化繁为简学习法之不定积分计算24字口诀专题

此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 化繁为简学习法之 专：不定积分计算 24 字口诀 求不定积分是《高等数学》的一个重要部分，它的直接考题不多，但是它却是定积分 和重积分的基础.它的理论很简易，就是导数的逆运算，但对于初学者会以为要用到许多技 巧.我当学生的时候，很喜欢做，至少做了上千题，当时没有想到.当老师以后，为了让 同学们学得更有效率，我试图去总结的时候，却意外地发现了一些隐藏在深处的规律！用此 规律去做题，即使基础一般的同学也能够迅速地找到求法路径！ 针对考研的同学，我不想再像对待初学者那样做那些常规的总结，因为随便找一本考 研书，你都可以得到不错的总结，也不外乎书上所述的：1.基本公式法，2.凑微分法（第一 类换元法），3.第二类换元法，4.分部积分法，5，有理函数法.但关键是如何在第一时间迅 速作出决断？而不是几种方法逐一尝试，结果耽误时间.我这里有突破常规的“口诀”，既巧 妙又简单，保证让你得益匪浅. 你只要知道，不定积分无非是导数公式反过来运用，没什么神秘的.从导数公式看下来， 有一些不变的法则，我这里总结成 24 字的口诀，请大家先牢牢背下： 甲求导后得乙， 无理变成有理， 三指凑成一类， 幂次化出整倍. 解释：我们知道上述书中讲的 5 种方法，最难办的就是“凑微分法”，此口诀最开始是 为凑微分法总结的，没想到发现对于其它 4 种方法也很适用！ 第一句：“甲求导后得乙”.它的第一层意思是作为凑微分的总纲，它也是解决凑微分的 法宝.凑微分法是从下面的复合函数的求导公式得来： d(f ( (x)) f '( (x)) '(x)dxϕ = ϕ ϕ ，两边积 分变成 f '( (x)) '(x)dx f '( (x))d (x) f ( (x))ϕ ϕ = ϕ ϕ = ϕ∫ ∫ +C 关键是我们拿到一个函数，有时不知道哪个是 (x)ϕ ！我们思路可以反过来：我先假设它就 是用凑微分（除了一眼就能看出的积分），那么仔细看，被积函数必须是这样： f '( (x)) '(x)ϕ ϕ ， 其中一个部分 f '( (x))ϕ 中的中间变量 (x)ϕ （作为甲）的导数就是后面的 '(x)ϕ （作为乙）. 不知道大家明不明白？这里举一例说明，例如求： 1 cosx dx x sin x + +∫ 此题很容易走入误区：“分部”？万能公式？……按照“甲求导后得乙”，一看： (x sin x) ' 1 cosx+ = + 分母（甲方）求导后成了分子（乙方），于是将乙方凑到微分符号里： 1 cosx 1 dx d(x sin x) ln | x sin x | C x sin x x sin x + = + = + + + +∫ ∫ 简单吧？！ “甲求导后得乙”还有第二层意思，仔细观察一下所有的基本求导（微分）公式，所有 基本函数求导后是没有对数函数和反三角函数的！反过来就是说，若不定积分中含有“ln”、 “arc”这样的对数函数或反三角函数，除了凑微分（一小部分），看来只有通过分部积分对 此部分求导才能化开，因为对数函数求导后成了有理函数，反三角函数求导后虽然是无理函 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 数，但是总还有办法积出来.可见，甲求导后得乙亦是指将对数函数与反三角函数作为“甲 方”先求导试一试，它变成其它函数后就可以确定需要凑微分还是分部.若求导后被积部分 含求导后的函数，则是凑微分，若不含，则分部.如 2ln(ln x)dx( x ln x x ln x∫ ∫凑微分）； （分部） 第二句：“无理变成有理”.这是一般原则，对第二类换元和纯三角函数非常适合，这 部分你们看书体会，对凑微分也是一样！无理函数尽可能往有理函数的方向化.请看： 3 2x 1 x dx+∫ 不要一开始就想到第二类换元（ x tan t= ）.没事千万不要轻易用第二类换元，麻烦！抓住 主要矛盾： 21 x+ 无理式不好办，那么外面还有“尾巴”，先凑微分： 3 2 2 2 2x 1 x dx 1/ 2 x 1 x d(x 1)+ = + +∫ ∫ 这样根式可以看成幂次！即： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 2 1/ 2 x 1 x d(x 1) 1/ 2 (1 x ) 1 x d(x 1) 1/ 2 1 x d(x 1) 1/ 2 (1 x ) d(x 1) 1/ 2 (1 x ) d(x 1) + + = + + + − + + = + + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 下面就请同学们自己完成吧！ “无理变成有理”还有第二层意思，就是一般中学时候讲“有理化”常常是分母有理化， 而不定积分常是分子有理化！这看似无理，实际有理，原因在于分子有理容易凑微分且求导 基本函数里面有许多式子根号在分母上的缘故.具体到下面讲述. 第三句：“三指凑成一类”.“三指”指的是“三角函数”与“指数函数”.分析求导基 本公式发现，三角函数（或指数函数）均有一种“惰性”性质，就是导函数仍然是三角函数 （或指数函数），尤其是指数函数，惰性显得更明显.所以，对于三角函数（或指数函数）， 我们的原则是尽可能通过三角公式（或指数分解），将之化成一类三角公式（包括 d后面的 积分变量），且凑成一种角度（或指数相同的指数公式）.你们仔细看书中三角函数积分的方 法是不是这个原理？比如： 4 1 dx sin xcos x∫ 典型的例子，利用 2 2sin x cos x 1+ = ，要么正弦化余弦，要么余弦化正弦，那么如何选择？ 有方法！秘诀在于偶数次幂的不管，化奇数次幂，看完下面你就明白 4 2 4 2 4 2 4 1 1 1 dx dcosx dcosx sin xcos x sin xcos x (1 cos x)cos x 1 dt(t cosx) (1 t )t = − = − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 下面大家都明白… “三指凑成一类”，还有一层意思，就是因为三角函数与指数函数有惰性性质，所以 它们旁边有其它类型函数时，往往都要想办法将它们“除去”，此时常用分部积分法. 第四句：“幂次化出整倍”.首先整数幂遇到幂次比较大的时候，凑微分可降幂，秘诀 在于将幂次化出整倍，不是整倍的凑微分变成整倍.先看例子更明白： 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 11 8 4 x dx x 3x 2+ +∫ 这里幂次是 4,8,11，以 4 为基础，11不是 8 的倍数，将 11分解成 8+3， 11 8 3x x x= ，只要将 不能成整倍的 3x 凑进微分中即可！ 11 8 4 2 4 8 4 8 4 2 x dx x dx t dt 1/ 4 1/ 4 (t x ) x 3x 2 x 3x 2 t 3t 2 = = = + + + + + +∫ ∫ ∫ 降幂成功！ 还有，当分数幂（无理）时，用第二类换元法时，用分数的分母中的最小公倍数，这样 就可以保证还原后全变成有理形式，如 4 dx x x+∫ ，可令 4 x t= .这也算另类“幂次化出整 倍”吧. 可不要小看这四句话哦！前面只是针对简单的积分，目的是让大家明白大概.此四句话可 比喻为武林高手的“内功秘诀”，要想运用自如，还需要悟性和多练习.下面我们进行： 实战操练：我们下面取出一些针对性的题目，运用口诀分析做题.我选的题目尽可能 是一般或偏难一点的（太难太易都不具备代性）.大家慢慢体会.注意：以下将“24口诀” 简称为“口诀法”. 例 1 求 1 dx x ln x ln ln x∫ “口诀法”分析：前面讲到，遇到对数函数有两条路：分部、凑微分.无论如何均将甲 作为“lnx”求导后成为乙：1/x,在积分函数中有！因此用凑微分.运用口诀“甲求导后得乙”！ 解：原式= 1 dlnx ln x ln ln x∫ = 1 dln lnx ln ln x∫ = ln | ln ln x |+C 例 2 x 1 xdx 1 x + −∫ “口诀法”分析：口诀有言，“无理变成有理”.要将分子（不是分母）有理化. 解：原式 2 2 2 xdx x dx 1 x 1 x = + − − ∫ ∫ 2 2 2 2 2 dx (x 1)dx dx 1/ 2 1 x 1 x 1 x − = + + − − − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 d(1 x ) 1/ 2 1 x dx arcsin x C 1 x − = − − + + − ∫ ∫ 2 2 2 d(1 x ) x 1 x 1/ 2 1 x arcsin arcsin x C 2 2 a1 x − = − − − + + − ∫ 第二类换元法总结：与第一类换元法不同，其原函数并非复合函数.是因为为了去根 号等原因人为地将自变量作为中间变量.这里称“主动换元法”第一类换元可称“被动换元 法”. 先对凑微分来说，第二类换元法较有规律，一般的原则是： 1. 2 2a x− 型，令 x=asint 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 2. 