 92) 164. 75 (163. 79, 165. 71) (163. 48, 166. 03) 180 165 177. 42 (176. 47, 178. 36) (176. 15, 178. 68) 167. 03 (165. 91, 168. 14) (165. 54, 168. 52) 180 170 177. 41 (176. 47, 178. 36) (176. 15, 178. 68) 169. 30 (167. 76, 170. 83) (167. 26, 171. 34) Βδ Βδ δ ? ? δ δ δ δ 5 分析与讨论 由本次抽样统计所建立的回归方程(6)、(7)以及上述的定量分析我们可以看出以下几 点: 1) 当年 Galton 把父亲身高与母亲身高的平均值作为变量得到的回归方程是一元的, 今天我们把父亲身高与母亲身高分别作为两个独立的变量来研究, 分别建立的儿子身高对父母身高及女儿身高对父母亲身调换两个回归平面方程是两个二元的, 无疑将父母身高对儿子(或女儿)身高的影响表示的更加直接和清晰. 2) 父亲身高与子女身高有显著的线性关系. 在一定程度上可以说, 父母身高对子女身 高有着重要的影响, 而且在不同的历史时期, 子女身高同样有回归平均身高的倾向, 即个子矮的父母亲, 其子女身高未必低于自己; 个子高的父母亲, 其子女身高未必高于自己, 这一点从表 1 也不难看出. 今天, 明确地揭示出这一统计规律性, 无疑有它的现实意义和社会意义. 3) 由两个回归方程的回归系数还可以看出, 母亲身高对子女身高的影响比父亲的影响 大些, 特别是母亲身高对女儿身高的影响更为明显一些. 这一统计规律与现实生活中的普遍现象是基本吻合的. 4) 本文所给出的回归方程及结论具有一般统计规律性. 当然, 并不排除一个人在其成长过程中所处的特殊环境和生活条件等因素对其身高也可能会产生某种影响.