判断函数奇偶性不能忽视的定义域
?汪小兵
作为函数三大要素之一的定义域,在函数奇偶性的判断中起着至关重要的作用,研究函数的奇偶性时,应特别注意考查函数的定义域,否则将导致解题出错。
一、未注意定义域的对称性出错
例1、判断函数f(x),(1,x)的奇偶性。
错解:f(,x),(1,x)
,(1,x)
,(1,x)
,(1,x),f(x)
?函数f(x)为偶函数。
分析:函数为奇偶函数的必要条件是定义域关于原点中心对称,故判断函数的奇偶性,应先考虑定义域及对称性。
由?0知定义域为,x?,1,x?1,,不关于原点对称,故函数f
(x)为非奇非偶函数。
二、定义域为动区间时不讨论出错
例2、判断函数f(x),的奇偶性。
错解:由x,a?0知定义域为(,?,a)?(a, ,?),不关于原点中心对称,故函数f(x)为非奇非偶函数。
分析:参数的取值不确定,在不同取值情况下,定义域也不同,应作分类讨论,当a?0时,上述解法是正确的,而当a,0时,定义域为(,?,0)?(0, ,?)关于原点对称,且f(x),x2,函数为偶函数。
三、误求定义域出错
例3、已知f(x2,3),lg,判断函数f(x)的奇偶性。
错解:设t,x2,3,则x2,t,3,?f(t),lg?f(x),lg由,0及x,3?0知定义域为(,?,,3)?(3, ,?)关于原点对称。
又?函数f(,x),lg,lg
,lg(),1 ,,f(,x)
?函数f(x)为奇函数。
分析:用变量代换法要注意新旧变量的取值范围及其关系,错解没有考虑新变量的取值范围,误求定义域,导致错判奇偶性。
由,0,得x2,6,0,即x2,6,?t,x2,3,?t,3从而应由f(t),lg(t,3)得f(x),lg(x,3),由于定义域不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数。
四、化简变形脱离定义域出错
例4、判断函数f(x),的奇偶性。
错解:由9,x2?0且?x,3??0知函数的定义域
为,x?,3?x?3且x?0,,关于原点中心对称。
?f(,x),,??f(x)
?函数为非奇非偶函数。
分析:利用定义域可以简化复杂函数的解析式,使f(,x)与f(x)的隐含关系显露出来,错解在化简时没有结合定义域,使化简半途而废,从而误判奇偶性。
当,3?x?3且x?0时,?x,3?,x,3, ?x,3?,3,x,则f(x),,f(,x),,?f(,x),,f(x),所以f(x)为奇函数。
五、取值超越定义域出错
例5、函数f(x)的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值x1,x2,都有f(x1,x2),,判断f(x 错解:设x是定义域中的一个值,令x1,0,x2,x?0,得f(,x),,再令x1,x?0,x2,0得f(x),,?f(,x),f(x)?函数f(x)为奇函数。
分析:题设中“定义域关于原点对称”并无“一定包括原点”的含意,若原点不在定义域中,则令x1,0或x2,0将使式子无意义,如函数f(x),cotx的定义域关于原点对称,且cot(x1,x2),,但x1,0或x2,0时,由于0不在定义域内,所以cotx不存在。
正解:由已知式知x1,x2在定义域内,设x,x1,x2由定义域关于原点对称知,x,x2,x1也在定义域内,于是有f(,x),f(x2
,x1),,而f(x),f(x1,x2),,?f(,x),,f(x),所以
f(x)为奇函数