2 2a x+ 型 令 x=atant 3 2 2x a− 型 令 x=asect 4. 倒代换(少见)：针对分母幂次较高的情形，可将分母的幂化为分子的幂. 5．最小次幂代换：当出现不同次的根号时，直接用凑微分不易求时考虑用它. 6．万能公式代换：能将三角被积函数化有理函数.（缺点是较繁琐，最好在其它方法不 灵时用） …… 注意：有的函数含有上面的形式的项，但是并不需要用第二类换元法.如： 2 x dx 1 x− ∫ ， 2 arcsin x dx 1 x− ∫ 例 3 2x tan x sec xdx∫ “口诀法”分析：三角函数与幂函数的结合体，最容易想到的应该是分部积分法，因为 我们最需要消去 x 这个“异类”.运用口诀“三指凑成一类” 解：原式= xsecxdsecx∫ 21/ 2 xd(secx)= ∫ = 21/ 2x tan x 1/ 2 tan x x / 2 C− + + 分部积分法总结：通过此题我们引出分部积分法的总结.此方法被积函数往往是有两 类函数相乘.其根据是函数乘法的导数公式. 此方法归纳起来， 总结成一口诀,就是“反对幂指三，前导后积莫乱来！”（前半句话每 一个字表示一类初等函数，“反”表示反三角函数，“对”表示对数函数，“幂”表示幂函数， “指”表示指数函数，“三”三角函数.）意思是说，当两类函数在一起时，谁导谁积按照口 诀的顺序. 分部积分的目的：1）对幂函数降幂最终消去幂函数；2）对反三角函数（对数函数）求 导变成其它易积函数；3）循环求积分（往往针对三角函数）；4）降幂求递推式（少用）. 例如下面都是可以用分部做的，同学们结合上一段的口诀自己做一下： （1） ln(1 x) dx x + ∫ （“对”与“幂”；： 2 x ln(1 x) 4 x 4arctan x C+ − + + ） （2） x x ln(1 e ) dx e + ∫ （“对”与“指”；答案： x x xe ln(1 e ) x ln(1 e ) C−− + + − + + ） （3） 2 2 x arc tan x dx 1 x+∫ （“幂”与“反”；答案： 2 2xarctan x 1/ 2ln |1 x | 1 / 2(arctan x) C− + − + ） （4） 2 2 2 x dx (1 x )+∫ （用分部积分降幂；答案： 2 1 x arctan x C 2 2(1 x ) − + + ） 例 4 10 dx x(x 1)+∫ “口诀法”分析：因为是有理函数，一般可以用书上的拆项，但是如死做的话，一是因 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 式分解不易，即时分解开来了，待定常数也非常多，所以这条路行不通.用口诀：幂次化出 整倍.将分母中的 x乘以 9x ，然后分子多出一个 9x ，凑微分… 解:原式 = 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 x dx 1 dx 1 1 1 1 ( )dx ln | x | ln | x 1| C x (x 1) 10 x (x 1) 10 x x 1 10 = = − = − + + + + +∫ ∫ ∫ 有理函数的积分总结：有理函数的积分一般方法没有什么技巧.在凑微分不灵和其它 典型方法不行时用，具体方法比较死，但是我告诉大家，除不得已之外，有时也可以避免待 定系数，可以有灵活的拆解.如： 3 1 x(x 1)− 的正规拆解要待定 4 个系数，很繁杂，若用线面 的方法就简单得多： 3 2 3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) x(x 1) (x 1) x 1 x (x 1) x(x 1) (x 1) x 1 x 1 x 1 1 1 1 (x 1) (x 1) x 1 x = − = − = − − − − − − − − − − = − + − − − − 还有： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 1/ 4( ) 1/ 4( ) (x 1) (x 1)(x 1) x 1 x 1 (x 1) (x 1) (x 1)(x 1) 1 1 1 1 4(x 1) 4(x 1) x 1 x 1 = = − = + − − − + − + − + − + = + − + − + − + 例 5 2 1 cosx dx 1 sin x + +∫ “口诀法”分析：纯三角函数，用“三指凑成一类”.分子中含“1”不便凑微分，那 么分开两项来做. 解：原式 2 2 1 cosx dx dx 2 cos x 1 sin x = + − +∫ ∫ 2 2 1 1 dx dsin x 2 cos x 1 sin x = + − +∫ ∫ 2 2 1 1 d tan x dsin x 2sec x 1 1 sin x = + − +∫ ∫ 2 1 d tan x arctan(sin x) C 1 2 tan x = + + +∫ 1/ 2 arctan( 2 tan x) arctan(sin x) C= + + 三角函数的积分总结：三角函数的积分，除了凑微分凑掉一部分外，总的来说，就 是往有理函数的积分的方向转化.“三指凑成一类”也就是这个目的.书上还有“万能公式”， 但是别动不动就用万能公式！如果不加思考就用它的话，有时候积分的计算会变得十分复杂. 所以，在其它方法不灵时用万能公式.我个人体会,就是在积分函数既含有三角函数且次数为 1次，又含有常数相加的情况下，可以用万能公式，如： 1 dx 2 sin x+∫ （答案： 2tan(x / 2) 1 2 / 3arctan C 3 + + ） 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 例 6 2x 2xcosx sin x dx cosx(1 cosxe ) − +∫ “口诀法”分析：我选择这题的目的是告诉大家，越是看起来复杂的题目越不用怕！而 有的看起来简单的形式做起来倒是难.看此题，又是指数函数，又是三角函数，还有幂函数！ 往往用凑微分即可解决，你拿各个部分作为“甲”试试，发现： 2 2x x(1 cosxe ) ' ( sin x 2xcosx)e+ = − + 看见没有？分子上有求导的结果，只是相差一个指数函数，没关系，配一个. 解：原式 2 2 2 x x x (2xcosx sin x)e dx cosxe (1 cosxe ) − = +∫ 2 2 2 x x x d(cosxe ) cosxe (1 cosxe ) = +∫ 2 2 2 2 x x x x d(cosxe ) d(cosxe ) cosxe 1 cosxe ) = − +∫ ∫ 2 2x xln | cosxe | ln |1 cosxe | C= − + + 下面要来点综合的： 例 7 4 4 sin xcosx dx sin x cos x+∫ “口诀法”分析： 先用“三指凑成一类”，然后“幂次化出整倍”. 解：原式= 2 2 2 2 2 sin x dsin x (sin x cos x) 2sin xcos x+ −∫ = 2 2 2 dsin x 1/ 2 1 2sin xcos x−∫ 2dt1/ 2 (t sin x) 1 2t(1 t) = = − −∫ 2 dt 1/ 2 2t 2t 1 = − +∫ 2 dt 1/ 4 (t 1/ 2) 1/ 4 = − +∫ 1/8arctan(2t 1) C= − + 21/8arctan(2sin x 1) C= − + 例 8 ln tan x dx cosx sin x∫ “口诀法”分析：有三角函数与对数函数，用：“三指凑成一类”和“甲求导后得乙”， 但是主要矛盾还是对数函数！所以先用甲求导后得乙，显然这里甲取 ln tan x ， 21 1(ln tan x) ' sec x tan x sin xcosx = = ，因此： 解：原式= 2 ln tan x dx cos x tan x∫ ln tan x d tan x tan x = ∫ ln tan xdln tan x= ∫ 21/ 2(ln tan x) C= + 例 9 3 1 dx (x 1)(x 1)+ − ∫ “口诀法”分析：这里根号里面有两 个部 分，可 将 3(x 1)− 部分化成 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 4 2(x 1) 1 (x 1) x 1 x 1 − = − − − ，这也算一种“幂次化出整倍”吧！留下的 x 1 x 1 + − 可以直接令它 为 t，从而“无理变成有理”. 解：原式= 2 1 dx x 1 (x 1) x 1 + − − ∫ 2 2 2 1 2 d( ) 2 1 tt( ) 1 t = − − ∫ x 1 C x 1 + = − + − 例 10 x x x x 2 3 dx 9 4−∫ “口诀法”分析：典型的“三指凑成一类”，将两类指数化为一类再说. 解：原式= x 2x 2 ( ) 3 dx 2 1 ( ) 3 − ∫ x 2x 1 1 2 d( ) 2ln(2 / 3) 31 ( ) 3 = − ∫ x x x x 1 1 2 1 2 ( d( ) d( ) ) 2 22ln(2 / 3) 3 31 ( ) 1 ( ) 3 3 = + + − ∫ ∫ 2x 2x1 2 2(ln |1 ( ) | ln |1 ( ) |) C 2ln(2 / 3) 3 3 = + − + + = x x x x 1 3 2 ln( ) C 2(ln3 ln 2) 3 2 − + − + 例 11 1 dx x(1 x)+∫ “口诀法”分析：直接令 t= x(1 x)+ 不好.若用“甲求导后得乙”凑微分，看起来甲 不好选，变形一下： 2 1 1 x(1 x) x 1 ( x ) = + + 此时可选甲为： x .先凑微分再主动（第二类）换元“无理变成有理”(或用双曲函数公式). 解：原式= 2 1 dx x 1 ( x )+ ∫ x =t 22 1 1 2 d x 2 dt 1 t1 ( x ) = = ++ ∫ ∫ 令 = 2arsht +C = 2ln | x 1 x | C+ + + 好，现在大家经过艰苦练习，功力已经达到四成，师傅要让你们出山.要知道不经过真 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ 刀真枪的干，功力难到九成！下面我出一些题目，方法我先不说，各种各样奇怪的积分放在 一起，你们先做，最后我再讲评（仅简单讲评和公布答案，不讲步骤，不这样大家永远依赖 师傅！）.好，现在开始： 真枪实战： 例 12 计算下列不定积分： （1） x 2x 1 dx e (1 e )+∫ （2） ln(1 x) dx x + ∫ （3） x xx 3 62 dx . 1 e e e+ + + ∫ （4） sin x dx sin x cosx−∫ （5） arccot x dx x (1 x)+∫ （6） 2 dx x 4 x− ∫ （7） 2 2 2 ln (x 1 x )dx 1 x + + + ∫ （8） 4 1 dx x 1 x+ ∫ （9） 1 dx sin2xcosx∫ （10） 2 2 x x dx (1 x )(x 1) + + −∫ 简单讲评： 例 12（1）用口诀“三指凑成一类”，分式上下同乘 xe . （2）分部积分，对对数函数求导.用了“甲求导后成乙”. （3）用口诀：幂次化出整倍，令 x 6t e= . （4）技巧： sin x 1 sin x cosx sin x cosx 1 sin x cosx ( ) ( 1) sin x cosx 2 sin x cosx sin x cosx 2 sin x cosx + − + = + = + − − − − ，然后用“甲 求导后得乙”. （5）用口诀：甲求导后得乙，凑微分. （6）令 24 x t− = ，或令 x=2sint，或 x=1/t， （7）用“甲求导后得乙”的典型，甲为： 2ln(x 1 x )+ + . （8）用口诀：“幂次化出整倍”先凑 2x ，再第二类换元，“无理变成有理”. （9）先倍角公式，然后 1拆解成平方和，目的是“三指凑成一类”. （10） 2 2 2 2 2 x x (x 1) (x 1) 1 1 (1 x )(x 1) (1 x )(x 1) x 1 1 x + + + − = = + + − + − − + . 真枪实战答案： 例 12（1） x xe arctane C−− − + （2） 2 x ln(1 x) 4( x arctan x ) C+ − − + 此文档由天勤论坛（www.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.comwww.csbiji.com）邹老师原创，转载请注明出处！ （3） x x x 6 3 6 3 x 3ln(1 e ) ln(1 e ) 3arctane C 2 − + − + − + （4） 1 ln | sin x cosx | x / 2 C 2 − + + （5） 2(arccot x ) C− + （6）1/2 22 4 x ln | | C x − − + （7） 3 2 1 ln (x 1 x ) C 3 + + + （8） 2 21/ 2ln | csc(arctan x ) cot(arctan x ) | C− + （9） 1 1 ln | cscx cot x | C 2cosx 2 + − + （10） ln | x 1| arctan x C− + + 总结：本专题我就讲完了.口诀传给了大家，上面一点练习当然不够，要知道师傅练了 1000 题，徒弟也不要太懒，练 500 题总是要的吧！大家用我的口诀试一试，是不是练起来 事半功倍？是不是绝大部分都可以用到口诀？ 一定的，我拿参考书随机测试过！最后温馨 提示：任何方法都不是绝对的，我上面讲的也一样.掌握方法加灵活运用，才能立于不败之 地。